5.1. а) ${\omega }^2=\frac{V{\alpha }^2}{m}\sqrt{1-{\left(\frac{F}{V\alpha }\right)}^2}$; $minU(x)$ существует при $F<V\alpha$;
б) ${\omega }^2=\frac{8\pi }{3}\frac{V{\alpha }^4}{m}{x}_0^2{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(3/4)}{\mathrm{\Gamma }(1/4)}\right)}^2$, где амплитуда $x_0$ определена равенством
$$E=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{1}{3}V{\alpha }^4{x}^4=\frac{1}{3}V{\alpha }^4{x}_0^4.$$
5.2. Функция Лагранжа системы (см. [1], § 5, задача 4)
$$L=m{a}^2[{\dot{\theta }}^2(1+2{\sin }^2\theta )+{\mathrm{\Omega }}^2{\sin }^2\theta +2{\mathrm{\Omega }}_0^2\cos \theta ],$$

где введено обозначение ${\mathrm{\Omega }}_0^2=2g/a$.
При $\mathrm{\Omega }>{\mathrm{\Omega }}_0$ потенциальная энергия системы
$$U(\theta )=-m{a}^2({\mathrm{\Omega }}^2{\sin }^2\theta +2{\mathrm{\Omega }}_0^2\cos \theta )$$

имеет минимум при $\cos {\theta }_0={\mathrm{\Omega }}_0^2/{\mathrm{\Omega }}^2$. Разлагаем $U(\theta )$ вблизи ${\theta }_0$, а в кинетической энергии полагаем
$$1+2{\sin }^2\theta =1+2{\sin }^2{\theta }_0=3-2{\left(\frac{{\mathrm{\Omega }}_0}{\mathrm{\Omega }}\right)}^4\equiv \frac{M}{2m{a}^2},$$

тогда
$$L=\frac{1}{2}M{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2,$$

где $k=U^{\prime \prime }\left({\theta }_0\right),x=\theta -{\theta }_0$. Отсюда
$${\omega }^2=\frac{k}{M}={\mathrm{\Omega }}^2\frac{{\mathrm{\Omega }}^4-{\mathrm{\Omega }}_0^4}{3{\mathrm{\Omega }}^4-2{\mathrm{\Omega }}_0^4}(\mathrm{\Omega }>{\mathrm{\Omega }}_0).$$

При $\mathrm{\Omega }\gg {\mathrm{\Omega }}_0$ частота колебаний пропорциональна угловой скорости вращения $\omega =\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{\Omega }$, а ${\theta }_0=\frac{\pi }{2}$. В случае $\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_0$ малые колебания совершаются с частотой $\omega \to 0$, а ${\theta }_0\to 0$.

Если $\mathrm{\Omega }<{\mathrm{\Omega }}_0$, то можно рассматривать колебания вблизи ${\theta }_0=0$ при упругих соударениях боковых масс
$${\omega }^2={\mathrm{\Omega }}_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2(\mathrm{\Omega }<{\mathrm{\Omega }}_0).$$

При $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_0$ потенциальная энергия $U$ имеет минимум при ${\theta }_0=0$ и представима вблизи него в виде
$$U=m{a}^2{\mathrm{\Omega }}_0^2(-2+\frac{{\theta }^4}{4}),$$
т. е. колебания существенно нелинейны. Оставляя и в кинетической энергии члены до четвертого порядка, получим
$$\frac{2\pi }{\omega }=T=8{\int }_0^{{\theta }_m}\frac{\sqrt{1+2{\theta }^2}d\theta }{\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_0^2({\theta }_m^4-{\theta }^4)}}.$$

Здесь ${\theta }_m$ — амплитуда колебаний (ср. [1], §11, задача 2 a).
5.3. Обозначим $s={\left(q^2/8mg{R}^2\right)}^{1/3}$.
При $s<1$ положение устойчивого равновесия ${\phi }_0$ определяется условием $\sin \frac{{\phi }_0}{2}=s,{\omega }^2=\frac{3g}{R}(1-s^2)$.

При $s>1$ положение устойчивого равновесия — точка $A$, а ${\omega }^2=$ $=\frac{3g}{R}(s^3-1)$.
5.4.
$$\begin{array}{c}r=r_0+a\cos \omega (t-t_0),\\ \phi ={\phi }_0+\mathrm{\Omega }(t-t_0)-\frac{2a\mathrm{\Omega }}{r_0\omega }\sin \left[\omega (t-t_0)\right],\end{array}$$

