5.1. Найти частоту $\omega$ малых колебаний частицы в поле $U(x)$ :
a) $U(x)=V \cos \alpha x-F x$
б) $U(x)=V\left(\alpha^{2} x^{2}-\sin ^{2} \alpha x\right)$.
Рис. 11
Рис. 12
5.2. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рис. 11. Система вращается в поле тяжести вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\Omega$.

5.3. Частица массы $m$, несущая заряд $q$, может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса $R$. В нижней части окружности закреплен заряд $q$. Найти положение равновесия и частоту малых колебаний частицы (рис. 12).
5.4. Найти закон движения частицы в центральном поле $U(r)=$ $=-\alpha / r^{n}(0<n<2)$ по траектории, близкой к окружности.
5.5. Найти частоту малых колебаний сферического маятника (частица массы $m$ подвешена на нити длины $l$ ), при которых угол отклонения нити от вертикали $\theta$ осциллирует вблизи значения $\theta_{0}$.
5.6. Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы, вызванную наличием у нее момента импульса $M$.
Рис. 13
5.7. Найти свободные колебания системы (рис. 13), если частица может двигаться:
a) вдоль прямой $A B$;
б) перпендикулярно $A B$.
Как зависит частота от натяжения пружинок в положении равновесия?
5.8. Найти свободные колебания системы (рис. 14), если она находится в однородном поле тяжести и частица может двигаться только вертикально.
5.9. Найти установившиеся малые колебания плоского маятника, точка подвеса которого равномерно движется по окружности радиуса $a$ с частотой $\Omega$ (рис. 15). Длина маятника $l(l \gg a)$.
5.10. Найти установившиеся колебания напряжения Рис. 16 на конденсаторе и ток в контуре с источником напряжения $U(t)=U_{0} \sin \omega t$ (рис. 16).
5.11. Найти закон движения осциллятора с трением, первоначально покоившегося, под действием силы $F(t)=F \cos \gamma t$.
5.12. Определить энергию $E$, приобретенную осциллятором под действием силы $F(t)=F e^{-(t / \tau)^{2}}$ за все время ее действия, если при $t=-\infty$ :
a) осциллятор покоился;
б) амплитуда колебаний была равна $a$.
5.13. Найти движение под действием силы $F(t)$ :
a) неустойчивой системы, описываемой уравнением
\[
\ddot{x}-\mu^{2} x=\frac{1}{m} F(t) ;
\]
б) осциллятора с трением
\[
\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{1}{m} F(t) .
\]
5.14. Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения изотропного осциллятора до энергии $\varepsilon$ быстрой частицей ( $E \gg V$ ), взаимодействующей с ним по закону
\[
U(r)=V e^{-\varkappa^{2} r^{2}} .
\]

Начальная энергия осциллятора равна нулю.
5.15. Осциллятор может колебаться только вдоль оси $z$. Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения осциллятора до энергии $\varepsilon$ быстрой частицей, взаимодействующей с ним по закону $U(r)=V e^{-\varkappa^{2} r^{2}}$. Скорость частицы $\mathbf{v}_{\infty}$ параллельна оси $z$, ее энергия $E \gg V$. Начальная энергия осциллятора $\varepsilon_{0}$.
5.16. На гармонический осциллятор действует сила $F(t)$, причем $F(-\infty)=0, F(+\infty)=F_{0}$. Найти энергию $E(+\infty)$, приобретенную осциллятором за все время действия силы, и амплитуду колебаний его при $t \rightarrow+\infty$, если при $t \rightarrow-\infty$ осциллятор покоился.
5.17. Найти энергию, приобретенную осциллятором под действием силы
\[
F(t)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{F_{0}}{2} e^{\lambda t} & \text { при } t<0, \\
\frac{F_{0}}{2}\left(2-e^{-\lambda t}\right) & \text { при } t>0 .
\end{array}\right.
\]

Энергия осциллятора при $t \rightarrow-\infty$ равна $E_{0}$.

5.18. Оценить изменение амплитуды колебаний осциллятора, если сила $F(t)$ включается медленно и плавно за большой промежуток времени $\tau$, такой что $\omega \tau \gg 1$. При $t<0$ сила $F(t)=0$, при $t>\tau$ сила $F(t)=F_{0}$, при $0<t<\tau$ справедлива оценка $F^{(k)} \sim F_{0} / \tau^{k}(k=0,1, \ldots, n+1)$; причем $F^{(s)}(0)=F^{(s)}(\tau)=0(s=1,2, \ldots, n-1)$, а $n$-я производная силы при $t=0$ и $t=\tau$ испытывает скачок.
Рис. 17
Рис. 18
5.19. Найти установившиеся колебания осциллятора под действием периодической силы $F(t)$ :
а) $F(t)=F \cdot(t / \tau-n)$ при $n \tau \leqslant t<(n+1) \tau$ (рис. 17);
б) $F(t)=F \cdot\left(1-e^{-\lambda t^{\prime}}\right), t^{\prime}=t-n \tau$ при $n \tau \leqslant t<(n+1) \tau$ (рис. 18).
Оценить время установления колебаний, если декремент затухания равен $\delta$.
в) Найти установившийся ток в контуре (см. рис. 16) с источником пилообразного напряжения $U(t)=(t / \tau-n) V$ при $n \tau \leqslant t<(n+1) \tau$.
5.20. На осциллятор с трением (собственная частота $\omega_{0}$, сила трения $f_{\text {тр }}=-2 \lambda m \dot{x}$ ) действует вынуждающая сила $F(t)$.
a) Найти среднюю работу $A$ этой силы при установившихся колебаниях, если $F(t)=f_{1} \cos \omega t+f_{2} \cos 2 \omega t$.
б) То же для $F(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} e^{i n \omega t}, a_{-n}=a_{n}^{*}$.
в) Найти среднюю за большой промежуток времени работу силы $F(t)=f_{1} \cos \omega_{1} t+f_{2} \cos \omega_{2} t$ при установившихся колебаниях.
г) Найти полную работу силы $F(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(\omega) e^{i \omega t} d \omega, \psi(-\omega)=\psi^{*}(\omega)$,
5.21. Гармонический осциллятор находится в поле бегущей волны, которая действует на него с силой $F(x, t)=f(t-x / V)$, где $x$ – отклонение осциллятора от положения равновесия, $V$ – скорость волны. Предполагая $x$ достаточно малым, найти связь между переданными осциллятору энергией $\Delta E$ и импульсом
\[
\Delta p=\int_{-\infty}^{\infty} F(x(t), t) d t,
\]

ограничившись приближением, квадратичным по $F$, и считая $f( \pm \infty)=0$.