12.2. Очевидно, что траектория — плоская кривая. Переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются, если воспользоваться полярными координатами, направив полярную ось $z$ вдоль а. Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби
$$S=-Et\pm \int \sqrt{\beta -2ma\cos \theta }d\theta \pm \int \sqrt{2mE-\beta /r^2}dr.$$

Для уточнения знаков в (1) воспользуемся соотношениями
$$\begin{array}{l}{p}_r=m\dot{r}=\frac{\partial S}{\partial r}=\pm \sqrt{2mE-\frac{\beta }{r^2}},\\ p_{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }=\frac{\partial S}{\partial \theta }=\pm \sqrt{\beta -2ma\cos \theta }.\end{array}$$

Рис. 165
На начальном участке траектории $\dot{r}<0,\dot{\theta }>0$ (мы предполагаем, что траектория расположена над осью $z$, рис. 165). Поэтому перед первым радикалом в (1) нужно сохранить нижний знак, а перед вторым — верхний. Равенство $\frac{\partial S}{\partial \beta }=B-$ это уравнение траектории
$${\int }_0^{\theta }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}+{\int }_{\mathrm{\infty }}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}=B.$$

Нижние пределы интегралов можно выбрать произвольно, пока не определена постоянная $B$. При нашем выборе из условия $\theta \to 0$ при $r\to \mathrm{\infty }$ следует $B=0$.

Постоянная $\beta$ есть интеграл движения нашей задачи и из (3) $\beta =p_{\theta }^2+2ma\cos \theta$. Она выражается через параметры частицы при $r\to \mathrm{\infty }$ и $\theta \to 0$, т. е. до столкновения, когда $p_{\theta }=mv\rho$ ( $\rho -$ прицельный параметр), $\beta =2m(E{\rho }^2+a)$.

При изменении $r$ от $\mathrm{\infty }$ до $r_m=\sqrt{\frac{\beta }{2mE}}=\sqrt{{\rho }^2+\frac{a}{E}}$, определяемого условием $p_r=0,\theta$ изменяется от нуля до ${\theta }_m$ такого, что
$${\int }_0^{{\theta }_m}\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}+{\int }_{\mathrm{\infty }}^{r_m}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}=0.$$

Дальнейший рост $\theta$ сопровождается ростом $r$. При этом $p_r$ меняет знак. Уравнение участка траектории $LM$
$${\int }_{{\theta }_m}^{\theta }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}-{\int }_{r_m}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}=0.$$

Удобнее переписать, сложив (5) и (6):
$${\int }_0^{\theta }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}-{\int }_{r_m}^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}-{\int }_{r_m}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}=0.\text{ (7) }$$

При $r\to \mathrm{\infty }$ траектория асимптотически приближается к прямой, параллельной $ON$. Угол ${\theta }_{max}$ можно найти из равенства ${}^1$
$${\int }_0^{{\theta }_{max}}\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}=2{\int }_{r_m}^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}=\frac{\pi }{\sqrt{\beta }}.$$

Равенство $\frac{\partial S}{\partial E}=A$ определяет зависимость $r(t)$. Выбирая $A$ так, чтобы $r(0)=r_m$, получаем
$$r=\sqrt{v^2{t}^2+r_m^2}=\sqrt{{\rho }^2+\frac{a}{E}+v^2{t}^2}.$$

Интеграл по $r$ в (4) и (7) вычисляется элементарно, а по $\theta$ сводится к эллиптическому.

При $E{\rho }^2\gg a$ можно разложить подынтегральное выражение в (4) и (7) по степеням $\frac{2ma}{\beta }\approx \frac{a}{E{\rho }^2}$. С точностью до первого порядка
$$r\sin \theta =r_m(1-\frac{a}{2E{\rho }^2}\cos \theta )$$

Рис. 166
(рис. 166).
${}^1$ Обратим внимание на следующий прием, позволяющий обойти вычисление интеграла по $r$ в (8). Этот интеграл не зависит от $a$ и, следовательно, равен левой части (8) также и при $a=0$. А в этом случае очевидно, что ${\theta }_{max}=\pi$, интеграл по $\theta$ вычисляется тривиально.