где $r_0,{\phi }_0,a,t_0$ — константы интегрирования ( $a\ll r_0$ ),
$$\mathrm{\Omega }=\sqrt{\frac{n\alpha }{m}}{r}_0^{-(n+2)/2},\omega =\mathrm{\Omega }\sqrt{2-n}.$$
5.5. В точке $\theta ={\theta }_0$ эффективная потенциальная энергия $U_{\text{эфф }}(\theta )=$ $=\frac{M_z^2}{2m{l}^2{\sin }^2\theta }-mgl\cos \theta$ (см. [1], §14, задача 1) имеет минимум, поэтому $U_{\text{эфф }}^{\prime }\left({\theta }_0\right)=0$. Отсюда находим
$$M_z^2=m^2{l}^{3}g{\sin }^4{\theta }_0/\cos {\theta }_0,$$

а частота малых колебаний
$$\omega \left({\theta }_0\right)=\sqrt{\frac{U_{9\varphi \varphi }^{\prime \prime }\left({\theta }_0\right)}{m{l}^2}}=\sqrt{\frac{g}{l}\frac{1+3{\cos }^2{\theta }_0}{\cos {\theta }_0}.}$$

Для применимости этого расчета необходимо, чтобы
$$\frac{1}{2}{U}_{\mathrm{\Im }\varphi \varphi }^{\prime \prime }\left({\theta }_0\right)(\mathrm{\Delta }\theta {)}^2\gg \frac{1}{6}\left|U_{\mathrm{\Im }\varphi \varphi }^{\prime \prime \prime }\left({\theta }_0\right)\right|(\mathrm{\Delta }\theta {)}^3,$$

где $\mathrm{\Delta }\theta$ — амплитуда колебаний. Если ${\theta }_0\sim 1$, это условие выполняется при $\mathrm{\Delta }\theta \ll 1$. Однако при ${\theta }_0\ll 1$ оказывается $U_{\text{эфф }}^{\prime \prime \prime }\left({\theta }_0\right)\propto \frac{1}{{\theta }_0}$ и колебания по $\theta$ можно рассматривать как малые, только если $\mathrm{\Delta }\theta \ll {\theta }_0$. Тем не менее в этом случае полученный результат $\omega =2\sqrt{g/l}$ справедлив и для $\mathrm{\Delta }\theta \sim {\theta }_0$, когда колебания по $\theta$ перестают быть гармоническими. Действительно, по осям $x$ и $y$ в этом случае происходят малые гармонические колебания с частотой $\sqrt{g/l}$, т. е. маятник движется по эллипсу, совершая за один оборот два колебания по углу $\theta$ (см. [1], §23, задача 3).
5.6. Эффективная потенциальная энергия для радиальных колебаний молекулы
$$U_{\text{эфф }}(r)=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{(r-r_0)}^2+\frac{M^2}{2m{r}^2},$$

где $r$ — расстояние между атомами, а $m$ — приведенная масса. Добавление второго члена, предполагаемого малой поправкой, приводит к малому смещению положения равновесия
$$\delta r_0=\frac{M^2}{m^2{\omega }_0^2{r}_0^3}.$$

Изменение частоты определим, разлагая $U_{\text{эфф }}(r)$ в ряд вблизи точки $r_0+\delta r_0$ :
$$U_{эф\varphi }(r)=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{(r-r_0-\delta r_0)}^2+\frac{M^2}{2m{r}_0^2}+\frac{3M^2}{2m{r}_0^4}{(r-r_0-\delta r_0)}^2.$$

Отсюда поправка к частоте
$$\delta \omega =\frac{3M^2}{2m^2{\omega }_0{r}_0^4}=\frac{3{\mathrm{\Omega }}^2}{2{\omega }_0},$$

где $\mathrm{\Omega }=M/m{r}_0^2-$ средняя скорость вращения молекулы.
5.7. а) Смещение из положения равновесия
$$\begin{array}{l}x=x_0\cos \omega t+\frac{{\dot{x}}_0}{\omega }\sin \omega t=\sqrt{x_0^2+\frac{{\dot{x}}_0^2}{{\omega }^2}}\cos (\omega t+\phi ),\\ \mathrm{tg}\phi =-\frac{{\dot{x}}_0}{\omega x_0},{\omega }^2=\frac{2k}{m}.\end{array}$$

б) Пусть натяжение одной пружинки $f$. Для малых смещений $|y|\ll \sqrt{fl/k}$, колебания гармонические $y=A\cos (\omega t+\phi ),{\omega }^2=2f/ml$.

