1.1. Определить закон движения частицы в поле $U(x)$ :
а) $U(x)=A\left(e^{-2 \alpha x}-2 e^{-\alpha x}\right)$ (потенциал Морза, рис. $1, a$ );
б) $U(x)=-\frac{U_{0}}{\operatorname{ch}^{2} \alpha x}$ (рис. 1,б);
в) $U(x)=U_{0} \operatorname{tg}^{2} \alpha x$ (рис. 1,8 ).
Рис. 1
1.2. Найти закон движения частицы в поле $U(x)=-A x^{4}$, если энергия ее равна нулю.
1.3. Определить приближенно закон движения частицы в поле $U(x)$ вблизи точки остановки $x=a$ (рис. 2).

УКАЗаНИЕ. Воспользоваться разложением $U(x)$ в ряд Тейлора вблизи точки $x=a$. Рассмотреть случаи $U^{\prime}(a)
eq 0$ и $U^{\prime}(a)=0, U^{\prime \prime}(a)
eq 0$.
Рис. 2
1.4. Определить, по какому закону обращается в бесконечность период движения частицы в поле, изображенном на рис. 3 , при приближении энергии $E$ к $U_{m}$.

Рис. 3
Рис. 4
1.5. а) Оценить период движения частицы в поле $U(x)$ (рис. 4), если ее энергия близка к $U_{m}$ (т. е. $E-U_{m} \ll U_{m}-U_{\min }$ ).
б) Определить, в течение какой части периода частица находится на участке от $x$ до $x+d x$.
в) Определить, в течение какой части периода частица имеет импульс $m \dot{x}$ в интервале от $p$ до $p+d p$.
г) На плоскости $x, p=m \dot{x}$ изобразить качественно линии $E(x, p)=$ $=$ const для случаев $E<U_{m}, E=U_{m}, E>U_{m}$.
1.6. Частица массы $m$ может двигаться по окружности радиуса $l$ в вертикальной шлоскости в ноле тяжести (математический маятник). Найти закон ее движения, если кинетическая энергия в нижней точке $E$ равна $2 \mathrm{mgl}$.
Оценить период обращения маятника в случае, когда $E-2 m g l \ll 2 m g l$.
1.7. Определить закон движения математического маятника при произвольном значении энергии.

УказАНИЕ. Зависимость угла отклонения маятника от времени выражается через эллиптические функции (см., например, [1], стр. 150).
1.8. Определить изменение закона движения частицы на участке, не содержащем точек остановки, вызванное добавлением к полю $U(x)$ малой добавки $\delta U(x)$.

Исследовать применимость полученных результатов вблизи точки остановки.
1.9. Найти изменение закона движения частицы, вызванное добавлением к полю $U(x)$ малой добавки $\delta U(x)$ :
a) $U(x)=\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}, \delta U(x)=\frac{m \alpha x^{3}}{3}$
б) $U(x)=\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}, \delta U(x)=\frac{m \beta x^{4}}{4}$.
1.10. Определить изменение периода финитного движения частицы, вызванное добавлением к полю $U(x)$ малой добавки $\delta U(x)$.
1.11. Найти изменение периода движения частицы, вызванное добавлением к полю $U(x)$ малой добавки $\delta U(x)$.
а) $U(x)=\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}$ (гармонический осциллятор), $\delta U(x)=\frac{m \beta x^{4}}{4}$;
б) $U(x)=\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}, \delta U(x)=\frac{m \alpha x^{3}}{3}$
в) $U(x)=A\left(e^{-2 \alpha x}-2 e^{-\alpha x}\right), \delta U(x)=-V e^{\alpha x}(V \ll A)$.
1.12. Частица движется в поле $U(x)=\frac{U_{0}}{\operatorname{ch}^{2} \alpha x}$ с энергией $E>U_{0}$. Найти время задержки частицы при движении от $x=-\infty$ до $x=+\infty$ по сравнению со временем свободного движения с той же энергией.