10.1. Пусть функция Гамильтона $H$ системы частиц не изменяется при бесконечно малом переносе (повороте). Вывести отсюда закон сохранения импульса (момента импульса).
10.2. Найти функцию Гамильтона свободно движущегося симметрического волчка, выбрав в качестве координат эйлеровы углы $\theta, \varphi, \psi$.
10.3. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого
\[
L=\frac{\dot{x}^{2}}{2}-\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}-\alpha x^{3}+\beta x \dot{x}^{2} .
\]
10.4 a. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой
\[
H(x, p)=\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega_{0}^{2} x^{2}}{2}+\lambda\left(\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega_{0}^{2} x^{2}}{2}\right)^{2} .
\]

10.4 б. То же для $H(x, p)=A \sqrt{p}-x F$.
10.5. Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона которой $H(\mathbf{p}, \mathbf{r})=\frac{c|\mathbf{p}|}{n(\mathbf{r})}$ (луч света).
Найти траекторию, если $n(\mathbf{r})=a x$.
10.6. Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равна
a) $H(\mathbf{p}, \mathbf{r})=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-\mathbf{p a} \quad(\mathbf{a}=\mathbf{c o n s t}) ; \quad$ б) $H(\mathbf{p}, \mathbf{r})=\frac{c|\mathbf{p}|}{n(\mathbf{r})}$.
10.7. Найти закон движения заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле $\mathscr{H}$, решая уравнения Гамильтона. Векторный потенциал выбрать в виде
\[
A_{y}=\mathscr{H} x, \quad A_{x}=A_{z}=0 .
\]
10.8. Исследовать качественно движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле, описываемом векторным потенциалом $\mathbf{A}=$ $=\left(0, h x^{2}, 0\right)$. Сравнить с дрейфовым приближением.
10.9. Показать, что задача о движении двух частиц с противоположными зарядами ( $e$ и $-e$ ) в однородном магнитном поле приводится к задаче о движении одной частицы в заданных потенциальном и магнитном полях [30].

В задачах $10.9-10.13$ идет речь о движении электронов в металле или полупроводнике. Электроны в тверлом теле представляют собой систему частип, взаимодействующих как друг с другом, так и с ионами, образующими кристаллическую решетку. Их движение описывается квантовой механикой. В теории твердого тела часто удается привести задачу о движении многих взаимодействующих частиц, составляющих тело, к задачам о движении отдельных свободных частиц (называемых квазичастицами – электронами или дырками в зависимости от знака заряда), имеющих, однако, сложную зависимость энергии от импульса $\varepsilon\left(\mathbf{p}\right.$ ) («закон дисперсии») ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Например, для дырок в кристаллах германия и кремния
\[
\varepsilon(\mathbf{p})=\frac{1}{2 m}\left[A p^{2} \pm \sqrt{B^{2} p^{4}+C^{2}\left(p_{x}^{2} p_{y}^{2}+p_{x}^{2} p_{z}^{2}+p_{y}^{2} p_{z}^{2}\right)}\right],
\]

где оси координат выбраны в соответствии с симметрией кристаллов, $m$ – масса электрона, а константы $A, B, C$ имеют следующие значения:

Во многих случаях оказывается возможным рассматривать движение квазичастиц с помощью классической механики. Функция $\varepsilon(\mathbf{p})$ является периодической функцией с периодом, равным периоду так называемой обратной решетки ${ }^{2}$. В остальном рассматриваемые далее зависимости $\varepsilon(\mathbf{p})$ можно считать произвольными.
10.10. Известно, что $\varepsilon(\mathrm{p})$ является периодической функцией р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженным на $2 \pi \hbar$ (например, для кубической решетки с периодом $a$ период $\varepsilon(\mathbf{p})$ равен $2 \pi \hbar / a$ ).

Определить закон движения электрона в однородном электрическом поле $\mathscr{E}$.

