В задачах $6.1-6.21$ с помощью общих методов рассматриваются свободные и вынужденные колебания относительно несложных систем (с двумя-тремя степенями свободы). В задачах 6.18-6.21 приведены системы с вырожденными собственными частотами.

Для исследования более сложных систем полезно использовать ортогональность собственных колебаний и свойства симметрии системы. Соответствующие теоремы приведены в задачах 6.22 и 6.39 , а иллюстрации их применения, например, в задачах $6.26-6.33$ и $6.40-6.45,6.47$, а также в задачах о колебаниях молекул 6.46 , $6.48-6.52$.

Влияние малого изменения системы на ее движение можно исследовать с помощью метода последовательных приближений – теории возмущений. Общей форме теории возмущений в задачах о малых колебаниях посвящена задача 6.34 , конкретным примерам – задачи $6.35,6.37,6.41,6.42,6.50$ б. Полезно отметить, что подобным же образом строится теория возмущений в квантовой механике.

В задачах $6.36-6.38$ изучаются колебания систем, в которых действуют «гироскопические» силы (см. также задачи 9.24-9.27).
6.1. Найти свободные колебания системы, изображенной на рис. 19 , при которых частицы движутся вертикально. Найти нормальные координаты и выразить через них функцию Лагранжа.
6.2. Найти установившиеся колебания системы, описанной в предыдущей задаче, если точка подвеса движется в вертикальном направлении по закону $a(t)$, где
a) $a(t)=a \cos \gamma t$
б) $a(t)=a\left(\frac{t}{\tau}-n\right)$ при $n \tau \leqslant t<(n+1) \tau$.
6.3 a. Найти свободные малые колебания плоского двойного маятника (рис. $20 \mathrm{a}$ ).

Рис. 19
Рис. $20 \mathrm{a}$
Рис. 20 б
6.3 б. Найти нормальные колебания для двойного маятника (рис. 20б), у которого угол между плоскостями колебаний верхней частицы с массой $3 m$ и нижней частицы с массой $m$ равен $60^{\circ}$. Длина каждого стержня равна $l$, их массами пренебречь.
6.4. Найти свободные колебания системы, функция Лагранжа которой
\[
L=\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{2}-\frac{\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}}{2} .
\]

Как выглядит траектория точки с декартовыми координатами $(x, y)$ ?
6.5. Найти нормальные колебания системы, функция Лагранжа которой:
а) $L=\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{2}-\frac{\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}}{2}+\alpha x y$;
б) $L=\frac{m_{1} \dot{x}^{2}+m_{2} \dot{y}^{2}}{2}+\beta \dot{x} \dot{y}-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$.
6.6. Найти нормальные колебания в системах связанных контуров: а) рис. $21, a$; б) рис. 21, .
6.7. Найти нормальные колебания системы частиц, соединенных пружинками (рис. 22). Частицы могут двигаться только вдоль прямой $A B$. Найти свободные колебания системы.
6.8. Найти свободные колебания системы (рис. 23), если в начальный момент:
a) одна из частиц имеет скорость $v$, скорость другой и отклонения обеих частиц от положения равновесия равны нулю;

Рис. 22
Рис. 23
б) одна из частиц отклонена от положения равновесия на расстояние $a$, отклонение другой и скорости обеих равны нулю.
Частицы могут двигаться только вдоль прямой $A B$.
6.9. Определить поток энергии от одной частицы к другой, используя условия предыдущей задачи.
6.10. Найти свободные колебания системы (см. рис. 23), если на каждую из частиц действует сила трения, пропорциональная ее скорости.
6.11. Найти свободные малые колебания двойного маятника (рис. 24), ссли в начальный момснт всрхний маятник всртикалсн, нижний отклонсн на угол $\beta \ll 1$, а скорости их равны нулю. Массы маятников $M$ и $m$, причем $M \gg m$.
6.12. Найти установившиеся колебания системы (см. рис. 23), если точка $A$, в которой закреплен левый конец пружины, движется по закону $a \cos \gamma t$ в направлении прямой $A B$.
6.13. Найти установившиеся колебания системы двух частиц на кольце\” (рис. 25,a), если точка $A$ движется по кольцу по закону $a \cos \gamma t$. Исследовать зависимость амплитуд колебаний от частоты вынуждающей силы.
6.14. Три частицы, каждая массы $m$, связанные пружинками, могут двигаться по кольцу (рис. 25, б). Найти установившиеся колебания системы, если точка $A$ движется по кольцу по закону $a \cos \gamma t$.
${ }^{1} \mathrm{~B}$ этой и подобных задачах кольцо предполагается гладким и неподвижным.

