6.1. Пусть $x_{i}$ – отклонение $i$-й частицы от положения равновесия $(i=1,2)$. Функции Лагранжа системы
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left[x_{1}^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right] .
\]

Уравнения движения
\[
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{2}\right)=0, \quad m \ddot{x}_{2}+k\left(x_{2}-x_{1}\right)=0
\]

подстановкой $x_{i}=A_{i} \cos (\omega t+\varphi)$ сводятся к системе алгебраических уравнений
\[
\left(-m \omega^{2}+2 k\right) A_{1}-k A_{2}=0, \quad-k A_{1}+\left(-m \omega^{2}+k\right) A_{2}=0 .
\]

Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:
\[
\left(-m \omega^{2}+2 k\right)\left(-m \omega^{2}+k\right)-k^{2}=0 .
\]

Отсюда получаем собственные частоты
\[
\omega_{1,2}^{2}=\frac{3 \mp \sqrt{5}}{2} \frac{k}{m} .
\]

Из двух уравнений (2) в силу (3) лишь одно независимо. Подставляя значения $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в (2), получим соотношения между амплитудами
\[
\begin{array}{ll}
A_{1}=\frac{2}{\sqrt{5}+1} A_{2} \equiv A & \text { для } \omega=\omega_{1}, \\
A_{1}=-\frac{2}{\sqrt{5}-1} A_{2} \equiv B & \text { для } \omega=\omega_{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, свободные колебания системы суть
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A \cos \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right)+B \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right), \\
x_{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} A \cos \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right)-\frac{\sqrt{5}-1}{2} B \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Постоянные $A, B, \varphi_{1}, \varphi_{2}$ определяются начальными условиями.

Свободные колебания (4) полностью описывают движение системы. Однако при решении многих задач удобнее пользоваться нормальными координатами, например в задачах с вынуждающей силой (см. задачи 6.2 б и 6.24), при построении теории возмущений (см. задачу 6.34), при переходе к квантовой механике. Это связано с тем, что нормальные координаты $q_{i}$, определенные равенствами
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=q_{1}+q_{2}, \\
x_{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} a_{1}-\frac{\sqrt{5}-1}{2} q_{2},
\end{array}
\]

приводят функцию Лагранжа (1) к сумме квадратов
\[
L=\frac{5+\sqrt{5}}{4} m\left(\dot{q}_{1}^{2}-\omega_{1}^{2} q_{1}^{2}\right)+\frac{5-\sqrt{5}}{4} m\left(\dot{q}_{2}^{2}-\omega_{2}^{2} q_{2}^{2}\right),
\]

а уравнения движения для $q_{1}$ и $q_{2}$ разделяются:
\[
\ddot{q}_{i}+\omega_{i}^{2} q_{i}=0 .
\]

Подобным же образом задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к задачам о движении цәнтра инерции и о движении частицы с приведенной массой в заданном силовом поле.

Отметим, наконец, что более общий случай системы $N$ частиц с одной точкой подвеса рассмотрен в задаче 7.2.
6.2. Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left[\left(x_{1}-a(t)\right)^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\right] .
\]

Если отбросить член $-\frac{1}{2} k a^{2}(t)$, представляющий собой полную производную по времени, то $L$ можно переписать в виде
\[
L=L_{0}+\Delta L, \quad \Delta L=x_{1} k a(t),
\]

где $L_{0}$ – функция Лагранжа системы с неподвижной точкой подвеса (см. формулу (1) из предыдущей задачи). Такая запись удобнее тем, что сразу позволяет выписать «вектор» внешней силы
\[
\left(\begin{array}{c}
F_{x 1} \\
F_{x 2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k a(t) \\
0
\end{array}\right) .
\]

a) Уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{2}\right)=k a \cos \gamma t, \\
m \ddot{x}_{2}+k\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 \\
x_{1}=A \cos \gamma t, \quad x_{2}=B \cos \gamma t
\end{array}
\]

подстановкой ${ }^{1}$
приводятся к линейной неоднородной системе двух уравнений относительно $A$ и $B$. Отсюда
\[
\begin{array}{l}
A=\frac{a k\left(-m \gamma^{2}+k\right)}{m^{2}\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\omega_{2}^{2}\right)}, \\
B=\frac{a k^{2}}{m^{2}\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\omega_{2}^{2}\right)},
\end{array}
\]

где $\omega_{1,2}^{2}=\frac{3 \mp \sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}-$ нормальные частоты системы.

Зависимость амплитуд $A$ и $B$ от частоты $\gamma$ изображена на рис. $122, a$.

При переходе через точки резонанса $\gamma=\omega_{1,2}$ амплитуды $A$ и $B$ меняют знак, что отвечает изменению фазы колебаний на $\pi$. При частоте $\gamma=\sqrt{k / m}$ колебания верхней массы полностью демпфируются: $A=0$.

На рис. 122 ,б изображен примерный вид зависимости $|A|$ от частоты вынуждающей си-
Рис. 122 лы при наличии трения.

На каких частотах $\gamma$ будут демпфироваться колебания верхней частицы, если к нижней подвесить еще одну частицу на такой же пружинке?
б) Вводя нормальные координаты $q_{1,2}$ (см. формулу (5) из предыдущей задачи), представим функцию Лагранжа (1) в виде
\[
\begin{array}{c}
L=L_{1}\left(q_{1}, \dot{q}_{1}\right)+L_{2}\left(q_{2}, \dot{q}_{2}\right), \\
L_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{5}}{4} m\left(\dot{q}_{1,2}^{2}-\omega_{1,2}^{2} q_{1,2}^{2}\right)+q_{1,2} k a(t)
\end{array}
\]
(ср. с формулой (6) предыдущей задачи).
${ }^{1}$ Общее решение системы (2) является суперпозицией свободных и вынужденных колебаний. При наличии даже малого трения свободные колебания затухают, поэтому после большого промежутка времени решение системы (2) не зависит от начальных условий и представляет собой вынужденные колебания (3).

Таким образом, задача сводится к отысканию установившихся колебаний двух независимых осцилляторов, на каждый из которых действует пилообразная сила (см. задачу $5.19 \mathrm{a}$ ).

Разумеется, и в пункте а) можно было решать задачу, переходя к нормальным координатам (ср. с задачей 6.24).
6.3 a. Вводим систему координат с началом в точке подвеса и осью $y$, направленной по вертикали вниз. В качестве обобщенных координат выберем координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ точек $A$ и $B$. В выражение для потенциальной энергии $U=-m g y_{1}-m g y_{2}$ подставляем $y_{1}\left(x_{1}\right)$ и $y_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ с точностью до второго порядка по $x_{1,2} / l$ :
\[
\begin{array}{l}
y_{1}=\sqrt{4 l^{2}-x_{1}^{2}} \approx 2 l-\frac{x_{1}^{2}}{4 l}, \\
y_{2}=y_{1}+\sqrt{l^{2}-\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}} \approx 3 l-\frac{x_{1}^{2}}{4 l}-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}{2 l},
\end{array}
\]

а в выражение для кинетической энергии $T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)$ подставляем $\dot{y}_{1}$ и $\dot{y}_{2}$ с точностью до первого порядка:
\[
\dot{y}_{1}=-\frac{x_{1} \dot{x}_{1}}{2 l} \approx 0, \quad \dot{y}_{2}=\dot{y}_{1}-\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}\right)}{l} \approx 0 .
\]

После этого функция Лагранжа
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}\right)-\frac{m g}{2 l} x_{1}^{2}-\frac{m g}{2 l}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+5 m g l
\]

совпадает с функцией Лагранжа системы, рассмотренной в задаче 6.1, если принять $k=m g / l$ и отбросить несущественную постоянную $5 \mathrm{mgl}$. Поэтому найденная в задаче 6.1 зависимость $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ справедлива и для двойного маятника.

Если точка подвеса маятника движется по закону $x_{0}=a(t) \ll l$, то, как легко убедиться, мы возвращаемся к функции Лагранжа, рассмотренной в задаче 6.2 .
6.3 б. Пусть $\varphi$ и $\psi$ – углы отклонения верхней и нижней частицы от вертикали. Нормальные колебания таковы: $\psi=2 \varphi$ с частотой $\sqrt{4 g / 5 l}$ и $\psi=-2 \varphi$ с частотой $\sqrt{4 g / 3 l}$.

6.4. Закон движения
\[
x=a \cos \left(\omega_{1} t+\varphi\right), \quad y=b \cos \left(\omega_{2} t+\psi\right) .
\]

Постоянные $a, b, \varphi, \psi$ определяются начальными условиями. Траектория расположена внутри прямоугольника (рис. 123):
\[
-a \leqslant x \leqslant a, \quad-b \leqslant y \leqslant b .
\]

Вообще говоря, траектория «заполняет» весь прямоугольник. Точнее, если $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ несоизмеримы, она проходит как угодно близко к любой точке этого прямоугольника. Движение точки в этом случае не является периодическим (хотя движение ее проекций на оси координат периодическое). Если же $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соизмеримы ( $l \omega_{1}=n \omega_{2}$, где $l$ и $n-$ целые числа), то траектория представляет собой замкнутую кривую, называемую фигурой Лиссажу. Движение в этом случае периодическое, период равен $2 \pi n / \omega_{1}$.
6.5. а) Для данной системы переход к нормальным координатам есть просто поворот в плоскости $(x, y)$ (рис. 124):
\[
x=Q_{1} \cos \varphi-Q_{2} \sin \varphi, \quad y=Q_{1} \sin \varphi+Q_{2} \cos \varphi .
\]

Действительно, кинетическая энергия при повороте не меняет своего вида, а в потенциальной энергии коэффициент при $Q_{1}, Q_{2}$, равный
\[
-\frac{1}{2}\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right) \sin 2 \varphi-\alpha \cos 2 \varphi,
\]

можно обратить в нуль, если определить параметр $\varphi$ из условия
\[
\operatorname{ctg} 2 \varphi=\frac{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}}{2 \alpha}
\]

Зависимость $\varphi$ от $\omega_{1}$ показана на рис. 125; ширина области частот, в которой происходит переход от $\varphi=0$ к $\varphi=\pi / 2$ порядка $\alpha / \omega_{2}$.

При слабой связи, $\alpha \ll\left|\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right|$ нормальные колебания локализованы, т. е. при $\omega_{1}<\omega_{2}$ оказывается $\varphi \approx 0$ и $x \approx Q_{1}, y \approx Q_{2}$, а при $\omega_{1}>\omega_{2}$ получаем $\varphi \approx \frac{\pi}{2}$ и $x \approx-Q_{2}$, $y \approx Q_{1}$.

При $\left|\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right| \ll \alpha$ нормальные колебания перестают быть локализованными: $\varphi \approx \frac{\pi}{4}$,
$x \approx \frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q_{1}-Q_{2}\right), y \approx \frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q_{1}+Q_{2}\right)$ (cм. [1],
Рис. 125
§23, задача 1).
Нормальные частоты
\[
\Omega_{1,2}^{2}=\frac{1}{2}\left[\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2} \mp \sqrt{\left(\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+4 \alpha^{2}}\right]
\]

лежат вне интервала парциальных частот ${ }^{1}$, т. е. $\Omega_{1}<\omega_{1}$ и $\Omega_{2}>\omega_{2}$ (для определенности считаем $\omega_{1}<\omega_{2}$ ). Соотношения подобного рода для систем со многими степенями свободы известны под названием «теорем Рэлея» (см. [15] и задачу 6.23).

Зависимость $\Omega_{1,2}$ от $\omega_{1}$ показана на рис. 126. Видно, что отличие нормальных частот $\Omega_{1,2}$ от парциальных $\omega_{1,2}$ (равно как и нормальных координат $Q_{1}, Q_{2}$ от координат $x, y$ ) при малых $\alpha$ несущественно всюду, за исключением области вырождения $\left|\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right| \lesssim \alpha$. При достаточно малых $\omega_{1}$ одна из нормальных частот становится мнимой – система перестает быть устойчивой.

В координатах $Q_{1}$ и $Q_{2}$ закон движения и траектория такие же, как в предыдущей задаче.
б) Нормальные координаты можно получить
Рис. 126 в этом случае из результатов предыдущей задачи простой заменой $\omega_{1,2}^{2} \rightarrow m_{1,2}$, причем нормальные частоты данной задачи обратны нормальным частотам $\Omega_{1,2}$ предыдущей задачи. Почему?

Можно ли обнаружить факт независимости нормальных частот от знака $\alpha$ (или $\beta$ ) из вида функции Лагранжа, не находя $\Omega_{1,2}$ в явном виде?
${ }^{1}$ Следуя Мандельштаму [7], парциальной частотой мы называем частоту колебаний системы, которая получается из исходной при $x \equiv 0$ (или при $y \equiv 0$ ).

6.6. а) Функция Лагранжа системы (см. задачу 4.22)
\[
L=\frac{1}{2}\left(\mathscr{L}_{1} \dot{q}_{1}^{2}+\mathscr{L}_{2} \dot{q}_{2}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left[\frac{q_{1}^{2}}{C_{1}}+\frac{q_{2}^{2}}{C_{2}}+\frac{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}}{C}\right],
\]

где $q_{1}$ и $q_{2}$ – заряды на верхних пластинах конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$. Введя новые переменные $\sqrt{\mathscr{L}_{1}} q_{1}=x$ и $\sqrt{\mathscr{L}_{2}} q_{2}=y$, мы получим функцию Лагранжа задачи 6.5 а с параметрами
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{1}{\mathscr{L}_{1}}\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{C_{1}}\right), \quad \omega_{2}^{2}=\frac{1}{\mathscr{L}_{2}}\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{C_{2}}\right), \quad \alpha=\frac{1}{C \sqrt{\mathscr{L}_{1} \mathscr{L}_{2}}} .
\]
б) Заменой переменных $q_{1}=\sqrt{C_{1}} x, q_{2}=\sqrt{C_{2}} y$ можно функцию Лагранжа данной системы свести к функции Лагранжа задачи 6.56 с параметрами
\[
m_{1,2}=\left(\mathscr{L}+\mathscr{L}_{1,2}\right) C_{1,2}, \quad \beta=\mathscr{L} \sqrt{C_{1} C_{2}} .
\]

Могут ли данные системы стать неустойчивыми?
6.7. Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ – отклонения частиц $m_{1}$ и $m_{2}$ от положения равновесия. Сделав замену $\sqrt{m_{1}} x_{1}=x$ и $\sqrt{m_{2}} x_{2}=y$, получим для системы функцию Лагранжа, рассмотренную в задаче $6.5 \mathrm{a}$.

В различных предельных случаях ответ может быть получен без решения уравнений. Например, если все $k_{i}=k$ и $m_{1} \ll m_{2}$, то возможно нормальное колебание очень низкой частоты $\Omega_{1}^{2}=\frac{3 k}{2 m_{2}}, x_{1}=\frac{1}{2} x_{2}$ (частица $m_{1}$ является как бы элементом пружинки, а частица $m_{2}$ колеблется между пружинками жесткости $\frac{1}{2} k$ слева и $k$ справа) и очень высокой частоты $\Omega_{2}^{2}=\frac{2 k}{m_{1}}$ (когда частица $m_{2}$ почти покоится). Амплитуду колебаний второй частицы можно найти, рассматривая ее движение как вынужденное под действием вынуждающей силы $k x_{1}$ высокой частоты (см. [1], формула (22.4)): $x_{2}=-\frac{m_{1}}{2 m_{2}} x_{1}$.
Подобным же образом интересно рассмотреть случаи
а) $m_{1}=m_{2}, k_{1}=k_{2} \ll k_{3}$;
б) все жесткости различные, но одного порядка, а $m_{1} \ll m_{2}$;
в) $k_{2} \gg k_{1}=k_{3}$, а массы $m_{1}$ и $m_{2}$ одного порядка.