В этом приближении угол отклонения скорости частицы после рассеяния равен нулю. Объясняется это тем, что действие силы на разных участках траектории (в нулевом приближении это прямая $K^{\prime }{M}^{\prime }$ ) частично, а в первом приближении полностью компенсируется.
12.3. а) Для определения угла отклонения частицы нужно провести разложение по $a/E{\rho }^2$ в (8) задачи 12.2 до второго порядка. Получаем уравнение
$${\theta }_{max}+\frac{ma}{\beta }\sin {\theta }_{max}+\frac{3}{4}{\left(\frac{ma}{\beta }\right)}^2({\theta }_{max}+\frac{1}{2}\sin 2{\theta }_{max})=\pi .$$

Решая его с точностью до ${\left(\frac{ma}{\beta }\right)}^2$, находим ${}^1$ угол отклонения
$$\chi =\pi -{\theta }_{max}=\frac{3}{4}\pi {\left(\frac{ma}{\beta }\right)}^2=3\pi {\left(\frac{a}{4E{\rho }^2}\right)}^2.$$

Сечение рассеяния
$$d\sigma =\pi \left|d{\rho }^2\right|=\frac{\sqrt{3\pi }ado}{16E{\chi }^{5/2}}.$$

Зависимость от $\chi$ получается такой же, как при рассеянии на малые углы в поле $\gamma /r^4$, убывающем гораздо быстрее, чем $U(\mathbf{r})$.
б) $d\sigma =\frac{\pi bdo}{8E{\chi }^3}$.
в) При условии $E{\rho }^2\gg |b(\theta )|$ для всех $\theta$ имеем вместо (10) задачи 12.2 с точностью до второго порядка
$$\begin{array}{l}\theta =\frac{m}{\beta }{\int }_0^{\beta }b(\theta )d\theta +\frac{3}{2}\frac{m^2}{{\beta }^2}{\int }_0^{\theta }{b}^2(\theta )d\theta =\\ =\{\begin{array}{lll}\arcsin \frac{r_m}{r}& \text{ при }& 0<\theta <{\theta }_m,\\ \pi -\arcsin \frac{r_m}{r}& \text{ при }& {\theta }_m<\theta <{\theta }_{max}.\end{array}\end{array}$$
${}^1$ Ищем ${\theta }_{max}$ в виде ${\theta }_{max}={\theta }_0+{\theta }_1+{\theta }_2+\dots$, где ${\theta }_1\sim \left(\frac{ma}{\beta }\right){\theta }_0$. Уравнение (1) в нулевом приближении ${\theta }_0=\pi$; в первом приближении ${\theta }_1+\left(\frac{ma}{\beta }\right)\sin {\theta }_0=0$, откуда ${\theta }_1=0$; во втором приближении приближении
$${\theta }_2+\frac{ma}{\beta }{\theta }_1\cos {\theta }_0+\frac{3}{4}{\left(\frac{ma}{\beta }\right)}^2({\theta }_0+\frac{1}{2}\sin 2{\theta }_0)=0,$$

откуда следует (2).

Если
$${\int }_0^{\pi }b(\theta )d\theta =\pi ⟨b⟩eq0$$

то сечение
$$d\sigma =\frac{\pi ⟨b⟩}{4E{\chi }^3}do,$$

такое же, как сечение рассеяния на малые углы в центральном поле
$$\begin{array}{c}U=\frac{⟨b⟩}{r^2}.\\ \text{ Если же }⟨b⟩=0,\text{ то }d\sigma =\frac{\sqrt{3\pi }}{8E{\chi }^{5/2}}\sqrt{\frac{⟨b^2⟩}{2}}do.\end{array}$$
12.4. а) Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются, если выбрать сферические координаты с осью $z$, параллельной а. Обобщенные импульсы
$$\begin{array}{c}{p}_r=m\dot{r}=-\sqrt{2mE-\beta /r^2}\\ p_{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }=\pm \sqrt{\beta -2ma\cos \theta -p_{\phi }^2/{\sin }^2\theta }\\ p_{\phi }=m{r}^2\dot{\phi }{\sin }^2\theta =\text{ const. }\end{array}$$

Постоянную $\beta =p_{\theta }^2+\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }+2ma\cos \theta$ легко найти, заметив, что $p_{\theta }^2+\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }=M^2$, где $M$ — полный момент частицы; его удобно вычислить при $r\to \mathrm{\infty },\theta \to \pi -\alpha$ ( $\alpha -$ угол между ${\mathbf{v}}_{\mathrm{\infty }}$ и $\mathbf{a}$ ), т. е. до столкновения: $\beta =2m(E{\rho }^2-a\cos \alpha )$
Согласно (1) падение в центр возможно при условии $\beta <0$, или
$${\rho }^2<(a/E)\cos \alpha .$$

Таким образом, падение возможно, если $\alpha <\pi /2$; в этом случае сечение падения $\sigma =(\pi a/E)\cos \alpha$. Усреднение по возможным направлениям $a$ дает $⟨\sigma ⟩=\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{\pi /2}\frac{\pi a}{E}\cos \alpha \cdot 2\pi \sin \alpha d\alpha =\frac{\pi a}{4E}$. Интересно, что площадка, определяемая условием (2), представляет собой круг с центром на оси пучка частиц (хотя поле не обладает симметрией относительно этой оси).