Рис. 24
Рис. 25
6.15. Найти установившиеся колебания системы, изображенной на рис. 23 , если точка $A$ движется по закону $a \cos \gamma t$. На частицы действует сила трения, пропорциональная скорости.
6.16. Найти движение системы рис. 22 , если в начальный момент частицы покоились в положениях равновесия, а точка $A$ движется по закону $a \cos \gamma t$. Массы частиц равны $\left(m_{1}=m_{2}=m\right.$ ).
6.17. Найти установившиеся колебания частицы (рис. 26) под действием однородного переменного поля $U(\mathbf{r})=-\mathbf{F}(t) \mathbf{r}$, где вектор $\mathbf{F}(t)$ лежит в плоскости рисунка, в случаях:
a) $\mathbf{F}(t)=\mathbf{F}_{0} \cos \gamma t$
б) $\mathbf{F}(t)$ вращается с частотой $\gamma$, оставаясь постоянным по величине.
6.18. Найти нормальные колебания трех одинаковых частиц, связанных одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 27).

Определить нормальные координаты, приводящие функцию Лагранжа к диагональному виду.
6.19. Найти свободные колебания системы, рассмотренной в предыдущей задаче, если в начальный момент одна из частиц отклонена из положения равновесия. Начальные скорости равны нулю.
6.20. Найти нормальные колебания системы трех частиц, которые могут двигаться по кольцу (рис. 28).
6.21. Найти нормальные координаты системы четырех частиц на кольце (рис. 29).
6.22. Пусть нормальные колебания системы, описываемой функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(m_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}-k_{i j} x_{i} x_{j}\right),
\]

имеют вид
\[
x_{i}^{(l)}(t)=A_{i}^{(l)} \cos \left(\omega_{l} t+\varphi_{l}\right) .
\]

Доказать, что амплитуды, соответствующие колебаниям с различными частотами $\omega_{l}$ и $\omega_{s}$, удовлетворяют соотношениям
\[
\sum_{i, j} A_{i}^{(s)} m_{i j} A_{j}^{(l)}=\sum_{i, j} A_{i}^{(s)} k_{i j} A_{j}^{(l)}=0 .
\]
6.23. На систему, описываемую функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(m_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}-k_{i j} x_{i} x_{j}\right),
\]

наложена линейная связь
\[
\sum_{i} a_{i} x_{i}=0, \quad a_{i}=\text { const. }
\]

Пусть все собственные частоты системы без связи различны $\Omega_{1}<\Omega_{2}<$ $<\ldots<\Omega_{N}$. Доказать, что все собственные частоты системы со связью $\omega_{l}$ лежат в промежутках между $\Omega_{l}$ :
\[
\Omega_{1} \leqslant \omega_{1} \leqslant \Omega_{2} \leqslant \omega_{2} \leqslant \ldots \leqslant \omega_{N-1} \leqslant \Omega_{N} .
\]
6.24. Установившиеся колебания системы, описываемой функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(m_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}-k_{i j} x_{i} x_{j}\right)+\sum_{i} x_{i} f_{i} \cos \gamma t
\]

можно представить в виде $x_{i}(t)=\sum_{l} \lambda^{(l)} A_{i}^{(l)} \cos \gamma t$. (Почему?) (Обозначения задачи 6.22.)
Выразить коэффициенты $\lambda^{(l)}$ через $f_{i}$ и $A_{i}^{(l)}$.
Исследовать зависимость $\lambda^{(l)}$ от $\gamma$.
Показать, что если для $s$-го нормального колебания $\sum_{i} f_{i} A_{i}^{(s)}=0$, то $\lambda^{(s)}=0$.
6.25. Система частиц, связанных пружинками, может совершать малые колебания. Пусть к одной из них – частице $A$ – вдоль направления $x$ приложена сила $F=F_{0} \cos \gamma t$, а другая – частица $B$ – при этом coвершает установившиеся колебания, при которых проекция ее отклонения на направление $x^{\prime}$ имеет вид $x_{B}^{\prime}=C \cos \gamma t$.

Показать, что при действии силы $F$ на частицу $B$ вдоль оси $x^{\prime}$ возникают такие колебания частицы $A$, что $x_{A}=C \cos \gamma t$ (теорема взаимности).
6.26. Найти нормальные колебания системы частиц, которые могут двигаться по кольцу (рис. 30).
6.27. Найти нормальные колебания системы четырех частиц на кольце (рис. 31 ).
6.28. а) Найти нормальные колебания системы, изображенной на рис. 32. Все частицы и пружинки одинаковы. Натяжение пружинок в положении равновесия $f=k l$, где $l$ – равновесное расстояние между частицами.