6.8. а) $x_{1,2}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_{1}} \sin \omega_{1} t \pm \frac{1}{\omega_{2}} \sin \omega_{2} t\right)$; при $k_{1} \ll k$ колебания имеют форму биений:
\[
x_{1}=\frac{v}{\omega} \cos \varepsilon t \cdot \sin \omega t, \quad x_{2}=-\frac{v}{\omega} \sin \varepsilon t \cdot \cos \omega t .
\]
б) $x_{1,2}=\frac{a}{2}\left(\cos \omega_{1} t \pm \cos \omega_{2} t\right)$; при $k_{1} \ll k$
\[
x_{1}=a \cos \varepsilon t \cdot \cos \omega t, \quad x_{2}=a \sin \varepsilon t \cdot \sin \omega t .
\]

Всюду $\omega_{1}^{2}=\frac{k}{m}, \omega_{2}^{2}=\frac{2 k_{1}+k}{m}, \varepsilon=\frac{k_{1}}{2 k} \omega_{1}, \omega=\frac{1}{2}\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right)$.
6.9. Энергия, переданная от первой частицы ко второй за время $d t$, равна работе силы $F=k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)$
\[
d E=k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right) d x_{2}=k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right) \dot{x}_{2} d t,
\]

а поток энергии $\frac{d E}{d t}=k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right) \dot{x}_{2}$. Для предельного случая $k_{1} \ll k$ в задаче 6.8 а поток энергии, усредненный по периоду быстрых колебаний, равен $\frac{m v^{2}}{4} \omega_{1} \sin 2 \varepsilon t$ и меняет знак с частотой, равной удвоенной частоте биений.
6.10. Уравнения движения
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}_{1}+k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)+k x_{1}+\alpha \dot{x}_{1}=0, \\
m \ddot{x}_{2}+k_{1}\left(x_{2}-x_{1}\right)+k x_{2}+\alpha \dot{x}_{2}=0
\end{array}
\]

при замене $x_{1,2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q_{1} \pm q_{2}\right)$ распадаются на два уравнения для нормальных координат
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{1}+\omega_{1}^{2} q_{1}+2 \lambda \dot{q}_{1}=0, \\
\ddot{q}_{2}+\omega_{2}^{2} q_{2}+2 \lambda \dot{q}_{2}=0,
\end{array}
\]

где $\omega_{1}^{2}=\frac{k}{m}, \omega_{2}^{2}=\frac{k+2 k_{1}}{m}, 2 \lambda=\frac{\alpha}{m}$. Поэтому при $\lambda<\omega_{1,2}$ (см. [1], § 25)
\[
x_{1,2}=e^{-\lambda t}\left[a \cos \left(\gamma_{1} t+\varphi_{1}\right) \pm b \cos \left(\gamma_{2} t+\varphi_{2}\right)\right],
\]

где $\gamma_{1,2}=\sqrt{\omega_{1,2}^{2}-\lambda^{2}}$.
Для системы рис. 22 при наличии трения характеристическое уравнение не биквадратное, а четвертой степени, поэтому найти свободные колебания гораздо сложнее.

6.11. Функция Лагранжа двойного маятника
\[
L=\frac{M}{2} \dot{x}_{1}^{2}+\frac{m}{2} \dot{x}_{2}^{2}-\frac{M g}{2 l} x_{1}^{2}-\frac{m g}{2 l}\left[x_{1}^{2}+\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}\right],
\]

где $x_{1}$ и $x_{2}$ – отклонения точек $M$ и $m$ от вертикали, проходящей через точку подвеса (ср. с задачей 6.3a). Заменой
\[
x_{1}=\frac{x}{\sqrt{M}}, \quad x_{2}=\frac{y}{\sqrt{m}}
\]

функция Лагранжа сводится к виду, рассмотренному в задаче $6.5 \mathrm{a}$, причем
\[
\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2} \equiv \frac{2 m g}{M l} \ll \alpha \equiv \frac{g}{l} \sqrt{\frac{m}{M}} .
\]

В этом случае
\[
x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q_{1}-Q_{2}\right), \quad y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Q_{1}+Q_{2}\right),
\]

где $Q_{i}=a_{i} \cos \Omega_{i} t+b_{i} \sin \Omega_{i} t$,
\[
\Omega_{1,2}=\sqrt{\frac{g}{l}} \mp \frac{\gamma}{2}, \quad \gamma=\sqrt{\frac{m g}{M l}} .
\]

С учетом начальных условий $Q_{1,2}(0)=\frac{l \beta \sqrt{m}}{\sqrt{2}}, \dot{Q}_{1,2}(0)=0$ получаем
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=l \beta \sqrt{\frac{m}{M}} \sin \gamma t \sin \sqrt{\frac{g}{l}} t, \\
x_{2}=l \beta \cos \gamma t \cos \sqrt{\frac{g}{l}} t .
\end{array}
\]

Таким образом, маятники колеблются «по очереди» и амплитуда верхнего маятника в $\sqrt{M / m}$ раз меньше, чем нижнего.
6.12.
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{a k\left(k_{1}+k-m \gamma^{2}\right)}{m^{2}\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\omega_{2}^{2}\right)} \cos \gamma t, \\
x_{2}=\frac{a k k_{1}}{m^{2}\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\omega_{2}^{2}\right)} \cos \gamma t,
\end{array}
\]

где $\omega_{1}^{2}=\frac{k}{m}, \omega_{2}^{2}=\frac{k+2 k_{1}}{m}$.

6.13. $x_{1}=x_{2}=\frac{a k}{k-m \gamma^{2}} \cos \gamma t$, где $x_{i}$ – смещение вдоль кольца из положения равновесия $i$-й частицы. Резонанс возможен только на одной из нормальных частот при $\gamma^{2}=k / m$ (см. задачу 6.24).
6.14. Пусть $x_{i}$ – смещение вдоль кольца из положения равновесия $i$-й частицы, тогда
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=x_{3}=\frac{a k\left(\omega_{2}^{2}-\gamma^{2}\right)}{m\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\omega_{3}^{2}\right)} \cos \gamma t, \\
x_{2}=\frac{2 a k^{2}}{m^{2}\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\omega_{3}^{2}\right)} \cos \gamma t,
\end{array}
\]

где собственные частоты $\omega_{i}$ равны $\omega_{1,3}^{2}=(2 \mp \sqrt{2}) \frac{k}{m}, \omega_{2}^{2}=\frac{2 k}{m}$. Обратим внимание на то, что при $\gamma=\omega_{2}$ смещения $x_{1}=x_{3}=0$, а $x_{2}=-a \cos \gamma t$. Почему число резонансов в системе меньше числа нормальных частот?
6.15. Уравнения движения (ср. с задачей 6.12)
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}_{1}+\alpha \dot{x}_{1}+k x_{1}+k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)=k a \operatorname{Re} e^{i \gamma t}, \\
m \ddot{x}_{2}+\alpha \dot{x}_{2}+k x_{2}+k_{1}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Ищсм рсшснис в видс $x_{1}=\operatorname{Re} A e^{i \gamma t}, x_{2}=\operatorname{Re} B e^{i \gamma t}$. Для $A$ и $B$ получасм уравнения
\[
\begin{array}{c}
\left(-m \gamma^{2}+2 i m \lambda \gamma+k+k_{1}\right) A-k_{1} B=k a, \\
-k_{1} A+\left(-m \gamma^{2}+2 i m \lambda \gamma+k+k_{1}\right) B=0, \quad 2 m \lambda=\alpha,
\end{array}
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
A=\frac{a k\left(k+k_{1}-m \gamma^{2}+2 i \lambda m \gamma\right)}{m^{2}\left(\gamma^{2}-2 i \lambda \gamma-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-2 i \lambda \gamma-\omega_{2}^{2}\right)}, \\
B=\frac{a k k_{1}}{m^{2}\left(\gamma^{2}-2 i \lambda \gamma-\omega_{1}^{2}\right)\left(\gamma^{2}-2 i \lambda \gamma-\omega_{2}^{2}\right)}, \\
x_{1}=\frac{a k \sqrt{\left(\gamma^{2}-\frac{1}{2} \omega_{1}^{2}-\frac{1}{2} \omega_{2}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}} \cos \left(\gamma t+\varphi_{1}+\varphi_{2}+\psi\right)}{m \sqrt{\left[\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}\right]\left[\left(\gamma^{2}-\omega_{2}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}\right]}}, \\
x_{2}=\frac{a k k_{1} \cos \left(\gamma t+\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}{m^{2} \sqrt{\left[\left(\gamma^{2}-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}\right]\left[\left(\gamma^{2}-\omega_{2}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}\right]}}, \\
\omega_{1}^{2}=\frac{k}{m}, \quad \omega_{2}^{2}=\frac{k+2 k_{1}}{m}, \quad \operatorname{tg} \varphi_{1,2}=\frac{2 \lambda \gamma}{\gamma^{2}-\omega_{1,2}^{2}}, \quad \operatorname{tg} \psi=\frac{4 \lambda \gamma}{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}-2 \gamma^{2}} . \\
\end{array}
\]

Между колебаниями двух частиц возникает сдвиг фаз $\psi$; полного демпфирования колебании первой частицы нет. Амплитуда колебаний как функция частоты вынуждающей силы $\gamma$ имеет один или два максимума в зависимости от соотношения параметров $\omega_{1}, \omega_{2}$ и $\lambda$ (см. [16], §1).
6.16. Функция Лагранжа системы ( $x$ и $y$ – смещения из положения равновесия первой и второй частиц)
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}-\frac{k_{1}+k_{2}}{m} x^{2}-\frac{k_{2}+k_{3}}{m} y^{2}+\frac{2 k_{2}}{m} x y\right)+k_{1} a x \cos \gamma t
\]

отличается от функции Лагранжа, рассмотренной в задаче $6.5 \mathrm{a}$, лишь слагаемым $x k_{1} a \cos \gamma t$, отвечающим силе $k_{1} a \cos \gamma t$, действующей на первую частицу. Ниже мы будем пользоваться обозначениями задачи 6.5 а. Парциальная частота $\omega_{1,2}=\sqrt{\frac{k_{1,3}+k_{2}}{m}}$ соответствует нормальной частоте системы, которая получится, если закрепить вторую (первую) частицу Рис. 127 в положении равновесия, т. е. положить $y=0$ (соответственно $x=0$ ). При переходе к нормальным координатам $Q_{1}, Q_{2}$ функция Лагранжа приводится к виду
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{Q}_{1}^{2}-\Omega_{1}^{2} Q_{1}^{2}+\dot{Q}_{2}^{2}-\Omega_{2}^{2} Q_{2}^{2}\right)+\left(F_{1} Q_{1}+F_{2} Q_{2}\right) \cos \gamma t,
\]

где $F_{1}=k_{1} a \cos \varphi$ и $F_{2}=-k_{2} a \sin \varphi-$ проекции амплитуды силы $F=$ $=k_{1} a \cos \gamma t$ на нормальные координаты $Q_{1}$ и $Q_{2}$ (рис. 127). Для координаты $Q_{1,2}$ мы получаем уравнение движения осциллятора с частотой $\Omega_{1,2}$ под действием вынуждающей силы $F_{1,2} \cos \gamma t$. Начальные условия $Q_{i}(0)=\dot{Q}_{i}(0)=0$. Получаем
\[
Q_{1,2}=\frac{F_{1,2}\left(\cos \gamma t-\cos \Omega_{1,2} t\right)}{m\left(\Omega_{1,2}^{2}-\gamma^{2}\right)} .
\]

У данной системы в приближении слабой связи
\[
\frac{k_{2}}{k_{3}-k_{1}} \equiv \varepsilon \ll 1
\]

(для определенности $k_{1}<k_{3}$ ) интересно рассмотреть резонанс на второй нормальной частоте. Полагая $\gamma=\Omega_{2}\left(1+\varepsilon_{1}\right)$, имеем
\[
\begin{aligned}
Q_{1} & =\frac{k_{1} a}{k_{1}-k_{3}}\left(\cos \omega_{2} t-\cos \omega_{1} t\right), & \\
Q_{2} & =-\frac{k_{1} a \varepsilon}{m \omega_{2}^{2} \varepsilon_{1}} \sin \left(\varepsilon_{1} \frac{\omega_{2}}{2} t\right) \sin \omega_{2} t & \text { при }\left|\varepsilon_{1}\right| \ll 1, \\
Q_{2} & =-\frac{k_{1} a}{2 m \omega_{2}} \varepsilon t \sin \omega_{2} t & \text { при } \varepsilon_{1}=0 .
\end{aligned}
\]

Таким образом, даже при слабой связи амплитуда $Q_{2}$ может быть большой или расти со временем, однако скорость ее изменения при этом будет мала. Поскольку угол поворота мал ( $\sin \varphi=\varepsilon$ ), для смещении имеем: $x=Q_{1}-\varepsilon Q_{2}$ и $y=Q_{2}$.

Какова скорость роста амплитуды колебаний при резонансе на первой частоте $\gamma=\Omega_{1}$ ?

Как изменится характер колебаний, если на обе частицы будет действовать малая сила трения, пропорциональная скорости (ср. с задачей 5.11)?
6.17.
a) $x=\frac{F_{0} \cos \varphi}{m\left(\omega_{1}^{2}-\gamma^{2}\right)} \cos \gamma t, \quad y=\frac{F_{0} \sin \varphi}{m\left(\omega_{2}^{2}-\gamma^{2}\right)} \cos \gamma t$

где $\omega_{1}^{2}=\frac{k_{1}}{m}, \omega_{2}^{2}=\frac{k}{m}, \varphi-$ угол между направлением силы и осью $A B$, а $x$ и $y$ – смещения из положения равновесия вдоль осей $A B$ и $C D$. Частица колеблется вдоль прямой, проходящей через центр.

Интересно, что при $\gamma^{2}=\omega_{1}^{2} \sin ^{2} \varphi+\omega_{2}^{2} \cos ^{2} \varphi$ эта прямая перпендикулярна к вектору $\mathbf{F}_{0}$. В этом случае работа вынуждающей силы равна нулю. Поэтому, казалось бы, наличие даже малого трения должно привести к затуханию колебаний. Так ли это?
б) $x=\frac{F}{m\left(\omega_{1}^{2}-\gamma^{2}\right)} \cos \gamma t, y=\frac{F}{m\left(\omega_{2}^{2}-\gamma^{2}\right)} \sin \gamma t$. Траектория – эллипс с полуосями $a=\frac{F}{m\left|\omega_{1}^{2}-\gamma^{2}\right|}$ и $b=\frac{F}{m\left|\omega_{2}^{2}-\gamma^{2}\right|}$. Если величины $\left(\omega_{1}^{2}-\gamma^{2}\right)$ и $\left(\omega_{2}^{2}-\gamma^{2}\right.$ ) противоположны по знаку, то движение частицы по эллипсу происходит по часовой стрелке, а вектор силы вращается против часовой стрелки.

Как изменятся описанные выше картины движения частицы, если натяжение пружинок в положении равновесия не равно нулю?

6.18. Пусть $x_{i}$ – смещение $i$-й частицы вдоль кольца из положения равновесия. Три частицы могут вращаться по кольцу с постоянной угловой скоростью, при этом
\[
x_{1}=x_{2}=x_{3}=C t+C_{1}=q_{1}(t), \quad \omega_{1}=0 .
\]

Колебания же частиц 1 и 2 навстречу друг другу с равной амплитудой
\[
x_{1}=-x_{2}=A \cos \left(\omega_{2} t+\alpha\right)=q_{2}(t), \quad x_{3}=0, \quad \omega_{2}=\sqrt{\frac{3 k}{m}}
\]

происходят, очевидно, с той же частотой, что и колебания частиц 2 и 3 навстречу друг другу
\[
x_{1}=0, \quad x_{2}=-x_{3}=B \cos \left(\omega_{3} t+\beta\right)=q_{3}(t), \quad \omega_{3}=\omega_{2} .
\]

Рис. 128
Введем «вектор смещения»
\[
\mathbf{r}=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}\right),
\]

тогда колебания (1)-(3) можно представить в виде (рис. 128),
\[
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) q_{1}, \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{2}, \quad \mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right) q_{3} .
\]

Любая линейная комбинация векторов $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathrm{r}_{3}$ также представляет собой колебания с частотой $\omega_{2}$. Таким образом, в пространстве с декартовыми координатами $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ совокупность решений, отвечающих колебаниям с дважды вырожденной частотой $\omega_{2}=\omega_{3}$, определяет плоскость, проходящую через векторы $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{r}_{3}$.’ Как легко видеть из (4), оба эти вектора
${ }^{1}$ Отметим, что в этой плоскости линейная комбинация вида $a \mathbf{r}_{1}(t)+b \mathbf{r}_{2}(t)$ представляет собой либо колебания по прямой (при $\alpha=\beta, \beta+\pi$ ), либо движение по эллипсу (при $\alpha
eq \beta$ ).

