12.2. Очевидно, что траектория — плоская кривая. Переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются, если воспользоваться полярными координатами, направив полярную ось $z$ вдоль а. Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби
\[
S=-E t \pm \int \sqrt{\beta-2 m a \cos \theta} d \theta \pm \int \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}} d r .
\]

Для уточнения знаков в (1) воспользуемся соотношениями
\[
\begin{array}{l}
p_{r}=m \dot{r}=\frac{\partial S}{\partial r}= \pm \sqrt{2 m E-\frac{\beta}{r^{2}}}, \\
p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}=\frac{\partial S}{\partial \theta}= \pm \sqrt{\beta-2 m a \cos \theta} .
\end{array}
\]

Рис. 165
На начальном участке траектории $\dot{r}<0, \dot{\theta}>0$ (мы предполагаем, что траектория расположена над осью $z$, рис. 165). Поэтому перед первым радикалом в (1) нужно сохранить нижний знак, а перед вторым — верхний. Равенство $\frac{\partial S}{\partial \beta}=B-$ это уравнение траектории
\[
\int_{0}^{\theta} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}+\int_{\infty}^{r} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}}=B .
\]

Нижние пределы интегралов можно выбрать произвольно, пока не определена постоянная $B$. При нашем выборе из условия $\theta \rightarrow 0$ при $r \rightarrow \infty$ следует $B=0$.

Постоянная $\beta$ есть интеграл движения нашей задачи и из (3) $\beta=p_{\theta}^{2}+2 m a \cos \theta$. Она выражается через параметры частицы при $r \rightarrow \infty$ и $\theta \rightarrow 0$, т. е. до столкновения, когда $p_{\theta}=m v \rho$ ( $\rho-$ прицельный параметр), $\beta=2 m\left(E \rho^{2}+a\right)$.

При изменении $r$ от $\infty$ до $r_{m}=\sqrt{\frac{\beta}{2 m E}}=\sqrt{\rho^{2}+\frac{a}{E}}$, определяемого условием $p_{r}=0, \theta$ изменяется от нуля до $\theta_{m}$ такого, что
\[
\int_{0}^{\theta_{m}} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}+\int_{\infty}^{r_{m}} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}}=0 .
\]

Дальнейший рост $\theta$ сопровождается ростом $r$. При этом $p_{r}$ меняет знак. Уравнение участка траектории $L M$
\[
\int_{\theta_{m}}^{\theta} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}-\int_{r_{m}}^{r} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}}=0 .
\]

Удобнее переписать, сложив (5) и (6):
\[
\int_{0}^{\theta} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}-\int_{r_{m}}^{\infty} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}}-\int_{r_{m}}^{r} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}}=0 . \text { (7) }
\]

При $r \rightarrow \infty$ траектория асимптотически приближается к прямой, параллельной $O N$. Угол $\theta_{\max }$ можно найти из равенства ${ }^{1}$
\[
\int_{0}^{\theta_{\max }} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}=2 \int_{r_{m}}^{\infty} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{\beta}} .
\]

Равенство $\frac{\partial S}{\partial E}=A$ определяет зависимость $r(t)$. Выбирая $A$ так, чтобы $r(0)=r_{m}$, получаем
\[
r=\sqrt{v^{2} t^{2}+r_{m}^{2}}=\sqrt{\rho^{2}+\frac{a}{E}+v^{2} t^{2}} .
\]

Интеграл по $r$ в (4) и (7) вычисляется элементарно, а по $\theta$ сводится к эллиптическому.

При $E \rho^{2} \gg a$ можно разложить подынтегральное выражение в (4) и (7) по степеням $\frac{2 m a}{\beta} \approx \frac{a}{E \rho^{2}}$. С точностью до первого порядка
\[
r \sin \theta=r_{m}\left(1-\frac{a}{2 E \rho^{2}} \cos \theta\right)
\]

Рис. 166
(рис. 166).
${ }^{1}$ Обратим внимание на следующий прием, позволяющий обойти вычисление интеграла по $r$ в (8). Этот интеграл не зависит от $a$ и, следовательно, равен левой части (8) также и при $a=0$. А в этом случае очевидно, что $\theta_{\max }=\pi$, интеграл по $\theta$ вычисляется тривиально.