Рис. 32
Рис. 33

УказАниЕ. Некоторые из нормальных колебаний очевидны. Определение остальных можно упростить, используя соотношения задачи 6.22 .
б) Найти нормальные колебания системы четырех одинаковых частиц, изображенных на рис. 32 (пятая частица отсутствует, а пружинки в этом месте соединены). Коэффициенты жесткости и натяжения всех пружинок одинаковы.
6.29. Три частицы, имеющие различные массы $m_{\imath}(i=1,2,3)$, могут двигаться по кольцу (рис. 33). При каких значениях коэффициентов жесткости пружинок $k_{i}$ в данной системе наступит вырождение частот?
6.30. Какие из нормальных колебаний системы рис. 27 мало изменяются при малом изменении системы, состоящем в следующем:
a) жесткость пружины 1-2 изменена на малую величину $\delta k$;
б) к частице 3 добавлен малый перегрузок $\delta m$;
в) к частице 1 добавлен перегрузок $\delta m_{1}$, а к частице $2-\delta m_{2}$ ?

6.31. Для случаев а) и б) предыдущей задачи описать свободные колебания, если в начальный момент частицы 1 и 3 смещены навстречу друг другу на одинаковые расстояния. Начальные скорости частиц равны нулю.
6.32. Система рис. 29 имеет вырожденные частоты, поэтому ее нормальные колебания не определены однозначно. Даже малое изменение масс частиц или жесткостей пружинок может привести к снятию вырождения.

Найти нормальные колебания системы рис. 29 , близкие к нормальным колебаниям системы, которая получится, если:
a) к первой и второй частицам добавить одинаковые перегрузки;
б) изменить одинаково жесткость пружинок 1-2 и 3-4;
в) добавить перегрузок к первой частице.
6.33. Частицы 1 и 3 системы, описанной в задаче 6.32 б, в начальный момент отклонены от положения равновесия на одинаковое расстояние навстречу друг другу; начальные скорости всех частиц равны нулю. Описать свободные колебания системы.
6.34. Определить, насколько изменяются собственные частоты системы, описываемой функцией Лагранжа
\[
L_{0}=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(m_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}-k_{i j} x_{i} x_{j}\right)
\]

при небольшом ее изменении:
\[
\delta L=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(\delta m_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}-\delta k_{i j} x_{i} x_{j}\right) .
\]

Все собственные частоты исходной системы невырождены.
6.35. Найти изменение собственных частот системы рис. 31 , если к первой частице добавлен малый перегрузок $\delta m$, так что $\varepsilon=\delta m / m \ll 1$.
6.36. Определить свободные колебания анизотропного заряженного осциллятора с потенциальной энергией
\[
U(\mathbf{r})=\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}\right)
\]

в однородном магнитном поле $\mathscr{H}$, параллельном оси $z$. Рассмотреть, в частности, подробнее предельные случаи:
a) $\left|\omega_{\mathscr{H}}\right| \ll\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right|$,
б) $\left|\omega_{\mathscr{H}}\right| \gg \omega_{1,2}$,
в) $\omega_{1}=\omega_{2} \gg\left|\omega_{\mathscr{H}}\right|$
(здесь $\omega_{\mathscr{H}}=e \mathscr{H} / m c$ ).
6.37. Определить свободные ко.тебания анизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
\[
U(\mathbf{r})=\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}\right)
\]

в слабом магнитном поле $\mathscr{H}=\left(\mathscr{H}_{x}, 0, \mathscr{H}_{z}\right)$, рассматривая влияние магнитного поля как малое возмущение.
6.38. Математический маятник является частью электрической цепи (рис. 34). Перпендикулярно к плоскости рисунка приложено постоянное однородное магнитное поле $\mathscr{H}$. Найти нормальные колебания системы.
6.39. Пусть система, совершающая малые колебания (а следовательно, и ее функция Лагранжа $L(x, \dot{x})$ ) не изменяет своего вида при замене
\[
x_{i} \rightarrow \sum_{j} S_{i j} x_{j} ; \quad \dot{x}_{i} \rightarrow \sum_{j} S_{i j} \dot{x}_{j}, \quad i, j=1,2, \ldots, N
\]

причем постоянные коэффициенты $S_{i j}=S_{j i}$ удовлетворяют условию’
\[
\sum_{j} S_{i j} S_{j k}=\delta_{i k}
\]