(а следовательно, и все векторы, лежащие в этой плоскости) ортогональны вектору $\mathbf{r}_{1}$ (общее соотношение ортогональности см. в задаче 6.22).
Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{x}_{3}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left[\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}\right] .
\]

Нормальные координаты должны диагонализовать одновременно обе квадратичные формы – для кинетической и для потенциальной энергии. Поскольку в (5) кинетическая энергия уже пропорциональна сумме квадратов скоростей, то преобразование от $x_{i}$ к нормальным координатам, не меняющее ее вида, должно быть ортогональным, а векторы соответствующих нормальных колебании – взаимно ортогональными. Векторы $\mathbf{r}_{i}$ независимы, но не ортогональны друг другу: $\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{2}=\mathbf{r}_{1} \mathbf{r}_{3}=0$, но $\mathbf{r}_{2} \mathbf{r}_{3}
eq 0$. Чтобы получить нормальные координаты, достаточно в плоскости векторов $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{r}_{3}$ выбрать два взаимно ортогональных вектора. Это могут быть, например, вектор $\mathbf{r}_{2}$ и ортогональный ему вектор е $q_{3}$, где единичный вектор е найден из условия $\mathrm{er}_{1}=\mathrm{er}_{2}=0$. В итоге набор нормированных векторов ${ }^{1}$
\[
\mathbf{r}_{1}^{\prime}=\frac{\mathbf{r}_{1}}{\sqrt{3}}, \quad \mathbf{r}_{2}^{\prime}=\frac{\mathbf{r}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \mathbf{r}_{3}^{\prime}=\mathbf{e} q_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right) q_{3}
\]

позволяет определить нормальные координаты:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1}+\frac{1}{\sqrt{2}} q_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}} q_{3}, \\
x_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}} q_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}} q_{3}, \\
x_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1}-\frac{2}{\sqrt{6}} q_{3},
\end{array}\right.
\]

которые приводят функцию Лагранжа (5) к виду
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}-\omega_{2}^{2} q_{2}^{2}+\dot{q}_{3}^{2}-\omega_{3}^{2} q_{3}^{2}\right) .
\]

Разумеется, любые координаты, полученные из $q_{2}, q_{3}$ ортогональным преобразованием (т. е. простым поворотом вокруг $\mathrm{r}_{1}$ ), также являются нормальными координатами.
${ }^{1}$ Множители $1 / \sqrt{3}$ и $1 / \sqrt{2}$ введены для того, чтобы нормировать векторы $\mathbf{r}_{i}$ условием $\mathbf{r}_{i} \mathbf{r}_{k}=\delta_{i k} q_{i}^{2}$, при этом условии преобразование (7) ортогональное.

6.19. Начальные условия для смещения $x_{i}$ вдоль кольца
\[
x_{1}(0)=a, \quad x_{2}(0)=x_{3}(0)=\dot{x}_{i}(0)=0 .
\]

Отсюда для нормальных координат $q_{i}$ (см. формулу (7) предыдущей задачи) найдем начальные условия:
\[
q_{1}(0)=\frac{a}{\sqrt{3}}, \quad q_{2}(0)=\frac{a}{\sqrt{2}} ; \quad q_{3}(0)=\frac{a}{\sqrt{6}}, \quad \dot{q}_{i}(0)=0 .
\]

Поэтому
\[
q_{1}=\frac{a}{\sqrt{3}}, \quad q_{2}=\frac{a}{\sqrt{2}} \cos \omega_{2} t, \quad q_{3}=\frac{a}{\sqrt{6}} \cos \omega_{3} t,
\]

и с учетом того, что $\omega_{2}=\omega_{3}$, получаем окончательно
\[
x_{1}=\frac{a}{3}+\frac{2 a}{3} \cos \omega_{2} t, \quad x_{2}=x_{3}=\frac{a}{3}-\frac{a}{3} \cos \omega_{2} t .
\]
6.20. Пользуемся обозначениями задачи 6.18. Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+2 \dot{x}_{2}^{2}+3 \dot{x}_{3}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left[2\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+6\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+3\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}\right] .
\]

Уравнения движения подстановкой $x_{i}=A_{i} \cos (\omega t+\varphi)$ сводятся к системе трех алгебраических уравнении:
\[
\left\{\begin{aligned}
\left(-m \omega^{2}+5 k\right) A_{1}-2 k A_{2}-3 k A_{3} & =0 \\
-2 k A_{1}+\left(-2 m \omega^{2}+8 k\right) A_{2}-6 k A_{3} & =0 \\
-3 k A_{1}-6 k A_{2}+\left(-3 m \omega^{2}+9 k\right) A_{3} & =0 .
\end{aligned}\right.
\]

Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:
\[
\omega^{2}\left(m \omega^{2}-6 k\right)^{2}=0 .
\]

Отсюда находим собственные частоты системы:
\[
\omega_{1}=0, \quad \omega_{2}=\omega_{3}=\sqrt{\frac{6 k}{m}} .
\]

Значению $\omega_{1}=0$ отвечает очевидное решение – вращение по кольцу с постоянной угловой скоростью
\[
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) q_{1}, \quad q_{1}(t)=C t+C_{1} .
\]

Для совпадающих частот $\omega_{2}=\omega_{3}$ в системе (2) лишь одно уравнение является независимым:
\[
A_{1}+2 A_{2}+3 A_{3}=0 .
\]

Любые наборы величин $A_{i}$, удовлетворяющие условию (4), дают колебания с частотой $\omega_{2}$. В частности, можно выбрать такие колебания, чтобы первая, или вторая, или третья частица покоилась:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
0 \\
3 \\
-2
\end{array}\right) q_{2}, \quad \mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{r}
3 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) q_{3}, \quad \mathbf{r}_{4}=\left(\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{4} . \\
q_{i}=C_{i} \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{i}\right), \quad i=2,3,4 .
\end{array}
\]

Согласно (4) любая линейная комбинация векторов (5) ортогональна вектору
\[
\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right) \text {. }
\]

Легко убедиться, что набор векторов
\[
\mathbf{r}_{1}, \quad \mathbf{r}_{2}, \quad \mathbf{r}_{3}^{\prime}=\left(\begin{array}{r}
5 \\
-1 \\
1
\end{array}\right) q_{3}
\]

позволяет, как и в задаче 6.18 , определить нормальные координаты, которые приводят функцию Лагранжа (1) к диагональному виду. Векторы (6) удовлетворяют не простому соотношению ортогональности (как в задаче 6.18), а соотношению «ортогональности с весом» (см. задачу 6.22).

6.21. Векторы нормальных колебаний
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{1}, \quad \mathbf{r}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) q_{2}, \\
\mathbf{r}_{3}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right) q_{3}, \quad \mathbf{r}_{4}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) q_{4}, \\
q_{l}=A_{l} \cos \left(\omega_{l} t+\varphi_{l}\right), \quad l=1,2,3 ; \quad q_{4}=A_{4} t+A_{5}, \\
\omega_{1}=\omega_{2}=\sqrt{\frac{2 k}{m}}, \quad \omega_{3}=2 \sqrt{\frac{k}{m}} .
\end{array}
\]

Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\dot{q}_{3}^{2}+\dot{q}_{4}^{2}-\omega_{1}^{2} q_{1}^{2}-\omega_{2}^{2} q_{2}^{2}-\omega_{3}^{2} q_{3}^{2}\right) .
\]

Это, конечно, не единственный выбор. Любые векторы, полученные из данных поворотом в плоскости, определяемой векторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, также будут векторами нормальных колебаний, например:
\[
\mathbf{r}_{1}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
-1 \\
-1
\end{array}\right) q_{1}^{\prime}, \quad \mathbf{r}_{2}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right) q_{2}^{\prime}, \quad \mathbf{r}_{3}^{\prime}=\mathbf{r}_{3}, \quad \mathbf{r}_{4}^{\prime}=\mathbf{r}_{4}
\]
(поворот на $\pi / 4$ ). Но векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}^{\prime}, \mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{4}$ хотя и независимы, но не приводят функцию Лагранжа к сумме квадратов.
6.22. Амплитуды нормальных колебаний удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
-\omega_{l}^{2} \sum_{j} m_{i j} A_{j}^{(l)}+\sum_{j} k_{i j} A_{j}^{(l)}=0, \\
-\omega_{s}^{2} \sum_{j} m_{i j} A_{j}^{(s)}+\sum_{j} k_{i j} A_{j}^{(s)}=0 .
\end{array}
\]

Умножим уравнение (1) на $A_{i}^{(s)}$, а уравнение (2) – на $A_{i}^{(l)}$. Взяв в обоих уравнениях сумму по $i$, получим
\[
\begin{array}{l}
-\omega_{l}^{2} \sum_{i j} m_{i j} A_{j}^{(l)} A_{i}^{(s)}+\sum_{i j} k_{i j} A_{j}^{(l)} A_{i}^{(s)}=0, \\
-\omega_{s}^{2} \sum_{i j} m_{i j} A_{j}^{(s)} A_{i}^{(l)}+\sum_{i j} k_{i j} A_{j}^{(s)} A_{i}^{(l)}=0 .
\end{array}
\]

Вычтем уравнение (4) из уравнения (3), учитывая, что $m_{i j}=m_{j i}$ и $k_{i j}=k_{j i}$, получим
\[
\left(\omega_{s}^{2}-\omega_{l}^{2}\right) \sum_{i j} m_{i j} A_{i}^{(s)} A_{j}^{(l)}=0,
\]
т. е. при $\omega_{s}
eq \omega_{l}$
\[
\sum_{i j} m_{i j} A_{i}^{(s)} A_{j}^{(l)}=0,
\]

и одновременно из (3)
\[
\sum_{i j} k_{i j} A_{i}^{(s)} A_{j}^{(l)}=0 .
\]

Удобно воспользоваться терминологией, принятой в линейной алгебре. Набор амплитуд данного колебания будем называть вектором амплитуды $\mathbf{A}^{(l)}=\left(A_{1}^{(l)}, A_{2}^{(l)}, \ldots, A_{N}^{(l)}\right)$. Доказанные соотношения (5) и (6) означают, что амплитуды $\mathbf{A}^{(s)}$ и $\mathbf{A}^{(l)}$ взаимно ортогональны, если скалярное произведение определять с помощью метрических тензоров $m_{i j}$ или $k_{i j}$.

В случае вырождения (если $\omega_{s}=\omega_{l}$ ) амплитуды $\mathbf{A}^{(s)}$ и $\mathbf{A}^{(l)}$ не обязаны удовлетворять соотношениям (5) и (6). Но в этом случае всегда можно выбрать, и притом не единственным способом, такие амплитуды, которые удовлетворяли бы (5) и (6) и приводили бы функцию Лагранжа к сумме квадратов.
6.23. Переходя к нормальным координатам
\[
x_{i}=\sum_{l} A_{i}^{(l)} q_{l},
\]

преобразуем уравнение связи
\[
\sum_{l} b_{l} q_{l}=0, \quad b_{l}=\sum_{i} a_{i} A_{i}^{(l)} .
\]

Уравнения движения с неопределенным множителем Лагранжа $\lambda$
\[
M_{l}\left(\ddot{q}_{l}+\Omega_{l}^{2} q_{l}\right)=b_{l} \lambda
\]

можно решить, полагая
\[
q_{l}=C_{l} \cos (\omega t+\varphi), \quad \lambda=\Lambda \cos (\omega t+\varphi) .
\]

Выразив $C_{l}$ из уравнения
\[
M_{l}\left(\Omega_{l}^{2}-\omega^{2}\right) C_{l}=b_{l} \Lambda
\]

и подставив в уравнение связи, получаем для новых частот уравнение
\[
\Lambda \sum_{l} \frac{b_{l}^{2}}{M_{l}\left(\Omega_{l}^{2}-\omega^{2}\right)}=0 .
\]

Для исследования этого уравнения удобно представить график (рис. 129)
\[
y\left(\omega^{2}\right)=\sum_{l} \frac{b_{l}^{2}}{M_{l}\left(\Omega_{l}^{2}-\omega^{2}\right)}=0 .
\]

Обратим внимание, что функция $y\left(\omega^{2}\right)$ меняет знак, проходя через бесконечное значение при $\omega^{2}=\Omega_{l}^{2}$. После этого расположение корней $\omega_{l}$ становится очевидным. Если какойнибудь из коэффициентов $b_{l}$ равен нулю, то соответствующее нормальное колебание (и его частота) не изменяются при наложении связи.

Рассмотренному в этой задаче факту можно дать простую геометрическую интерпретацию (см. [6], §24).
6.24. Подставив $x_{j}=\sum_{l} \lambda^{(l)} A_{j}^{(l)} \cos \gamma t$ в уравнения движения
\[
\sum_{j} m_{i j} \ddot{x}_{j}+\sum_{j} k_{i j} x_{j}=f_{i} \cos \gamma t,
\]

получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов $\lambda^{(l)}$ :
\[
-\gamma^{2} \sum_{i, j} m_{i j} \lambda^{(l)} A_{j}^{(l)}+\sum_{j, l} k_{i j} \lambda^{(l)} A_{j}^{(l)}=f_{i} .
\]

Ее проще всего решить, используя соотношения ортогональности (5), (6) задачи 6.22 .

Для этого умножим уравнения (2) на $A_{i}^{(s)}$ и, просуммировав по $i$, получим окончательно
\[
\lambda^{(s)}=\frac{F_{s}}{M_{s}\left(\omega_{s}^{2}-\gamma^{2}\right)},
\]

где
\[
F_{s}=\sum_{i} A_{i}^{(s)} f_{i}, \quad M_{s}=\sum_{i, j} m_{i j} A_{i}^{(s)} A_{j}^{(s)}, \quad K_{s}=\sum_{i, j} k_{i j} A_{i}^{(s)} A_{j}^{(s)},
\]

а величина $\omega_{s}=\sqrt{K_{s} / M_{s}}$ является $s$-й нормальной частотой системы в соответствии с формулой (4) задачи 6.22. ${ }^{1}$ Зависимость $\lambda^{(s)}$ от $\gamma$ имеет резонансный характер.
Для нормальных колебаний $q_{s}$, введенных по формуле
\[
x_{i}=\sum_{s} A_{i}^{(s)} q_{s}(t)
\]

вместо (1) получаем следующие уравнения движения:
\[
M_{s} \ddot{q}_{s}+K_{s} q_{s}=F_{s} \cos \gamma t .
\]

Отсюда, если вектор силы $f_{i}$ ортогонален к амплитуде некоторого $s$-го нормального колебания $\sum_{i} A_{i}^{(s)} f_{i}=0$, то соответствующая нормальная координата удовлетворяет уравнению свободных колебаний, и резонанс на данной частоте при $\omega=\omega_{s}$ не проявляется.

Отметим, что работа внешней силы в этом случае равна нулю $\left(\sum_{i} f_{i} d x_{i}=\sum_{i} f_{i} A_{i}^{(s)} d q_{s}=0\right)$.

Пусть вектор силы параллелен какому-либо нормальному колебанию: $\frac{f_{i}}{A_{i}^{(s)}}=$ const $(i=1,2, \ldots, N)$. Может ли такая сила возбудить другие нормальные колебания?
${ }^{1}$ Если некоторые нормальные частоты вырождены, то соответствующие им амплитуды нормальных колебаний мы считаем выбранными так, чтобы они удовлетворяли соотношениям ортогональности (5) и (6) задачи 6.22 .

