5.1. а) $\omega^{2}=\frac{V \alpha^{2}}{m} \sqrt{1-\left(\frac{F}{V \alpha}\right)^{2}}$; $\min U(x)$ существует при $F<V \alpha$;
б) $\omega^{2}=\frac{8 \pi}{3} \frac{V \alpha^{4}}{m} x_{0}^{2}\left(\frac{\Gamma(3 / 4)}{\Gamma(1 / 4)}\right)^{2}$, где амплитуда $x_{0}$ определена равенством
\[
E=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{1}{3} V \alpha^{4} x^{4}=\frac{1}{3} V \alpha^{4} x_{0}^{4} .
\]
5.2. Функция Лагранжа системы (см. [1], § 5, задача 4)
\[
L=m a^{2}\left[\dot{\theta}^{2}\left(1+2 \sin ^{2} \theta\right)+\Omega^{2} \sin ^{2} \theta+2 \Omega_{0}^{2} \cos \theta\right],
\]

где введено обозначение $\Omega_{0}^{2}=2 g / a$.
При $\Omega>\Omega_{0}$ потенциальная энергия системы
\[
U(\theta)=-m a^{2}\left(\Omega^{2} \sin ^{2} \theta+2 \Omega_{0}^{2} \cos \theta\right)
\]

имеет минимум при $\cos \theta_{0}=\Omega_{0}^{2} / \Omega^{2}$. Разлагаем $U(\theta)$ вблизи $\theta_{0}$, а в кинетической энергии полагаем
\[
1+2 \sin ^{2} \theta=1+2 \sin ^{2} \theta_{0}=3-2\left(\frac{\Omega_{0}}{\Omega}\right)^{4} \equiv \frac{M}{2 m a^{2}},
\]

тогда
\[
L=\frac{1}{2} M \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} k x^{2},
\]

где $k=U^{\prime \prime}\left(\theta_{0}\right), x=\theta-\theta_{0}$. Отсюда
\[
\omega^{2}=\frac{k}{M}=\Omega^{2} \frac{\Omega^{4}-\Omega_{0}^{4}}{3 \Omega^{4}-2 \Omega_{0}^{4}} \quad\left(\Omega>\Omega_{0}\right) .
\]

При $\Omega \gg \Omega_{0}$ частота колебаний пропорциональна угловой скорости вращения $\omega=\frac{1}{\sqrt{3}} \Omega$, а $\theta_{0}=\frac{\pi}{2}$. В случае $\Omega \rightarrow \Omega_{0}$ малые колебания совершаются с частотой $\omega \rightarrow 0$, а $\theta_{0} \rightarrow 0$.

Если $\Omega<\Omega_{0}$, то можно рассматривать колебания вблизи $\theta_{0}=0$ при упругих соударениях боковых масс
\[
\omega^{2}=\Omega_{0}^{2}-\Omega^{2} \quad\left(\Omega<\Omega_{0}\right) .
\]

При $\Omega=\Omega_{0}$ потенциальная энергия $U$ имеет минимум при $\theta_{0}=0$ и представима вблизи него в виде
\[
U=m a^{2} \Omega_{0}^{2}\left(-2+\frac{\theta^{4}}{4}\right),
\]
т. е. колебания существенно нелинейны. Оставляя и в кинетической энергии члены до четвертого порядка, получим
\[
\frac{2 \pi}{\omega}=T=8 \int_{0}^{\theta_{m}} \frac{\sqrt{1+2 \theta^{2}} d \theta}{\sqrt{\Omega_{0}^{2}\left(\theta_{m}^{4}-\theta^{4}\right)}} .
\]

Здесь $\theta_{m}$ – амплитуда колебаний (ср. [1], §11, задача 2 a).
5.3. Обозначим $s=\left(q^{2} / 8 m g R^{2}\right)^{1 / 3}$.
При $s<1$ положение устойчивого равновесия $\varphi_{0}$ определяется условием $\sin \frac{\varphi_{0}}{2}=s, \omega^{2}=\frac{3 g}{R}\left(1-s^{2}\right)$.

При $s>1$ положение устойчивого равновесия – точка $A$, а $\omega^{2}=$ $=\frac{3 g}{R}\left(s^{3}-1\right)$.
5.4.
\[
\begin{array}{c}
r=r_{0}+a \cos \omega\left(t-t_{0}\right), \\
\varphi=\varphi_{0}+\Omega\left(t-t_{0}\right)-\frac{2 a \Omega}{r_{0} \omega} \sin \left[\omega\left(t-t_{0}\right)\right],
\end{array}
\]