Доказать, что:
a) если нормальное колебание $x_{i}=A_{i} \cos (\omega t+\varphi)$ невырожденное, то амплитуды $A_{i}$ симметричны или антисимметричны относительно данного преобразования, т. е. или $\sum_{j} S_{i j} A_{j}=+A_{i}$, или $\sum_{j} S_{i j} A_{j}=-A_{j}$;
б) если частота вырождена, то можно выбрать нормальные колебания симметричными или антисимметричными;
${ }^{1}$ Это условие означает, что при двукратном преобразования система возвращается в исходное состояние. Таким свойством обладают, например, отражения относительно плоскости симметрии системы или повороты на $180^{\circ}$ относительно оси симметрии.
в) если на систему действует внешняя сила, симметричная (антисимметричная) относительно данного преобразования, то антисимметричные (симметричные) нормальные колебания не возбуждаются. (Это один из примеров так называемых правил отбора.)
6.40. Используя соображения симметрии, найти нормальные колебания системы рис. 35.
6.41. Описать свободные колебания системы (см. рис. 32), если в начальный момент частицы 1 и 4 смещены навстречу друг другу на одинаковые расстояния в горизонтальном направлении, а начальные скорости всех частиц равны нулю. Натяжение пружинок $f=k l_{1} ; l-l_{1} \ll l$, где $l-$ равновесное расстояние между частицами (ср. с задаРис. 35 чей 6.31$)$.
6.42. Найти поправки к частотам нормальных колебаний системы четырех частиц на кольце (рис. 29), возникающие при малых изменениях масс – на $\delta m_{1}$ для первой и на $\delta m_{2}$ для второй частицы.
6.43 a. Используя соображения симметрии, определить векторы нормальных колебаний системы частиц (рис. 36 a). Все массы частиц и пружинки одинаковы.
Рис. $36 \mathrm{a}$
Рис. 366

6.43 б. Найти собственные колебания «весов» рис. 36 б. Подвес жесткой рамки $B C D$ осуществлен с помощью короткой гибкой нити, допускающей любые повороты рамки вокруг точки $C$. Длины стержней $B C=$ $=C L=l, B D=l \sqrt{3}$, длины нитей $A B=D E=3 l$. В точках $A, B, D, E$ закреплены одинаковые грузики. Массы стержней и нитей не учитывать.
6.44. Найти нормальные колебания системы восьми масс, прикрепленных пружинками к неподвижной рамке (рис. 37). Жесткости $k$, натяжения $f$ и длины $l$ всех пружинок одинаковы.
6.45. Рамка, изображенная на рис. 37, колеблется вдоль направления $A A$ по закону $a \cos \gamma t$. При каких значениях частоты $\gamma$ возможна резонансная раскачка колебаний?
Рис. 37
6.46. Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулы ацетилена $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}$ (рис. 38), предполагая, что потенциальная энергия молекулы зависит как от расстояния между соседними атомаРис. 38 ми, так и от углов НСС.
Рис. 39
Рис. 40
6.47. Две одинаковые частицы прикреплены пружинками к неподвижной рамке (рис. 39). Система симметрична относительно оси $C F$. Какие сведения о нормальных колебаниях можно получить, не зная жесткостей и натяжении пружинок?

6.48. Классифицировать собственные колебания молекулы этилена $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}$ по их свойствам симметрии относительно осей $A B$ и $C D$ (рис. 40). В положении равновесия все атомы молекулы расположены в одной плоскости.
6.49. Найти нормальные колебания молекулы, имеющей форму равностороннего треугольника. Считать, что потенциальная энергия зависит только от расстояний между атомами (все атомы одинаковы). Момент с точностью до малых первого порядка включительно по амплитуде колебаний равен нулю.
6.50. Молекула $\mathrm{AB}_{3}$ имеет форму правильного треугольника, в центре которого находится атом $\mathrm{A}$, а в вершинах – атомы В (такова, например, молекула хлорида бора $\mathrm{BCl}_{3}$ ).
a) Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения собственных частот молекулы.
б) Определить, насколько изменятся частоты колебаний, оставляющих молекулу равносторонним треугольником, и колебаний, выводящих атомы из плоскости, если один из атомов В (его масса $m$ ) заменить его изотопом, близким по массе $(m+\delta m)$. Масса атома А равна $m_{\mathrm{A}}$.
6.51. Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения различных собственных частот «молекулы», состоящей из четырех одинаковых «атомов» и имеющей в положении равновесия форму правильного тетраэдра.
6.52. Молекула метана $\mathrm{CH}_{4}$ имеет форму правильного тетраэдра, в вершинах которого расположены атомы водорода, а в центре – атом углерода.
a) Определить кратности вырождения собственных частот молекулы.
б) На скольких различных частотах происходит резонансное возбуждение собственных колебаний молекулы $\mathrm{CH}_{4}$, если на нее действует однородное переменное электрическое поле? (Речь идет фактически об электромагнитных волнах инфракрасного диапазона, длина волны которых на несколько порядков больше размеров молекулы.) Учесть, что атомы водорода и углерода имеют заряды противоположных знаков.

Как зависит амплитуда колебаний атома углерода от ориентации молекулы по отношению к электрическому полю?