9.1. В вершинах квадрата со стороной $2 a$ расположены массы $m$ и $M$ (рис. 54, a). Найти компоненты тензора инерции относительно:
а) осей $x, y, z$;
б) осей $x^{\prime}, y^{\prime}$, совпадающих с диагоналями квадрата, и $z$.
Рис. 54
9.2. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции следующих систем:
a) массы $m$ и $M$ расположены в вершинах прямоугольника со сторонами $2 a$ и $2 b$ (рис. $54, б$ ).
б) массы $m$ и $2 m$ расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами $2 a$ и $4 a$ (рис. 54, ).
${ }^{1}$ При действии высокочастотной силы $f(t)=-\left(y_{0} \gamma^{2} / m\right) \cos \gamma t$ в пределе $\gamma \rightarrow \infty$ амплитуда вынужденных колебаний стремится к $y_{0}$, поправки к амплитуде и высшие гармоники имеют малость $\sim \gamma^{-2}$.

9.3. Выразить момент инерции $I_{\mathrm{n}}$ относительно оси, параллельной единичному вектору $\mathbf{n}$ и проходящей через центр инерции тела, через компоненты тензора инерции.
9.4. Найти главные моменты инерции шара радиуса $R$, имеющего внутри полость в форме шара радиуса $r$ (рис. 55).
Рис. 55
9.5. Выразить компоненты тензора квадрупольного момента масс
\[
D_{i k}=\int\left(3 x_{i} x_{k}-r^{2} \delta_{i k}\right) \rho d V
\]
( $\rho-$ плотность) через компоненты тензора инерции $I_{i k}$.
9.6. Найти частоту малых колебаний однородного полушара, находящегося на гладкой горизонтальной поверхности в поле тяжести.
9.7. На покоившуюся гантельку, состоящую из пары касающихся одинаковых шариков, налетает третий такой же. Скорость его V перпендикулярна линии центров гантельки и направлена к центру одного из ее шариков. Найти скорость шарика и гантельки после столкновения. Удар упругий.
9.8. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли вокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однородным шаром радиусом $a=6,4$ тыс. км и массой $M$, в 81 раз большей массы Луны $m$; расстояние от Земли до Луны $R=380$ тыс. км.
9.9. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями $\omega$, медленно сблизившись, жестко состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловые скорости шаров были направлены:
a) перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;
б) одна – вдоль линии центров, другая – перпендикулярно.

9.10 а. Однородный шар радиуса $r$ и массы $m$ катится, не проскальзывая, по горизонтальной плоскости со скоростью v. В момент, когда он касается другого такого же шара, лежавшего неподвижно, шары жестко скрепляются (рис. 56 а). Плоскость абсолютно гладкая (после скрепления шары свободно скользят по ней).

С какими силами действуют на плоскость шары? Ускорение свободного падения достаточно велико, так что шары все время касаются плоскости.
9.10 б. В двух противоположных вершинах $A$ и $C^{\prime}$ однородного прямоугольного параллелепипеда находятся шаровые шарниры, так что он может свободно вращаться вокруг диагонали $A C^{\prime}$ (рис. 56б). Найти силы, действующие на шарниры при врашении параллелепипеда с угловой скоростью $\Omega$.
9.11. На однородный эллипсоид вращения (полуоси $a=b, c$ ) налетает частица, движущаяся параллельно оси $O y$ со скоростью $\mathbf{v}$ и прицсльными парамстрами $\rho_{1}, \rho_{2}$ (рис. 57), и прилипает к нему. Описать движение эллипсоида, предполагая, что его масса много больше массы налетающей частицы.
9.12. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся диск, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости (рис. 58). Исследовать движение гирокомпаса на широте $\alpha$. Угловая скорость вращения Земли $\Omega$.
Рис. 56 б
9.13. Волчок с неподвижной точкой опоры $O$, вращавшийся с угловой скоростью $\Omega$ вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой), касается горизонтальной плоскости краем диска (рис. 59).

Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится. В момент касания нутаций не было.
9.14. В поле тяготения неподвижной точечной массы $M$ движется однородное тело массы $m$, имеющее форму эллипсоида вращения. Найти функцию Лагранжа системы, выбрав в качестве переменных сферические

Рис. 59

координаты центра тяжести и углы Эйлера. Размеры тела малы по сравнению с расстоянием до центра поля.
УКАЗАНИЕ. Потенциальная энергия системы приближенно равна
\[
U(\mathbf{R})=m \varphi(R)+\frac{1}{6} \sum_{i, k=1}^{3} D_{i k} \frac{\partial^{2} \varphi(R)}{\partial X_{i} \partial X_{k}},
\]