В этом приближении угол отклонения скорости частицы после рассеяния равен нулю. Объясняется это тем, что действие силы на разных участках траектории (в нулевом приближении это прямая $K^{\prime} M^{\prime}$ ) частично, а в первом приближении полностью компенсируется.
12.3. а) Для определения угла отклонения частицы нужно провести разложение по $a / E \rho^{2}$ в (8) задачи 12.2 до второго порядка. Получаем уравнение
\[
\theta_{\max }+\frac{m a}{\beta} \sin \theta_{\max }+\frac{3}{4}\left(\frac{m a}{\beta}\right)^{2}\left(\theta_{\max }+\frac{1}{2} \sin 2 \theta_{\max }\right)=\pi .
\]

Решая его с точностью до $\left(\frac{m a}{\beta}\right)^{2}$, находим ${ }^{1}$ угол отклонения
\[
\chi=\pi-\theta_{\max }=\frac{3}{4} \pi\left(\frac{m a}{\beta}\right)^{2}=3 \pi\left(\frac{a}{4 E \rho^{2}}\right)^{2} .
\]

Сечение рассеяния
\[
d \sigma=\pi\left|d \rho^{2}\right|=\frac{\sqrt{3 \pi} a d o}{16 E \chi^{5 / 2}} .
\]

Зависимость от $\chi$ получается такой же, как при рассеянии на малые углы в поле $\gamma / r^{4}$, убывающем гораздо быстрее, чем $U(\mathbf{r})$.
б) $d \sigma=\frac{\pi b d o}{8 E \chi^{3}}$.
в) При условии $E \rho^{2} \gg|b(\theta)|$ для всех $\theta$ имеем вместо (10) задачи 12.2 с точностью до второго порядка
\[
\begin{array}{l}
\theta=\frac{m}{\beta} \int_{0}^{\beta} b(\theta) d \theta+\frac{3}{2} \frac{m^{2}}{\beta^{2}} \int_{0}^{\theta} b^{2}(\theta) d \theta= \\
=\left\{\begin{array}{lll}
\arcsin \frac{r_{m}}{r} & \text { при } & 0<\theta<\theta_{m}, \\
\pi-\arcsin \frac{r_{m}}{r} & \text { при } & \theta_{m}<\theta<\theta_{\max } .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Ищем $\theta_{\max }$ в виде $\theta_{\max }=\theta_{0}+\theta_{1}+\theta_{2}+\ldots$, где $\theta_{1} \sim\left(\frac{m a}{\beta}\right) \theta_{0}$. Уравнение (1) в нулевом приближении $\theta_{0}=\pi$; в первом приближении $\theta_{1}+\left(\frac{m a}{\beta}\right) \sin \theta_{0}=0$, откуда $\theta_{1}=0$; во втором приближении приближении
\[
\theta_{2}+\frac{m a}{\beta} \theta_{1} \cos \theta_{0}+\frac{3}{4}\left(\frac{m a}{\beta}\right)^{2}\left(\theta_{0}+\frac{1}{2} \sin 2 \theta_{0}\right)=0,
\]

откуда следует (2).

Если
\[
\int_{0}^{\pi} b(\theta) d \theta=\pi\langle b\rangle
eq 0
\]

то сечение
\[
d \sigma=\frac{\pi\langle b\rangle}{4 E \chi^{3}} d o,
\]

такое же, как сечение рассеяния на малые углы в центральном поле
\[
\begin{array}{c}
U=\frac{\langle b\rangle}{r^{2}} . \\
\text { Если же }\langle b\rangle=0, \text { то } d \sigma=\frac{\sqrt{3 \pi}}{8 E \chi^{5 / 2}} \sqrt{\frac{\left\langle b^{2}\right\rangle}{2}} d o .
\end{array}
\]
12.4. а) Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются, если выбрать сферические координаты с осью $z$, параллельной а. Обобщенные импульсы
\[
\begin{array}{c}
p_{r}=m \dot{r}=-\sqrt{2 m E-\beta / r^{2}} \\
p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}= \pm \sqrt{\beta-2 m a \cos \theta-p_{\varphi}^{2} / \sin ^{2} \theta} \\
p_{\varphi}=m r^{2} \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta=\text { const. }
\end{array}
\]

Постоянную $\beta=p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}+2 m a \cos \theta$ легко найти, заметив, что $p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}=M^{2}$, где $M$ — полный момент частицы; его удобно вычислить при $r \rightarrow \infty, \theta \rightarrow \pi-\alpha$ ( $\alpha-$ угол между $\mathbf{v}_{\infty}$ и $\mathbf{a}$ ), т. е. до столкновения: $\beta=2 m\left(E \rho^{2}-a \cos \alpha\right)$
Согласно (1) падение в центр возможно при условии $\beta<0$, или
\[
\rho^{2}<(a / E) \cos \alpha .
\]

Таким образом, падение возможно, если $\alpha<\pi / 2$; в этом случае сечение падения $\sigma=(\pi a / E) \cos \alpha$. Усреднение по возможным направлениям $a$ дает $\langle\sigma\rangle=\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\pi a}{E} \cos \alpha \cdot 2 \pi \sin \alpha d \alpha=\frac{\pi a}{4 E}$. Интересно, что площадка, определяемая условием (2), представляет собой круг с центром на оси пучка частиц (хотя поле не обладает симметрией относительно этой оси).