6.25. Вынужденные установившиеся колебания можно представить в виде (см. предыдущую задачу)
\[
x_{i}=\sum_{j} \beta_{i j} f_{j},
\]

где
\[
\beta_{i j}=\sum_{l} \frac{A_{i}^{(l)} A_{j}^{(l)}}{M_{l}\left(\omega_{l}^{2}-\gamma^{2}\right)} .
\]

Теорема взаимности отражает тот факт, что $\beta_{i j}=\beta_{j i}$.
Как изменится формулировка этой теоремы, если координаты $x_{i}$ и $x_{j}$ имеют разные размерности (например, для электромеханической системы)?
6.26. Нормальные колебания
\[
\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) q_{1}, \quad\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{2}, \quad\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) q_{3}, \quad\left(\begin{array}{c}
1 \\
-m / M \\
1 \\
-m / M
\end{array}\right) q_{4},
\]

где $q_{1}=A t+B, q_{i}=A_{i} \cos \left(\omega_{i} t+\alpha_{i}\right), i=2,3,4 ; \omega_{2}^{2}=\frac{2 k}{m}, \omega_{3}^{2}=\frac{2 k}{M}$, $\omega_{4}^{2}=\frac{2 k(M+m)}{m M}$. Три первых колебания легко угадываются, а последнее находится из условия ортогональности к первым трем. Поскольку массы частиц различны, условие ортогональности двух нормальных колебаний $\mathbf{A}$ и В имеет вид $m A_{1} B_{1}+M A_{2} B_{2}+m A_{3} B_{3}+M A_{4} B_{4}=0$ (см. задачу 6.22).
6.27. Пусть $x_{i}$ – смещение $i$-й частицы вдоль кольца. Два нормальных колебания легко угадываются:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) q_{1}(t), \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{2}(t), \\
q_{1}(t)=C_{1} t+C_{2}, \quad q_{2}(t)=A_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right), \quad \omega_{2}^{2}=\frac{2 k}{m} .
\end{array}
\]

Два других вектора должны быть ортогональны к векторам (1) в метрике, определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии

(см. задачу 6.22), т. е. иметь вид
\[
\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}
a \\
b \\
a \\
-a-\frac{b}{2}
\end{array}\right) q(t) .
\]

Подставляя (2) в уравнения движения первой и второй частиц
\[
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{4}-x_{2}\right)=0, \quad m \ddot{x}_{2}+k\left(2 x_{2}-x_{1}-x_{3}\right)=0,
\]

получаем уравнения для определения величин $a, b$ и частот
\[
\begin{aligned}
\left(-m \omega^{2}+3 k\right) a-\frac{k}{2} b & =0, \\
-2 k a+\left(-m \omega^{2}+2 k\right) b & =0 .
\end{aligned}
\]

Из (3) находим $\omega_{3,4}^{2}=\frac{5 \mp \sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}, b_{3,4}=(1 \pm \sqrt{5}) a_{3,4}$ или
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{r}_{3,4}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \pm \sqrt{5} \\
1 \\
-\frac{3}{2} \mp \frac{\sqrt{5}}{2}
\end{array}\right) q_{3,4}(t), \\
q_{3,4}=A_{3,4} \cos \left(\omega_{3,4} t+\varphi_{3,4}\right) .
\end{array}
\]
6.28. а) Пусть $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ – отклонение $i$-й частицы от положения равновесия. Функция Лагранжа системы имеет вид (см. задачу 5.7)
\[
\begin{array}{c}
L=L_{1}(x, \dot{x})+L_{1}(y, \dot{y})+L_{1}(z, \dot{z}), \\
L_{1}(x, \dot{x})=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{x}_{3}^{2}+\dot{x}_{4}^{2}+\dot{x}_{5}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left[x_{1}^{2}+\left(x_{1}-x_{5}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\left(x_{5}-x_{3}\right)^{2}+x_{3}^{2}+x_{2}^{2}+\left(x_{2}-x_{5}\right)^{2}+\left(x_{5}-x_{4}\right)^{2}+x_{4}^{2}\right],
\end{array}
\]

поэтому колебания по $x, y$ и $z$ происходят независимо. Легко угадать три нормальных колебания по $x$ :
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right) q_{1}, \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{2}, \quad \mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{3} \\
q_{i}=A_{i} \cos \left(\omega_{i} t+\varphi_{i}\right), \quad \omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{3}=\sqrt{\frac{2 k}{m}}
\end{array}
\]

Два остальных нормальных колебания должны быть ортогональны к векторам (1) и потому иметь вид’
\[
\mathbf{r}_{4,5}=\left(\begin{array}{l}
a \\
a \\
a \\
a \\
d
\end{array}\right) q_{4,5} .
\]

Подставляя этот вектор в уравнения движения для первой и пятой частиц
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{5}\right)=0, \\
m \ddot{x}_{5}+k\left(4 x_{5}-x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}\right)=0,
\end{array}
\]

получим два уравнения для определения $a, d$ и частот $\omega_{4,5}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left(-\omega^{2} m+2 k\right) a-k d=0, \\
-4 k a+\left(-m \omega^{2}+4 k\right) d=0 .
\end{array}
\]

Решив (3), найдем $\omega_{4,5}^{2}=(3 \mp \sqrt{5}) \frac{k}{m}$ и $d_{4,5}=(-1 \pm \sqrt{5}) a_{4,5}$.
Окончательно
\[
\mathbf{r}_{4,5}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
-1 \pm \sqrt{5}
\end{array}\right) q_{4,5} .
\]

Для колебании по осям $y$ и $z$ получаются такие же результаты, что и по оси $x$. Таким образом, в системе имеется всего три различные частоты: $\omega_{1}^{2}=\frac{2 k}{m}$ – девятикратно вырожденная и две трехкратно вырожденные $\omega_{4,5}^{2}=(3 \mp \sqrt{5}) \frac{k}{m}$ (о снятии вырождения см. задачу 6.41).
б) Колебания вдоль оси $z$ легко угадываются
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) q_{1}, \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) q_{2}, \quad \mathbf{r}_{3,4}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
\mp 1 \\
1 \\
\mp 1
\end{array}\right) q_{3,4} \\
q_{i}=A_{i} \cos \left(\omega_{i} t+\varphi_{i}\right), \quad \omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{3}=\sqrt{\frac{2 f}{m l}}, \quad \omega_{4}=\sqrt{\frac{f}{m l}},
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Пусть $\mathbf{r}_{4,5}=(a, b, c, e, d) \equiv \mathbf{r}$, тогда условия ортогональности $\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}_{1}\right)=\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}_{2}\right)=$ $=\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}_{3}\right)=0$ дают соотношения $a=b=c=e$.

где $f$ – натяжение пружинок, а $l$ – длина одной пружинки в положении равновесия.

Если $f=k l$, то колебания в направлении оси $x$ (или $y$ ) имеют такой же вид, как в направлении оси $z$, если считать $\mathrm{r}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ (или $\left.\mathbf{r}=\left(y_{2}, y_{1}, y_{4}, y_{3}\right)\right)$. Если же $f
eq k l$, то вырождение снимается. Два нормальных колебания с частотами $\omega_{1}=\sqrt{\frac{2 k}{m}}$ и $\omega_{2}=\sqrt{\frac{2 f}{m l}}$ совпадают с $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$. Два других по условию ортогональности должны иметь вид
\[
\left(\begin{array}{l}
a \\
b \\
a \\
b
\end{array}\right) \cos (\omega t+\varphi) .
\]

Для их нахождения достаточно уравнений движения двух частиц
\[
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{5}\right)=0, \quad m \ddot{x}_{2}+\frac{f}{l}\left(2 x_{2}-x_{5}\right)=0 .
\]

Здесь
\[
x_{5}=\frac{\left[k\left(x_{1}+x_{3}\right)+\frac{f}{l}\left(x_{2}+x_{4}\right)\right]}{\left(2 k+\frac{2 f}{l}\right)}
\]
– координата точки соединения пружинок, определяемая из условия максимальности потенциальной энергии при заданных $x_{1,2,3,4}$.
Решая уравнения, получаем
\[
\begin{aligned}
\omega_{3}^{2} & =\frac{f+k l}{m l}, & b_{3} & =-\frac{f}{k l} a_{3} ; \\
\omega_{4}^{2} & =\frac{2 k f}{m(f+k l)}, & b_{4} & =\frac{k l}{f} a_{4} .
\end{aligned}
\]
6.29. В данном случае ответ может быть получен простым обобщением результатов задачи 6.20 без явного вычисления собственных частот $\omega_{i}$.

Пусть в системе имеется вырождение: $\omega_{1}=0$, а $\omega_{2}=\omega_{3}$. Частоте $\omega_{1}=0$ отвечает вращение частиц по кольцу
\[
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\left(C t+C_{1}\right) .
\]

Из-за вырождения частоты $\omega_{2}$ любой вектор
\[
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3}
\end{array}\right) \cos (\omega t+\varphi),
\]

удовлетворяющий условию
\[
m_{1} A_{1}+m_{2} A_{2}+m_{3} A_{3}=0,
\]

представляет собой нормальное колебание с частотой $\omega=\omega_{2}$. (Равенство (2) есть условие ортогональности вектору $\mathbf{r}_{1}$ в метрике, определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии – см. задачу 6.22). В частности, можно выбрать такое нормальное колебание (1), чтобы первая частица покоилась:
\[
A_{1}=0, \quad m_{2} A_{2}+m_{3} A_{3}=0 .
\]

Подставляя (3) в уравнения движения
\[
\begin{array}{l}
\left(m_{1} \omega^{2}-k_{2}-k_{3}\right) A_{1}+k_{3} A_{2}+k_{2} A_{3}=0, \\
k_{3} A_{1}+\left(m_{2} \omega^{2}-k_{1}-k_{3}\right) A_{2}+k_{1} A_{3}=0, \\
k_{2} A_{1}+k_{1} A_{2}+\left(m_{3} \omega^{2}-k_{1}-k_{2}\right) A_{3}=0,
\end{array}
\]

мы немедленно получаем, что они имеют решение лишь при
\[
k_{3} A_{2}+k_{2} A_{3}=0 .
\]

Сравнивая (3) и (4), находим, что $m_{2} k_{2}=m_{3} k_{3}$. Повторяя подобные рассуждения для случаев, когда покоится вторая или третья частица, получаем, что при вырождении частот коэффициенты $k_{i}$ с необходимостью удовлетворяют условию
\[
m_{1} k_{1}=m_{2} k_{2}=m_{3} k_{3} .
\]

С другой стороны, из приведенных рассуждений видно, что (5) является и достаточным условием вырождения частот. В самом деле, если выполнено условие (5), то в системе существуют три различных нормальных колебания с частотами, отличными от нуля. Из этих трех колебаний в силу (2) лишь два линейно независимы. Отсюда однозначно следует, что эти три колебания имеют одну и ту же частоту.

Таким образом, (5) является необходимым и достаточным условием вырождения частот.

6.30. Для решения удобно воспользоваться методом, изложенным в задаче 6.27 .
a) Нормальные колебания
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\left(C_{1} t+C_{2}\right), \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) A_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right), \\
\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right) A_{3} \cos \left(\omega_{3} t+\varphi_{3}\right), \\
\omega_{2}^{2}=\frac{(3+2 \varepsilon) k}{m}, \quad \omega_{3}^{2}=\frac{3 k}{m}, \quad \varepsilon=\frac{\delta k}{k}
\end{array}
\]

близки при малых $\varepsilon$ к колебаниям (6) задачи 6.18 – амплитуды векторов колебаний совпадают, однако частоты различны. Поэтому, если в задаче 6.18 любая суперпозиция векторов $\mathbf{r}_{2}^{\prime}$ и $\mathbf{r}_{3}^{\prime}$ давала также нормальные колебания, теперь выбор вектора $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{r}_{3}$ вполне однозначен.
б) Нормальные колебания
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\left(C_{1} t+C_{2}\right), \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) A_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right), \\
\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-\frac{2}{1+\varepsilon}
\end{array}\right) A_{3} \cos \left(\omega_{3} t+\varphi_{3}\right) \\
\omega_{2}^{2}=\frac{3 k}{m}, \quad \omega_{3}^{2}=\frac{3+\varepsilon}{1+\varepsilon} \frac{k}{m}, \quad \varepsilon=\frac{\delta m}{m}
\end{array}
\]

близки при малых $\varepsilon$ к колебаниям (6) задачи 6.18. Если перегрузок был добавлен к частице 2 , то нормальные колебания
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\left(C_{1} t+C_{2}\right), \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) A_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{2}\right) \\
\mathbf{r}_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-\frac{2}{1+\varepsilon} \\
1
\end{array}\right) A_{3} \cos \left(\omega_{3} t+\varphi_{3}\right)
\end{array}
\]

близки к суперпозиции нормальных колебаний (6) задачи 6.18.

в) $\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\left(C_{1} t+C_{2}\right)$,
\[
\mathbf{r}_{2,3}=\left\{a_{2,3}\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)+b_{2,3}\left(\begin{array}{r}
-2 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\right\} \cos \left(\omega_{2,3} t+\varphi_{2,3}\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\frac{b_{2,3}}{a_{2,3}} & =\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2} \pm \sqrt{\varepsilon_{1}^{2}+\varepsilon_{2}^{2}-\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} \mp \sqrt{\varepsilon_{-}^{2}+\varepsilon_{2}^{2}-\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}}, \\
\omega_{2,3}^{2} & \approx \frac{k}{m}\left(3-\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2} \mp \sqrt{\varepsilon_{1}^{2}+\varepsilon_{2}^{2}-\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}\right), \\
\varepsilon_{i} & =\frac{\delta m_{i}}{m} .
\end{aligned}
\]
6.31. а) Вектор начального смещения $\mathrm{r}(0)=\left(\begin{array}{r}a \\ 0 \\ -a\end{array}\right)$ представляем в виде суперпозиции векторов $\mathbf{r}_{i}$ (см. формулу (1) предыдущей задачи), взятых в начальный момент времени $t=0$ :
\[
\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_{1}(0)+\mathbf{r}_{2}(0)+\mathbf{r}_{3}(0) .
\]

Аналогично представим вектор начальной скорости
\[
\dot{\mathbf{r}}(0)=\dot{\mathbf{r}}_{1}(0)+\dot{\mathbf{r}}_{2}(0)+\dot{\mathbf{r}}_{3}(0) .
\]

Из системы уравнений (1) и (2) получим следующие значения констант: $A_{2}=A_{3}=a / 2, C_{1}=C_{2}=\varphi_{2}=\varphi_{3}=0$ или
\[
\mathbf{r}=\frac{a}{2}\left(\begin{array}{c}
\cos \omega_{2} t+\cos \omega_{3} t \\
-\cos \omega_{2} t+\cos \omega_{3} t \\
-2 \cos \omega_{3} t
\end{array}\right) \approx a\left(\begin{array}{c}
\cos \frac{\varepsilon \omega_{3} t}{6} \cos \omega_{3} t \\
\sin \frac{\varepsilon \omega_{3} t}{6} \sin \omega_{3} t \\
-\cos \omega_{3} t
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, движение частиц 1 и 2 имеет характер биений, частота которых определяется возмущением $\delta k$, а частица 3 участвует в простом колебании с частотой $\omega_{3}$. Подчеркнем, что даже очень малая добавка $\delta k$ приводит к накапливающимся изменениям, которые для достаточно больших времен становятся существенными (ср. с задачей 2.36).

6.32. а), б)
\[
\mathbf{r}_{1}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right) q_{1}(t), \quad \mathbf{r}_{2}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
-1 \\
-1
\end{array}\right) q_{2}(t), \quad \mathbf{r}_{3,4}=\left(\begin{array}{r}
1 \\
\mp 1 \\
1 \\
\mp 1
\end{array}\right) q_{3,4}(t) ;
\]
в) то же, что и в задаче 6.21 , формула (1).
6.33. $x_{1,2}=-x_{3,4}= \pm \frac{a}{2} \cos \sqrt{\frac{2 k+2 \delta k}{m}} t+\frac{a}{2} \cos \sqrt{\frac{2 k}{m}} t$;

колебания частиц имеют характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).
6.34. Можно ожидать, что изменения частот и векторов нормальных колебаний окажутся малыми, и воспользоваться методом последовательных приближений. Удобно перейти к нормальным координатам исходной системы (см. задачу 6.24)
\[
x_{i}=\sum_{l} A_{i}^{(l)} q_{l} .
\]

При этом $\delta L$ принимает вид
\[
\delta L=\frac{1}{2} \sum_{l, s}\left(\delta M_{l s} \dot{q}_{l} \dot{q}_{s}-\delta K_{l s} q_{l} q_{s}\right),
\]

где
\[
\delta M_{l s}=\sum_{i, j} \delta m_{i j} A_{i}^{(l)} A_{j}^{(s)}, \quad \delta K_{l s}=\sum_{i, j} \delta k_{i j} A_{i}^{(l)} A_{j}^{(s)},
\]

а уравнения движения
\[
M_{l}\left(\ddot{q}_{l}+\omega_{l}^{2} q_{l}\right)=-\sum_{s}\left(\delta M_{l s} \ddot{q}_{s}+\delta K_{l s} q_{s}\right) .
\]

Предполагая, что в нулевом приближении возбуждено только колебание $q_{n}$, можем оставить в правых частях уравнения (3) только слагаемые с $s=n$. Для определения добавки к частоте $\omega_{n}$ достаточно выписать одно уравнение ( $l=n$ ):
\[
\left(M_{n}+\delta M_{n n}\right) \ddot{q}_{n}+\left(M_{n n} \omega_{n}^{2}+\delta K_{n n}\right) q_{n}=0,
\]

откуда
\[
\left(\omega_{n}+\delta \omega_{n}\right)^{2}=\frac{M_{n n} \omega_{n}^{2}+\delta K_{n n}}{M_{n}+\delta M_{n n}},
\]

так что
\[
\delta \omega_{n}=\frac{\delta K_{n n}}{2 \omega_{n} M_{n}}-\frac{\omega_{n} \delta M_{n n}}{2 M_{n}} .
\]

Уравнения с $l
eq n$ позволяют найти поправки к вектору нормального колебания. При этом правые части уравнений можно рассматривать как заданные силы частоты $\omega_{n}$. Возбуждение колебаний $q_{l}$, как мы и ожидали, оказывается слабым, так как эти «силы» малы.