где $r_{0}, \varphi_{0}, a, t_{0}$ – константы интегрирования ( $a \ll r_{0}$ ),
\[
\Omega=\sqrt{\frac{n \alpha}{m}} r_{0}^{-(n+2) / 2}, \quad \omega=\Omega \sqrt{2-n} .
\]
5.5. В точке $\theta=\theta_{0}$ эффективная потенциальная энергия $U_{\text {эфф }}(\theta)=$ $=\frac{M_{z}^{2}}{2 m l^{2} \sin ^{2} \theta}-m g l \cos \theta$ (см. [1], §14, задача 1) имеет минимум, поэтому $U_{\text {эфф }}^{\prime}\left(\theta_{0}\right)=0$. Отсюда находим
\[
M_{z}^{2}=m^{2} l^{3} g \sin ^{4} \theta_{0} / \cos \theta_{0},
\]

а частота малых колебаний
\[
\omega\left(\theta_{0}\right)=\sqrt{\frac{U_{9 \phi \phi}^{\prime \prime}\left(\theta_{0}\right)}{m l^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{l} \frac{1+3 \cos ^{2} \theta_{0}}{\cos \theta_{0}} .}
\]

Для применимости этого расчета необходимо, чтобы
\[
\frac{1}{2} U_{\Im \phi \phi}^{\prime \prime}\left(\theta_{0}\right)(\Delta \theta)^{2} \gg \frac{1}{6}\left|U_{\Im \phi \phi}^{\prime \prime \prime}\left(\theta_{0}\right)\right|(\Delta \theta)^{3},
\]

где $\Delta \theta$ – амплитуда колебаний. Если $\theta_{0} \sim 1$, это условие выполняется при $\Delta \theta \ll 1$. Однако при $\theta_{0} \ll 1$ оказывается $U_{\text {эфф }}^{\prime \prime \prime}\left(\theta_{0}\right) \propto \frac{1}{\theta_{0}}$ и колебания по $\theta$ можно рассматривать как малые, только если $\Delta \theta \ll \theta_{0}$. Тем не менее в этом случае полученный результат $\omega=2 \sqrt{g / l}$ справедлив и для $\Delta \theta \sim \theta_{0}$, когда колебания по $\theta$ перестают быть гармоническими. Действительно, по осям $x$ и $y$ в этом случае происходят малые гармонические колебания с частотой $\sqrt{g / l}$, т. е. маятник движется по эллипсу, совершая за один оборот два колебания по углу $\theta$ (см. [1], §23, задача 3).
5.6. Эффективная потенциальная энергия для радиальных колебаний молекулы
\[
U_{\text {эфф }}(r)=\frac{1}{2} m \omega_{0}^{2}\left(r-r_{0}\right)^{2}+\frac{M^{2}}{2 m r^{2}},
\]

где $r$ – расстояние между атомами, а $m$ – приведенная масса. Добавление второго члена, предполагаемого малой поправкой, приводит к малому смещению положения равновесия
\[
\delta r_{0}=\frac{M^{2}}{m^{2} \omega_{0}^{2} r_{0}^{3}} .
\]

Изменение частоты определим, разлагая $U_{\text {эфф }}(r)$ в ряд вблизи точки $r_{0}+\delta r_{0}$ :
\[
U_{э ф \phi}(r)=\frac{1}{2} m \omega_{0}^{2}\left(r-r_{0}-\delta r_{0}\right)^{2}+\frac{M^{2}}{2 m r_{0}^{2}}+\frac{3 M^{2}}{2 m r_{0}^{4}}\left(r-r_{0}-\delta r_{0}\right)^{2} .
\]

Отсюда поправка к частоте
\[
\delta \omega=\frac{3 M^{2}}{2 m^{2} \omega_{0} r_{0}^{4}}=\frac{3 \Omega^{2}}{2 \omega_{0}},
\]

где $\Omega=M / m r_{0}^{2}-$ средняя скорость вращения молекулы.
5.7. а) Смещение из положения равновесия
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0} \cos \omega t+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega} \sin \omega t=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{\omega^{2}}} \cos (\omega t+\varphi), \\
\operatorname{tg} \varphi=-\frac{\dot{x}_{0}}{\omega x_{0}}, \quad \omega^{2}=\frac{2 k}{m} . \\
\end{array}
\]

б) Пусть натяжение одной пружинки $f$. Для малых смещений $|y| \ll \sqrt{f l / k}$, колебания гармонические $y=A \cos (\omega t+\varphi), \omega^{2}=2 f / m l$.