б)
\[
\begin{array}{l}
\sigma=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\pi a}{E} \cos \alpha-\frac{\pi \lambda^{2}}{4 E^{2}} & \text { при } 0<\alpha<\alpha_{m}=\arccos \frac{\lambda^{2}}{4 a E} \\
0 & \text { при } \alpha_{m}<\alpha<\pi .
\end{array}\right. \\
\langle\sigma\rangle=\frac{\pi a}{4 E}+\frac{\pi \lambda^{4}}{64 a E^{3}}-\frac{\pi \lambda^{2}}{8 E^{2}} . \\
\end{array}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\sigma=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\pi a}{E} \cos \alpha-2 \pi \sqrt{\frac{\gamma}{E}} & \text { при } 0<\alpha<\alpha_{m}=\pi-\left(\arccos \frac{\sqrt{\gamma E}}{a}\right)^{2} \\
0 & \text { при } \alpha_{m}<\alpha<\pi .
\end{array}\right. \\
\langle\sigma\rangle=\frac{a}{4 E}+\sqrt{\frac{\gamma}{E}}+\frac{3 \gamma}{a} . \\
\end{array}
\]
г)
\[
\sigma=-\frac{\pi b(\pi-\alpha)}{E}
\]

при условии, что $b(\pi-\alpha)<0$.
12.5.
\[
\sigma=\left\{\begin{array}{cc}
\pi R^{2}+\frac{\pi a}{E} \cos \alpha, & a \cos \alpha>-E R^{2}, \\
0, & a \cos \alpha<-E R^{2},
\end{array}\right.
\]

где $\alpha$ — угол между $\mathbf{v}_{\infty}$ и $\mathbf{a}$.
12.6. а) Используем те же обозначения, что и в задаче 12.2. Уравнение начального участка траектории ( $r \rightarrow \infty, \theta \rightarrow \pi$ )
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}=\int_{r}^{\infty} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}},
\]

причем
\[
\beta=2 m\left(E \rho^{2}-a\right) .
\]

В случае $\beta>0$ угол $\theta$ убывает при изменении $r$ от $\infty$ до $r_{m}$ и дальнейшем возрастании до $\infty$. Уравнение участка траектории после прохождения минимального расстояния до центра
\[
\int_{\theta}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}=\frac{\pi}{2 \sqrt{\beta}}+\int_{r_{m}}^{r} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}} .
\]

Очевидно, что при $E \rho^{2} \gg a$ уравнение траектории (1) и (3) совпадает с уравнением (11) задачи 12.2.

Рис. 167
При $\beta<0$ возможно падение в центр поля (заметим, что, согласно (2), допустимы только значения $\beta \geqslant-2 m a$ ). При этом $r$ монотонно убывает от $\infty$ до 0 . Угол $\theta$ убывает от $\pi$ до $\theta_{1}$, при котором $p_{\theta}$ обращается в нуль (участок траектории $A B$; рис. 167). При этом $\beta-2 m a \cos \theta_{1}=0$. Затем угол возрастает до значения $2 \pi-\theta_{1}$ (участок траектории $B C$ )
\[
\int_{r}^{\infty} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta r^{-2}}}=\int_{\theta_{1}}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}+\int_{\theta_{1}}^{\theta} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}} .
\]

В точке $C$ импульс $p_{\theta}$ вновь меняет знак и $\theta$ убывает до значения $\theta_{1}$ в точке $D$, затем вновь возрастает и т. д.
Уравнение всей траектории можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\int_{r}^{\infty} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta r^{-2}}}=(-1)^{n} \int_{\theta}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}}+2 n \int_{\theta_{1}}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta}} \\
(n=0,1,2, \ldots)
\end{array}
\]

Одному значению $\theta$ ( $\left.\theta_{1}<\theta<2 \pi-\theta_{1}\right)$ соответствует бесконечно много значений $r$ ( $n$ может принимать любое целое неотрицательное значение, так как интеграл в левой части (5) при $r \rightarrow 0$ неограниченно возрастает). Таким образом, частица совершает бесконечно много колебаний между прямыми $B D$ и $C E$ прежде, чем упасть в центр.

В случае малых прицельных параметров $E \rho^{2} \ll a$ оказывается $\pi-\theta \ll 1$, так что в (5) можно заменить $\cos \theta$ на $-1+\frac{1}{2}(\pi-\theta)^{2}$. В результате получаем ${ }^{1}$
\[
\theta=\pi-\rho \sqrt{\frac{2 E}{a}} \sin \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{Arsh}\left(\frac{1}{r} \sqrt{\frac{a}{E}}\right)\right] .
\]
${ }^{1} \operatorname{Arsh} x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$.

