11.1. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией:
a) $F(q, Q, t)=\frac{1}{2} m \omega(t) q^{2} \operatorname{ctg} Q$.
Записать уравнения движения в переменных $Q$ и $P$ для гармонического осциллятора с частотой $\omega(t)$.
б) $F(q, Q, t)=\frac{1}{2} m \omega\left[q-\frac{F(t)}{m \omega^{2}}\right]^{2} \operatorname{ctg} Q$.
Записать уравнения движения в переменных $Q$ и $P$ для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила $F(t)$.
11.2. Найти производящую функцию вида $\Psi(p, Q)$, приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и $F(q, P)=q^{2} e^{P}$.
11.3. Какому условию должна удовлетворять функция $\Phi(q, P)$, чтобы ее можно было использовать в качестве производящей функции канонического преобразования?
Рассмотреть, в частности, пример
\[
\Phi(q, P)=q^{2}+P^{2} .
\]
11.4. Показать, что для системы с одной степенью свободы поворот в фазовом пространстве $(q, p)$ является каноническим преобразованием.
11.5. Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона которого
\[
H=\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}+\alpha x^{3}+\beta x p^{2}
\]

и $|\alpha x| \ll \omega^{2},|\beta x| \ll 1$. В каноническом преобразовании, задаваемом производящей функцией $\Phi=x P+a x^{2} P+b P^{3}$, подобрать параметры $a$ и $b$ так, чтобы новая функция Гамильтона с точностью до членов первого порядка по $\alpha \omega^{-2} Q, \beta Q$ включительно не содержала ангармонических членов, и найти $x(t)$.
11.6. В каноническом преобразовании, задаваемом производящей функцией $\Phi=x P+a x^{3} P+b x P^{3}$, подобрать параметры $a$ и $b$ так, чтобы малые колебания ангармонического осциллятора $H=\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega_{0}^{2} x^{2}}{2}+\beta x^{4}$

в новых переменных $Q, P$ сводились к гармоническим. Членами второго порядка по $\beta \omega^{-2} Q^{2}$ в новой функции Гамильтона пренебречь.
11.7. Показать, что преобразование
\[
\begin{aligned}
x & =X \cos \lambda+\frac{P_{y}}{m \omega} \sin \lambda, & y & =Y \cos \lambda+\frac{P_{x}}{m \omega} \sin \lambda, \\
p_{y} & =-m \omega X \sin \lambda+P_{y} \cos \lambda, & p_{x} & =-m \omega Y \sin \lambda+P_{x} \cos \lambda
\end{aligned}
\]

является каноническим. Найти новую функцию Гамильтона, $H^{\prime}(P, Q)$, если
\[
H(p, q)=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]
(ср. с задачей 11.17). Описать движение двумерного осциллятора при $Y=$ $=P_{y}=0$.
11.8. Используя преобразование предыдущей задачи, привести функцию Гамильтона изотропного гармонического осциллятора в магнитном поле, заданном векторным потенциалом $\mathbf{A}=(0, \mathscr{H} x, 0)$, к сумме квадратов и найти закон его движения.
11.9. С помощью канонического преобразования привести к диагональному виду функцию Гамильтона анизотропного заряженного осциллятора с потенциальной энергией $U(\mathbf{r})=\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}\right)$, находящегося в однородном постоянном магнитном поле, заданное векторным потенциалом $\mathbf{A}=(0, \mathscr{H} x, 0)$.
11.10. Применяя каноническое преобразование задачи 11.7 к парам нормальных координат, соответствующих стоячим волнам системы частиц на кольце (см. задачу 7.3), получить координаты, соответствующих бегущим волнам.
11.11. Показать, что преобразование
\[
\begin{aligned}
x & =\frac{1}{\sqrt{m \omega}}\left(\sqrt{2 P_{1}} \sin Q_{1}+P_{2}\right), \\
p_{x} & =\frac{\sqrt{m \omega}}{2}\left(\sqrt{2 P_{1}} \sin Q_{1}-Q_{2}\right), \\
y & =\frac{1}{\sqrt{m \omega}}\left(\sqrt{2 P_{1}} \cos Q_{1}+Q_{2}\right), \\
p_{y} & =\frac{\sqrt{m \omega}}{2}\left(-\sqrt{2 P_{1}} \sin Q_{1}+P_{2}\right)
\end{aligned}
\]

является каноническим. Найти уравнения Гамильтона частицы в магнитном поле, заданном векторным потенциалом $\mathbf{A}=\left(-\frac{1}{2} y \mathscr{H}, \frac{1}{2} x \mathscr{H}, 0\right)$ в новых переменных. Здесь $\omega=\frac{e \mathscr{H}}{m c}$.
11.12. Каков смысл канонического преобразования, задаваемого производящей функцией $\Phi(q, P)=\alpha q P$ ?
11.13. Показать, что градиентное преобразование потенциалов электромагнитного поля является каноническим преобразованием для координат и импульсов заряженных частиц, и найти соответствующую производящую функцию.
11.14. Как известно, замена функции Лагранжа $L(q, \dot{q}, t)$ на
\[
L^{\prime}(q, \dot{q}, t)=L(q, \dot{q}, t)+\frac{d f(q, t)}{d t},
\]