б)
$$\begin{array}{l}\sigma =\{\begin{array}{ll}\frac{\pi a}{E}\cos \alpha -\frac{\pi {\lambda }^2}{4E^2}& \text{ при }0<\alpha <{\alpha }_m=\arccos \frac{{\lambda }^2}{4aE}\\ 0& \text{ при }{\alpha }_m<\alpha <\pi .\end{array}\\ ⟨\sigma ⟩=\frac{\pi a}{4E}+\frac{\pi {\lambda }^4}{64a{E}^3}-\frac{\pi {\lambda }^2}{8E^2}.\end{array}$$
в)
$$\begin{array}{l}\sigma =\{\begin{array}{ll}\frac{\pi a}{E}\cos \alpha -2\pi \sqrt{\frac{\gamma }{E}}& \text{ при }0<\alpha <{\alpha }_m=\pi -{(\arccos \frac{\sqrt{\gamma E}}{a})}^2\\ 0& \text{ при }{\alpha }_m<\alpha <\pi .\end{array}\\ ⟨\sigma ⟩=\frac{a}{4E}+\sqrt{\frac{\gamma }{E}}+\frac{3\gamma }{a}.\end{array}$$
г)
$$\sigma =-\frac{\pi b(\pi -\alpha )}{E}$$

при условии, что $b(\pi -\alpha )<0$.
12.5.
$$\sigma =\{\begin{array}{cc}\pi R^2+\frac{\pi a}{E}\cos \alpha ,& a\cos \alpha >-E{R}^2,\\ 0,& a\cos \alpha <-E{R}^2,\end{array}$$

где $\alpha$ — угол между ${\mathbf{v}}_{\mathrm{\infty }}$ и $\mathbf{a}$.
12.6. а) Используем те же обозначения, что и в задаче 12.2. Уравнение начального участка траектории ( $r\to \mathrm{\infty },\theta \to \pi$ )
$${\int }_0^{\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}={\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}},$$

причем
$$\beta =2m(E{\rho }^2-a).$$

В случае $\beta >0$ угол $\theta$ убывает при изменении $r$ от $\mathrm{\infty }$ до $r_m$ и дальнейшем возрастании до $\mathrm{\infty }$. Уравнение участка траектории после прохождения минимального расстояния до центра
$${\int }_{\theta }^{\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}=\frac{\pi }{2\sqrt{\beta }}+{\int }_{r_m}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}}.$$

Очевидно, что при $E{\rho }^2\gg a$ уравнение траектории (1) и (3) совпадает с уравнением (11) задачи 12.2.

Рис. 167
При $\beta <0$ возможно падение в центр поля (заметим, что, согласно (2), допустимы только значения $\beta ⩾-2ma$ ). При этом $r$ монотонно убывает от $\mathrm{\infty }$ до 0 . Угол $\theta$ убывает от $\pi$ до ${\theta }_1$, при котором $p_{\theta }$ обращается в нуль (участок траектории $AB$; рис. 167). При этом $\beta -2ma\cos {\theta }_1=0$. Затем угол возрастает до значения $2\pi -{\theta }_1$ (участок траектории $BC$ )
$${\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta r^{-2}}}={\int }_{{\theta }_1}^{\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}+{\int }_{{\theta }_1}^{\theta }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}.$$

В точке $C$ импульс $p_{\theta }$ вновь меняет знак и $\theta$ убывает до значения ${\theta }_1$ в точке $D$, затем вновь возрастает и т. д.
Уравнение всей траектории можно представить в виде
$$\begin{array}{c}{\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta r^{-2}}}=(-1{)}^n{\int }_{\theta }^{\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}+2n{\int }_{{\theta }_1}^{\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta }}\\ (n=0,1,2,\dots )\end{array}$$

Одному значению $\theta$ ( ${\theta }_1<\theta <2\pi -{\theta }_1)$ соответствует бесконечно много значений $r$ ( $n$ может принимать любое целое неотрицательное значение, так как интеграл в левой части (5) при $r\to 0$ неограниченно возрастает). Таким образом, частица совершает бесконечно много колебаний между прямыми $BD$ и $CE$ прежде, чем упасть в центр.

В случае малых прицельных параметров $E{\rho }^2\ll a$ оказывается $\pi -\theta \ll 1$, так что в (5) можно заменить $\cos \theta$ на $-1+\frac{1}{2}(\pi -\theta {)}^2$. В результате получаем ${}^1$
$$\theta =\pi -\rho \sqrt{\frac{2E}{a}}\sin \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{Arsh}\left(\frac{1}{r}\sqrt{\frac{a}{E}}\right)\right].$$
${}^1\mathrm{Arsh}x=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$.