Можно получить и следующие приближения, уточняющие поправки к $\omega_{n}$ и векторам нормальных колебаний (см., например, [13], гл. 1, § 5).

Полезно заметить, что величина $\delta M_{n n}$ в (2) представляет собой добавку к удвоенной кинетической энергии системы при условии, что скорости $\dot{x}_{i}=A_{i}^{(n)}$. Отсюда следует, в частности, что при увеличении масс частиц $\delta M_{n n} \geqslant 0$ и, согласно (4), $\delta \omega_{n} \leqslant 0$. Подобным же образом легко видеть, что при увеличении коэффициентов жесткости пружинок собственные частоты могут только возрастать (ср. [6], § 24; [15]).

Важно понять, что изменится когда мы ищем поправку к вырожденной частоте (пусть $\omega_{p}=\omega_{n}$ ). В этом случае «сила» в правой части уравнений (3) оказывается резонансной. Поэтому координата $q_{p}$ возрастает со временем, и ее тоже нужно учитывать в правых частях уравнений (3). Таким образом, в этом случае нужно использовать уравнения (3) совместно с $l=n, p$, оставив в правых частях только слагаемые с $s=n, p$
\[
\begin{aligned}
M_{n}\left(\ddot{q}_{n}+\omega_{n}^{2} q_{n}\right) & =-\delta M_{n n} \ddot{q}_{n}-\delta M_{n p} \ddot{q}_{p}-\delta K_{n n} q_{n}-\delta K_{n p} q_{p}, \\
M_{p}\left(\ddot{q}_{p}+\omega_{p}^{2} q_{p}\right) & =-\delta M_{p n} \ddot{q}_{n}-\delta M_{p p} \ddot{q}_{p}-\delta K_{p n} q_{n}-\delta K_{p p} q_{p} .
\end{aligned}
\]

Ясно, что сказанное относится и к случаю $\omega_{p} \approx \omega_{n}$.
Итак, для определения поправок ко всем собственным частотам (включая и вырожденные) в добавке (1) к функции Лагранжа можно отбросить все члены, содержащие произведения нормальных координат, относящихся к различным частотам исходной системы.
6.35. Используем обозначения и результаты задач 6.27 и 6.34 . Ясно заранее, что $\delta \omega_{1}=0$. Для остальных частот
\[
\delta \omega_{n}=-\frac{\omega_{n}}{2} \frac{\sum_{i, j}\left(\mathbf{r}_{n}\right)_{i} \delta m_{i j}\left(\mathbf{r}_{n}\right)_{j}}{\sum_{i, j}\left(\mathbf{r}_{n}\right)_{i} m_{i j}\left(\mathbf{r}_{n}\right)_{j}}, \quad n=2,3,4 .
\]

Матрица кинетической энергии $m_{i j}$ диагональна, причем
\[
m_{11}=m_{22}=m_{33}=m, \quad m_{44}=2 m .
\]

Матрица $\delta m_{i j}$ имеет единственный отличный от нуля элемент
\[
\delta m_{11}=\delta m .
\]

Подставляя в (1) выражения (2) и (3), а также компоненты векторов нормальных колебаний $\mathbf{r}_{n}$, найденные в задаче 6.27 , получим
\[
\delta \omega_{2}=-\frac{1}{4} \varepsilon \omega_{2}, \quad \delta \omega_{3,4}=-\frac{3 \mp \sqrt{5}}{40} \varepsilon \omega_{3,4} .
\]
6.36. Векторный потенциал выо́ираем в виде
\[
\mathbf{A}=\frac{\mathscr{H}}{2}(-y, x, 0),
\]

функция Лагранжа
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}\right)+\frac{m \omega_{\mathscr{H}}}{2}(x \dot{y}-y \dot{x}),
\]

где $\omega_{\mathscr{H}}=\frac{e \mathscr{H}}{m c}$. Для $x$ и $y$ получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega_{1}^{2} x-\omega_{\mathscr{H}} \dot{y}=0, \\
\ddot{y}+\omega_{2}^{2} y+\omega_{\mathscr{H}} \dot{x}=0 .
\end{array}
\]

Удобно искать колебания в виде
\[
x=\operatorname{Re}\left(A e^{i \Omega t}\right), \quad y=\operatorname{Re}\left(B e^{i \Omega t}\right) .
\]

Система уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(\omega_{1}^{2}-\Omega^{2}\right) A-i \omega_{\mathscr{H}} \Omega B=0, \\
i \omega_{\mathscr{H}} \Omega A+\left(\omega_{2}^{2}-\Omega^{2}\right) B=0
\end{array}
\]

приводит к колебаниям
\[
\begin{array}{c}
x=\operatorname{Re}\left(A_{k} e^{i \Omega_{k} t}\right)=a_{k} \cos \left(\Omega_{k} t+\varphi_{k}\right), \\
y=\operatorname{Re}\left(A_{k} \frac{-i \omega_{\mathscr{H}} \Omega_{k}}{\omega_{2}^{2}-\Omega_{k}^{2}} e^{i \Omega_{k} t}\right)=a_{k} \frac{\omega_{\mathscr{H}} \Omega_{k}}{\omega_{2}^{2}-\Omega_{k}^{2}} \sin \left(\Omega_{k} t+\varphi_{k}\right), \\
A_{k}=a_{k} e^{i \varphi_{k}}, \quad k=1,2,
\end{array}
\]

с частотами
\[
\Omega_{1,2}^{2}=\frac{1}{2}\left[\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{\mathscr{H}}^{2} \pm \sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{\mathscr{H}}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}\right],
\]

для которых справедливо соотношение $\Omega_{1} \Omega_{2}=\omega_{1} \omega_{2}$. Пусть для определенности $\omega_{1}>\omega_{2}, \omega_{\mathscr{H}}>0$. Тогда первое из найденных колебаний представляет собой движение по эллипсу с большой осью, направленной вдоль оси $x$, по часовой стрелке, а второе – по эллипсу с большой осью, лежащей вдоль оси $y$, в обратном направлении.

Движение вдоль оси $z$ оказывается гармоническим колебанием, не зависящим от магнитного поля,
\[
z=a_{3} \cos \left(\omega_{3} t+\varphi_{3}\right) .
\]

Свободное движение осциллятора представляет собой суперпозицию найденных колебаний. Эти колебания можно назвать нормальными, обобщая тем самым понятие нормального колебания: движения в направлениях осей $x$ и $y$ происходят с одной и той же частотой, но со сдвигом фаз. Привести функцию Лагранжа к диагональному виду с помощью линейного преобразования только координат невозможно, так как переход к нормальным координатам связан в этом случае с каноническим преобразованием (см. задачи 11.7-11.9).
a) Если магнитное поле мало́, $\omega_{\mathscr{H}} \ll \omega_{1}-\omega_{2}$, то эллипсы нормальных колебаний сильно вытянуты, а частоты $\Omega_{1,2} \approx \omega_{1,2} \pm \frac{\omega_{\mathscr{H}}^{2} \omega_{1,2}}{2\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)}$ близки к $\omega_{1,2}$. Траектория осциллятора без магнитного поля заполняет прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат (см. задачу 6.4); влияние слабого магнитного поля приводит только к небольшой деформации области, заполняемой траекторией. (Теорема Лармора здесь неприменима, так как поле $U$ не обладает симметрией относительно оси $z$.)
б) В сильном магнитном поле $\omega_{\mathscr{H}} \gg \omega_{1,2}$ нормальное колебание с частотой $\Omega_{1} \approx \omega_{\mathscr{H}}$ происходит по окружности, а нормальное колебание с частотой $\Omega_{2} \approx \frac{\omega_{1} \omega_{2}}{\omega_{\mathscr{H}}}$ – по эллипсу, у которого отношение осей, параллельных $x$ и $y$, равно $\omega_{2} / \omega_{1}$. Таким образом, происходит движение по окружности, центр которой относительно медленно движется по эллипсу.

Известно, что при движении заряженной частицы в сильном однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к полю, появление слабого квазиоднородного поля $U(\mathbf{r})$ (т. е. такого, что сила $\mathbf{F}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}}$ мало изменяется в пределах круговой орбиты) приводит к медленному смещению (дрейфу) центра орбиты в направлении, перпендикулярном к $\mathbf{F}$ (т. е. по линии уровня $U(\mathbf{r})$ ) (см. [2], §22). Заметим, что в нашем случае подобный же дрейф происходит и в сильно неоднородном осцилляторном поле.
в) Если $\omega_{1}=\omega_{2}$, то в плоскости ( $x, y$ ) нормальные колебания представляют собой движения по окружностям в противоположные стороны с частотами $\Omega_{1,2}=\widetilde{\omega} \pm \omega_{\mathscr{H}} / 2$, где $\widetilde{\omega}=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{\mathscr{H}}^{2} / 4}$. Поэтому в системе, вращающейся с частотой $-\omega_{\mathscr{H}} / 2$ обе частоты этих движений оказываются равными $\widetilde{\omega}$. Такие движения суть нормальные колебания изотропного осциллятора с частотой $\widetilde{\omega}$. Действительно, сумма и разность таких колебаний с равными амплитудами
\[
\left(\begin{array}{r}
\cos \tilde{\omega} t \\
-\sin \tilde{\omega} t
\end{array}\right) \pm\left(\begin{array}{c}
\cos \tilde{\omega} t \\
\sin \widetilde{\omega} t
\end{array}\right)
\]

представляют собой линейные колебания по осям $x$ или $y$. (Мы отвлекаемся от смещения вдоль магнитного поля.)

Если магнитное поле мало, $\omega_{\mathscr{H}} \ll \omega_{1}$, то $\widetilde{\omega} \approx \omega_{1}$, и все влияние поля на движение осциллятора сводится к появлению вращения («прецессии») вокруг оси $z$ с частотой $-\omega_{\mathscr{H}} / 2$ (теорема Лармора, ср. [2], § 45). Если же $\omega_{\mathscr{H}} \gtrsim \omega_{1}$, то использование вращающейся системы теряет наглядность.
6.37. Уравнения движения
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega_{1}^{2} x=\omega_{z} \dot{y}, \\
\ddot{y}+\omega_{2}^{2} y=-\omega_{z} \dot{x}+\omega_{x} \dot{z}, \\
\ddot{z}+\omega_{3}^{2} z=-\omega_{x} \dot{y},
\end{array}
\]

где
\[
\omega_{x}=\frac{e \mathscr{H}_{x}}{m c}, \quad \omega_{z}=\frac{e \mathscr{H}_{z}}{m c}
\]

решаем с помощью последовательных приближений. Ищем координаты в виде $x=x^{(1)}+x^{(2)}, y=y^{(1)}+y^{(2)}, z=z^{(1)}+z^{(2)}$ где $x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)}$ малы по сравнению с $x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)}$. В первом приближении пренебрегаем малыми членами, стоящими в правых частях уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x^{(1)}=A \cos \left(\omega_{1} t+\alpha\right), \\
y^{(1)}=B \cos \left(\omega_{2} t+\beta\right), \\
z^{(1)}=C \cos \left(\omega_{3} t+\gamma\right) .
\end{array}
\]

Поправки $x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)}$ определяются из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}^{(2)}+\omega_{1}^{2} x^{(2)}=\omega_{z} \dot{y}^{(1)}, \\
\ddot{y}^{(2)}+\omega_{2}^{2} y^{(2)}=-\omega_{z} \dot{x}^{(1)}+\omega_{x} \dot{z}^{(1)}, \\
\ddot{z}^{(2)}+\omega_{3}^{2} z^{(2)}=-\omega_{x} \dot{y}^{(1)} .
\end{array}
\]

Получаем
\[
\begin{array}{l}
x^{(2)}=\frac{-\omega_{z} \omega_{2} B \sin \left(\omega_{2} t+\beta\right)}{\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}}, \\
y^{(2)}=\frac{\omega_{1} \omega_{z} A \sin \left(\omega_{1} t+\alpha\right)}{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}}-\frac{\omega_{x} \omega_{3} C \sin \left(\omega_{3} t+\gamma\right)}{\omega_{2}^{2}-\omega_{3}^{2}}, \\
z^{(2)}=\frac{\omega_{x} \omega_{2} B \sin \left(\omega_{2} t+\beta\right)}{\omega_{3}^{2}-\omega_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

Поправки оказываются малыми, если $\left|\omega_{z}\right| \ll\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right|,\left|\omega_{x}\right| \ll\left|\omega_{2}-\omega_{3}\right|$. Нормальные колебания суть колебания по эллипсам, сильно вытянутым вдоль осей координат.

Если же, например, $\left|\omega_{z}\right| \gtrsim\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right|,\left|\omega_{x}\right| \ll\left|\omega_{2}-\omega_{3}\right|$, то $x^{(2)}$ и $y^{(2)}$, согласно (2), уже не малы. Это связано с тем, что частоты «сил» $\omega_{z} \dot{y}^{(1)}$ и $-\omega_{z} \dot{x}^{(1)}$ в (1) оказываются близкими к собственным частотам осциллятора. В этом случае в уравнениях первого приближения следует сохранить резонансные члены:
\[
\begin{aligned}
\ddot{x}^{(1)}+\omega_{1}^{2} x^{(1)}-\omega_{z} \dot{y}^{(1)} & =0, \\
\ddot{y}^{(1)}+\omega_{2}^{2} x^{(1)}+\omega_{z} \dot{x}^{(1)} & =0, \\
\ddot{z}^{(1)}+\omega_{3}^{2} z^{(1)} & =0,
\end{aligned}
\]
т. е. влияние $\mathscr{H}_{z}$ на движение необходимо учесть точно. Система (3) рассмотрена в задаче 6.36 . Для поправок второго порядка имеем уравнения
\[
\begin{aligned}
\ddot{x}^{(2)}+\omega_{1}^{2} x^{(2)} & =0, \\
\ddot{y}^{(2)}+\omega_{2}^{2} y^{(2)} & =\omega_{x} \dot{z}^{(1)}, \\
\ddot{z}^{(2)}+\omega_{3}^{2} z^{(2)} & =-\omega_{x} \dot{y}^{(1)} .
\end{aligned}
\]

Выпишем свободные колебания, во избежание громоздкости ограничившись случаем $\omega_{1}=\omega_{2} \equiv \omega$ :
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\operatorname{Re}\left\{A_{1}\left(\begin{array}{c}
1 \\
i \\
\frac{\omega \omega_{x}}{\omega_{3}^{2}-\omega^{2}}
\end{array}\right) e^{i\left(\omega+\frac{\omega_{z}}{2}\right) t}+\right. \\
\left.+A_{2}\left(\begin{array}{c}
1 \\
-i \\
\frac{-\omega \omega_{x}}{\omega_{3}^{2}-\omega^{2}}
\end{array}\right) e^{i\left(\omega-\frac{\omega_{z}}{2}\right) t}+A_{3}\left(\begin{array}{c}
0 \\
\frac{i \omega_{x} \omega_{3}}{\omega_{3}^{2}-\omega^{2}} \\
1
\end{array}\right) e^{i \omega_{3} t}\right\} .
\end{array}
\]

Нормальные колебания (4) с частотами $\omega \pm \frac{\omega_{z}}{2}$ происходят (в принятом приближении) по окружностям, плоскости которых составляют с плоскостью $(x, y)$ углы $\mp \frac{\omega_{x} \omega}{\omega_{3}^{2}-\omega^{2}}$ (поворот вокруг оси $y$ ), а колебание с частотой $\omega_{3}-$ по сильно вытянутому вдоль оси $z$ эллипсу, лежащему в плоскости $(y, z)$.
6.38. Колебания маятника предполагаем малыми, угол отсчитываем от вертикали против часовой стрелки, в качестве второй координаты возьмем заряд $q$ на правой пластине. При отклонении маятника на угол $\varphi$ магнитный поток через контур равен $\Phi=$ const $-\frac{1}{2} \mathscr{H} l^{2} \varphi$, поэтому функция Лагранжа (см. задачу 4.21)
\[
L=\frac{1}{2}\left(m l^{2} \dot{\varphi}^{2}+\mathscr{L} \dot{q}^{2}-m g l \varphi^{2}-\frac{q^{2}}{C}-\mathscr{H} l^{2} \varphi \dot{q}\right) .
\]