При $f=k l$ частота колебаний та же, что и в пункте а). Если пружинки не натянуты ( $f=0$ ), колебания нелинейны, возвращающая сила $F=-k y^{3} / l^{2}$; частота (см. задачу 5.1 б)
\[
\omega=\frac{\sqrt{\pi} \Gamma(3 / 4)}{\Gamma(1 / 4)} \sqrt{\frac{2 k}{m}} \frac{y_{m}}{l}
\]
( $y_{m}-$ амплитуда колебании).
Если частица может двигаться в плоскости $x y$, то ее движение при $f
eq 0$ и малых смещениях представляет собой гармонические колебания вдоль осей $x$ и $y$ с частотами $\omega_{x}^{2}=2 k / m$ и $\omega_{y}^{2}=2 f / m l$ соответственно (см. задачу 6.3).
5.8. Пусть $y$ – координата частицы, отсчитанная от точки верхнего подвеса. Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{m \dot{y}^{2}}{2}-k(y-l)^{2}+m g y=\frac{m \dot{y}^{2}}{2}-k\left(y-l-\frac{m g}{2 k}\right)^{2}+\text { const }
\]

соответствует осциллятору с частотой $\omega^{2}=\frac{2 k}{m}$ и положением равновесия $y_{0}=l+\frac{m g}{2 k}$, поэтому $y=y_{0}+A \cos (\omega t+\varphi)$.

Заметим, что, выбирая в качестве координаты отклонение от положения равновесия, мы исключаем из функции Лагранжа поле тяжести.
5.9. Угол отклонения маятника от вертикали
\[
\varphi=\frac{a \Omega^{2}}{g-l \Omega^{2}} \cos \Omega t, \quad\left|\frac{a \Omega^{2}}{g-l \Omega^{2}}\right| \ll 1
\]
(см. также задачу 8.3).
Возможны также колебания маятника вблизи направления радиуса-вектора $\varphi=\Omega t+\frac{g}{a \Omega^{2}} \sin \Omega t, \Omega^{2} \gg \frac{g}{a}$.
5.10. Ток в контуре
\[
I=\frac{d q}{d t}=\frac{U_{0} \sin (\omega t-\varphi)}{\sqrt{R^{2}+(\omega \mathscr{L}-1 / \omega C)^{2}}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega \mathscr{L}-1 / \omega C}{R}
\]

можно получить, решая уравнения Лагранжа для $q$. Функция Лагранжа системы $L=\frac{\mathscr{L} \dot{q}^{2}}{2}-\frac{q^{2}}{2 C}$ (см. задачу 4.22) диссипативная функция равна $\frac{1}{2} R \dot{q}^{2}$ (cм. [3], §48).
5.11. Общее решение уравнения движения (см. [1], §26; см. также [14])
\[
\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{F}{m} \cos \gamma t
\]

при условии $\omega^{2}=\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}>0$ имеет вид
\[
x(t)=e^{-\lambda t}(a \cos \omega t+b \sin \omega t)+\frac{F\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right) \cos \gamma t+2 \lambda \gamma \sin \gamma t\right]}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}\right]},
\]

где $a$ и $b-$ константы, определяемые из начальных условий. Полагая $x(0)=$ $=\dot{x}(0)=0$, найдем окончательно
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\frac{F}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \gamma^{2}\right]} {\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)\left(\cos \gamma t-e^{-\lambda t} \cos \omega t\right)+\right.} \\
\left.+2 \lambda \gamma\left(\sin \gamma t-\frac{\omega_{0}^{2}+\gamma^{2}}{2 \gamma \omega} e^{-\lambda t} \sin \omega t\right)\right] .
\end{array}
\]

Исследуем полученное решение вблизи резонанса $\gamma=\omega+\varepsilon,|\varepsilon| \ll \omega$. Если трение полностью отсутствует, т.е. $\lambda=0$, то в окрестности резонанса движение осциллятора представляет собой биения:
\[
x=\frac{F}{m \omega_{0} \varepsilon} \sin \frac{\varepsilon t}{2} \cdot \sin \omega_{0} t,
\]

причем величина амплитуды и частота биении определяются степенью близости к резонансу (рис. $115, a$ ). Когда же $\gamma=\omega_{0}$ (т.е. имеет место полный резонанс) при $\varepsilon \rightarrow 0$ получим
\[
x=\frac{F}{2 m \omega_{0}} t \sin \omega_{0} t,
\]
т. е. колебания, амплитуда $a(t)$ которых неограниченно возрастает по закону $a(t)=F t / 2 m \omega_{0}$ (рис. $115, б$ ).

Рис. 116
При наличии даже малого трения ( $\lambda \ll \omega_{0}$ ) картина движения качественно меняется. Так, при $\lambda \ll|\varepsilon|$ из (1) легко получить вместо (2)
\[
x(t)=\frac{F}{2 m \omega_{0} \varepsilon} \sqrt{1-2 e^{-\lambda t} \cos \varepsilon t+e^{-2 \lambda t}} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi_{1}(t)\right) .
\]

Здесь $\varphi_{1}(t)$ – некоторая медленно меняющаяся во времени фаза колебании. Амплитуда колебаний медленно осциллирует с частотой $|\varepsilon|$ около значения $F / 2 m \omega_{0}|\varepsilon|$, постепенно приближаясь к нему (рис. 116,a). Замечательно, что во время переходного процесса амплитуда может достигать значений, почти вдвое больших амплитуды установившихся колебаний. При соотношениях $|\varepsilon| \ll \lambda \ll \omega_{0}$ получаем
\[
x=\frac{F}{2 m \omega_{0} \lambda}\left(1-e^{-\lambda t}\right) \cos \left(\omega_{0} t+\varphi_{2}(t)\right) .
\]