Закон движения $r(t)$ определяется так же, как в задаче 12.2. Если $\beta >0$, то справедлив закон, определяемый формулой (9) из задачи 12.2. Если $\beta <0$, то
$$r(t)=v\sqrt{t^2-{\tau }^2},v=\sqrt{2E/m},-\mathrm{\infty }<t<\tau =\sqrt{|\beta |}/2E,$$

причем падение происходит в момент времени $\tau$.
Рис. 168
б) Если $\beta >0(E{\rho }^2>a)$, то
$${\int }_{\theta }^{\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{1+\frac{2ma}{\beta }(1+\sin \theta )}}=\{\begin{array}{lc}\arcsin \frac{r_m}{r},& {\theta }_m<\theta <\pi ,\\ \pi -\arcsin \frac{r_m}{r},& {\theta }_{min}<\theta <{\theta }_m.\end{array}$$

Если $\beta <0(E{\rho }^2<a)$, то
$$({\int }_{{\theta }_1}^{\pi }\pm {\int }_{{\theta }_1}^{\theta }+2l{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2})\frac{d\theta }{\sqrt{\beta +2ma(1+\sin \theta )}}={\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{2mE-\beta /r^2}},$$

где $l$ — число полных колебаний по углу (от ${\theta }_1$ до ${\theta }_2$ и обратно), совершенных частицей, знаки ( $\pm$ ) для движения против (по) часовой стрелке (рис. $168,a$ )
$${\theta }_1=-\arcsin \frac{E{\rho }^2}{a},{\theta }_2=\pi +\arcsin \frac{E{\rho }^2}{a}.$$

Если $\beta =0(E{\rho }^2=a)$,
$$r=\frac{\rho }{\sqrt{2}}\ln \frac{\mathrm{tg}(\frac{\pi }{8}+\frac{\pi -\theta }{4})}{\mathrm{tg}\frac{\pi }{8}},-\frac{\pi }{2}<\theta <\pi .$$

Частица движется по траектории рис. 168,б, причем закон движения $r=$ $=-\sqrt{\frac{2E}{m}}t(t<0$ падение происходит при $t=0)$.
12.7. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1] § 48)
$$S=-Et+p_{\phi }\phi \pm \int \sqrt{\beta -2ma\cos \theta -\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }}d\theta -\int \sqrt{2mE-\frac{\beta }{r^2}}dr.$$

Обобщенные импульсы те же, что и в задаче $12.4\mathrm{a}$. Падение в центр возможно, если $\beta =2m(E{\rho }^2-a\cos \alpha )<0$ (что заведомо выполняется при ${\alpha }^2<2E{\rho }^2/a\ll 1$ ).
Уравнения траектории
$$\begin{array}{c}\phi =\pm \int \frac{p_{\phi }d\theta }{{\sin }^2\theta \sqrt{\beta -2ma\cos \theta -\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }}},\\ \frac{r_0}{r}=\mp \mathrm{sh}\int \frac{\sqrt{|\beta |}d\theta }{\sqrt{\beta -2ma\cos \theta -\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }}}\\ r_0^2=\frac{|\beta |}{2mE}\end{array}$$

в общем случае не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях. Но качественное описание движения легко дать, если заметить, что уравнение (1), связывающее между собой углы $\theta$ и $\phi$, с точностью до обозначений совпадает с уравнением траектории сферического маятника (см. [1], $\mathrm{\S }14$, задача 1). Поэтому частица движется так, что точка пересечения ее радиуса-вектора с поверхностью сферы радиуса $l$ описывает такую же кривую, как и сферический маятник длины $l$ с энергией, равной $\frac{\beta }{2m{l}^2}$ и моментом импульса, равным $p_{\phi }$ в поле тяжести $g=-\frac{a}{m{l}^3}$. Эта кривая заключена между двумя «параллельными» окружностями на сфере $\theta ={\theta }_1$ и $\theta ={\theta }_2$.