Если ввести координаты $x=l \varphi$ и $y=\sqrt{\mathscr{L} / m} q$, то функция Лагранжа нашей системы отличается от рассмотренной в задаче 6.36 (с параметрами $\omega_{1}^{2}=\frac{g}{l}, \omega_{2}^{2}=\frac{1}{\mathscr{L} C}, \omega_{\mathscr{H}}=-\frac{\mathscr{H} l}{2 \sqrt{m \mathscr{L}}}$ при $z=0$ ) лишь на полную производную по времени: $\frac{m}{2} \omega_{\mathscr{H}} \frac{d}{d t} x y$. Поэтому уравнения движения и их решения в задаче 6.35 справедливы и для нашего случая.
6.39. Пусть
\[
\mathbf{r}=\mathbf{A} \cos (\omega t+\varphi), \quad \mathbf{A}=\left(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{N}\right)
\]
– какое-либо нормальное колебание. Поскольку замена $x_{i} \rightarrow \sum_{j} S_{i j} x_{j}$, не меняет вида функции Лагранжа, то наряду с (1) должно существовать
нормальное колебание вида
\[
S \mathbf{r}=S \mathbf{A} \cos (\omega t+\varphi), \quad(S \mathbf{A})_{i}=\sum_{j} S_{i j} A_{j} .
\]

Здесь $S$ – матрица с элементами $S_{i j}$, которая по условию обладает свойствами ( $E$ – единичная матрица, $S^{T}$ – транспонированная матрица $S$ ):
\[
S^{T}=S, \quad S S=E .
\]
a) Если данная частота $\omega$ не вырождена, то решение (2) может отличаться от (1) разве лишь общим множителем:
\[
S \mathrm{r}=c \mathrm{r} .
\]

Аналогично
\[
S S \mathbf{r}=c S \mathbf{r}=c^{2} \mathbf{r} .
\]

Поскольку $S S=E$, то из (4) немедленно следует, что $\mathbf{r}=c^{2} \mathbf{r}$, или $c^{2}=1$ и $c= \pm 1$. Поэтому для невырожденной частоты
\[
\text { или } \quad S \mathbf{r}=+\mathbf{r}, \text { или } \quad S \mathbf{r}=-\mathbf{r} .
\]
б) Если частота $\omega$ вырождена, то колебания (1) и (2) могут и не совпадать. Но их сумма и разность
\[
\mathbf{r} \pm S \mathbf{r}=(\mathbf{A} \pm S \mathbf{A}) \cos (\omega t+\varphi)
\]

также являются нормальными колебаниями с той же частотой, обладающими необходимыми свойствами симметрии.
в) Добавка к функции Лагранжа имеет вид $\Delta L=\sum_{i} f_{i} x_{i}$, где
\[
\mathbf{f}=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{N}\right)
\]
– внешняя сила, действующая на систему.

Пусть сила $\mathbf{f}$ симметрична, а нормальное колебание $\mathbf{r}_{a}$ вида (1) антисимметрично относительно преобразования $S$, т. е.
\[
S \mathbf{f}=+\mathbf{f}, \quad S \mathbf{r}_{a}=-\mathbf{r}_{a} .
\]

Данная сила не влияет на колебание $\mathrm{r}_{a}$, если векторы $\mathrm{f}$ и $\mathrm{r}_{a}$ взаимно ортогональны (см. задачу 6.24):
\[
\left(\mathbf{f}, \mathbf{r}_{a}\right)=0 .
\]

Из (5) следует, что
\[
\left(S \mathbf{f}, S \mathbf{r}_{a}\right)=-\left(\mathbf{f}, \mathbf{r}_{a}\right) .
\]

С другой стороны, левую часть (7) можно переписать в виде
\[
\left(S \mathbf{f}, S \mathbf{r}_{a}\right)=\left(\mathbf{f}, S^{T} S \mathbf{r}_{a}\right) .
\]

Из (3) очевидно, что $S^{T} S=E$. Сравнивая тогда (7) и (8), получим немедленно (6).

Остаются ли неизменными пункты а)-в) задачи, если заранее не требовать условия $S^{T}=S$ ?
6.40. Пусть $x_{i}$ – смещение $i$-й частицы вдоль кольца из положения равновесия, для определенности считаем положительным смещение против часовой стрелки. Система явно симметрична относительно поворота на угол $180^{\circ}$ вокруг оси $A B$, проходящей через положение равновесия второй частицы и центр кольца. Поэтому и функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{x}_{3}^{2}\right)+\frac{M}{2}\left(\dot{x}_{4}^{2}+\dot{x}_{5}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left[\sum_{i=1}^{4}\left(x_{i}-x_{i+1}\right)^{2}+\left(x_{5}-x_{1}\right)^{2}\right]
\]

не изменяет своего вида при соответствующей такому повороту замене
\[
x_{2} \rightarrow-x_{2}, \quad x_{1} \rightarrow-x_{3}, \quad x_{3} \rightarrow-x_{1}, \quad x_{4} \rightarrow-x_{5}, \quad x_{5} \rightarrow-x_{4} .
\]

Использование соображений симметрии (см. предыдущую задачу) и ортогональности позволяет очень просто свести эту задачу с пятью степенями свободы к двум независимым задачам с двумя степенями свободы каждая.

Действительно, векторы нормальных колебаний, симметричные и антисимметричные относительно преобразования (1), имеют вид
\[
\mathbf{r}_{s}=\left(\begin{array}{r}
a \\
0 \\
-a \\
b \\
-b
\end{array}\right) \cos \left(\omega_{s} t+\varphi_{s}\right), \quad \mathbf{r}_{a}=\left(\begin{array}{l}
c \\
d \\
c \\
f \\
f
\end{array}\right) \cos \left(\omega_{a} t+\varphi_{a}\right) .
\]

Кроме того, одно антисимметричное «колебание» легко угадывается – это

вращение всех частиц по кольцу
\[
\mathbf{r}_{a 1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)\left(C t+C_{1}\right), \quad \omega_{a 1}=0 .
\]

Два других (помимо $\mathbf{r}_{a 1}$ ) антисимметричных колебания должны быть ортогональны к $\mathbf{r}_{a 1}$ с метрическим тензором, определяемым коэффициентами кинетической энергии, т. е.
\[
m(2 c+d)+2 M f=0 .
\]

В итоге в $\mathbf{r}_{a}$ и $\mathbf{r}_{s}$ остаются неопределенными всего по два коэффициента. Для определения их достаточно использовать всего лишь два уравнения движения из пяти, например для первой и пятой частиц:
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{2}-x_{5}\right)=0, \\
M \ddot{x}_{5}+k\left(2 x_{5}-x_{4}-x_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Подставляя сюда явный вид $\mathbf{r}_{s}$, найдем для двух симметричных колебаний
\[
\begin{aligned}
b_{1,2} & =\left(\frac{m}{k} \omega_{s 1,2}^{2}-2\right) a_{1,2}, \\
\omega_{s 1,2}^{2} & =\frac{k}{2 m M}\left(2 M+3 m \mp \sqrt{2(M-m)^{2}+5 m^{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Аналогично, подставляя в (3) вектор $\mathbf{r}_{a}$ и учитывая (2), найдем
\[
\begin{aligned}
c_{2,3} & =\left(\frac{M}{k} \omega_{a 2,3}^{2}-1\right) f_{2,3}, \quad d_{2,3}=-2 c_{2,3}-\frac{2 M}{m} f_{2,3}, \\
\omega_{a 2,3}^{2} & =\frac{k}{2 m M}\left(4 M+m \mp \sqrt{\frac{1}{2}(4 M-m)^{2}+\frac{1}{2} m^{2}}\right) .
\end{aligned}
\]
6.41. Рассматриваемая система близка к изученной в задаче $6.28 \mathrm{a}$, функция Лагранжа в нашей задаче отличается на малую величину
\[
\begin{array}{c}
\delta L=\delta L_{1}(x, \dot{x})+\delta L_{2}(y, \dot{y})+\delta L_{3}(z, \dot{z}), \\
\delta L_{1}(x, \dot{x})=\frac{\varepsilon k}{2}\left[x_{2}^{2}+\left(x_{2}-x_{5}\right)^{2}+\left(x_{4}-x_{5}\right)^{2}+x_{4}^{2}\right], \\
\varepsilon=\frac{l-l_{1}}{l} \ll 1 .
\end{array}
\]

И в этом случае колебания по $x, y, z$ происходят независимо. Нас интересуют только колебания по $x$.

Для определения частот колебании удобно воспользоваться методом последовательных приближений (см. задачу 6.34). Частоты $\omega_{3,4}$ невырожденные, так что к этим колебаниям непосредственно применима формула (4) из задачи 6.34.

Частота $\omega_{1}$ исходной задачи (6.28 a) трехкратно вырождена, поэтому, казалось бы, для определения поправок к частоте и векторов нормальных колебаний придется рассматривать систему уравнений типа (5) из задачи 6.34. Однако свойства симметрии системы позволяют сразу же указать те векторы нормальных колебаний исходной системы, которые мало изменяются при добавлении $\delta L$. Это как раз векторы (1) из задачи 6.28 , потому что именно они обладают определенными свойствами симметрии: колебание $\mathbf{r}_{3}$ симметрично относительно оси $A B$ и антисимметрично относительно $C D$, $\mathbf{r}_{1}$ – симметрично, а $\mathbf{r}_{2}$ – антисимметрично относительно обеих осей. Поправки к частотам этих колебаний тоже можно вычислять по формуле (4) из задачи 6.34 .
Подставляя $x_{1}=-x_{3}=1, x_{2}=x_{4}=x_{5}=0$, находим
\[
\delta K_{11}=-2 \delta L_{1}=0,
\]

так что $\delta \omega_{1}=0$. Аналогично
\[
\begin{array}{c}
\delta K_{22}=-2 \delta L_{1}\left(x_{1}=x_{3}=x_{5}=0, x_{2}=-x_{4}=1\right)=-4 \varepsilon k, \\
M_{2}=2 L_{1}\left(\dot{x}_{1}=\dot{x}_{3}=\dot{x}_{5}=0, \dot{x}_{2}=-\dot{x}_{4}=1, x_{i}=0\right)=2 m,
\end{array}
\]

так что $\delta \omega_{2}=-\varepsilon \sqrt{\frac{k}{2 m}}$;
\[
\delta K_{33}=-4 \varepsilon k, \quad M_{3}=4 m, \quad \delta \omega_{3}=-\frac{\varepsilon}{2} \sqrt{\frac{k}{2 m}} .
\]

Представляя вектор начального смещения $\mathrm{r}(0)=\left(\begin{array}{r}a \\ 0 \\ 0 \\ -a \\ 0\end{array}\right)$ и вектор начальной скорости $\dot{\mathbf{r}}(0)=0$ в виде $\mathbf{r}(0)=\sum_{i} \mathbf{r}_{i}(0)$ и $\dot{\mathbf{r}}(0)=\sum_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}(0)$ соответственно, найдем, что
\[
A_{1}=A_{2}=A_{3}=\frac{a}{2}, \quad A_{4}=A_{5}=\varphi_{i}=0 .
\]

Таким образом, в данном приближении четвертое и пятое нормальные колебания не возбуждаются, и колебания частиц
\[
\begin{array}{l}
x_{1,3}=\frac{a}{2}\left( \pm \cos \omega_{1} t+\cos \omega_{3} t\right), \\
x_{2,4}=\frac{a}{2}\left( \pm \cos \omega_{2} t-\cos \omega_{3} t\right), \quad x_{5}=0
\end{array}
\]

носят характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).
6.42. В этой задаче удобно воспользоваться методом последовательных приближений (см. задачу 6.34). Изменение масс приводит к появлению добавки к функции Лагранжа
\[
\delta L=\frac{1}{2}\left(\delta m_{1} \dot{x}_{1}^{2}+\delta m_{2} \dot{x}_{2}^{2}\right) .
\]

Ее следует выразить через нормальные координаты исходной системы (см. задачу 6.21). При этом коэффициент при произведении обобщенных скоростей $\dot{q}_{1} \dot{q}_{2}$, отвечающих вырожденной частоте, оказывается равным нулю. Остальные произведения $\dot{q}_{l} \dot{q}_{s}$ (для $\omega_{l}
eq \omega_{s}$ ) можно опустить, как это отмечено в задаче 6.34. Получаем
\[
\delta L_{1}=\frac{1}{4} \delta m_{1} \dot{q}_{1}^{2}+\frac{1}{4} \delta m_{2} \dot{q}_{2}^{2}+\frac{1}{8}\left(\delta m_{1}+\delta m_{2}\right)\left(\dot{q}_{3}^{2}+\dot{q}_{4}^{2}\right) .
\]

Функция Лагранжа $L+\delta L_{1}$, как и функция Лагранжа исходной системы, разделяется на слагаемые, каждое из которых содержит только одну из координат $q_{l}$. Координаты $q_{l}$ остаются, таким образом, нормальными, а для вычисления поправок к частотам можно воспользоваться формулой (4) из задачи 6.34:
\[
\begin{array}{c}
\delta \omega_{1}=-\frac{\varepsilon_{1}}{4} \omega_{1}, \quad \delta \omega_{2}=-\frac{\varepsilon_{2}}{4} \omega_{3}, \quad \delta \omega_{3}=-\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}{8} \omega_{3}, \\
\delta \omega_{4}=0, \quad \varepsilon_{i}=\frac{\delta m_{i}}{m} .
\end{array}
\]

Все собственные частоты системы стали различными, исчезла неоднозначность выбора векторов нормальных колебании: с точностью до $\varepsilon_{i}$ это векторы (1) из задачи 6.21 .

Интересно, что при $\delta m_{1}=\delta m_{2}$ частоты $\omega_{1}+\delta \omega_{1}$ и $\omega_{2}+\delta \omega_{2}$ вновь совпадают друг с другом (с точностью до поправок второго порядка $\left|\delta \omega_{1}-\delta \omega_{2}\right| \sim \varepsilon_{1}^{2} \omega_{1}$ ). В этом случае функция Лагранжа $L+\delta L_{1}$ снова приводит к неоднозначному выбору векторов нормальных колебаний. Однако
в точном решении задачи при $\delta m_{1}=\delta m_{2}$ векторы нормальных колебаний имеют вид
\[
\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1-\varepsilon \\
-1-\varepsilon
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
\mp \sqrt{1+\varepsilon+9 \varepsilon^{2}} \pm 3 \varepsilon \\
\pm \sqrt{1+\varepsilon+9 \varepsilon^{2}} \mp 3 \varepsilon
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)
\]

и при малых $\varepsilon$ близки к векторам (2) задачи 6.21 (с точностью до опущенных здесь нормировочных множителей). Резкое изменение вида нормальных колебаний происходит в очень узком интервале изменения масс $\left|\delta m_{1}-\delta m_{2}\right| \lesssim \varepsilon^{2} m$ (ср. с задачей $6.5 \mathrm{a}$ ). Для определения векторов нормальных колебаний в этом интервале значений $\delta m_{1}, \delta m_{2}$ можно было бы воспользоваться следующим приближением в методе последовательных приближений.
6.43 a. Очевидно, движения частиц в направлении осей $A A$ и $B B$ независимы. Будем рассматривать движение в направлении оси $A A$.

Для первой и четвертой частиц положительными считаем отклонения влево, для второй и третьей – вправо. Согласно результату задачи 6.39 нормальные колебания $\mathbf{r}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ могут быть выбраны симметричными или антисимметричными относительно осей $A A$ и $B B$. Для симметричного относительно оси $A A$ колебания $x_{1}=x_{4}, x_{2}=x_{3}$. Если к тому же это колебание симметрично относитетьно оси $B B$, то $x_{1}=x_{2}, x_{3}=x_{4}$, так что для этого дважды симметричного колебания имеем $\mathbf{r}_{s s}=(1,1,1,1) q_{s s}$.

Для колебания, симметричного относительно оси $A A$ и антисимметричного относительно оси $B B$, имеем $x_{1}=x_{4}, x_{2}=x_{3}$ и $x_{1}=-x_{2}$, $x_{4}=-x_{3}$, так что
\[
\mathbf{r}_{s a}=(1,-1,-1,1) q_{s a} .
\]

Подобным же образом находим
\[
\mathbf{r}_{a s}=(1,1,-1,-1) q_{a s}, \quad \mathbf{r}_{a a}=(1,-1,1,-1) q_{a a} .
\]

Аналогично находятся векторы нормальных колебаний в вертикальном направлении.