При $f=kl$ частота колебаний та же, что и в пункте а). Если пружинки не натянуты ( $f=0$ ), колебания нелинейны, возвращающая сила $F=-k{y}^3/l^2$; частота (см. задачу 5.1 б)
$$\omega =\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(3/4)}{\mathrm{\Gamma }(1/4)}\sqrt{\frac{2k}{m}}\frac{y_m}{l}$$
( $y_m-$ амплитуда колебании).
Если частица может двигаться в плоскости $xy$, то ее движение при $feq0$ и малых смещениях представляет собой гармонические колебания вдоль осей $x$ и $y$ с частотами ${\omega }_x^2=2k/m$ и ${\omega }_y^2=2f/ml$ соответственно (см. задачу 6.3).
5.8. Пусть $y$ — координата частицы, отсчитанная от точки верхнего подвеса. Функция Лагранжа системы
$$L=\frac{m{\dot{y}}^2}{2}-k(y-l{)}^2+mgy=\frac{m{\dot{y}}^2}{2}-k{(y-l-\frac{mg}{2k})}^2+\text{ const }$$

соответствует осциллятору с частотой ${\omega }^2=\frac{2k}{m}$ и положением равновесия $y_0=l+\frac{mg}{2k}$, поэтому $y=y_0+A\cos (\omega t+\phi )$.

Заметим, что, выбирая в качестве координаты отклонение от положения равновесия, мы исключаем из функции Лагранжа поле тяжести.
5.9. Угол отклонения маятника от вертикали
$$\phi =\frac{a{\mathrm{\Omega }}^2}{g-l{\mathrm{\Omega }}^2}\cos \mathrm{\Omega }t,\left|\frac{a{\mathrm{\Omega }}^2}{g-l{\mathrm{\Omega }}^2}\right|\ll 1$$
(см. также задачу 8.3).
Возможны также колебания маятника вблизи направления радиуса-вектора $\phi =\mathrm{\Omega }t+\frac{g}{a{\mathrm{\Omega }}^2}\sin \mathrm{\Omega }t,{\mathrm{\Omega }}^2\gg \frac{g}{a}$.
5.10. Ток в контуре
$$I=\frac{dq}{dt}=\frac{U_0\sin (\omega t-\phi )}{\sqrt{R^2+(\omega \mathcal{L}-1/\omega C{)}^2}},\mathrm{tg}\phi =\frac{\omega \mathcal{L}-1/\omega C}{R}$$

можно получить, решая уравнения Лагранжа для $q$. Функция Лагранжа системы $L=\frac{\mathcal{L}{\dot{q}}^2}{2}-\frac{q^2}{2C}$ (см. задачу 4.22) диссипативная функция равна $\frac{1}{2}R{\dot{q}}^2$ (cм. [3], §48).
5.11. Общее решение уравнения движения (см. [1], §26; см. также [14])
$$\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F}{m}\cos \gamma t$$

при условии ${\omega }^2={\omega }_0^2-{\lambda }^2>0$ имеет вид
$$x(t)=e^{-\lambda t}(a\cos \omega t+b\sin \omega t)+\frac{F[({\omega }_0^2-{\gamma }^2)\cos \gamma t+2\lambda \gamma \sin \gamma t]}{m[{({\omega }_0^2-{\gamma }^2)}^2+4{\lambda }^2{\gamma }^2]},$$

где $a$ и $b-$ константы, определяемые из начальных условий. Полагая $x(0)=$ $=\dot{x}(0)=0$, найдем окончательно
$$\begin{array}{l}x(t)=\frac{F}{m[{({\omega }_0^2-{\gamma }^2)}^2+4{\lambda }^2{\gamma }^2]}[({\omega }_0^2-{\gamma }^2)(\cos \gamma t-e^{-\lambda t}\cos \omega t)+\\ +2\lambda \gamma (\sin \gamma t-\frac{{\omega }_0^2+{\gamma }^2}{2\gamma \omega }{e}^{-\lambda t}\sin \omega t)].\end{array}$$

Исследуем полученное решение вблизи резонанса $\gamma =\omega +\epsilon ,|\epsilon |\ll \omega$. Если трение полностью отсутствует, т.е. $\lambda =0$, то в окрестности резонанса движение осциллятора представляет собой биения:
$$x=\frac{F}{m{\omega }_0\epsilon }\sin \frac{\epsilon t}{2}\cdot \sin {\omega }_{0}t,$$

причем величина амплитуды и частота биении определяются степенью близости к резонансу (рис. $115,a$ ). Когда же $\gamma ={\omega }_0$ (т.е. имеет место полный резонанс) при $\epsilon \to 0$ получим
$$x=\frac{F}{2m{\omega }_0}t\sin {\omega }_{0}t,$$
т. е. колебания, амплитуда $a(t)$ которых неограниченно возрастает по закону $a(t)=Ft/2m{\omega }_0$ (рис. $115,б$ ).