УКАЗАНИЕ К ЗАДАЧАМ 10.11 – 10.13. В эТИХ задачах удобно, кроме обобщенного импульса $\mathbf{P}$, ввести кинематический импульс $\mathbf{p}=\mathbf{P}-\frac{e}{c} \mathbf{A}$, где $\mathbf{A}-$ векторный потенциал магнитного поля.
10.11. Полагая функцию Гамильтона
\[
H(\mathbf{P}, \mathbf{r})=\varepsilon\left(\mathbf{P}-\frac{e}{c} \mathbf{A}\right)+e \varphi,
\]

получить уравнения движения (заряд электрона $e<0$ ).
10.12. а) Найти интегралы движения электрона в твердом теле в однородном магнитном поле. Как выглядит «траектория» в импульсном пространстве?
б) Доказать, что проекция траектории электрона в однородном магнитном поле на плоскость, перпендикулярную к $\mathscr{H}$, в обычном пространстве получается из траектории в импульсном пространстве поворотом и изменением масштаба.
10.13. Выразить период обращения электрона в однородном магнитном поле через площадь $S\left(E, p_{\mathscr{H}}\right)$ сечения поверхности в $\varepsilon(\mathbf{p})=E$ в импульсном пространстве плоскостью $p_{\mathscr{H}}=\mathrm{p} \frac{\mathscr{H}}{\mathscr{H}}=$ const.
10.14. Вычислить скобки Пуассона:
a) $\left\{M_{i}, x_{j}\right\},\left\{M_{i}, p_{j}\right\},\left\{M_{i}, M_{j}\right\}$;
б) $\{\mathrm{ap}, \mathrm{br}\},\{\mathrm{aM}, \mathrm{br}\},\{\mathrm{aM}, \mathrm{bM}\}$;
в) $\{\mathbf{M}, \mathbf{r p}\},\left\{\mathbf{p}, r^{n}\right\},\left\{\mathbf{p},(\mathbf{a r})^{2}\right\}$.
Здесь $x_{i}, p_{i}, M_{i}$ – декартовы компоненты векторов, $\mathbf{a}, \mathrm{b}$ – постоянные векторы.
${ }^{2}$ Например, для кристалла, решетка которого обладает в направлении оси $x$ наименьшим периодом $a$, имеем $\varepsilon\left(p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)=\varepsilon\left(p_{x}+\frac{2 \pi \hbar}{a}, p_{y}, p_{z}\right)$, где $\hbar-$ постоянная Планка.

10.15. Вычислить $\left\{A_{i}, A_{j}\right\}$, где
\[
\begin{array}{ll}
A_{1}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+p_{x}^{2}-y^{2}-p_{y}^{2}\right), & A_{2}=\frac{1}{2}\left(x y+p_{x} p_{y}\right), \\
A_{3}=\frac{1}{2}\left(x p_{y}-y p_{x}\right), & A_{4}=x^{2}+y^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2} .
\end{array}
\]
10.16. Вычислить $\left\{M_{i}, \Lambda_{j k}\right\},\left\{\Lambda_{j k}, \Lambda_{i l}\right\}$, где $\Lambda_{i k}=x_{i} x_{k}+p_{i} p_{k}$.
10.17. Показать, что $\left\{M_{z}, \varphi\right\}=0$, где $\varphi$ – любая скалярная функция координат и импульсов частицы.

Показать, что $\left\{M_{z}, \mathbf{f}\right\}=[\mathbf{n f}]$, где $\mathbf{n}-$ единичный вектор в направлении оси $z, \mathbf{a} \mathbf{f}-$ векторная функция координат и импульсов частицы, т. е. $\mathbf{f}=$ $=\mathbf{r} \varphi_{1}+\mathbf{p} \varphi_{2}+[\mathbf{r} \mathbf{p}] \varphi_{3}$ и $\varphi_{i}=\varphi_{i}\left(r^{2}, p^{2},(\mathbf{r p})\right)$.
10.18. Вычислить скобки Пуассона $\{\mathbf{f}, \mathbf{a M}\},\{\mathrm{fM}, \mathbf{l M}\}$, где $\mathbf{a}=$ $=$ const, a f и $\mathrm{l}-$ векторные функции $\mathrm{r}$ и $\mathrm{p}$.
10.19. Найти $\left\{M_{\zeta}, M_{\xi}\right\}$, где $M_{\zeta}, M_{\xi}$ – проекции момента импульса на оси $\zeta, \xi$ декартовых координат, жестко связанных с вращающимся твердым телом.
10.20. Составить уравнения движения проекции $M_{\alpha}$ момента импульса на оси, связанные со свободно вращающимся телом. Функция Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta}\left(I^{-1}\right)_{\alpha \beta} M_{\alpha} M_{\beta} .
\]
10.21. В этой задаче рассматривается модель электронного и ядерного парамагнитного резонанса (см. [18], гл. IX). Функция Гамильтона намагниченного шара в однородном магнитном поле $\mathscr{H}$ имеет вид
\[
H=\frac{M^{2}}{2 I}-\gamma \mathbf{M} \mathscr{H}
\]