Закон движения $r(t)$ определяется так же, как в задаче 12.2. Если $\beta>0$, то справедлив закон, определяемый формулой (9) из задачи 12.2. Если $\beta<0$, то
\[
r(t)=v \sqrt{t^{2}-\tau^{2}}, \quad v=\sqrt{2 E / m}, \quad-\infty<t<\tau=\sqrt{|\beta|} / 2 E,
\]

причем падение происходит в момент времени $\tau$.
Рис. 168
б) Если $\beta>0\left(E \rho^{2}>a\right)$, то
\[
\int_{\theta}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{1+\frac{2 m a}{\beta}(1+\sin \theta)}}=\left\{\begin{array}{lc}
\arcsin \frac{r_{m}}{r}, & \theta_{m}<\theta<\pi, \\
\pi-\arcsin \frac{r_{m}}{r}, & \theta_{\min }<\theta<\theta_{m} .
\end{array}\right.
\]

Если $\beta<0\left(E \rho^{2}<a\right)$, то
\[
\left(\int_{\theta_{1}}^{\pi} \pm \int_{\theta_{1}}^{\theta}+2 l \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\right) \frac{d \theta}{\sqrt{\beta+2 m a(1+\sin \theta)}}=\int_{r}^{\infty} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 m E-\beta / r^{2}}},
\]

где $l$ — число полных колебаний по углу (от $\theta_{1}$ до $\theta_{2}$ и обратно), совершенных частицей, знаки ( $\pm$ ) для движения против (по) часовой стрелке (рис. $168, a$ )
\[
\theta_{1}=-\arcsin \frac{E \rho^{2}}{a}, \quad \theta_{2}=\pi+\arcsin \frac{E \rho^{2}}{a} .
\]

Если $\beta=0\left(E \rho^{2}=a\right)$,
\[
r=\frac{\rho}{\sqrt{2}} \ln \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi-\theta}{4}\right)}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}, \quad-\frac{\pi}{2}<\theta<\pi .
\]

Частица движется по траектории рис. 168,б, причем закон движения $r=$ $=-\sqrt{\frac{2 E}{m}} t \quad(t<0$ падение происходит при $t=0)$.
12.7. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1] § 48)
\[
S=-E t+p_{\varphi} \varphi \pm \int \sqrt{\beta-2 m a \cos \theta-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}} d \theta-\int \sqrt{2 m E-\frac{\beta}{r^{2}}} d r .
\]

Обобщенные импульсы те же, что и в задаче $12.4 \mathrm{a}$. Падение в центр возможно, если $\beta=2 m\left(E \rho^{2}-a \cos \alpha\right)<0$ (что заведомо выполняется при $\alpha^{2}<2 E \rho^{2} / a \ll 1$ ).
Уравнения траектории
\[
\begin{array}{c}
\varphi= \pm \int \frac{p_{\varphi} d \theta}{\sin ^{2} \theta \sqrt{\beta-2 m a \cos \theta-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}}}, \\
\frac{r_{0}}{r}=\mp \operatorname{sh} \int \frac{\sqrt{|\beta|} d \theta}{\sqrt{\beta-2 m a \cos \theta-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}}} \\
r_{0}^{2}=\frac{|\beta|}{2 m E}
\end{array}
\]

в общем случае не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях. Но качественное описание движения легко дать, если заметить, что уравнение (1), связывающее между собой углы $\theta$ и $\varphi$, с точностью до обозначений совпадает с уравнением траектории сферического маятника (см. [1], $\S 14$, задача 1). Поэтому частица движется так, что точка пересечения ее радиуса-вектора с поверхностью сферы радиуса $l$ описывает такую же кривую, как и сферический маятник длины $l$ с энергией, равной $\frac{\beta}{2 m l^{2}}$ и моментом импульса, равным $p_{\varphi}$ в поле тяжести $g=-\frac{a}{m l^{3}}$. Эта кривая заключена между двумя «параллельными» окружностями на сфере $\theta=\theta_{1}$ и $\theta=\theta_{2}$.

