3.1. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц, скорость которых до рассеяния параллельна оси $z$, на гладкой упругой поверхности вращения $\rho(z)$ :
а) $\rho=b \sin \frac{z}{a}, \quad 0 \leqslant z \leqslant \pi a$;
б) $\rho=A z^{n}, \quad 0<n<1$;
в) $\rho=b-\frac{a^{2}}{z}, \quad \frac{a^{2}}{b} \leqslant z<\infty$.
3.2. Найти поверхность вращения, сечение упругого рассеяния на которой совпадает с резерфордовским.
3.3. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц сферическим «потенциальным горбом»:
\[
U(r)=\left\{\begin{array}{c}
V \text { при } r<a, \\
0 \text { при } r>a .
\end{array}\right.
\]
3.4. Найти сечение падения частиц в центр поля:
a) $U=-\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^{2}}$,
б) $U=\frac{\beta}{r^{2}}-\frac{\gamma}{r^{4}}$.
3.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса $R$, находящийся в центре поля $U(r)$ :
a) $U=-\frac{\alpha}{r^{n}}, n \geqslant 2$;
б) $U=\frac{\beta}{r^{2}}-\frac{\gamma}{r^{4}}$.
3.6. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле $U(r)$ :
а) $U(r)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\alpha}{r}-\frac{\alpha}{R} & \text { при } r<R, \\ 0 & \text { при } r>R\end{array}\right.$

б) $U(r)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(r^{2}-R^{2}\right) & \text { при } r<R, \\ 0 & \text { при } r>R .\end{array}\right.$
3.7. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц $(E \gg V)$ в поле $U(r)$ :
a) $U(r)=V \ln \left(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)$;
б) $U(r)=\left\{\begin{array}{ll}V\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) & \text { при } r<R, \\ 0 & \text { при } r>R .\end{array}\right.$
3.8. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц на малые углы в поле $U(r)=\frac{\beta}{r^{4}}-\frac{\alpha}{r^{2}}$.
3.9. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле $U=-\alpha / r^{2}$.
3.10. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц ( $E \gg V$ ) в поле $U(r)$. Исследовать подробнее предельные случаи, когда угол отклонения близок к своему минимальному или максимальному значению:
a) $U(r)=V e^{-\varkappa^{2} r^{2}}$;
б) $U(r)=\frac{V}{1+\varkappa^{2} r^{2}}$.
3.11. Поток частиц, скорости которых первоначально параллельны оси $z$, рассеивается на неподвижном эллипсоиде
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 .
\]

Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния, если эллипсоид: a) гладкий упругий, б) гладкий неупругий, в) шероховатый упругий.
3.12. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния на малые углы в нецентральном поле $U(\mathbf{r})$ :
a) $U(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{a r}}{r^{2}}$;
б) $U(\mathbf{r})=\frac{\mathrm{ar}}{r^{3}}$.
3.13. Найти поправку к дифференциальному эффективному сечению рассеяния частиц в поле $U(r)$, вызванную изменением поля на малую величину $\delta U(r)$ :

а) $U(r)=\frac{\alpha}{r}, \quad \delta U(r)=\frac{\beta}{r^{2}} ;$
б) $U(r)=\frac{\alpha}{r}, \quad \delta U(r)=\frac{\gamma}{r^{3}}$;
в) $U(r)=\frac{\beta}{r^{2}}, \quad \delta U(r)=\frac{\gamma}{r^{3}}$.
3.14. Определить усредненное по времени дифференциальное эффективное сечение рассеяния как функцию приобретаемой частицами энергии при рассеянии в поле $U(r, t)=\left(V_{1}+V_{2} \sin \omega t\right) e^{-\varkappa^{2} r^{2}}$ быстрых частиц $\left(E \gg V_{1,2}\right)$.
3.15. Частица, летящая со скоростью $V$, распадается на две одинаковые частицы. Определить распределение по углу разлета распадных частиц (угол между направлениями вылета обеих частиц). Распад в системе центра масс изотропен, скорость распадных частиц в с.ц. м. равна $v_{0}$.
3.16. Найти распределение распадных частиц по энергиям в лабораторной системе, если в системе центра масс угловое распределение имеет вид $\frac{3}{8 \pi} \sin ^{2} \theta_{0} d o_{0}$, где $\theta_{0}$ – угол между скоростью $\mathbf{V}$ первичной частицы и направлением вылета распадной частицы в с.ц. м. Скорость распадных частиц в с.ц. м. $v_{0}$.
3.17. Электрон, имевший на бесконечности скорость $v$, налетает на другой электрон, первоначально неподвижный (прицельный параметр $\rho$ ). Найти скорости электронов после рассеяния.
3.18. Определить интервал значений, которые может иметь угол между направлениями скоростей после столкновения движущейся частицы (масса $m_{1}$ ) с первоначально покоившейся (масса $m_{2}$ ).
3.19. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния гладких неупругих шариков на таких же шариках, первоначально покоившихся.
3.20. Найти закон, по которому изменяется интенсивность пучка частиц при прохождении им области, заполненной поглощающими центрами. Плотность распределения центров $n$, сечение поглощения $\sigma$.
3.21. Найти число актов реакции, происходящих в объеме $d V$ за время $d t$ при столкновении двух пучков частиц со скоростями $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$ и плотностями $n_{1}, n_{2}$. Сечение реакции равно $\sigma$.
3.22. Частица массы $M$ движется в области, заполненной частицами, первоначально неподвижными, массы которых равны $m \ll M$. Сечение рассеяния частиц $m$ на частице $M$ есть $d \sigma=f(\theta) d o$. Столкновения упругие. Найти:
a) «силу трения», действующую на частицу $M$;
б) средний квадрат угла отклонения $\Theta$ частицы $M$.