В этом случае происходит переходный процесс с плавно растущей амплитудой, асимптотически приближающейся к значению $F / 2 m \omega_{0} \lambda$, определяемому коэффициентом трения $\lambda$ (рис. 116,б). И, наконец, если $\varepsilon$ и $\lambda-$ величины одного порядка малости, $|\varepsilon| \sim \lambda \ll \omega_{0}$, то осцилляции амплитуды вокруг значения, отвечающего установившимся колебаниям $F / 2 \sqrt{2} m \omega_{0}|\varepsilon|$, весьма неглубоки (для случая $\varepsilon \approx \lambda$, см. рис. 116,8 ).

Таким образом, система приходит к установившимся колебаниям для этих трех случаев (рис. 116) за время $t$ порядка $1 / \lambda$ (это, впрочем, очевидно и из (1)).

Качественное исследование процесса установления колебаний (переходного процесса) при $\lambda \ll \omega_{0}$ удобно проводить с помощью векторных диаграмм (рис. 117). Вынужденное колебание изображается проекцией на ось $x$ вектора $\overrightarrow{O A}$, вращающегося с
Рис. 117
угловой скоростью $\gamma$. Вектор свободного колебания $\overrightarrow{A B}$ вращается с угловой скоростью $\omega$, и длина его убывает пропорционально $e^{-\lambda t}$. В начальный момент $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O A} \approx 0$.
Каков характер переходного процесса, если $x(0)=0, \dot{x}(0)
eq 0$ ?
5.12. а) Энергия, приобретенная осциллятором,
\[
E=\frac{\pi F^{2}}{2 m} \tau^{2} \exp \left[-\frac{1}{2}(\omega \tau)^{2}\right]
\]

существенно зависит от того, как быстро включается сила (от параметра $\omega \tau$ ). При мгновенном ударе $(\omega \tau \ll 1)$ или при очень медленном включении силы ( $\omega \tau \gg 1$ ) передачи энергии малы, максимум передачи энергии $E_{\max }=\frac{\pi F^{2}}{m \omega^{2} e}$ до-
Рис. 118
стигается при $\tau_{m}=\sqrt{2} / \omega$ (рис. 118).
б) Если $x \rightarrow a \cos (\omega t+\varphi)$ при $t \rightarrow \infty,{ }^{\prime}$ то
\[
\Delta E=E(+\infty)-E(-\infty)=\frac{\pi F^{2}}{2 m} \tau^{2} e^{-(\omega \tau)^{2} / 2}-\sqrt{\pi} a \omega \tau F e^{-(\omega \tau)^{2} / 4} \sin \varphi .
\]

В зависимости от величины $\varphi$ осциллятор приобретает или теряет энергию. Это изменение энергии подобно поглощению или вынужденному испусканию света атомом.
При усреднении по фазе $\varphi$ получим тот же ответ, что и в пункте а).
${ }^{1} \varphi$ имеет смысл «прицельной фазы», т. е. той фазы, которую осциллятор имел бы при $t=0$, если бы не было вынуждающей силы.

5.13. a) $x(t)=\frac{1}{2 \mu}\left[\xi_{1}(t)+\xi_{2}(t)^{.}\right.$, где
\[
\xi_{1,2}=e^{ \pm \mu t}\left[\int_{0}^{t} \frac{1}{m} F(\tau) e^{ \pm \mu \tau} d \tau+\dot{x}_{0} \mp \mu x_{0}\right] .
\]
б) $x(t)=\frac{1}{\omega} \operatorname{Im}\left\{e^{i \omega t-\lambda t}\left[\int_{0}^{t} \frac{1}{m} F(\tau) e^{\lambda \tau-i \omega \tau} d \tau+\dot{x}_{0}+(i \omega+\lambda) x_{0}\right]\right\}$, где $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}$.
5.14. На осциллятор действует сила
\[
\mathbf{F}(t)=-\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} U\left(\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}(t)\right|\right),
\]

где $\mathbf{r}(t)$ – отклонение осциллятора, а $\mathbf{r}_{0}(t)$ – радиус-вектор налетающей частицы. Предполагая отклонение частицы малым, полагаем $\mathbf{r}_{0}(t)=\rho+\mathbf{v} t$ ( $\rho$ – прицельный параметр, векторы $\rho$ и v взаимно ортогональны). Считая также малой амплитуду колебаний осциллятора, полагаем в (1) (после дифференцирования) $\mathbf{r}=0$; тогда $\mathbf{F}(t)=-2 \varkappa^{2} V(\boldsymbol{\rho}+\mathbf{v} t) \cdot \exp \left(-\varkappa^{2} \rho^{2}-\varkappa^{2} \mathbf{v}^{2} t^{2}\right)$.