Частоты колебаний можно найти, подставив найденные векторы в уравнения движения.

При наличии вырождения, кроме найденных нормальных колебаний, существует множество нормальных колебаний, не обладающих указанными свойствами симметрии. Нетрудно сообразить, например, что частоты $s s$ и $а a$ колебаний совпадают $\omega_{s s}=\omega_{a a}=2 \sqrt{k / m}$, если натяжение пружинок не произвольно, а равно $k l$ (где $l$ – длина каждой из пружинок в положении равновесия). Но тогда нормальным колебанием будет любая суперпозиция векторов $\mathbf{r}_{a a}$ и $\mathbf{r}_{s s}$, например вектор $(1,0,1,0) q_{s s}$.

Аналогично можно найти векторы нормальных колебании в направлении оси $B B$.
6.43 б. Соображения симметрии позволяют свести эту систему с 7 степенями свободы к нескольким простым (не более чем с двумя степенями свободы) системам. Действительно, вследствие симметрии системы относительно плоскости, перпендикулярной плоскости весов, все нормальные колебания могут быть выбраны либо симметричными, либо антисимметричными относительно этой плоскости. Далее, нормальные колебания разделяются на выводящие частицы из плоскости весов и сохраняющие весы плоскими. Рассмотрим эти последние колебания.

Пусть $\alpha, \beta$ и $\gamma$ – углы отклонения от вертикали центра рамки, нити $B A$ и нити $D E$ соответственно. Кроме очевидного симметричного колебания $\alpha=0, \beta=-\gamma$ с частотой $\sqrt{g / 3 l}$ имеется два антисимметричных колебания, для которых $\beta=\gamma$. Так как вклады различных нормальных колебаний в функцию Лагранжа аддитивны, то для нахождения антисимметричных колебаний достаточно знать лишь слагаемое
\[
L_{a}=m l^{2}\left(2 \dot{\alpha}^{2}+9 \dot{\beta}^{2}+3 \dot{\alpha} \dot{\beta}\right)-m g l\left(\alpha^{2}+3 \beta^{2}\right),
\]

отвечающее данному типу колебаний. В итоге получаем два антисимметричных колебания: $\alpha=\beta=\gamma$ с частотой $\sqrt{2 g / 7 l}$ и $\alpha=-3 \beta=-3 \gamma$ с частотой $\sqrt{2 g / 3 l}$.

Для описания колебаний, выводящих частицы из плоскости весов, используем декартовы координаты отклонения частиц от положения равновесия в направлении оси $x$, которую направим перпендикулярно равновесной плоскости весов. Очевидно, что симметричные колебания $x_{A}=x_{E}$, $x_{B}=x_{D}$ совпадают с колебаниями двойного плоского маятника (см. [1], задача 2 к $\S 23$ с параметрами $m_{1}=m_{2}=2 m, l_{1}=l / 2, l_{2}=3 l, \varphi_{1}=2 x_{B} / l$, $\left.\varphi_{2}=\left(x_{A}-x_{B}\right) / 3 l\right)$, поэтому $\omega_{s}^{2}=g(7 \mp \sqrt{37}) / 3 l$, и $x_{A}=(6 \pm \sqrt{37}) x_{B}$. Среди двух антисимметричных колебаний $x_{A}=-x_{E}, x_{B}=-x_{D}$ одно очевидное – вращение весов вокруг вертикальной оси: $x_{A}=x_{B}$. Другое антисимметричное колебание ортогонально к указанному и потому для него $x_{A}=-x_{B}=x_{D}=-x_{E}$. Но при таком колебании центр каждой нити в первом приближении не смещается, следовательно, частота таких колебаний совпадает с частотой маятника д.тиной $3 l / 2$, т. е. равна $\sqrt{2 g / 3 l}$.
6.44. Очевидно, колебания в направлениях $A A, B B$ и в направлении, перпендикулярном плоскости рамки, независимы. Рассмотрим, например, первые.

Компоненты вектора колебания удобно размещать в таблице, соответствующей форме рамки. Для частиц, расположенных слева от оси $B B$, положительными считаем отклонения влево, для частиц, расположенных справа – вправо. Колебание $s s$, симметричное относительно обеих осей $A A$ и $B B$, имеет вид
\[
\left(\begin{array}{llll}
x & X & X & x \\
x & X & X & x
\end{array}\right) .
\]

Колебания $x, X$ сводятся к колебаниям системы, рассмотренной в задаче 6.7 с $m_{1}=m, m_{2}=M$, где следует положить $k_{1}=k+k^{\prime}, k_{2}=k, k_{3}=2 k+k^{\prime}$, $k^{\prime}=f / l$. Таким образом, имеется два $s s$ колебания.

Колебания $s a$, симметричные относительно оси $A A$ и антисимметричные относительно оси $B B$, имеют вид
\[
\left(\begin{array}{llll}
x & X & -X & -x \\
x & X & -X & -x
\end{array}\right)
\]

причем теперь $k_{3}=k^{\prime}, k_{1}=k+k^{\prime}$.
Аналогично для $a s$ – и $a a$-колебаний:
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{cccc}
x & X & X & x \\
-x & -X & -X & -x
\end{array}\right), k_{1}=k+3 k^{\prime}, k_{3}=2 k+3 k^{\prime}, \\
\left(\begin{array}{cccc}
x & X & -X & -x \\
-x & -X & X & x
\end{array}\right), k_{1}=k+3 k^{\prime}, \quad k_{3}=3 k^{\prime} .
\end{array}
\]

Подобным же образом можно найти остальные шестнадцать нормальных колебаний.
6.45. В обозначениях предыдущей задачи вектор силы

Он ортогонален всем нормальным колебаниям, кроме симметрично-антисимметричных ( $s a$ ). Поэтому резонанс возникает лишь при двух частотах

$\gamma=\omega_{1,2}^{s a}$, где
\[
\begin{array}{l}
\left(\omega_{1,2}^{s a}\right)^{2}=\frac{1}{2 m M}\left\{k(2 M+m)+\frac{f}{l}(M+m) \pm\right. \\
\left. \pm \sqrt{\left[k(2 M-m)+\frac{f}{l}(M-m)\right]^{2}+4 k^{2} M m}\right\} .
\end{array}
\]
6.46. Линейная молекула $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}$ имеет всего семь нормальных колебаний: три продольных колебания и по два изгибных колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (см., например [1], § 24).

Задача об определении двух симметричных продольных колебаний $x_{1}=-x_{4}, x_{2}=-x_{3}$. сводится к задаче 6.7 с параметрами $k_{2}=k_{\mathrm{HC}}$, $k_{3}=2 k_{\mathrm{CC}}, k_{1}=0$, где $k_{\mathrm{HC}}$ и $k_{\mathrm{CC}}-$ жесткости связей НС и СС. Антисимметричное продольное колебание $x_{1}=x_{4}, x_{2}=x_{3}, m_{\mathrm{H}} x_{1}+m_{\mathrm{C}} x_{2}=0$ имеет частоту $\omega_{a 1}=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{HC}}\left(m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{C}}\right)}{m_{\mathrm{H}} m_{\mathrm{C}}}}$ (такую же, как и «молекула» СН). Заметим, что продольное смещение молекулы как целого $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ можно рассматривать как второе антисимметричное колебание, причем условие ортогональности к нему первого антисимметричного колебания совпадает с условием равенства нулю полного импульса молекулы.
Поперечное симметричное колебание $y_{1}=y_{4}, y_{2}=y_{3}$,
\[
m_{\mathrm{H}} y_{1}+m_{\mathrm{C}} y_{2}=0, \quad \omega_{s 3}^{2}=\frac{k_{\mathrm{HCC}}\left(m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{C}}\right)}{l_{\mathrm{HC}}^{2} m_{\mathrm{H}} m_{\mathrm{C}}} .
\]

Здесь $k_{\mathrm{HCC}}$ – жесткость молекулы при изгибе: при изгибе связи $\mathrm{HCC}$ на угол $\delta$ потенциальная энергия возрастает на $k_{\mathrm{HCC}} \delta^{2} / 2$.
Поперечное антисимметричное колебание $y_{1}=-y_{4}, y_{2}=-y_{3}$,
\[
\begin{array}{c}
m_{\mathrm{C}} l_{\mathrm{CC}} y_{2}+m_{\mathrm{H}}\left(l_{\mathrm{CC}}+2 l_{\mathrm{HC}}\right) y_{1}=0, \\
\omega_{a 2}^{2}=\frac{k_{\mathrm{HCC}}\left[m_{\mathrm{C}} l_{\mathrm{CC}}^{2}+m_{\mathrm{H}}\left(2 l_{\mathrm{HC}}+l_{\mathrm{CC}}\right)^{2}\right]}{m_{\mathrm{H}} m_{\mathrm{C}} l_{\mathrm{HC}}^{2} l_{\mathrm{CC}}^{2}},
\end{array}
\]

где $l_{\mathrm{HC}}$ и $l_{\mathrm{CC}}$ – равновесное расстояние между атомами $\mathrm{H}-\mathrm{C}$ и $\mathrm{C}-\mathrm{C}$ соответственно. Отметим, что соотношение между смещениями атомов этого колебания может быть найдено из условия равенства нулю полного момента импульса молекулы (или ортогональности вектору чистого вращения молекулы как целого $y_{1}=-y_{4}, y_{2}=-y_{3}, y_{2}\left(2 l_{\mathrm{HC}}+l_{\mathrm{CC}}\right)=y_{1} l_{\mathrm{CC}}$, которое можно рассматривать как второе антисимметричное колебание).

6.47. Обозначим отклонения частиц от положения равновесия в направлении $B D$ через $x_{1}$ и $x_{2}$, а в направлении $C F$ – через $y_{1}$ и $y_{2}$. Поворот вокруг оси симметрии $C F$ на $180^{\circ}$ приводит к заменам:
\[
x_{1} \rightleftarrows-x_{2}, \quad y_{1} \rightleftarrows y_{2},
\]
т. е. преобразование $S$ поворота вектора колебания $\mathbf{r}=\left(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}\right)$ имеет вид
\[
S \mathbf{r}=\left(-x_{2}, y_{2},-x_{1}, y_{1}\right) .
\]

Вследствие симметрии системы в ней возможны нормальные колебания двух видов: $\mathbf{r}_{s}$ – симметричные относительно оси $C F$, для которых $S \mathbf{r}_{s}=\mathbf{r}_{s}$, и антисимметричные $\mathbf{r}_{a}$, для которых $S \mathbf{r}_{a}=-\mathbf{r}_{a}$. Для симметричного колебания $\left(-x_{2}, y_{2},-x_{1}, y_{1}\right)=\left(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}\right)$, откуда
\[
\mathbf{r}_{s}=(x, y,-x, y) .
\]

Аналогично
\[
\mathbf{r}_{a}=(x, y, x,-y) .
\]
(Для антисимметричного колебания поворот вокруг оси симметрии равносилен изменению фазы колебания на $\pi$.)

Возможны два симметричных и два антисимметричных колебания; для определения частот и векторов каждой пары колебаний достаточно использовать два уравнения движения.

Можно получить еще некоторые сведения о виде нормальных колебаний, не зная жесткостей пружинок. Условие ортогональности векторов колебаний $\mathbf{r}_{s 1}$ и $\mathbf{r}_{s 2}$ сводится к равенству
\[
2 m\left(x_{s 1} x_{s 2}+y_{s 1} y_{s 2}\right)=0,
\]

показывающему, что векторы отклонений, например, частицы 1 при каждом из двух симметричных колебаний взаимно перпендикулярны (рис. 130,a). То же самое относится и к антисимметричным колебаниям (рис. 130,б).

Направление, в котором отклоняется частица при каждом из нормальных колебаний, нельзя определить, не зная жесткостей пружинок. Действительно, если жесткость и натяжения пружинок $A C$ и $C E$ малы, то отклонения частиц при нормальных колебаниях направлены почти вдоль или поперек пружинок $B D$, и, наоборот, при малой жесткости пружинок $B D$ нормальные колебания происходят почти вдоль или поперек пружинок $A C$ и $C E$.

Рис. 130

Разумеется, при вырождении частот можно выбрать и другие векторы нормальных колебаний, не обладаюшие свойствами симметрии. Например, при «выключенной» пружинке $B D$ это могут быть колебания каждой из частиц вдоль или поперек пружинок $A C$ и $C E$.
6.48. Обозначим отклонения каждого из атомов от положения равновесия в направлениях $O D$ через $x_{i}, O A$ – через $y_{i}$, перпендикулярно плоскости молекулы – через $z_{i}$.

Колебания молекулы $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}$ разделяются на сохраняющие молекулу плоской и выводящие атомы из плоскости. Рассмотрим последние колебания.
Вектор отклонения атомов удобно записывать в форме
\[
\mathbf{r}=\left(\begin{array}{cccc}
z_{1} & & z_{4} \\
& z_{2} & z_{5} & \\
z_{3} & & & z_{6}
\end{array}\right) .
\]

Для колебания, симметричного относительно оси $A B$,
\[
z_{4}=z_{1}, \quad z_{5}=z_{2}, \quad z_{6}=z_{3} .
\]

Если колебание к тому же антисимметрично относительно оси $C D$, то
\[
z_{3}=-z_{1}, \quad z_{2}=-z_{2}, \quad z_{5}=-z_{5}, \quad z_{6}=-z_{4} .
\]

Итак,
\[
\mathbf{r}_{s a}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & & & 1 \\
& 0 & 0 & \\
-1 & & -1
\end{array}\right) q_{s a} .
\]

Это «колебание» оказалось вращением вокруг оси $C D$.

Аналогично симметричные относительно обеих осей колебания

Одно из них

Это поступательное движение. Амплитуды другого можно определить, учтя его ортогональность вектору $\mathbf{r}_{s s, 1}$ :
\[
4 m z_{1}+2 M z_{2}=0,
\]
$m$ – масса атома водорода, $M$ – углерода.
\[
\mathbf{r}_{s s, 2}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & & 1 \\
& -\frac{2 m}{M}-\frac{2 m}{M} & \\
1 & & 1
\end{array}\right) q_{s s, 2} .
\]

Антисимметричное относительно обеих осей колебание

есть крутильное колебание вокруг оси $C D$.
Наконец,
\[
\mathbf{r}_{a s, i}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & & -1 \\
& a_{i}-a_{i} & \\
1 & & -1
\end{array}\right) q_{a s, i} .
\]

Здесь для вращения вокруг оси $A B$ (колебание $\mathbf{r}_{s a, 1}$ ) имеем $a_{1}=l_{\mathrm{OC}} / l_{\mathrm{OH}}-$ отношение расстояний атомов углерода и водорода от оси $A B$ в положении равновесия; для изгибного колебания ( $\mathbf{r}_{a s, 2}$ )
\[
a_{2}=-\frac{2 m}{M} \frac{l_{\mathrm{OH}}}{l_{\mathrm{OC}}} .
\]

Аналогично могут быть рассмотрены и колебания, не выводящие атомы из плоскости молекулы. Вектор отклонения запишем в виде

Общий вид колебания $a s$

В число as-«колебаний» входит поступательное движение молекулы в направлении оси $x\left(x_{1}=x_{2}, y_{1}=0\right.$ ). Два других $a s$-колебания изображены на рис. $131, a, б$.
Рис. 131
Чтобы представить себе вид отклонений атомов при этих колебаниях, заметим, что расстояние между атомами углерода не изменяется связь С-С «не работает». Если пренебречь взаимодействием относительно далеких атомов (например, 1-4, 1-5 на рис. 40), а также жесткостью углов вида $1-2-5$, то рассматриваемые колебания совпадут с симметричными относительно оси $C D$ колебаниями двух «молекул» $\mathrm{H}_{2} \mathrm{C}$, происходящими в противофазе (ср. с задачей 6.46 ; колебания молекулы вида $\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}$ рассмотрены в [1], § 24, задача 2).

Общий вид $s a$ колебания

Кроме поступательного движения в направлении оси $y$, вектору $\mathbf{r}_{s a}$ соответствуют два колебания (рис. 131, в, 2). Одно из них (в) можно представить себе как колебания двух «молекул» $\mathrm{H}_{2} \mathrm{C}$, антисимметричные относительно оси $C D$ и происходящие в фазе. Другое (2) – это вращения «молекул» $\mathrm{H}_{2} \mathrm{C}$ в разные стороны. Если бы можно было полностью пренебречь связями удаленных атомов и жесткостью углов вида $1-2-5$, то частота этого колебания оказалась бы равна нулю.