При условии ${\alpha }^2<2E{\rho }^2/a\ll 1$ уравнения (1) и (2) легко проинтегрировать:
$$\begin{array}{l}\theta =\pi -\sqrt{(\epsilon -\frac{{\alpha }^2}{2})\cos \left(2\sqrt{\frac{ma}{|\beta |}}\mathrm{Arsh}\frac{r_0}{r}\right)+\epsilon +\frac{{\alpha }^2}{2}},\\ \theta =\pi -\frac{2\alpha \sqrt{\epsilon }}{\sqrt{2\epsilon +{\alpha }^2+(2\epsilon -{\alpha }^2)\cos 2\phi }},\epsilon =\frac{E{\rho }^2}{a}.\end{array}$$

Из (3) видно, что частица, падая на центр, движется в области между двумя коническими поверхностями ${\theta }_1⩽\theta ⩽{\theta }_2$, вращаясь вокруг оси $z$, причем один полный оборот вокруг оси $z$ приходится на два полных колебания по углу $\theta$. Для сферического маятника в этом приближении траектория замкнута (представляет собой эллипс).
12.8. а) Уравнение траектории финитного движения (при котором нет падения в центр)
$$\frac{p}{r}=1+e\cos f(\theta ),$$

где
$$p=\frac{\beta }{m\alpha },e=\sqrt{1+\frac{2E\beta }{m{\alpha }^2}},f(\theta )=\int \frac{d\theta }{\sqrt{1-\frac{2ma}{\beta }\cos \theta }},$$

а константы $E$ и $\beta$ удовлетворяют неравенствам $E<0,\beta >0$.
Рис. 169
Рис. 170
Если $0<\beta <2ma$, то орбита «заполняет» область $ABCDEF$ (рис. 169); $r_1⩽r⩽r_2,r_{1,2}=\frac{p}{1\pm e},{\theta }_1⩽\theta ⩽{\theta }_2,{\theta }_1=\arcsin \frac{\beta }{2ma}$, ${\theta }_2=2\pi -{\theta }_1$, т. е. проходит сколь угодно близко к любой точке этой области.
Если $\beta =2ma$, то
$$f(\theta )=\sqrt{2}\ln \mathrm{tg}(\theta /4)+C_1$$

и траектория расположена внутри кольца $r_1⩽r⩽r_2$ (рис. 170).
Если $\beta >2ma$, то траектория заполняет кольцо $r_1⩽r⩽r_2$. В частности, если $\beta \ll 2ma$, то
$$f(\theta )=\theta +\zeta \sin \theta +\frac{3}{4}{\zeta }^2\theta +\frac{3}{8}{\zeta }^2+C_2,$$

где $\zeta =ma/\beta$. Это — слабо деформированный прецессирующий эллипс, характер деформации которого связан с его ориентацией. Уравнение (3) применимо и при $\theta \gtrsim {\zeta }^{-2}$. Интересно сравнить его с результатами задачи 2.24 .
12.9. Для движения в кольце $r_1⩽r⩽r_2$
$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{\sqrt{1-\frac{2ma}{\beta }}\cos \theta }=2\pi \frac{n}{l}.$$

Для движения в области $r_1⩽r⩽r_2,{\theta }_1⩽\theta ⩽{\theta }_2$
$${\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{d\theta }{\sqrt{1-\frac{2ma}{\beta }}\cos \theta }=\pi \frac{n}{l}$$
( $n$ и $l$ — целые числа).
12.10. Переменные в уравнении Гамильтона- Якоби разделяются, если выбрать ось $z$ вдоль вектора а (см. [1], §48, формула (48.9)). Движение по радиусу $t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dr}{\sqrt{E-\frac{\alpha }{r}-\frac{\beta }{2m{r}^2}}}$ при $\beta ⩾0$ такое же, как и движение частицы в кулоновом поле $-\alpha /r$ с моментом $\beta$ и энергией $E$. При $\beta <0$ происходит падение частицы на центр. Уравнения траектории $\frac{\partial S}{\partial p_{\phi }}=$ const, $\frac{\partial S}{\partial \beta }=$ const. Первое из них
$$\phi =\pm \int \frac{p_{\phi }d\theta }{{\sin }^2\theta \sqrt{\beta -2ma\cos \theta -\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }}}$$

совпадает с уравнением траектории сферического маятника с энергией $\beta /2m{l}^2$ и моментом $M_z=p_{\phi }$ в поле тяжести $g=-a/m{l}^3$ (см. [1], §14, задача 1). Второе уравнение связывает $r$ и $\theta$. При анализе этого уравнения можно также воспользоваться аналогией со сферическим маятником.
12.11. a) $\left|M_z\right|<\sqrt{mb/2}$.
б) Финитное движение возможно при любом $M_z$.