Колебания по направлениям $\rho$ и $\mathbf{v}$ независимы и возбуждаются до энергии
\[
\frac{1}{2 m}\left|\int_{-\infty}^{+\infty} F_{\rho}(t) e^{-i \omega t} d t\right|^{2} \quad \text { и } \quad \frac{1}{2 m}\left|\int_{-\infty}^{+\infty} F_{v}(t) e^{-i \omega t} d t\right|^{2}
\]

соответственно. Здесь $F_{v}$ и $F_{\rho}$ – компоненты силы по направлениям $\mathbf{v}$ и $\rho$. Полная энергия возбуждения осциллятора ${ }^{1}$
\[
\varepsilon=\frac{\pi V^{2}}{2 E}(x+a) e^{-x-a},
\]

где
\[
E=\frac{1}{2} m v^{2}, \quad a=\frac{1}{2}\left(\frac{\omega}{\varkappa v}\right)^{2}, \quad x=2(\varkappa \rho)^{2} .
\]
${ }^{1}$ Интересно отметить, что зависимость $\varepsilon(\omega)$ такая же, как и зависимость спектральной плотности излучения быстрого электрона в поле $U(r)$ (см. [2], § 67).

Сечение возбуждения осциллятора до энергии, лежащей в интервале от $\varepsilon$ до $\varepsilon+\delta \varepsilon$,
\[
d \sigma=\pi \sum_{k}\left|d \rho_{k}^{2}\right|=\frac{\pi}{2 \varkappa^{2}} \frac{d \varepsilon}{\varepsilon} \sum_{k}\left|\frac{a+x_{k}(\varepsilon)}{1-a-x_{k}(\varepsilon)}\right|,
\]

где $x_{k}$ – различные корни уравнения (3).
Рис. 119
Рис. 120
Дальнейшее исследование удобно проводить, решая уравнение (3) графически, как это делалось в задаче 3.10 а. При $\varepsilon \ll \varepsilon_{1}=\frac{\pi V^{2}}{2 E} a e^{-a}$ получаем $d \sigma=\frac{\pi}{2 \varkappa^{2}} \frac{d \varepsilon}{\varepsilon}$ (в уравнении (4) полагаем $x_{k}(\varepsilon) \gg 1, x_{k} \gg a$ ). Для бо́льших $\varepsilon$ результат зависит от величины $a$. Если $a>1$, то возможно лишь $\varepsilon<\varepsilon_{1}$ (рис. 119, $a$; для сечения – рис. 120,a). Если же $a<1$, то возможно $\varepsilon<\varepsilon_{2}=\frac{\pi V^{2}}{2 E e}$ (рис. $119, \sigma$ ), причем при $\varepsilon=\varepsilon_{1}$ график $d \sigma / d \varepsilon$ испытывает скачок, а при $\varepsilon_{2}-\varepsilon \ll \varepsilon_{2}$ имеет интегрируемую особенность (рис. 120,б) $d \sigma=\frac{\pi}{\sqrt{2} \varkappa^{2}} \frac{d \varepsilon}{\varepsilon_{2}} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon / \varepsilon_{2}}}$.

5.15. Если осциллятор имеет «прицельную фазу», равную $\varphi$ (см. задачу 5.12 б), то, повторяя выкладки предыдущей задачи, получим для энергии осциллятора выражение
\[
\varepsilon=\varepsilon_{1} e^{-2(\varkappa \rho)^{2}}+2 \sqrt{\varepsilon_{1} \varepsilon_{0}} e^{-(\varkappa \rho)^{2}} \cos \varphi+\varepsilon_{0},
\]

где
\[
\varepsilon_{1}=\frac{\pi}{4 E}\left(\frac{V \omega}{\varkappa v}\right)^{2} \exp \left\{-\frac{\omega^{2}}{2(\varkappa v)^{2}}\right\} .
\]