где $f(q, t)$ – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производяшую функцию.
11.15. Найти производящую функцию канонического преобразования, состоящего в переходе от $q(t), p(t)$ к $Q(t)=q(t+\tau), P(t)=p(t+\tau)$, $\tau=$ const для:
a) свободного движения,
б) движения в однородном поле, $U(q)=-F q$;
в) осциллятора.
11.16. Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых производящими функциями:
a) $\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{P})=\mathbf{r} \mathbf{P}+\delta \mathbf{a P}$
б) $\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{P})=\mathbf{r P}+\delta \varphi[\mathbf{r P}]$;
в) $\Phi(q, P, t)=q P+\delta \tau H(q, P, t)$;
г) $\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{P})=\mathbf{r} \mathbf{P}+\delta \alpha\left(\mathbf{r}^{2}+\mathbf{P}^{2}\right)$,

где $\mathbf{r}$ – декартовы координаты, а $\delta \mathbf{a}, \delta \varphi, \delta \tau, \delta \alpha$ – бесконечно малые параметры.
11.17. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией
\[
\Phi\left(x, y, P_{x}, P_{y}\right)=x P_{x}+y P_{y}+\varepsilon\left(x y+P_{x} P_{y}\right),
\]

где $\varepsilon \rightarrow 0$, представляет собой поворот в фазовом пространстве.

11.18. Указать производящие функции для бесконечно малых канонических преобразований, представляющих собой:
a) винтовое движение;
б) преобразование Галилея;
в) переход к вращающейся системе отсчета.
11.19. Каноническое преобразование задано производящей функцией $\Phi(q, P)=q P+\lambda W(q, P)$, где $\lambda \rightarrow 0$.

Для произвольной функции $f(q, p)$ найти с точностью до первого порядка малости изменение ее величины, связанное с изменением аргументов
\[
\delta f(q, p)=f(Q, P)-f(q, p) .
\]
11.20. Найти $\{H, \mathbf{r p}\}$, где функция Гамильтона $H(\mathbf{r}, \mathbf{p})=\frac{p^{2}}{2 m}+$ $+\frac{\mathrm{ar}}{r^{3}}$, и получить, исходя из результата, интеграл уравнений движения. Для вычисления удобно воспользоваться результатами предыдущей задачи и задачи 11.12.
11.21. Найти изменение вида зависимости $\mathbf{M}, \mathbf{p}^{2}, \mathbf{p r}, H(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t)$ от $\mathbf{r}$ и р при преобразованиях задачи 11.16.
11.22. Показать, что результат последовательного выполнения двух бесконечно малых канонических преобразований, заданных производящими функциями
\[
\Phi_{i}(q, P)=q P+\lambda_{i} W_{i}(q, P), \quad \lambda_{i} \rightarrow 0, \quad i=1,2,
\]

не зависит от порядка их выполнения (с точностью до второго порядка малости включительно), если
\[
\left\{W_{1}(q, p), W_{2}(q, p)\right\}=0 .
\]
11.23. Найти каноническое преобразование, представляющее собой результат последовательного выполнения бесконечно большого числа $N$ бесконечно малых канонических преобразований, заданных функцией
\[
\Phi(q, P)=q P+\frac{\lambda}{N} W(q, P), \quad \lambda=\text { const }, \quad N \rightarrow \infty ;
\]
a) $W(\mathbf{r}, \mathbf{P})=[\mathbf{r P}] \mathbf{a}, \mathbf{a}=\mathbf{c o n s t} ;$
б) $W\left(x, y, P_{x}, P_{y}\right)=A_{i}$,

где $A_{i}$ определены в задаче 10.15 .
УказАниЕ. Составить и решить для конкретных $W$ дифференциальные уравнения для $Q(\lambda), P(\lambda)$.