12.12. б) Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1], $\mathrm{\S }48$, задача 1)
$$S=-Et+p_{\phi }\phi +\int p_{\xi }(\xi )d\xi +\int p_{\eta }(\eta )d\eta ,$$

где
$$\begin{array}{ll}{p}_{\xi }=\pm \sqrt{\frac{m}{2}(E-U_{\xi }(\xi ))},& U_{\xi }(\xi )=\frac{p_{\phi }^2}{2m{\xi }^2}-\frac{m\alpha +\beta }{m\xi }-\frac{F}{2}\xi ,\\ p_{\eta }=\pm \sqrt{\frac{m}{2}(E-U_{\eta }(\eta ))},& U_{\eta }(\eta )=\frac{p_{\phi }^2}{2m{\eta }^2}-\frac{m\alpha -\beta }{m\eta }+\frac{F}{2}\eta .\end{array}$$

Рис. 171
Траектория и закон движения определяются уравнениями
$$\frac{\partial S}{\partial \beta }=B,\frac{\partial S}{\partial p_{\phi }}=C,\frac{\partial S}{\partial E}=A,$$
т. e.
$$\begin{array}{c}\int \frac{d\xi }{\xi p_{\xi }(\xi )}-\int \frac{d\eta }{\eta p_{\eta }(\eta )}=B,\phi -\frac{p_{\phi }}{2}\int \frac{d\xi }{{\xi }^2{p}_{\xi }(\xi )}-\frac{p_{\phi }}{2}\int \frac{d\eta }{{\eta }^2{p}_{\eta }(\eta )}=C\\ -t+\frac{m}{4}\int \frac{d\xi }{p_{\xi }(\xi )}+\frac{m}{4}\int \frac{d\eta }{p_{\eta }(\eta )}=A.\end{array}$$

Для исследования характера движения нужно определить области допустимых при данных $E,p_{\phi },\beta$ значений $\xi$ и $\eta$. Графики эффективных потенциальных энергий $U_{\xi }(\xi )$ и $U_{\eta }(\eta )$ изображены на рис. 171.

Если $F=0$, то при $-m\alpha <\beta <m\alpha$ (см. кривые $a$ ) и $E<0$ движение как по $\xi$, так и по $\eta$ финитно, при $E>0$ — инфинитно. С появлением малой силы $F>0$ на графике $U_{\xi }(\xi )$ появляется максимум (см. кривые $b$ ); при $U_{\eta min}<E<U_{\xi max}$ движение по-прежнему финитно. В «плоскости $\rho z$ » движение ограничено областью ${\xi }_1⩽\xi ⩽{\xi }_2,{\eta }_1⩽\eta ⩽{\eta }_2$ (рис. 172); сама же плоскость $\rho z$ вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\dot{\phi }$. Траектория заполняет область пространства, образуемую вращением фигуры $ABCD$ вокруг оси $z$ (см. также задачу 2.36). При $U_{\xi max}<E$ движение инфинитно.

С ростом $F$ величина $U_{\xi max}$ уменьшается, а $U_{\eta min}$ растет. Когда окажется $U_{\xi max}<U_{\eta min}$, финитное движение станет невозможным (при
$\beta <-m\alpha +\frac{3}{2}{\left(Fm{p}_{\phi }^4\right)}^{1/3}$ экстремумы
Рис. 172 $U_{\xi max}$ вообще отсутствуют).
12.13. В эллиптических координатах, $\rho =\sigma \sqrt{({\xi }^2-1)(1-{\eta }^2)},z=\sigma \xi \eta$, $\sigma =\sqrt{b^2-a^2}$, потенциал
$$U=\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\infty }& \text{ при }& \xi >{\xi }_0=b/\sigma ,\\ 0& \text{ при }& \xi <{\xi }_0\end{array}$$

зависит только от $\xi$, и переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются (см. [1], §48).
Полный интеграл
$$\begin{array}{l}S=-Et+p_{\phi }\phi \pm \int \sqrt{2m{\sigma }^{2}E+\frac{\beta -2m{\sigma }^{2}A(\xi )}{{\xi }^2-1}-\frac{p_{\phi }^2}{{(1-{\xi }^2)}^2}}d\xi \pm \\ \pm \int \sqrt{2m{\sigma }^{2}E-\frac{\beta }{1-{\eta }^2}-\frac{p_{\phi }^2}{{(1-{\eta }^2)}^2}}d\eta ,\end{array}$$

где
$$A(\xi )=({\xi }^2-{\eta }^2)U(\xi )=U(\xi ).$$

Для частицы, пролетающей через начало координат, $p_{\phi }=0$. Из (1) получаем
$$\begin{array}{c}{p}_{\xi }=\pm \sqrt{2m{\sigma }^{2}E+\frac{\beta -2m{\sigma }^{2}A(\xi )}{{\xi }^2-1}}=\frac{m{\sigma }^2({\xi }^2-{\eta }^2)}{{\xi }^2-1}\dot{\xi }\\ p_{\eta }=\pm \sqrt{2m{\sigma }^{2}E-\frac{\beta }{1-{\eta }^2}}=\frac{m{\sigma }^2({\xi }^2-{\eta }^2)}{1-{\eta }^2}\dot{\eta }.\end{array}$$