При $\cos \varphi>0$ для всех $\rho$ оказывается $\varepsilon>\varepsilon_{0}$, а при $\cos \varphi<0$ существуют такие $\rho_{1,2}$, для которых $\varepsilon<\varepsilon_{0}$. Разрешая уравнение (1) относительно $\rho^{2}$, находим
\[
\begin{array}{l}
\rho^{2}=\frac{1}{\varkappa^{2}} \ln \frac{\sqrt{\varepsilon_{1} / \varepsilon_{0}}}{-\cos \varphi+\sqrt{\left(\varepsilon / \varepsilon_{0}\right)-\sin ^{2} \varphi}} \quad \text { при } \varepsilon>\varepsilon_{0}, \\
\rho_{1,2}^{2}=\frac{1}{\varkappa^{2}} \ln \frac{\sqrt{\varepsilon_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{0}}|\cos \varphi| \pm \sqrt{\varepsilon-\varepsilon_{0} \sin ^{2} \varphi}} \quad \text { при } \cos \varphi<0 \\
\text { и } \varepsilon_{0}>\varepsilon>\varepsilon_{\min }=\varepsilon_{0} \sin ^{2} \varphi \text {. Отсюда } \\
d \sigma=\pi\left|\frac{d \rho^{2}}{d \varepsilon}\right| d \varepsilon=\frac{\pi}{2 \varkappa^{2}} \frac{d \varepsilon}{\varepsilon-\varepsilon_{0} \sin ^{2} \varphi-\cos \varphi \cdot \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}-\varepsilon_{0}^{2} \sin ^{2} \varphi}} \\
\end{array}
\]

при $\varepsilon>\varepsilon_{0}$ и
\[
d \sigma=\pi d\left(-\rho_{1}^{2}+\rho_{2}^{2}\right)=\frac{1}{\varkappa^{2}} \frac{\varepsilon_{0} \pi|\cos \varphi| d \varepsilon}{\left(\varepsilon_{0}-\varepsilon\right) \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}-\varepsilon_{0}^{2} \sin ^{2} \varphi}}
\]

при $\varepsilon_{\min }<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ и $\cos \varphi<0$.
Усредняя по всем возможным для данного $\varepsilon$ фазам $\varphi$, получим
\[
\left\langle\frac{d \sigma}{d \varepsilon}\right\rangle=\frac{\pi}{2 \varkappa^{2}\left|\varepsilon_{0}-\varepsilon\right|}
\]
(рис. 121). Усреднение проводится по формулам
\[
\left\langle\frac{d \sigma}{d \varepsilon}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \sigma}{d \varepsilon} d \varphi
\]

для $\varepsilon>\varepsilon_{0}$ и
\[
\left\langle\frac{d \sigma}{d \varepsilon}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{\pi-\alpha}^{\pi+\alpha} \frac{d \sigma}{d \varepsilon} d \varphi
\]

для $\varepsilon<\varepsilon_{0}$. Здесь $\alpha=\arcsin \sqrt{\varepsilon / \varepsilon_{0}}$.
Расходимость сечений (2), (3) и (4) при $\varepsilon \rightarrow \varepsilon_{0}$ связана с тем, что при любых больших $\rho$ осциллятор возбуждается.
С чем связана дополнительная особенность в (3) и почему ее нет в (4)?
5.16. Для функции Лагранжа $L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}+x F(t)$ энергия системы
\[
E(t)=\frac{m}{2}(\operatorname{Re} \xi)^{2}+\frac{m}{2}(\operatorname{Im} \xi)^{2}-\frac{F(t)}{\omega} \operatorname{Im} \xi=\frac{m}{2}\left|\xi-\frac{i F(t)}{m \omega}\right|^{2}-\frac{F^{2}(t)}{2 m \omega^{2}},
\]

где
\[
\xi=\dot{x}+i \omega x=e^{i \omega t} \int_{-\infty}^{t} e^{-i \omega \tau} \frac{1}{m} F(\tau) d \tau
\]
(см. [1], §22). Хотя выражение для энергии имеет определенный предел при $t \rightarrow \infty$, интеграл, определяющий $\xi(t)$ при $t \rightarrow \infty$, не имеет предела (так как $F(\tau) \rightarrow F_{0}$ при $\tau \rightarrow \infty$ ). Интегрируя (1) по частям, получим
\[
\xi(t)=\frac{i F(t)}{m \omega}-\frac{i e^{i \omega \prime} t}{m \omega} \int_{-\infty}^{t} F^{\prime}(\tau) e^{-i \omega \tau} d \tau,
\]

где $F^{\prime}(\tau) \rightarrow 0$ при $\tau \rightarrow \infty$ и интеграл сходится при $t \rightarrow \infty$. Из (2) видно, что движение осциллятора при $t \rightarrow \infty$ представляет собой гармонические колебания (второе слагаемое в (2)) около нового положения равновесия $x_{0}=\frac{F_{0}}{m \omega^{2}}$ (первое слагаемое в (2)). Переданная осциллятору энергия в соответствии с этим имеет вид
\[
E(+\infty)=-\frac{F_{0}^{2}}{2 m \omega^{2}}+\frac{1}{2 m \omega^{2}}\left|\int_{-\infty}^{\infty} F^{\prime}(t) e^{-i \omega t} d t\right|^{2} .
\]