При условии $\alpha^{2}<2 E \rho^{2} / a \ll 1$ уравнения (1) и (2) легко проинтегрировать:
\[
\begin{array}{l}
\theta=\pi-\sqrt{\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) \cos \left(2 \sqrt{\frac{m a}{|\beta|}} \operatorname{Arsh} \frac{r_{0}}{r}\right)+\varepsilon+\frac{\alpha^{2}}{2}}, \\
\theta=\pi-\frac{2 \alpha \sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{2 \varepsilon+\alpha^{2}+\left(2 \varepsilon-\alpha^{2}\right) \cos 2 \varphi}}, \quad \varepsilon=\frac{E \rho^{2}}{a} .
\end{array}
\]

Из (3) видно, что частица, падая на центр, движется в области между двумя коническими поверхностями $\theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}$, вращаясь вокруг оси $z$, причем один полный оборот вокруг оси $z$ приходится на два полных колебания по углу $\theta$. Для сферического маятника в этом приближении траектория замкнута (представляет собой эллипс).
12.8. а) Уравнение траектории финитного движения (при котором нет падения в центр)
\[
\frac{p}{r}=1+e \cos f(\theta),
\]

где
\[
p=\frac{\beta}{m \alpha}, \quad e=\sqrt{1+\frac{2 E \beta}{m \alpha^{2}}}, \quad f(\theta)=\int \frac{d \theta}{\sqrt{1-\frac{2 m a}{\beta} \cos \theta}},
\]

а константы $E$ и $\beta$ удовлетворяют неравенствам $E<0, \beta>0$.
Рис. 169
Рис. 170
Если $0<\beta<2 m a$, то орбита «заполняет» область $A B C D E F$ (рис. 169); $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}, r_{1,2}=\frac{p}{1 \pm e}, \theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}, \theta_{1}=\arcsin \frac{\beta}{2 m a}$, $\theta_{2}=2 \pi-\theta_{1}$, т. е. проходит сколь угодно близко к любой точке этой области.
Если $\beta=2 m a$, то
\[
f(\theta)=\sqrt{2} \ln \operatorname{tg}(\theta / 4)+C_{1}
\]

и траектория расположена внутри кольца $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}$ (рис. 170).
Если $\beta>2 m a$, то траектория заполняет кольцо $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}$. В частности, если $\beta \ll 2 m a$, то
\[
f(\theta)=\theta+\zeta \sin \theta+\frac{3}{4} \zeta^{2} \theta+\frac{3}{8} \zeta^{2}+C_{2},
\]

где $\zeta=m a / \beta$. Это — слабо деформированный прецессирующий эллипс, характер деформации которого связан с его ориентацией. Уравнение (3) применимо и при $\theta \gtrsim \zeta^{-2}$. Интересно сравнить его с результатами задачи 2.24 .
12.9. Для движения в кольце $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}$
\[
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{\sqrt{1-\frac{2 m a}{\beta}} \cos \theta}=2 \pi \frac{n}{l} .
\]

Для движения в области $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}, \theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}$
\[
\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \frac{d \theta}{\sqrt{1-\frac{2 m a}{\beta}} \cos \theta}=\pi \frac{n}{l}
\]
( $n$ и $l$ — целые числа).
12.10. Переменные в уравнении Гамильтона- Якоби разделяются, если выбрать ось $z$ вдоль вектора а (см. [1], §48, формула (48.9)). Движение по радиусу $t=\sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{d r}{\sqrt{E-\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{2 m r^{2}}}}$ при $\beta \geqslant 0$ такое же, как и движение частицы в кулоновом поле $-\alpha / r$ с моментом $\beta$ и энергией $E$. При $\beta<0$ происходит падение частицы на центр. Уравнения траектории $\frac{\partial S}{\partial p_{\varphi}}=$ const, $\frac{\partial S}{\partial \beta}=$ const. Первое из них
\[
\varphi= \pm \int \frac{p_{\varphi} d \theta}{\sin ^{2} \theta \sqrt{\beta-2 m a \cos \theta-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}}}
\]

совпадает с уравнением траектории сферического маятника с энергией $\beta / 2 m l^{2}$ и моментом $M_{z}=p_{\varphi}$ в поле тяжести $g=-a / m l^{3}$ (см. [1], §14, задача 1). Второе уравнение связывает $r$ и $\theta$. При анализе этого уравнения можно также воспользоваться аналогией со сферическим маятником.
12.11. a) $\left|M_{z}\right|<\sqrt{m b / 2}$.
б) Финитное движение возможно при любом $M_{z}$.