В начале координат ( $\eta =0,\xi =1$ )
$$\dot{\eta }=\pm \frac{\sqrt{2m{\sigma }^{2}E-\beta }}{m{\sigma }^2},\dot{\xi }=0,\dot{z}=\sigma (\dot{\xi }\eta +\dot{\eta }\xi )=\sigma \dot{\eta }$$

и из условия
$$\sqrt{\frac{2E}{m}}\cos \alpha =\frac{\sqrt{2m{\sigma }^{2}E-\beta }}{m\sigma }$$

находим $\beta =2m{\sigma }^{2}E{\sin }^2\alpha$.
Область недостижимых значений $\eta$ определяется условием
$$2m{\sigma }^{2}E-\beta /(1-{\eta }^2)<0\text{ или }|\eta |>|\cos \alpha |.$$

Итак, движение происходит в области $|\eta |<|\cos \alpha |,1<\xi <{\xi }_0$ (заштрихованная на рис. 173 область).
12.14. Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются в эллиптических координатах (см. [1], §48, задача 2 при ${\alpha }_1=-{\alpha }_2=\alpha$ ). Для частицы, летящей из бесконечности вдоль оси $z$, постоянная $\beta =$ $=-2mE{\rho }^2+4m\alpha \sigma$, где $\rho -$ прицельный параметр.

При $\beta <0$ траектория качественно не отличается от траектории частицы, рассеиваемой в поле точечного диполя (см. задачу 12.6б).

При $\beta >0$ частица «падает» на диполь (т. е. проходит в своем движении через отрезок $O_1{O}_2$ ) и вновь уходит на бесконечность. Если дополнительно $p_{\eta }\left({\eta }_1\right)=0$ при ${\eta }_1<0$, то частица движется в области, ограниченной гиперболой $\eta ={\eta }_1$ (рис. 174).
12.15. В уравнении Гамильтона — Якоби
$$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}[{\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)}^2+{\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)}^2+{(\frac{1}{r}\frac{\partial S}{\partial \phi }+\frac{e}{2c}\mathcal{H}(z)r)}^2]=0$$

Рис. 173
Рис. 174

отделяются время и угол $\phi$ :
$$S=-Et+p_{\phi }\phi +\tilde{S}(r,z).$$

Рассматривая далее только траектории, пересекающие ось $z$, положим $p_{\phi }=0$. Разделить переменные $r$ и $z$ в уравнении не удается, и мы будем искать интеграл его приближенно, в виде разложения по $r$ :
$$\tilde{S}(r,z)=S_0(z)+r\psi (z)+\frac{r^2}{2}\sigma (z)+\dots$$

Так как радиальный импульс
$$p_r=\frac{\partial S}{\partial r}=\psi (z)+r\sigma (z)+\dots$$

для частицы, летящей вдоль оси $z$ (при $r=0$ ), равен нулю, то для рассматриваемого пучка частиц $\psi (z)=0$. Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $r$, получаем (ср. [2], § 56, задача 2)
$$\begin{array}{c}{S}_0(z)=pz,\\ p{\sigma }^{\prime }(z)+{\sigma }^2+\frac{e^2}{4c^2}{\mathcal{H}}^2(z)=0.\end{array}$$

Вне линзы (при $|z|>a,\mathcal{H}(z)=0$ ) из (6) следует, что
$$\begin{array}{c}\sigma (z)=\frac{p}{z+C_1}\text{ при }z<-a,\\ \sigma (z)=\frac{p}{z+C_2}\text{ при }z>a.\end{array}$$

Уравнения траекторий
$$\frac{\partial S}{\partial C_{1,2}}=-\frac{p{r}^2}{2{(z+C_{1,2})}^2}=B_{1,2}$$
— уравнения прямых, пересекающих ось $z$ в точках $-C_{1,2},{}^1$ т. е. $z_0=-C_1$, $z_1=-C_2$. Из (6) получаем
$$p\sigma (a)-p\sigma (-a)+{\int }_{-a}^a{\sigma }^{2}dz+\frac{e^2}{4c^2}{\int }_{-a}^a{\mathcal{H}}^2(z)dz=0.$$

Поскольку $\left|z_{0,1}\right|\gg a$, из (7), (8) получаем
$$\sigma (\pm a)=-\frac{p}{z_{1,0}}.$$