5.17.
\[
\Delta E=E(+\infty)-E(-\infty)=-\frac{F_{0}^{2}}{2 m \omega^{2}}+\frac{\lambda^{4} F_{0}^{2}}{2 m \omega^{2}\left(\lambda^{2}+\omega^{2}\right)^{2}}-\frac{a \lambda^{2} F_{0} \cos \varphi}{\lambda^{2}+\omega^{2}} .
\]
$E_{0}=\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2}, \varphi-$ «прицельная фаза» (см. сноску к задаче 5.12б).
5.18. Проводя в формуле $\xi(\tau)=\xi(0) e^{i \omega \tau}+\frac{1}{m} e^{i \omega \tau} \int_{0}^{\tau} F(t) e^{-i \omega t} d t$ (см. [1], § 22) $n$-кратное интегрирование по частям, получаем выражение
\[
\begin{aligned}
\xi(\tau)=\xi(0) e^{i \omega \tau}+\frac{i F_{0}}{m \omega}+\frac{F^{(n)}(+0) e^{i \omega \tau}-F^{(n)}(\tau-0)}{m(i \omega)^{(n+1)}}+ \\
+\frac{e^{i \omega \tau}}{m(i \omega)^{(n+1)}} \int_{0}^{\tau} F^{(n+1)}(t) e^{-i \omega t} d t .
\end{aligned}
\]

Здесь $|\xi(0)|=a_{0} \omega$, где $a_{0}$ – амплитуда колебаний до момента включения силы. Предпоследний член в этой формуле по порядку величины равен $\frac{F_{0}}{m \omega}(\omega \tau)^{-n}$, а последний, вообще говоря, гораздо меньше (если $F^{(n+1)}(t)$ ) изменяется плавно). Квадрат амплитуды колебания $\omega^{-2}\left|\xi-\frac{i F_{0}}{m \omega}\right|^{2}$ при $t>\tau$ по порядку величины равен $\left(a_{0}+\frac{F_{0}(\omega \tau)^{-n}}{m \omega^{2}}\right)^{2}$.

Таким образом, если сила включается медленно и плавно, передача энергии очень мала.
5.19. а) В промежуток времени $0 \leqslant t \leqslant \tau$ колебания имеют вид $x=F t / m \omega^{2} \tau+B \sin \omega t+C \cos \omega t$.
Движение окажется установившимся, если
\[
x(\tau)=x(0), \quad \dot{x}(\tau)=\dot{x}(0) .
\]

Эти условия приводят к системе уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{F}{m \omega^{2}}+B \sin \omega \tau-C(\cos \omega \tau-1)=0, \\
B(\cos \omega \tau-1)-C \sin \omega \tau=0,
\end{array}\right.
\]

определяющей постоянные $B$ и $C$. Таким образом, при $0 \leqslant t \leqslant \tau$
\[
x(t)=\frac{F}{m \omega^{2}}\left[\frac{t}{\tau}-\frac{\sin (\omega t-\omega \tau / 2)}{2 \sin (\omega \tau / 2)}\right] .
\]

Если же $t$ лежит в промежутке $n \tau \leqslant t \leqslant(n+1) \tau$ (где $n-$ целое), то в правой части (2) следует заменить $t$ на $t^{\prime}=t-n \tau\left(0 \leqslant t^{\prime} \leqslant \tau\right)$.

При $\omega \tau$, близком к целому кратному $2 \pi$, второй член в (2) оказывается очень большим – случай, близкий к резонансу. При $\omega \tau=2 \pi l$ ( $l$ – целое) установившихся колебаний быть не может (система (1) противоречива ${ }^{1}$ ).
б) $x(t)=\frac{1}{\omega} \operatorname{Im}\left[\frac{i F}{m \omega}+\frac{F}{m(\lambda+i \omega)} e^{-\lambda t}+A e^{i \omega t}\right]$ для $0 \leqslant t \leqslant \tau$; здесь
\[
A=-\frac{F}{m(\lambda+i \omega)} \frac{1-e^{-\lambda \tau}}{1-e^{i \omega \tau}}
\]

для $n \tau \leqslant t \leqslant(n+1) \tau$ в правой части следует заменить $t$ на $t^{\prime}=t-n \tau$.
в) При $\omega_{0}=(\mathscr{L} C)^{-1 / 2}>\lambda=R / 2 \mathscr{L}$ установившийся ток
\[
I(t)=-\frac{1}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}} \frac{V}{\mathscr{L}} \operatorname{Im}\left(\frac{e^{\alpha t}}{1-e^{\alpha t}}+\frac{1}{\alpha \tau}\right), \quad \alpha=-\lambda+i \sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}
\]

для $0 \leqslant t \leqslant \tau$. Для $n \leqslant \frac{t}{\tau} \leqslant n+1$ нужно в формуле для тока заменить $t$ на $t^{\prime}=t-n \tau$.