11.24. а) Как изменяются со временем объем, объем в импульсном пространстве и фазовый объем, занимаемые группой свободно движущихся вдоль оси $x$ частиц? В начальный момент координаты частиц заключены в интервале $x_{0}<x<x_{0}+\Delta x_{0}$, а импульсы – в интервале $p_{0}<p<p_{0}+$ $+\Delta p_{0}$.
б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси $x$ между двумя стенками. Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом частицы не взаимодействуют.
в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов.
г) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов с трением.
д) Тот же вопрос для группы ангармонических осцилляторов.
е) Будем описывать распределение частиц в фазовом пространстве в момент $t$ функцией распределения $w(x, p, t)$ такой, что число частиц с координатами в интервале от $x$ до $x+d x$ и импульсами в интервале от $p$ до $p+d p$ есть $w(x, p, t) d x d p$. Определить функции распределения группы свободных частиц и группы гармонических осцилляторов, если в начальный момент
\[
w(x, p, 0)=\frac{1}{2 \pi \Delta p_{0} \Delta x_{0}} \exp \left\{-\frac{\left(x-X_{0}\right)^{2}}{2 \Delta x_{0}^{2}}-\frac{\left(p-P_{0}\right)^{2}}{2 \Delta p_{0}^{2}}\right\} .
\]
11.25. Введем переменную
\[
a=\frac{m \omega x+i p}{\sqrt{2 m \omega}} e^{i \omega t} .
\]
a) Найти скобки Пуассона $\left\{a^{*}, a\right\}$. Выразить через $a$ и $a^{*}$ функцию Гамильтона гармонического осциллятора
\[
H_{0}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} .
\]
б) Показать, что $Q=a$ и $P=i a^{*}-$ канонические переменные. Найти новую функцию Гамильтона $H_{0}^{\prime}(Q, P)$.
в) Для осциллятора с ангармонической добавкой к потенциальной энергии $\delta U=\frac{1}{4} m \beta x^{4}$ усреднить функцию Гамильтона $H^{\prime}(Q, P)$ по периоду быстрых осцилляций $2 \pi / \omega$.

Используя усредненную функцию Гамильтона, найти медленные изменения переменных $Q$ и $P$.

г) Исследовать закон изменения амплитуды колебаний осциллятора под действием нелинейной резонансной силы
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}+m^{2} \omega^{2} \alpha x^{4} \cos 4 \omega t .
\]
11.26. Исследовать изменение амплитуды колебаний системы трех осцилляторов со слабой нелинейной связью:
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}+\alpha x y z\right),
\]

если $\left|\omega_{1}-\omega_{2}-\omega_{3}\right| \ll \omega_{1},|\alpha x| \ll \omega_{1}^{2}$. Рассмотреть подробнее случаи, когда в начальный момент $|y| \ll|x|, z=0, \dot{y}=\dot{z}=0$.
Воспользоваться тем же методом, что и в предыдущей задаче.
11.27. Функция Гамильтона ангармонического осциллятора, испытывающего параметрическое воздействие, имеет вид
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2}}{2}(1+h \cos 2 \gamma t) x^{2}+\frac{m \beta x^{4}}{4} .
\]

Введем канонические переменные
\[
a=\frac{m \omega x+i p}{\sqrt{2 m \omega}} e^{i \gamma t}, \quad P=i a^{*} .
\]
a) Найти новую функцию Гами.ьтона $H^{\prime}(a, P, t)$ и усреднить ее по периоду быстрых осцилляции $2 \pi / \gamma$.
б) Исследовать изменение амплитуды колебаний в области резонанса $|\gamma-\omega| \ll h \omega, h \ll 1$, если в начальный момент величина $a$ близка к нулю.
11.28. а) Проверить, что преобразование
\[
\begin{array}{l}
x=Q \cos \gamma t+\frac{1}{m \omega} P \sin \gamma t, \\
p=-m \omega Q \sin \gamma t+P \cos \gamma t
\end{array}
\]

является каноническим. Получить новую функцию Гамильтона $H^{\prime}(Q, P, t)$ для осциллятора с параметрическим возбуждением:
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}(1-h \cos 2 \gamma t) .
\]
б) Усреднить $H^{\prime}(Q, P, t)$ по периоду $2 \pi / \gamma$ и исследовать качественно движение точки на фазовой плоскости $Q, P$. Принять $h \ll 1, \varepsilon=$ $=1-\gamma / \omega \ll 1$.

11.29. а) Рассматривается движение двух слабо связанных осцилляторов
\[
\begin{array}{c}
H=H_{0}+V, \quad H_{0}=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}\right), \\
V=m \beta x y \sin \left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t, \quad \beta \ll \omega_{1}^{2} \sim \omega_{2}^{2} .
\end{array}
\]

В плоскости $x, p_{x} / m \omega_{1}$ перейдем к системе координат $X, P_{x} / m \omega_{1}$, вращающейся с угловой скоростью $\omega_{1}$ по часовой стрелке; аналогичное преобразование сделаем и для переменных $y, p_{y} / m \omega_{2}$. Показать, что $X, Y, P_{x}, P_{y}$ – канонические переменные.

Найти новую функцию Гамильтона $H^{\prime}\left(X, Y, P_{x}, P_{y}, t\right)$, усреднить ее по времени $t_{\text {уср }}$ такому, что
\[
\frac{1}{\omega_{1,2}} \ll t_{\text {ycp }} \ll \frac{\omega_{1,2}}{\beta},
\]

и исследовать изменение амплитуд колебаний по $x$ и $y$ со временем за время $t \lesssim \omega_{1,2} / \beta$.
б) То же для $V=m \beta x y \sin \left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) t$.