где $I$ – момент инерции шара, $\gamma$ – гиромагнитное отношение.
Составить уравнения движения вектора момента импульса $M$ и найти закон его движения в случаях:
a) $\mathscr{H}=\left(0,0, \mathscr{H}_{0}\right)$
б) $\mathscr{H}=\left(\mathscr{H}_{1} \cos \omega t, \mathscr{H}_{1} \sin \omega t, \mathscr{H}_{0}\right)$ и в начальный момент $\mathbf{M}=$ $=\left(0,0, M_{0}\right)$.
10.22. Найти $\left\{v_{i}, v_{j}\right\}$ для частицы в магнитном поле.
10.23. Доказать, что значение любой функции координат и импульсов системы $f(p(t), q(t))$ выражается через значения $p$ и $q$ в момент $t=0$ формулой
\[
f(p(t), q(t))=f+\frac{t}{1 !}\{H, f\}+\frac{t^{2}}{2 !}\{H,\{H, f\}\}+\ldots,
\]

где
\[
f=f(p(0), q(0)), \quad \text { a } \quad H=H(p(0), q(0))
\]
– функция Гамильтона. (Ряд предполагается сходящимся.)
Вычислить с помощью этой формулы $p(t), q(t), p^{2}(t), q^{2}(t)$ для:
a) частицы в однородном поле;
б) осциллятора.
10.24. Доказать равенства
а) $\left\{f\left(p_{1}, q_{1}\right), \Phi\left(\varphi\left(p_{1}, q_{1}\right), p_{2}, q_{2}, \ldots\right)\right\}=\frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}\{f, \varphi\}$;
б) $\left\{f\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right), \Phi\left(\varphi\left(p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}\right), p_{3}, q_{3}, \ldots\right)\right\}=\frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}\{f, \varphi\}$;
в) $\left\{f(p, q), \Phi\left(\varphi_{1}(p, q), \varphi_{2}(p, q) \ldots\right)\right\}=\sum_{i} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi_{i}}\left\{f, \varphi_{i}\right\}$.
10.25. а) Пусть функция Гамильтона зависит от переменных $q_{1}, p_{1}$ лишь через посредство функции $f\left(q_{1}, p_{1}\right)$
\[
H=H\left(f\left(q_{1}, p_{1}\right), q_{2}, p_{2}, \ldots, q_{N}, p_{N}\right) .
\]

Доказать, что $f\left(q_{1}, p_{1}\right)$ есть интеграл движения.
б) Найти интегралы движения частицы в поле $U=\frac{\mathrm{ar}}{r^{3}}$ (использовать сферические координаты).
10.26. Как известно, для частицы в поле $U=-\alpha / r$ существует интеграл движения
\[
\mathbf{A}=[\mathbf{v}, \mathbf{M}]-\frac{\alpha \mathbf{r}}{r} .
\]
а) Вычислить скобки Пуассона $\left\{A_{i}, A_{j}\right\},\left\{A_{i}, M_{j}\right\}$.
б) В случае финитного движения $\left(E<0\right.$ ) для векторов $\mathbf{J}_{1,2}=$ $=\frac{1}{2}\left(\mathbf{M} \pm \sqrt{\frac{m}{-2 H}} \mathbf{A}\right)$ вычислить скобки Пуассона
\[
\left\{H, \mathbf{J}_{1,2}\right\}, \quad\left\{J_{1 i}, J_{2 j}\right\}, \quad\left\{J_{1 i}, J_{1 j}\right\}, \quad\left\{J_{2 i}, J_{2 j}\right\}
\]

и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса $\mathbf{M}$. Выразить функцию Гамильтона $H$ через $\mathbf{J}_{1}$ и $\mathbf{J}_{2}$.