Рис. 116
При наличии даже малого трения ( $\lambda \ll {\omega }_0$ ) картина движения качественно меняется. Так, при $\lambda \ll |\epsilon |$ из (1) легко получить вместо (2)
$$x(t)=\frac{F}{2m{\omega }_0\epsilon }\sqrt{1-2e^{-\lambda t}\cos \epsilon t+e^{-2\lambda t}}\cos ({\omega }_{0}t+{\phi }_1(t)).$$

Здесь ${\phi }_1(t)$ — некоторая медленно меняющаяся во времени фаза колебании. Амплитуда колебаний медленно осциллирует с частотой $|\epsilon |$ около значения $F/2m{\omega }_0|\epsilon |$, постепенно приближаясь к нему (рис. 116,a). Замечательно, что во время переходного процесса амплитуда может достигать значений, почти вдвое больших амплитуды установившихся колебаний. При соотношениях $|\epsilon |\ll \lambda \ll {\omega }_0$ получаем
$$x=\frac{F}{2m{\omega }_0\lambda }(1-e^{-\lambda t})\cos ({\omega }_{0}t+{\phi }_2(t)).$$

В этом случае происходит переходный процесс с плавно растущей амплитудой, асимптотически приближающейся к значению $F/2m{\omega }_0\lambda$, определяемому коэффициентом трения $\lambda$ (рис. 116,б). И, наконец, если $\epsilon$ и $\lambda -$ величины одного порядка малости, $|\epsilon |\sim \lambda \ll {\omega }_0$, то осцилляции амплитуды вокруг значения, отвечающего установившимся колебаниям $F/2\sqrt{2}m{\omega }_0|\epsilon |$, весьма неглубоки (для случая $\epsilon \approx \lambda$, см. рис. 116,8 ).

Таким образом, система приходит к установившимся колебаниям для этих трех случаев (рис. 116) за время $t$ порядка $1/\lambda$ (это, впрочем, очевидно и из (1)).

Качественное исследование процесса установления колебаний (переходного процесса) при $\lambda \ll {\omega }_0$ удобно проводить с помощью векторных диаграмм (рис. 117). Вынужденное колебание изображается проекцией на ось $x$ вектора $\overrightarrow{OA}$, вращающегося с
Рис. 117
угловой скоростью $\gamma$. Вектор свободного колебания $\overrightarrow{AB}$ вращается с угловой скоростью $\omega$, и длина его убывает пропорционально $e^{-\lambda t}$. В начальный момент $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}\approx 0$.
Каков характер переходного процесса, если $x(0)=0,\dot{x}(0)eq0$ ?
5.12. а) Энергия, приобретенная осциллятором,
$$E=\frac{\pi F^2}{2m}{\tau }^2\exp [-\frac{1}{2}(\omega \tau {)}^2]$$

существенно зависит от того, как быстро включается сила (от параметра $\omega \tau$ ). При мгновенном ударе $(\omega \tau \ll 1)$ или при очень медленном включении силы ( $\omega \tau \gg 1$ ) передачи энергии малы, максимум передачи энергии $E_{max}=\frac{\pi F^2}{m{\omega }^{2}e}$ до-
Рис. 118
стигается при ${\tau }_m=\sqrt{2}/\omega$ (рис. 118).
б) Если $x\to a\cos (\omega t+\phi )$ при $t\to \mathrm{\infty },{}^{\prime }$ то
$$\mathrm{\Delta }E=E(+\mathrm{\infty })-E(-\mathrm{\infty })=\frac{\pi F^2}{2m}{\tau }^2{e}^{-(\omega \tau {)}^2/2}-\sqrt{\pi }a\omega \tau F{e}^{-(\omega \tau {)}^2/4}\sin \phi .$$

В зависимости от величины $\phi$ осциллятор приобретает или теряет энергию. Это изменение энергии подобно поглощению или вынужденному испусканию света атомом.
При усреднении по фазе $\phi$ получим тот же ответ, что и в пункте а).
${}^1\phi$ имеет смысл «прицельной фазы», т. е. той фазы, которую осциллятор имел бы при $t=0$, если бы не было вынуждающей силы.

5.13. a) $x(t)=\frac{1}{2\mu }[{\xi }_1(t)+{\xi }_2(t{)}^{.}$, где
$${\xi }_{1,2}=e^{\pm \mu t}[{\int }_0^t\frac{1}{m}F(\tau )e^{\pm \mu \tau }d\tau +{\dot{x}}_0\mp \mu x_0].$$
б) $x(t)=\frac{1}{\omega }\mathrm{Im}\left\{e^{i\omega t-\lambda t}[{\int }_0^t\frac{1}{m}F(\tau )e^{\lambda \tau -i\omega \tau }d\tau +{\dot{x}}_0+(i\omega +\lambda )x_0]\right\}$, где $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\lambda }^2}$.
5.14. На осциллятор действует сила
$$\mathbf{F}(t)=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{r}}U\left(|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0(t)|\right),$$

где $\mathbf{r}(t)$ — отклонение осциллятора, а ${\mathbf{r}}_0(t)$ — радиус-вектор налетающей частицы. Предполагая отклонение частицы малым, полагаем ${\mathbf{r}}_0(t)=\rho +\mathbf{v}t$ ( $\rho$ — прицельный параметр, векторы $\rho$ и v взаимно ортогональны). Считая также малой амплитуду колебаний осциллятора, полагаем в (1) (после дифференцирования) $\mathbf{r}=0$; тогда $\mathbf{F}(t)=-2{\varkappa }^{2}V(\mathit{\rho }+\mathbf{v}t)\cdot \exp (-{\varkappa }^2{\rho }^2-{\varkappa }^2{\mathbf{v}}^2{t}^2)$.