12.12. б) Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1], $\S 48$, задача 1)
\[
S=-E t+p_{\varphi} \varphi+\int p_{\xi}(\xi) d \xi+\int p_{\eta}(\eta) d \eta,
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
p_{\xi}= \pm \sqrt{\frac{m}{2}\left(E-U_{\xi}(\xi)\right)}, & U_{\xi}(\xi)=\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m \xi^{2}}-\frac{m \alpha+\beta}{m \xi}-\frac{F}{2} \xi, \\
p_{\eta}= \pm \sqrt{\frac{m}{2}\left(E-U_{\eta}(\eta)\right)}, & U_{\eta}(\eta)=\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m \eta^{2}}-\frac{m \alpha-\beta}{m \eta}+\frac{F}{2} \eta .
\end{array}
\]

Рис. 171
Траектория и закон движения определяются уравнениями
\[
\frac{\partial S}{\partial \beta}=B, \quad \frac{\partial S}{\partial p_{\varphi}}=C, \quad \frac{\partial S}{\partial E}=A,
\]
т. e.
\[
\begin{array}{c}
\int \frac{d \xi}{\xi p_{\xi}(\xi)}-\int \frac{d \eta}{\eta p_{\eta}(\eta)}=B, \quad \varphi-\frac{p_{\varphi}}{2} \int \frac{d \xi}{\xi^{2} p_{\xi}(\xi)}-\frac{p_{\varphi}}{2} \int \frac{d \eta}{\eta^{2} p_{\eta}(\eta)}=C \\
-t+\frac{m}{4} \int \frac{d \xi}{p_{\xi}(\xi)}+\frac{m}{4} \int \frac{d \eta}{p_{\eta}(\eta)}=A .
\end{array}
\]

Для исследования характера движения нужно определить области допустимых при данных $E, p_{\varphi}, \beta$ значений $\xi$ и $\eta$. Графики эффективных потенциальных энергий $U_{\xi}(\xi)$ и $U_{\eta}(\eta)$ изображены на рис. 171.

Если $F=0$, то при $-m \alpha<\beta<m \alpha$ (см. кривые $a$ ) и $E<0$ движение как по $\xi$, так и по $\eta$ финитно, при $E>0$ — инфинитно. С появлением малой силы $F>0$ на графике $U_{\xi}(\xi)$ появляется максимум (см. кривые $b$ ); при $U_{\eta \min }<E<U_{\xi \max }$ движение по-прежнему финитно. В «плоскости $\rho z$ » движение ограничено областью $\xi_{1} \leqslant \xi \leqslant \xi_{2}, \eta_{1} \leqslant \eta \leqslant \eta_{2}$ (рис. 172); сама же плоскость $\rho z$ вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\dot{\varphi}$. Траектория заполняет область пространства, образуемую вращением фигуры $A B C D$ вокруг оси $z$ (см. также задачу 2.36). При $U_{\xi \max }<E$ движение инфинитно.

С ростом $F$ величина $U_{\xi \max }$ уменьшается, а $U_{\eta \min }$ растет. Когда окажется $U_{\xi \max }<U_{\eta \min }$, финитное движение станет невозможным (при
$\beta<-m \alpha+\frac{3}{2}\left(F m p_{\varphi}^{4}\right)^{1 / 3}$ экстремумы
Рис. 172 $U_{\xi \max }$ вообще отсутствуют).
12.13. В эллиптических координатах, $\rho=\sigma \sqrt{\left(\xi^{2}-1\right)\left(1-\eta^{2}\right)}, z=\sigma \xi \eta$, $\sigma=\sqrt{b^{2}-a^{2}}$, потенциал
\[
U=\left\{\begin{array}{ccc}
\infty & \text { при } & \xi>\xi_{0}=b / \sigma, \\
0 & \text { при } & \xi<\xi_{0}
\end{array}\right.
\]

зависит только от $\xi$, и переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются (см. [1], §48).
Полный интеграл
\[
\begin{array}{l}
S=-E t+p_{\varphi} \varphi \pm \int \sqrt{2 m \sigma^{2} E+\frac{\beta-2 m \sigma^{2} A(\xi)}{\xi^{2}-1}-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\left(1-\xi^{2}\right)^{2}}} d \xi \pm \\
\pm \int \sqrt{2 m \sigma^{2} E-\frac{\beta}{1-\eta^{2}}-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\left(1-\eta^{2}\right)^{2}}} d \eta, \\
\end{array}
\]

где
\[
A(\xi)=\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right) U(\xi)=U(\xi) .
\]

Для частицы, пролетающей через начало координат, $p_{\varphi}=0$. Из (1) получаем
\[
\begin{array}{c}
p_{\xi}= \pm \sqrt{2 m \sigma^{2} E+\frac{\beta-2 m \sigma^{2} A(\xi)}{\xi^{2}-1}}=\frac{m \sigma^{2}\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)}{\xi^{2}-1} \dot{\xi} \\
p_{\eta}= \pm \sqrt{2 m \sigma^{2} E-\frac{\beta}{1-\eta^{2}}}=\frac{m \sigma^{2}\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)}{1-\eta^{2}} \dot{\eta} .
\end{array}
\]