Оценим ${\int }_{-a}^a{\sigma }^{2}dz$. Согласно (6) $\sigma (z)$ — монотонная функция. Поэтому
$${\int }_{-a}^a{\sigma }^{2}dz\lesssim \frac{2a{p}^2}{z_{1,0}^2}\ll p\sigma (\pm a).$$

Таким образом, из (10)
$$\frac{1}{\left|z_0\right|}+\frac{1}{z_1}=\frac{e^2}{4c^2{p}^2}{\int }_{-a}^a{\mathcal{H}}^2(z)dz=\frac{1}{f}.$$

Условие $\left|z_{0,1}\right|\gg a$ действительно соблюдается, если $a\ll \frac{cp}{e\mathcal{H}}$.
12.16. Все вычисления предыдущей задачи до формулы (6) включительно применимы и к этой задаче. Замена $\sigma =f^{\prime }/pf$ приводит (6) к виду
$$(1+{\varkappa }^2{z}^2)f^{\prime \prime }(z)+\frac{e^2{\mathcal{H}}^2}{2c^2}f=0,$$

а затем замена
$$\varkappa z=\mathrm{tg}\xi ,-\frac{\pi }{2}<\xi <\frac{\pi }{2},f(z)=\frac{\eta (\xi )}{\cos \xi }$$

дает
$${\eta }^{\prime \prime }(\xi )+{\lambda }^2\eta (\xi )=0,$$
${}^1П$ ри $z$, близких к $C_{1,2},\sigma \to \mathrm{\infty }$, так что разложение (3) неприменимо. Однако уравнения траекторий (9) остаются справедливыми и в этой области.

где
$${\lambda }^2=1+\frac{e^2{\mathcal{H}}^2}{4c^2{\varkappa }^2{p}^2}.$$

Отсюда
$$\sigma =\sin \xi +\lambda {\cos }^2\xi \mathrm{ctg}(\lambda \xi +\alpha )$$

и уравнение траекторий
$$\frac{\partial S}{\partial \alpha }=-\frac{p{r}^2\lambda {\cos }^2\xi }{2{\sin }^2(\lambda \xi +\alpha )}=B,$$

или
$$r\cos \xi =B^{\prime }\sin (\lambda \xi +\alpha ).$$

При $r=0$ оказывается $\lambda {\xi }_n+\alpha =\pi n$, откуда $\alpha =-\lambda \mathrm{arctg}\left(\varkappa z_0\right)$ и точки фокусировки
$$\varkappa z_n=\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\varkappa z_0+\frac{n\pi }{\lambda }).$$

В зависимости от величины $\lambda$ имеется одна или несколько точек фокусировки.
12.17.
$$S(q,q_0,t,t_0)=f(q,\alpha (q,q_0,t,t_0),t)-f(q_0,\alpha (q,q_0,t,t_0),t_0),$$

где $f(q,\alpha ,t)$ — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а зависимость $\alpha (q,q_0,t,t_0)$ определяется уравнением (системой уравнений для случая многих степеней свободы)
$$\frac{\partial f(q,\alpha ,t)}{\partial \alpha }=\frac{\partial f(q,\alpha ,t_0)}{\partial \alpha }.$$

где
$${\lambda }^2=1+\frac{e^2{\mathcal{H}}^2}{4c^2{\varkappa }^2{p}^2}.$$

Отсюда
$$\sigma =\sin \xi +\lambda {\cos }^2\xi \mathrm{ctg}(\lambda \xi +\alpha )$$

и уравнение траекторий
$$\frac{\partial S}{\partial \alpha }=-\frac{p{r}^2\lambda {\cos }^2\xi }{2{\sin }^2(\lambda \xi +\alpha )}=B,$$

или
$$r\cos \xi =B^{\prime }\sin (\lambda \xi +\alpha ).$$

При $r=0$ оказывается $\lambda {\xi }_n+\alpha =\pi n$, откуда $\alpha =-\lambda \mathrm{arctg}\left(\varkappa z_0\right)$ и точки фокусировки
$$\varkappa z_n=\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\varkappa z_0+\frac{n\pi }{\lambda }).$$

В зависимости от величины $\lambda$ имеется одна или несколько точек фокусировки.
12.17.
$$S(q,q_0,t,t_0)=f(q,\alpha (q,q_0,t,t_0),t)-f(q_0,\alpha (q,q_0,t,t_0),t_0),$$

где $f(q,\alpha ,t)$ — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а зависимость $\alpha (q,q_0,t,t_0)$ определяется уравнением (системой уравнений для случая многих степеней свободы)
$$\frac{\partial f(q,\alpha ,t)}{\partial \alpha }=\frac{\partial f(q,\alpha ,t_0)}{\partial \alpha }.$$