Колебания по направлениям $\rho$ и $\mathbf{v}$ независимы и возбуждаются до энергии
$$\frac{1}{2m}{|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{F}_{\rho }(t)e^{-i\omega t}dt|}^2\text{ и }\frac{1}{2m}{|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{F}_v(t)e^{-i\omega t}dt|}^2$$

соответственно. Здесь $F_v$ и $F_{\rho }$ — компоненты силы по направлениям $\mathbf{v}$ и $\rho$. Полная энергия возбуждения осциллятора ${}^1$
$$\epsilon =\frac{\pi V^2}{2E}(x+a)e^{-x-a},$$

где
$$E=\frac{1}{2}m{v}^2,a=\frac{1}{2}{\left(\frac{\omega }{\varkappa v}\right)}^2,x=2(\varkappa \rho {)}^2.$$
${}^1$ Интересно отметить, что зависимость $\epsilon (\omega )$ такая же, как и зависимость спектральной плотности излучения быстрого электрона в поле $U(r)$ (см. [2], § 67).

Сечение возбуждения осциллятора до энергии, лежащей в интервале от $\epsilon$ до $\epsilon +\delta \epsilon$,
$$d\sigma =\pi \sum _k\left|d{\rho }_k^2\right|=\frac{\pi }{2{\varkappa }^2}\frac{d\epsilon }{\epsilon }\sum _k\left|\frac{a+x_k(\epsilon )}{1-a-x_k(\epsilon )}\right|,$$

где $x_k$ — различные корни уравнения (3).
Рис. 119
Рис. 120
Дальнейшее исследование удобно проводить, решая уравнение (3) графически, как это делалось в задаче 3.10 а. При $\epsilon \ll {\epsilon }_1=\frac{\pi V^2}{2E}a{e}^{-a}$ получаем $d\sigma =\frac{\pi }{2{\varkappa }^2}\frac{d\epsilon }{\epsilon }$ (в уравнении (4) полагаем $x_k(\epsilon )\gg 1,x_k\gg a$ ). Для бо́льших $\epsilon$ результат зависит от величины $a$. Если $a>1$, то возможно лишь $\epsilon <{\epsilon }_1$ (рис. 119, $a$; для сечения — рис. 120,a). Если же $a<1$, то возможно $\epsilon <{\epsilon }_2=\frac{\pi V^2}{2Ee}$ (рис. $119,\sigma$ ), причем при $\epsilon ={\epsilon }_1$ график $d\sigma /d\epsilon$ испытывает скачок, а при ${\epsilon }_2-\epsilon \ll {\epsilon }_2$ имеет интегрируемую особенность (рис. 120,б) $d\sigma =\frac{\pi }{\sqrt{2}{\varkappa }^2}\frac{d\epsilon }{{\epsilon }_2}\frac{1}{\sqrt{1-\epsilon /{\epsilon }_2}}$.

5.15. Если осциллятор имеет «прицельную фазу», равную $\phi$ (см. задачу 5.12 б), то, повторяя выкладки предыдущей задачи, получим для энергии осциллятора выражение
$$\epsilon ={\epsilon }_1{e}^{-2(\varkappa \rho {)}^2}+2\sqrt{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}{e}^{-(\varkappa \rho {)}^2}\cos \phi +{\epsilon }_0,$$

где
$${\epsilon }_1=\frac{\pi }{4E}{\left(\frac{V\omega }{\varkappa v}\right)}^2\exp \{-\frac{{\omega }^2}{2(\varkappa v{)}^2}\}.$$