В начале координат ( $\eta=0, \xi=1$ )
\[
\dot{\eta}= \pm \frac{\sqrt{2 m \sigma^{2} E-\beta}}{m \sigma^{2}}, \quad \dot{\xi}=0, \quad \dot{z}=\sigma(\dot{\xi} \eta+\dot{\eta} \xi)=\sigma \dot{\eta}
\]

и из условия
\[
\sqrt{\frac{2 E}{m}} \cos \alpha=\frac{\sqrt{2 m \sigma^{2} E-\beta}}{m \sigma}
\]

находим $\beta=2 m \sigma^{2} E \sin ^{2} \alpha$.
Область недостижимых значений $\eta$ определяется условием
\[
2 m \sigma^{2} E-\beta /\left(1-\eta^{2}\right)<0 \text { или }|\eta|>|\cos \alpha| .
\]

Итак, движение происходит в области $|\eta|<|\cos \alpha|, 1<\xi<\xi_{0}$ (заштрихованная на рис. 173 область).
12.14. Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются в эллиптических координатах (см. [1], §48, задача 2 при $\alpha_{1}=-\alpha_{2}=\alpha$ ). Для частицы, летящей из бесконечности вдоль оси $z$, постоянная $\beta=$ $=-2 m E \rho^{2}+4 m \alpha \sigma$, где $\rho-$ прицельный параметр.

При $\beta<0$ траектория качественно не отличается от траектории частицы, рассеиваемой в поле точечного диполя (см. задачу 12.6б).

При $\beta>0$ частица «падает» на диполь (т. е. проходит в своем движении через отрезок $O_{1} O_{2}$ ) и вновь уходит на бесконечность. Если дополнительно $p_{\eta}\left(\eta_{1}\right)=0$ при $\eta_{1}<0$, то частица движется в области, ограниченной гиперболой $\eta=\eta_{1}$ (рис. 174).
12.15. В уравнении Гамильтона — Якоби
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{1}{r} \frac{\partial S}{\partial \varphi}+\frac{e}{2 c} \mathscr{H}(z) r\right)^{2}\right]=0
\]

Рис. 173
Рис. 174

отделяются время и угол $\varphi$ :
\[
S=-E t+p_{\varphi} \varphi+\widetilde{S}(r, z) .
\]

Рассматривая далее только траектории, пересекающие ось $z$, положим $p_{\varphi}=0$. Разделить переменные $r$ и $z$ в уравнении не удается, и мы будем искать интеграл его приближенно, в виде разложения по $r$ :
\[
\widetilde{S}(r, z)=S_{0}(z)+r \psi(z)+\frac{r^{2}}{2} \sigma(z)+\ldots
\]

Так как радиальный импульс
\[
p_{r}=\frac{\partial S}{\partial r}=\psi(z)+r \sigma(z)+\ldots
\]

для частицы, летящей вдоль оси $z$ (при $r=0$ ), равен нулю, то для рассматриваемого пучка частиц $\psi(z)=0$. Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $r$, получаем (ср. [2], § 56, задача 2)
\[
\begin{array}{c}
S_{0}(z)=p z, \\
p \sigma^{\prime}(z)+\sigma^{2}+\frac{e^{2}}{4 c^{2}} \mathscr{H}^{2}(z)=0 .
\end{array}
\]

Вне линзы (при $|z|>a, \mathscr{H}(z)=0$ ) из (6) следует, что
\[
\begin{array}{c}
\sigma(z)=\frac{p}{z+C_{1}} \quad \text { при } \quad z<-a, \\
\sigma(z)=\frac{p}{z+C_{2}} \quad \text { при } \quad z>a .
\end{array}
\]

Уравнения траекторий
\[
\frac{\partial S}{\partial C_{1,2}}=-\frac{p r^{2}}{2\left(z+C_{1,2}\right)^{2}}=B_{1,2}
\]
— уравнения прямых, пересекающих ось $z$ в точках $-C_{1,2},{ }^{1}$ т. е. $z_{0}=-C_{1}$, $z_{1}=-C_{2}$. Из (6) получаем
\[
p \sigma(a)-p \sigma(-a)+\int_{-a}^{a} \sigma^{2} d z+\frac{e^{2}}{4 c^{2}} \int_{-a}^{a} \mathscr{H}^{2}(z) d z=0 .
\]

Поскольку $\left|z_{0,1}\right| \gg a$, из (7), (8) получаем
\[
\sigma( \pm a)=-\frac{p}{z_{1,0}} .
\]

Оценим $\int_{-a}^{a} \sigma^{2} d z$. Согласно (6) $\sigma(z)$ — монотонная функция. Поэтому
\[
\int_{-a}^{a} \sigma^{2} d z \lesssim \frac{2 a p^{2}}{z_{1,0}^{2}} \ll p \sigma( \pm a) .
\]