Среди $a a$-колебаний есть вращение молекулы как целого в плоскости $x y$, антисимметричные колебания «молекул» $\mathrm{H}_{2} \mathrm{C}$ в противофазе (рис. $131, \partial$ ) и их вращения в одну сторону (рис. $131, e$ ).

Возможны также три $s s$-колебания (полносимметричные), они изображены на рис. $131, ж, з, и$ (подробнее о колебаниях молекулы этилена см., например, в [17].)
6.49. Функция Лагранжа
\[
\begin{aligned}
L= & \frac{m}{2}\left(\dot{\mathbf{u}}_{1}^{2}+\dot{\mathbf{u}}_{2}^{2}+\dot{\mathbf{u}}_{3}^{2}\right)-\frac{k}{2}\left\{\left(\left|\mathbf{r}_{10}-\mathbf{r}_{20}+\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}\right|-l\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\left(\left|\mathbf{r}_{20}-\mathbf{r}_{30}+\mathbf{u}_{2}-\mathbf{u}_{3}\right|-l\right)^{2}-\left(\left|\mathbf{r}_{30}-\mathbf{r}_{10}+\mathbf{u}_{3}-\mathbf{u}_{1}\right|-l\right)^{2}\right\},
\end{aligned}
\]

где $l=\left|\mathbf{r}_{10}-\mathbf{r}_{20}\right|=\left|\mathbf{r}_{20}-\mathbf{r}_{30}\right|=\left|\mathbf{r}_{30}-\mathbf{r}_{10}\right| ; \mathbf{u}_{a}-$ смещение $a$-го атома из положения равновесия, определяемого радиусом вектором $\mathbf{r}_{a 0}$. Поскольку $\left|\mathbf{u}_{a}\right| \ll l$, имеем
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{m}{2}\left(\dot{\mathbf{u}}_{1}^{2}+\dot{\mathbf{u}}_{2}^{2}+\dot{\mathbf{u}}_{3}^{2}\right)- \\
-\frac{k}{2}\left\{\left(\mathbf{e}_{12}\left(\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}\right)\right)^{2}+\left(\mathbf{e}_{23}\left(\mathbf{u}_{2}-\mathbf{u}_{3}\right)\right)^{2}+\left(\mathbf{e}_{31}\left(\mathbf{u}_{3}-\mathbf{u}_{1}\right)\right)^{2}\right\},
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{e}_{12}=\frac{\mathbf{r}_{10}-\mathbf{r}_{20}}{l}, \quad \mathbf{e}_{23}=\frac{\mathbf{r}_{20}-\mathbf{r}_{30}}{l}, \quad \mathbf{e}_{31}=\frac{\mathbf{r}_{30}-\mathbf{r}_{10}}{l} .
\]

В системе отсчета, где полный импульс $m\left(\dot{\mathbf{u}}_{1}+\dot{\mathbf{u}}_{2}+\dot{\mathbf{u}}_{3}\right)=0$, выполняется условие
\[
\mathbf{u}_{1}+\mathbf{u}_{2}+\mathbf{u}_{3}=0 .
\]

Кроме того, накладываем на $\mathrm{u}_{a}$ условие
\[
\left[\mathbf{r}_{10} \mathbf{u}_{1}\right]+\left[\mathbf{r}_{20} \mathbf{u}_{2}\right]+\left[\mathbf{r}_{30} \mathbf{u}_{3}\right]=0,
\]

равносильное требованию, чтобы момент импульса молекулы
\[
\mathbf{M}=m \sum_{a}\left[\mathbf{r}_{a 0}+\mathbf{u}_{a}, \dot{\mathbf{u}}_{a}\right]
\]

обращался в нуль с точностью до первого поРис. 132 рядка по $\mathbf{u}_{a}$ включительно.
Оказывается удобным выбрать для описания движения каждого атома свою систему декартовых координат (рис. 132), сохраняя таким образом симметрию в описании системы. Равенства (2), (3) в этих координатах дают ${ }^{1}$
\[
\begin{array}{l}
y_{1}+\left(-\frac{1}{2} y_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} x_{2}\right)+\left(-\frac{1}{2} y_{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} x_{3}\right)=0, \\
y_{2}+\left(-\frac{1}{2} y_{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} x_{3}\right)+\left(-\frac{1}{2} y_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} x_{1}\right)=0,
\end{array}
\]

откуда
\[
y_{1}=\frac{x_{3}-x_{2}}{\sqrt{3}}, \quad y_{2}=\frac{x_{1}-x_{3}}{\sqrt{3}}, \quad y_{3}=\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{3}}
\]

и
\[
L=\frac{5 m}{6}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{x}_{3}^{2}\right)-\frac{m}{3}\left(\dot{x}_{1} \dot{x}_{2}+\dot{x}_{2} \dot{x}_{3}+\dot{x}_{3} \dot{x}_{1}\right)-\frac{3}{2} k\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right) .
\]

Одно нормальное колебание (полносимметричное) очевидно:
\[
x_{1}^{(1)}=x_{2}^{(1)}=x_{3}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1} .
\]
${ }^{1}$ Например, умножая обе стороны равенства (2) на $\mathbf{e}_{23}$, получим (5). При этом нужно учесть, что вектор е 23 в различных системах имеет координаты
\[
\mathbf{e}_{23}=(0,1)_{1}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)_{3},
\]
a $\mathbf{u}_{a}=\left(x_{a}, y_{a}\right)_{a}$.
Равенство (6) получается из (5) круговой перестановкой индексов.

Два других колебания ортогональны первому, что приводит к условию’
\[
x_{1}^{(s)}+x_{2}^{(s)}+x_{3}^{(s)}=0, \quad s=2,3 .
\]

Одно из этих колебаний симметрично относительно оси $x_{1}: x_{2}^{(2)}=x_{3}^{(2)}$; другое – антисимметрично: $x_{1}^{(3)}=0, x_{2}^{(3)}=-x_{3}^{(3)}$. Учитывая (8), имеем
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{(2)}=-2 x_{2}^{(2)}=-2 x_{3}^{(2)}=\sqrt{\frac{2}{3}} q_{2}, \\
x_{2}^{(3)}=-x_{3}^{(3)}=\frac{1}{\sqrt{2}} q_{3} .
\end{array}
\]

Замена
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1}+\sqrt{\frac{2}{3}} q_{2}, \\
x_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}} q_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} q_{3}, \\
x_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} q_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}} q_{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} q_{3}
\end{array}
\]

приводит функцию Лагранжа к виду
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+2 \dot{q}_{2}^{2}+2 \dot{q}_{3}^{2}\right)-\frac{3 k}{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right) .
\]

Рис. 133
Нормальные колебания, соответствующие этим координатам, приведены на рис. 133. Их частоты
\[
\omega_{1}=\sqrt{3 \frac{k}{m}}, \quad \omega_{2}=\omega_{3}=\sqrt{\frac{3 k}{2 m}} .
\]

Вид функции Лагранжа (10) сохраняется при повороте в плоскости $q_{2}, q_{3}$.
${ }^{1}$ Использована метрика $k_{i j}$. В (7), (9) множители перед $q$ выбраны так, что $x_{1}^{(l) 2}+x_{2}^{(l) 2}+x_{3}^{(l) 2}=q_{l}^{2}$.

Момент импульса с учетом квадратичных по $\mathrm{u}_{a}$ членов
\[
|\mathbf{M}|=m\left|\sum_{a}\left[\mathbf{u}_{a} \dot{\mathbf{u}}_{a}\right]\right|=m\left|q_{2} \dot{q}_{3}-q_{3} \dot{q}_{2}\right|
\]

может быть отличным от нуля, если колебания $q_{2}$ и $q_{3}$ происходят со сдвигом фаз.

Интересно разобраться, какие изменения может внести в эту картину зависимость потенциальной энергии от углов, образуемых связями. Очевидно, на частоту колебаний $q_{1}$ такая зависимость не повлияет. Частота колебаний $q_{2}$ и $q_{3}$ изменится, но двукратное вырождение сохранится. Действительно, наряду с некоторым колебанием $q$ возможно также колебание, полученное из $q$ поворотом на $2 \pi / 3$. Его частота должна быть такой же, как и частота колебаний $q$. С другой стороны, оно отличается от $q$ (при повороте на $2 \pi / 3$ само с собой совпадает только колебание $q_{1}$ ). Таким образом, мы обнаруживаем два независимых колебания с одной частотой. Нормальные координаты в этом случае должны удовлетворять только одному условию: быть ортогональными $q_{1}$; в частности, $q_{2}$ и $q_{3}$ остаются нормальными координатами.
6.50. а) Вводим координаты атомов В так же, как в предыдущей задаче, для атома $\mathrm{A}-$ координаты $x_{4}, y_{4}, z_{4}$ с осями, параллельными $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и началом в центре треугольника.

Есть четыре степени свободы движений, выводящих атомы из плоскости $x y$. Три из них отвечают поступательному движению вдоль оси $z$ и вращениям вокруг осей $x_{4}$ и $y_{4}$, а одно – колебанию (при котором, очевидно, $z_{1}=z_{2}=z_{3}, m_{A} z_{4}+m\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right)=0$ ). Частота этого колебания $\omega_{1}$ невырожденная, она лишь случайно могла бы совпасть с частотой какогонибудь другого колебания.

Рассмотрим колебание атомов в плоскости $x y$, симметричное относительно оси $x_{4}$. Общий вид такого колебания:
\[
y_{1}=0, \quad x_{2}=x_{3}, \quad y_{2}=-y_{3}, \quad y_{4}=0 .
\]

Вектор смещения содержит четыре независимых параметра: $x_{1}, x_{2}, y_{2}, x_{4}$, т. е. на такие движения приходится четыре степени свободы. Одна из них отвечает поступательному движению молекулы вдоль оси $x_{4}$ одна – полносимметричному колебанию
\[
x_{1}=x_{2}=x_{3}, \quad y_{1}=y_{2}=y_{3}=x_{4}=y_{4}=0
\]

Рис. 134
с частотой $\omega_{2}$ (рис. $134, a$ ), а две остальные – колебаниям, нарушающим симметрию молекулы. Частоты этих колебаний $\omega_{3}$ и $\omega_{4}$ (рис. 134,б, в).

Из четырех оставшихся степеней свободы одна приходится на поступательное движение в направлении оси $y_{4}$, одна – на вращение вокруг оси $z_{4}$, а две – на колебания. Это колебания, которые могут быть получены из уже указанных с частотами $\omega_{3}, \omega_{4}$ поворотом на $2 \pi / 3$ вокруг оси $z_{4}$ (ср. с предыдущей задачей).

Итак, частоты $\omega_{1}, \omega_{2}$ – невырожденные, частоты $\omega_{3}$ и $\omega_{4}$ – двукратно вырождены.

Заметим, что векторы колебания, антисимметричного относительно оси $x_{4}$, можно получить, зная вектор симметричного. Для этого достаточно взять определенную суперпозицию колебаний, полученных из последнего поворотами вокруг оси $z_{4}$ на углы $\pm 2 \pi / 3$, а именно – их разность (см. рис. 134, г).
б) Изменения собственных частот можно определить, используя теорию возмущений (см. задачу 6.34):
\[
\delta \omega=-\frac{\omega}{2} \frac{\delta M}{M} .
\]

Для полносимметричного колебания в качестве нормальной координаты выберем $x_{1}$. Тогда величины $M$ и $\delta M$ определяются как коэффициенты в выражениях кинетической энергии и добавки к ней:
\[
\frac{3 m}{2} \dot{x}_{1}^{2}=\frac{M}{2} \dot{x}_{1}^{2}, \quad \frac{\delta m}{2} \dot{x}_{1}^{2}=\frac{\delta M}{2} \dot{x}_{1}^{2},
\]

так что
\[
\delta \omega_{2}=-\omega_{2} \frac{\delta m}{6 m} .
\]

Для колебания вдоль оси $z$ кинетическая энергия и добавка к ней равны
\[
\frac{3 m}{2}\left(1+\frac{3 m}{m_{\mathrm{A}}}\right) \dot{z}_{1}^{2} \quad \text { и } \quad \frac{\delta m}{2} \dot{z}_{1}^{2},
\]

так что
\[
\delta \omega_{1}=-\frac{\omega_{1}}{2} \frac{m_{\mathrm{A}} \delta m}{3 m\left(3 m+m_{\mathrm{A}}\right)} .
\]

Например, для хлорида бора замена одного атома хлора с атомным весом 35 на изотоп с атомным весом 37 уменьшает частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ на $0,1 \%$ и $1 \%$ соответственно.
6.51. Пусть колебание, при котором молекула остается подобной сама себе (рис. $135, a$ ), происходит с частотой $\omega_{1}$.
Рис. 135
Частота $\omega_{2}$ колебания, сохраняющего свой вид при поворотах вокруг оси $O D$ на угол $2 \pi / 3$ (рис. $135, б$ ), вообще говоря, отлична от $\omega_{1}$. Иное распределение смешений атомов можно получить, производя отражение смещений в плоскости $B C O$; получится колебание, отличающееся от второго лишь тем, что атомы A и D поменялись ролями. Частота этого колебания $\omega_{3}=\omega_{2}$. Подобным же образом отражение в плоскости $A O C$ меняет местами атомы B и D, сохраняя частоту $\omega_{4}=\omega_{2}$. Это четвертое колебание не сводится к суперпозиции предыдущих, так как, в отличие от них, несимметрично относительно плоскости $A O D$.

Колебание, симметричное относительно плоскости $A O B$ и $D O C$ (рис. 135, ), имеет частоту $\omega_{5}$, отличную от $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Поворот на угол $2 \pi / 3$

вокруг оси $O D$, равносильный круговой перестановке $A, B$ и $C$, приводит к колебанию, симметричному относительно плоскостей $C O A$ и $D O B$, а его частота $\omega_{6}=\omega_{5}$.

Итак, молекула обладает тремя собственными частотами одно-, двуи трехкратно вырожденными.

В заключение заметим, что молекул, рассмотренных в задачах 6.49 и 6.51 , по-видимому, не существует в природе. Однако подобный же метод исследования может быть применен и к реальным молекулам.
6.52. а) При полносимметричных и дважды вырожденных колебаниях, указанных в предыдущей задаче (см. рис. $135, a$, , ), атом углерода остается неподвижным. Есть еще две трехкратно вырожденные частоты. Соответствующие колебания похожи на колебания, изображенные на рис. 135,6 , только атом углерода колеблется либо в том же направлении, что атом $\mathrm{D}$, либо в противоположном.
б) Добавка к функции Лагранжа, описывающая действие электрического поля $\mathscr{E}(t)$, есть
\[
\delta L=\mathscr{E}(t) \sum_{a} e_{a} \mathbf{u}_{a},
\]

где $e_{a}$ – заряд, $\mathbf{u}_{a}$ – смещение $a$-го атома.
\[
\begin{array}{c}
\text { В любом колебании } m \sum_{a=1}^{4} \mathbf{u}_{a}+m_{\mathrm{C}} \mathbf{u}_{5}=0, \text { так что } \\
\sum_{a=1}^{5} e_{a} \mathbf{u}_{a}=-e_{1}\left(\frac{m_{\mathrm{C}}}{m}+4\right) \mathbf{u}_{5} .
\end{array}
\]

При полносимметричном и дважды вырожденных колебаниях $\sum e_{a} \mathbf{u}_{a}=0$ и эти колебания не возбуждаются. При колебании рис. 135 ,б , напротив, $\sum e_{a} \mathbf{u}_{a}
eq 0$ и подобные колебания возбуждаются.
Итак, резонанс возможен на двух частотах.
Вектор $\mathscr{E}$ можно разложить на три слагаемых $\mathscr{E}_{j}$, параллельных осям симметрии каждого из трех колебаний молекулы с вырожденной частотой. Каждое из слагаемых $\mathscr{E}_{j}$ приведет к колебанию атома углерода с амплитудой, пропорциональной $\mathscr{E}_{j}$, и одним и тем же коэффициентом пропорциональности $\varkappa$. Поэтому $\mathbf{u}_{5}=\varkappa \mathscr{E}$ и $\left|\mathbf{u}_{5}\right|$ не зависит от ориентации молекулы. Можно убедиться, что амплитуды колебаний атомов водорода $\left|\mathbf{u}_{1,2,3,4}\right|$ тоже не зависят от ориентации молекулы и параллельны вектору $\mathscr{E}$.