При $\cos \phi >0$ для всех $\rho$ оказывается $\epsilon >{\epsilon }_0$, а при $\cos \phi <0$ существуют такие ${\rho }_{1,2}$, для которых $\epsilon <{\epsilon }_0$. Разрешая уравнение (1) относительно ${\rho }^2$, находим
$$\begin{array}{l}{\rho }^2=\frac{1}{{\varkappa }^2}\ln \frac{\sqrt{{\epsilon }_1/{\epsilon }_0}}{-\cos \phi +\sqrt{\left(\epsilon /{\epsilon }_0\right)-{\sin }^2\phi }}\text{ при }\epsilon >{\epsilon }_0,\\ {\rho }_{1,2}^2=\frac{1}{{\varkappa }^2}\ln \frac{\sqrt{{\epsilon }_1}}{\sqrt{{\epsilon }_0}|\cos \phi |\pm \sqrt{\epsilon -{\epsilon }_0{\sin }^2\phi }}\text{ при }\cos \phi <0\\ \text{ и }{\epsilon }_0>\epsilon >{\epsilon }_{min}={\epsilon }_0{\sin }^2\phi \text{. Отсюда }\\ d\sigma =\pi \left|\frac{d{\rho }^2}{d\epsilon }\right|d\epsilon =\frac{\pi }{2{\varkappa }^2}\frac{d\epsilon }{\epsilon -{\epsilon }_0{\sin }^2\phi -\cos \phi \cdot \sqrt{\epsilon {\epsilon }_0-{\epsilon }_0^2{\sin }^2\phi }}\end{array}$$

при $\epsilon >{\epsilon }_0$ и
$$d\sigma =\pi d(-{\rho }_1^2+{\rho }_2^2)=\frac{1}{{\varkappa }^2}\frac{{\epsilon }_0\pi |\cos \phi |d\epsilon }{({\epsilon }_0-\epsilon )\sqrt{\epsilon {\epsilon }_0-{\epsilon }_0^2{\sin }^2\phi }}$$

при ${\epsilon }_{min}<\epsilon <{\epsilon }_0$ и $\cos \phi <0$.
Усредняя по всем возможным для данного $\epsilon$ фазам $\phi$, получим
$$⟨\frac{d\sigma }{d\epsilon }⟩=\frac{\pi }{2{\varkappa }^2|{\epsilon }_0-\epsilon |}$$
(рис. 121). Усреднение проводится по формулам
$$⟨\frac{d\sigma }{d\epsilon }⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{d\sigma }{d\epsilon }d\phi$$

для $\epsilon >{\epsilon }_0$ и
$$⟨\frac{d\sigma }{d\epsilon }⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\pi -\alpha }^{\pi +\alpha }\frac{d\sigma }{d\epsilon }d\phi$$

для $\epsilon <{\epsilon }_0$. Здесь $\alpha =\arcsin \sqrt{\epsilon /{\epsilon }_0}$.
Расходимость сечений (2), (3) и (4) при $\epsilon \to {\epsilon }_0$ связана с тем, что при любых больших $\rho$ осциллятор возбуждается.
С чем связана дополнительная особенность в (3) и почему ее нет в (4)?
5.16. Для функции Лагранжа $L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+xF(t)$ энергия системы
$$E(t)=\frac{m}{2}(\mathrm{Re}\xi {)}^2+\frac{m}{2}(\mathrm{Im}\xi {)}^2-\frac{F(t)}{\omega }\mathrm{Im}\xi =\frac{m}{2}{|\xi -\frac{iF(t)}{m\omega }|}^2-\frac{F^2(t)}{2m{\omega }^2},$$

где
$$\xi =\dot{x}+i\omega x=e^{i\omega t}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{e}^{-i\omega \tau }\frac{1}{m}F(\tau )d\tau$$
(см. [1], §22). Хотя выражение для энергии имеет определенный предел при $t\to \mathrm{\infty }$, интеграл, определяющий $\xi (t)$ при $t\to \mathrm{\infty }$, не имеет предела (так как $F(\tau )\to F_0$ при $\tau \to \mathrm{\infty }$ ). Интегрируя (1) по частям, получим
$$\xi (t)=\frac{iF(t)}{m\omega }-\frac{i{e}^{i\omega \prime }t}{m\omega }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{F}^{\prime }(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau ,$$

где $F^{\prime }(\tau )\to 0$ при $\tau \to \mathrm{\infty }$ и интеграл сходится при $t\to \mathrm{\infty }$. Из (2) видно, что движение осциллятора при $t\to \mathrm{\infty }$ представляет собой гармонические колебания (второе слагаемое в (2)) около нового положения равновесия $x_0=\frac{F_0}{m{\omega }^2}$ (первое слагаемое в (2)). Переданная осциллятору энергия в соответствии с этим имеет вид
$$E(+\mathrm{\infty })=-\frac{F_0^2}{2m{\omega }^2}+\frac{1}{2m{\omega }^2}{|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}^{\prime }(t)e^{-i\omega t}dt|}^2.$$