Можно ли, используя (1), получить выражение для установившегося тока при $\omega_{0}<\lambda$ или при $\omega_{0}=\lambda$ ?
5.20. $\quad$ a) $A=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(t) \dot{x}(t) d t=$
\[
=\frac{\lambda \omega^{2}}{m}\left[\frac{f_{1}^{2}}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \omega^{2}}+\frac{4 f_{2}^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-4 \omega^{2}\right)^{2}+16 \lambda^{2} \omega^{2}}\right] \text {, }
\]
${ }^{1}$ Представив силу в виде ряда Фурье
\[
F(t)=\frac{F}{2}-\sum_{l=1}^{\infty} \frac{F}{\pi l} \sin \frac{2 \pi l}{\tau} t,
\]

видим, что резонансную раскачку колебаний может вызывать каждая гармоника вынуждающей силы. При $\tau=2 \pi l / \omega$ для достаточно больших $t$ (каких именно?)
\[
x(t) \sim-\frac{F t}{2 \pi m \omega l} \sin \omega t .
\]

т. е. каждая из двух гармоник силы передает энергию независимо от другой (здесь период $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ ).
б) $A=\frac{4 \lambda \omega^{2}}{m} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|a|^{2} n^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-n^{2} \omega^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \omega^{2} n^{2}}$.
в) $\langle A\rangle=\frac{\lambda}{m}\left[\frac{f_{1}^{2} \omega_{1}^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \omega_{1}^{2}}+\frac{f_{2}^{2} \omega_{2}^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \omega_{2}^{2}}\right]$.
При усреднении за большой промежуток времени $T \gg \frac{2 \pi}{\omega_{1,2}}$ оказывается, что каждая из сил $f_{1} \cos \omega_{1} t$ и $f_{2} \cos \omega_{2} t$ передает энергию осциллятору независимо. Это связано с тем, что лишь средние квадраты тригонометрических функций отличны от нуля. При $T \rightarrow \infty$
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin ^{2} \omega_{1} t d t=\frac{1}{2}+\frac{1}{4 \omega_{1} T}\left(1-\sin 2 \omega_{1} T\right) \rightarrow \frac{1}{2},
\]

а средние значения перекрестных произведений типа $\sin \omega_{1} t \cdot \cos \omega_{1} t$ и т. д. исчезают. Например, при $T \rightarrow \infty$
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin \omega_{1} t \cdot \cos \omega_{2} t d t=\frac{1-\cos \left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) T}{2\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) T}+\frac{1-\cos \left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) T}{2\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) T} \rightarrow 0 .
\]
г) Смещение осциллятора
\[
x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\psi(\omega) e^{i \omega t} d \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+2 i \lambda \omega}
\]

отсюда полная работа силы $F(t)$ равна
\[
A=\int_{-\infty}^{\infty} \dot{x}(t) F(t) d t=\frac{8 \pi \lambda}{m} \int_{0}^{\infty} \frac{\omega^{2}|\psi(\omega)|^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \omega^{2}} d \omega .
\]

При доказательстве последнего равенства использовано обратное преобразование Фурье $\int_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{i \omega t} d t=2 \pi \psi^{*}(\omega)$.

При $\lambda \ll \omega_{0}$ основной вклад в интеграл (1) дает окрестность вблизи собственной частоты осциллятора $\omega=\omega_{0}$.
Поэтому
\[
A \approx \frac{4 \pi\left|\psi\left(\omega_{0}\right)\right|^{2} \omega_{0}}{m}\left[\lambda \int_{0}^{\infty} \frac{d \omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \lambda^{2} \omega_{0}^{2}}\right] .
\]

При этом сомножитель, стоящий в квадратных скобках, легко вычисляется и оказывается не зависящим от $\lambda, A=\frac{\left|2 \pi \psi\left(\omega_{0}\right)\right|^{2}}{2 m}$ (ср. с формулой $(22,12)$ из [1]).
5.21. Учитывая, что отклонение осциллятора $x$ есть малая величина первого порядка по $F$, получим
\[
\begin{array}{l}
\Delta E=\int_{-\infty}^{\infty} F(x, t) \dot{x} d t \approx \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \dot{x} d t \\
\Delta P=\int_{-\infty}^{\infty} F(x, t) d t \approx \int_{-\infty}^{\infty}\left[f(t)-\dot{f}(t) \frac{x}{V}\right] d t .
\end{array}
\]

Интегрируя второе слагаемое по частям, найдем
\[
\Delta P=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t+\frac{\Delta E}{V} .
\]

В частности, если $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t=0$, то $\Delta E=V \Delta P$.
Поясним условие малости $x$ на примере действия на осциллятор группы волн $f(t)=f e^{-|t| / \tau} \cos \gamma t$. Малым параметром в разложении $F(x, t)$ является $x / \lambda$, где $\lambda=2 \pi V / \gamma-$ характерная длина волны, т. е.
\[
\frac{|x|}{\lambda}=\frac{f \gamma}{2 \pi m\left|\omega^{2}-\gamma^{2}\right|} \ll 1 .
\]