где $\mathbf{R}=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ – радиус-вектор центра эллипсоида, $D_{i k}$ – тензор квадрупольного момента масс (см. задачу 9.5), $\varphi(R)=-\gamma M / R-$ потенциал поля тяготения (ср. [2], §42).
9.15. Определить угловую скорость прецессии земной оси под влиянием притяжения Солнца и Луны. Наклон земной оси к плоскости орбит Земли и Луны равен $67^{\circ}$. Для простоты Землю считать однородным эллипсоидом вращения, полярная полуось которого с меньше экваториальной полуоси $a$, причем $\frac{a-c}{a} \approx \frac{1}{300}$.
9.16. Составить уравнения движения для проекций момента на подвижные оси координат, выбранные по осям инерции. Проинтегрировать эти уравнения для свободного движения симметрического волчка.
9.17. Исследовать устойчивость вращения ассиметрического волчка относительно главных осей инерции с помощью уравнений Эйлера.
9.18. Однородный шар радиуса $a$ движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса $b$, не проскальзывая. Найти закон движения шара.
9.19. а) Плоский симметричный относительно своей оси диск катится по гладкой горизонтальной плоскости (трение отсутствует). Определить закон движения диска (в квадратурах).
Исследовать подробнее закон движения в следующих случаях.
Определить, при каких условиях угол наклона диска к плоскости остается постоянным.

Диск катится так, что его ось сохраняет определенное (горизонтальное) направление. Определить, при какой угловой скорости вращения вокруг этой оси такое движение устойчиво.
б) Диск катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Найти уравнения движения и ответить на те же вопросы, что и в пункте а).
в) То же для диска, который катится по горизонтальной плоскости, не проскальзывая и не проворачиваясь вокруг вертикальной оси ${ }^{1}$.
г) Находящийся на наклонной плоскости диск вращается без проскальзывания вокруг своего диаметра, перпендикулярного этой плоскости. Найти смещение диска за большое время. Наклонная плоскость составляет малый угол $\alpha$ с горизонтальной.
9.20. а) Найти в квадратурах закон движения неоднородного шара, который движется без трения по горизонтальной плоскости. Распределение плотности симметрично относительно оси, проходящей через центр масс и геометрический центр шара.

Исследовать влияние малых сил трения на движение шара в случае, когда в отсутствие трения шар двигался бы так, что угол между осью симметрии и вертикалью был бы постоянным.
${ }^{1}$ Это означает, что сцепление диска с плоскостью в «точке» соприкосновения таково, что площадка в месте контакта не скользит по плоскости и не проворачивается. Потерями энергии на трение качения пренебречь.
б) Найти уравнения движения описанного шара, если он катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости.
9.21. Найти отклонения к востоку и к югу от вертикали свободно падающего с высоты $h$ тела. Начальная скорость тела равна нулю.
9.22. ${ }^{1}$ Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпоксидной смолой, приводят во вращение с угловой скоростью $\omega_{2}$ вокруг оси $A B$, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси $C D$ с угловой скоростью $\omega_{1}$ (рис. 60). Какую форму примет, затвердев, поверхность смолы?
9.23. Частица движется в центральном поле $U(r)$. Найти уравнение траектории и закон движения в системе координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью $\Omega$, параллельной моменту импульса $M$.
9.24. Найти малые колебания частицы $m$, прикрепленной пружинками жесткости $k_{1}$ и $k_{2}$ к рамке, вращающейся в своей плоскости с угловой скоростью $\Omega$ (рис. 61). Частица может двигаться в плоскости рамки.
9.25. Гладкий параболоид $2 z=\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}$ вращается вокруг вертикальной оси $z$ с угловой скоростью $\omega$. При каком значении $\omega$ нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейся внутри параболоида? Ускорение силы тяжести $\mathrm{g}=(0,0,-g)$.
${ }^{1}$ Задача В.С.Кузьмина и М.П.Перельройзена.

9.26. Рамка с частицей массы $m$, закрепленной на пружинках (длины которых $l$, коэффициенты жесткости $k$ и натяжения при неподвижной рамке $f$ ) вращается с угловой скоростью $\gamma$ вокруг оси $z$, смещенной на расстояние $a$ от центра рамки (рис. 62).

Определить равновесное расстояние частицы от оси и исследовать его устойчивость.
Рассмотреть следующие случаи:
Рис. 62
a) частица может двигаться только вдоль пружин;
б) возможны любые смещения частицы.
9.27. Две звезды движутся по окружностям вокруг их центра масс. В системе отсчета, в которой звезды неподвижны, найти такие точки, в которых помещенное там легкое тело также остается неподвижным. Исследовать устойчивость этих «положений равновесия». (Ограничиться точками, не лежащими на прямой, соединяющей звезды.)
9.28. Определить нормальные колебания трехатомной молекулы, описанной в задаче 6.49 , если ее момент импульса $M$ не равен нулю. Угловая скорость вращения молекулы $\Omega \ll \sqrt{k / m}$; здесь $k$ – коэффициент жесткости связи. Момснт импульса псрпсндикулярсн к плоскости молскулы.