5.17.
$$\mathrm{\Delta }E=E(+\mathrm{\infty })-E(-\mathrm{\infty })=-\frac{F_0^2}{2m{\omega }^2}+\frac{{\lambda }^4{F}_0^2}{2m{\omega }^2{({\lambda }^2+{\omega }^2)}^2}-\frac{a{\lambda }^2{F}_0\cos \phi }{{\lambda }^2+{\omega }^2}.$$
$E_0=\frac{1}{2}m{\omega }^2{a}^2,\phi -$ «прицельная фаза» (см. сноску к задаче 5.12б).
5.18. Проводя в формуле $\xi (\tau )=\xi (0)e^{i\omega \tau }+\frac{1}{m}{e}^{i\omega \tau }{\int }_0^{\tau }F(t)e^{-i\omega t}dt$ (см. [1], § 22) $n$-кратное интегрирование по частям, получаем выражение
$$\begin{array}{r}\xi (\tau )=\xi (0)e^{i\omega \tau }+\frac{i{F}_0}{m\omega }+\frac{F^{(n)}(+0)e^{i\omega \tau }-F^{(n)}(\tau -0)}{m(i\omega {)}^{(n+1)}}+\\ +\frac{e^{i\omega \tau }}{m(i\omega {)}^{(n+1)}}{\int }_0^{\tau }{F}^{(n+1)}(t)e^{-i\omega t}dt.\end{array}$$

Здесь $|\xi (0)|=a_0\omega$, где $a_0$ — амплитуда колебаний до момента включения силы. Предпоследний член в этой формуле по порядку величины равен $\frac{F_0}{m\omega }(\omega \tau {)}^{-n}$, а последний, вообще говоря, гораздо меньше (если $F^{(n+1)}(t)$ ) изменяется плавно). Квадрат амплитуды колебания ${\omega }^{-2}{|\xi -\frac{i{F}_0}{m\omega }|}^2$ при $t>\tau$ по порядку величины равен ${(a_0+\frac{F_0(\omega \tau {)}^{-n}}{m{\omega }^2})}^2$.

Таким образом, если сила включается медленно и плавно, передача энергии очень мала.
5.19. а) В промежуток времени $0⩽t⩽\tau$ колебания имеют вид $x=Ft/m{\omega }^2\tau +B\sin \omega t+C\cos \omega t$.
Движение окажется установившимся, если
$$x(\tau )=x(0),\dot{x}(\tau )=\dot{x}(0).$$

Эти условия приводят к системе уравнений
$$\{\begin{array}{l}\frac{F}{m{\omega }^2}+B\sin \omega \tau -C(\cos \omega \tau -1)=0,\\ B(\cos \omega \tau -1)-C\sin \omega \tau =0,\end{array}$$

определяющей постоянные $B$ и $C$. Таким образом, при $0⩽t⩽\tau$
$$x(t)=\frac{F}{m{\omega }^2}[\frac{t}{\tau }-\frac{\sin (\omega t-\omega \tau /2)}{2\sin (\omega \tau /2)}].$$

Если же $t$ лежит в промежутке $n\tau ⩽t⩽(n+1)\tau$ (где $n-$ целое), то в правой части (2) следует заменить $t$ на $t^{\prime }=t-n\tau (0⩽t^{\prime }⩽\tau )$.

При $\omega \tau$, близком к целому кратному $2\pi$, второй член в (2) оказывается очень большим — случай, близкий к резонансу. При $\omega \tau =2\pi l$ ( $l$ — целое) установившихся колебаний быть не может (система (1) противоречива ${}^1$ ).
б) $x(t)=\frac{1}{\omega }\mathrm{Im}[\frac{iF}{m\omega }+\frac{F}{m(\lambda +i\omega )}{e}^{-\lambda t}+A{e}^{i\omega t}]$ для $0⩽t⩽\tau$; здесь
$$A=-\frac{F}{m(\lambda +i\omega )}\frac{1-e^{-\lambda \tau }}{1-e^{i\omega \tau }}$$

для $n\tau ⩽t⩽(n+1)\tau$ в правой части следует заменить $t$ на $t^{\prime }=t-n\tau$.
в) При ${\omega }_0=(\mathcal{L}C{)}^{-1/2}>\lambda =R/2\mathcal{L}$ установившийся ток
$$I(t)=-\frac{1}{\sqrt{{\omega }_0^2-{\lambda }^2}}\frac{V}{\mathcal{L}}\mathrm{Im}(\frac{e^{\alpha t}}{1-e^{\alpha t}}+\frac{1}{\alpha \tau }),\alpha =-\lambda +i\sqrt{{\omega }_0^2-{\lambda }^2}$$

для $0⩽t⩽\tau$. Для $n⩽\frac{t}{\tau }⩽n+1$ нужно в формуле для тока заменить $t$ на $t^{\prime }=t-n\tau$.