Таким образом, из (10)
\[
\frac{1}{\left|z_{0}\right|}+\frac{1}{z_{1}}=\frac{e^{2}}{4 c^{2} p^{2}} \int_{-a}^{a} \mathscr{H}^{2}(z) d z=\frac{1}{f} .
\]

Условие $\left|z_{0,1}\right| \gg a$ действительно соблюдается, если $a \ll \frac{c p}{e \mathscr{H}}$.
12.16. Все вычисления предыдущей задачи до формулы (6) включительно применимы и к этой задаче. Замена $\sigma=f^{\prime} / p f$ приводит (6) к виду
\[
\left(1+\varkappa^{2} z^{2}\right) f^{\prime \prime}(z)+\frac{e^{2} \mathscr{H}^{2}}{2 c^{2}} f=0,
\]

а затем замена
\[
\varkappa z=\operatorname{tg} \xi, \quad-\frac{\pi}{2}<\xi<\frac{\pi}{2}, \quad f(z)=\frac{\eta(\xi)}{\cos \xi}
\]

дает
\[
\eta^{\prime \prime}(\xi)+\lambda^{2} \eta(\xi)=0,
\]
${ }^{1} П$ ри $z$, близких к $C_{1,2}, \sigma \rightarrow \infty$, так что разложение (3) неприменимо. Однако уравнения траекторий (9) остаются справедливыми и в этой области.

где
\[
\lambda^{2}=1+\frac{e^{2} \mathscr{H}^{2}}{4 c^{2} \varkappa^{2} p^{2}} .
\]

Отсюда
\[
\sigma=\sin \xi+\lambda \cos ^{2} \xi \operatorname{ctg}(\lambda \xi+\alpha)
\]

и уравнение траекторий
\[
\frac{\partial S}{\partial \alpha}=-\frac{p r^{2} \lambda \cos ^{2} \xi}{2 \sin ^{2}(\lambda \xi+\alpha)}=B,
\]

или
\[
r \cos \xi=B^{\prime} \sin (\lambda \xi+\alpha) .
\]

При $r=0$ оказывается $\lambda \xi_{n}+\alpha=\pi n$, откуда $\alpha=-\lambda \operatorname{arctg}\left(\varkappa z_{0}\right)$ и точки фокусировки
\[
\varkappa z_{n}=\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \varkappa z_{0}+\frac{n \pi}{\lambda}\right) .
\]

В зависимости от величины $\lambda$ имеется одна или несколько точек фокусировки.
12.17.
\[
S\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right)=f\left(q, \alpha\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right), t\right)-f\left(q_{0}, \alpha\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right), t_{0}\right),
\]

где $f(q, \alpha, t)$ — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а зависимость $\alpha\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right)$ определяется уравнением (системой уравнений для случая многих степеней свободы)
\[
\frac{\partial f(q, \alpha, t)}{\partial \alpha}=\frac{\partial f\left(q, \alpha, t_{0}\right)}{\partial \alpha} .
\]

где
\[
\lambda^{2}=1+\frac{e^{2} \mathscr{H}^{2}}{4 c^{2} \varkappa^{2} p^{2}} .
\]

Отсюда
\[
\sigma=\sin \xi+\lambda \cos ^{2} \xi \operatorname{ctg}(\lambda \xi+\alpha)
\]

и уравнение траекторий
\[
\frac{\partial S}{\partial \alpha}=-\frac{p r^{2} \lambda \cos ^{2} \xi}{2 \sin ^{2}(\lambda \xi+\alpha)}=B,
\]

или
\[
r \cos \xi=B^{\prime} \sin (\lambda \xi+\alpha) .
\]

При $r=0$ оказывается $\lambda \xi_{n}+\alpha=\pi n$, откуда $\alpha=-\lambda \operatorname{arctg}\left(\varkappa z_{0}\right)$ и точки фокусировки
\[
\varkappa z_{n}=\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \varkappa z_{0}+\frac{n \pi}{\lambda}\right) .
\]

В зависимости от величины $\lambda$ имеется одна или несколько точек фокусировки.
12.17.
\[
S\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right)=f\left(q, \alpha\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right), t\right)-f\left(q_{0}, \alpha\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right), t_{0}\right),
\]

где $f(q, \alpha, t)$ — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а зависимость $\alpha\left(q, q_{0}, t, t_{0}\right)$ определяется уравнением (системой уравнений для случая многих степеней свободы)
\[
\frac{\partial f(q, \alpha, t)}{\partial \alpha}=\frac{\partial f\left(q, \alpha, t_{0}\right)}{\partial \alpha} .
\]