Можно ли, используя (1), получить выражение для установившегося тока при ${\omega }_0<\lambda$ или при ${\omega }_0=\lambda$ ?
5.20. $$ a) $A=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}F(t)\dot{x}(t)dt=$
$$=\frac{\lambda {\omega }^2}{m}[\frac{f_1^2}{{({\omega }^2-{\omega }_0^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }^2}+\frac{4f_2^2}{{({\omega }_0^2-4{\omega }^2)}^2+16{\lambda }^2{\omega }^2}]\text{, }$$
${}^1$ Представив силу в виде ряда Фурье
$$F(t)=\frac{F}{2}-\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{F}{\pi l}\sin \frac{2\pi l}{\tau }t,$$

видим, что резонансную раскачку колебаний может вызывать каждая гармоника вынуждающей силы. При $\tau =2\pi l/\omega$ для достаточно больших $t$ (каких именно?)
$$x(t)\sim -\frac{Ft}{2\pi m\omega l}\sin \omega t.$$

т. е. каждая из двух гармоник силы передает энергию независимо от другой (здесь период $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ).
б) $A=\frac{4\lambda {\omega }^2}{m}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|a{|}^2{n}^2}{{({\omega }_0^2-n^2{\omega }^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }^2{n}^2}$.
в) $⟨A⟩=\frac{\lambda }{m}[\frac{f_1^2{\omega }_1^2}{{({\omega }_0^2-{\omega }_1^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }_1^2}+\frac{f_2^2{\omega }_2^2}{{({\omega }_0^2-{\omega }_2^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }_2^2}]$.
При усреднении за большой промежуток времени $T\gg \frac{2\pi }{{\omega }_{1,2}}$ оказывается, что каждая из сил $f_1\cos {\omega }_{1}t$ и $f_2\cos {\omega }_{2}t$ передает энергию осциллятору независимо. Это связано с тем, что лишь средние квадраты тригонометрических функций отличны от нуля. При $T\to \mathrm{\infty }$
$$\frac{1}{T}{\int }_0^T{\sin }^2{\omega }_{1}tdt=\frac{1}{2}+\frac{1}{4{\omega }_{1}T}(1-\sin 2{\omega }_{1}T)\to \frac{1}{2},$$

а средние значения перекрестных произведений типа $\sin {\omega }_{1}t\cdot \cos {\omega }_{1}t$ и т. д. исчезают. Например, при $T\to \mathrm{\infty }$
$$\frac{1}{T}{\int }_0^T\sin {\omega }_{1}t\cdot \cos {\omega }_{2}tdt=\frac{1-\cos ({\omega }_1-{\omega }_2)T}{2({\omega }_1-{\omega }_2)T}+\frac{1-\cos ({\omega }_1+{\omega }_2)T}{2({\omega }_1+{\omega }_2)T}\to 0.$$
г) Смещение осциллятора
$$x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\psi (\omega )e^{i\omega t}d\omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\lambda \omega }$$

отсюда полная работа силы $F(t)$ равна
$$A={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\dot{x}(t)F(t)dt=\frac{8\pi \lambda }{m}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^2|\psi (\omega ){|}^2}{{({\omega }_0^2-{\omega }^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }^2}d\omega .$$

При доказательстве последнего равенства использовано обратное преобразование Фурье ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(t)e^{i\omega t}dt=2\pi {\psi }^{\ast }(\omega )$.

При $\lambda \ll {\omega }_0$ основной вклад в интеграл (1) дает окрестность вблизи собственной частоты осциллятора $\omega ={\omega }_0$.
Поэтому
$$A\approx \frac{4\pi {\left|\psi \left({\omega }_0\right)\right|}^2{\omega }_0}{m}\left[\lambda {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{d{\omega }^2}{{({\omega }_0^2-{\omega }^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }_0^2}\right].$$

При этом сомножитель, стоящий в квадратных скобках, легко вычисляется и оказывается не зависящим от $\lambda ,A=\frac{{\left|2\pi \psi \left({\omega }_0\right)\right|}^2}{2m}$ (ср. с формулой $(22,12)$ из [1]).
5.21. Учитывая, что отклонение осциллятора $x$ есть малая величина первого порядка по $F$, получим
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }E={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(x,t)\dot{x}dt\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\dot{x}dt\\ \mathrm{\Delta }P={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(x,t)dt\approx {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[f(t)-\dot{f}(t)\frac{x}{V}]dt.\end{array}$$

Интегрируя второе слагаемое по частям, найдем
$$\mathrm{\Delta }P={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)dt+\frac{\mathrm{\Delta }E}{V}.$$

В частности, если ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)dt=0$, то $\mathrm{\Delta }E=V\mathrm{\Delta }P$.
Поясним условие малости $x$ на примере действия на осциллятор группы волн $f(t)=f{e}^{-|t|/\tau }\cos \gamma t$. Малым параметром в разложении $F(x,t)$ является $x/\lambda$, где $\lambda =2\pi V/\gamma -$ характерная длина волны, т. е.
$$\frac{|x|}{\lambda }=\frac{f\gamma }{2\pi m|{\omega }^2-{\gamma }^2|}\ll 1.$$