2.1. Описать качественно характер движения частицы в поле $U(r)=$ $=-\frac{\alpha}{r}-\frac{\gamma}{r^{3}}$ при различных значениях момента импульса и энергии.
2.2. Найти траектории и законы движения частицы в поле
\[
U=\left\{\begin{array}{cl}
-V & \text { при } r<R, \\
0 & \text { при } r>R
\end{array}\right.
\]
(рис. 5, «сферическая прямоугольная потенциальная яма») при различных значениях момента и энергии.
2.3. Определить траекторию частицы в поле $U(r)=\frac{\alpha}{r}+\frac{\beta}{r^{2}}$. Выразить изменение направления
Рис. 5
ее скорости при рассеянии через энергию и момент.
2.4. Определить траекторию частицы в поле $U(r)=\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^{2}}$. Найти время падения частицы в центр поля с расстояния $r$. Сколько оборотов вокруг центра сделает при этом частица?
2.5. Определить траекторию частицы в поле $U(r)=-\frac{\alpha}{r}+\frac{\beta}{r^{2}}$. Найти угловое расстояние $\Delta \varphi$ между двумя последовательными прохождениями перигелия (точки $r=r_{\min }$ ), период радиальных колебаний $T_{r}$ и период обращения $T_{\varphi}$. При каком условии траектория окажется замкнутой?
2.6. Определить траекторию частицы в поле $U(r)=-\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^{2}}$.
2.7. При каких значениях момента импульса $M$ возможно финитное движение частицы в поле $U(r)$ ?
a) $U(r)=-\frac{\alpha e^{-\varkappa r}}{r}$;
б) $U(r)=-V e^{-\varkappa^{2} r^{2}}$.
2.8. Частица падает в центр поля $U(r)=-\alpha r^{-n}$ с конечного расстояния. Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей, конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнение траектории для малых $r$.
2.9. Частица в поле $U(r)$ уходит на бесконечность с расстояния $r
eq 0$. Будет ли число оборотов, сделанных ею вокруг центра, конечным?
a) $U=\alpha r^{-n}$;
б) $U(r)=-\alpha r^{-n}$.
2.10. Определить время падения частицы с расстояния $R$ в центр поля $U(r)=-\alpha / r$, рассматривая траекторию как вырожденный эллипс. Начальная скорость частицы равна нулю.
2.11. Определить наименьшее расстояние между частицами, если первая из них налетает из бесконечности со скоростью $v$ и прицельным параметром $\rho$ на вторую, первоначально покоившуюся. Массы частиц $m_{1}$, $m_{2}$, закон взаимодействия $U(r)=\alpha / r^{n}$.
2.12. В системе центра масс определить траектории финитного движения двух частиц, массы которых $m_{1}$ и $m_{2}$, а закон взаимодействия $U(r)=-\alpha / r$.
2.13. Определить положение фокуса пучка частиц, близких к оси пучка, при рассеянии в центральном поле $U(r)$, предполагая, что частица, летящая вдоль оси, поворачивает назад.
2.14. Найти область, недостижимую для пучка частиц, летящих из бесконечности со скоростью $v$ параллельно оси $z$ и рассеиваемых полем $U(r)=\alpha / r$.
2.15. Найти область, недостижимую для частиц, вылетающих со скоростью $v$ в различных направлениях из одной точки $A$ в поле $U(r)=-\alpha / r$.
2.16. Найти траекторию частицы в поле $U(r)=-\alpha / r$, используя интеграл движения $\mathbf{A}=[\mathbf{v M}]-\frac{\alpha \mathbf{r}}{r}$.
2.17. Определить изменение зависимости периода $T$ радиальных колебаний точки в центральном поле $U(r)$ от энергии и момента, вызванное изменением поля на малую величину $\delta U(r)$.
2.18. Показать, что траектория частицы в поле $U(r)=-\alpha e^{-r / D} / r$ при условии $r_{\max } \ll D$ представляет собой медленно прецессирующий эллипс, и найти угловую скорость его прецессии.
2.19. Найти скорость прецессии орбиты в поле $U(r)=-\alpha / r^{1+\varepsilon}$, где $|\varepsilon| \ll 1$.
2.20a. Найти угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле $U=\frac{m \omega^{2} r^{2}}{2}+\frac{\beta}{r^{4}}$ при $\beta \ll m \omega^{2} a^{6}, m \omega^{2} b^{6}$, где $a$ и $b-$ параметры невозмущенной траектории:
\[
\left(\frac{r \cos \varphi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{r \sin \varphi}{b}\right)^{2}=1 .
\]
2.20б. Частица скользит по поверхности гладкого параболоида вращения, ось которого направлена вертикально вверх: $z=\left(x^{2}+y^{2}\right) /(2 l)$. Найти угловую скорость прецессии орбиты. Наибольшее и наименьшее расстояния частицы от оси $z$ равны $a$ и $b$, причем $a \ll l$.
2.21. Исследовать движение системы Земля-Луна в поле Солнца. Учесть, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние от Земли до Луны $a=380$ тысяч км много меньше среднего расстояния до Солнца $R=150$ миллионов км.
a) Принимая для простоты, что плоскость орбиты Луны совпадает с плоскостью орбиты Земли, показать, что потенциальная энергия системы Земля — Луна в поле Солнца, усредненная за месяц, имеет вид
\[
U(R)=-\frac{\alpha}{R}-\frac{\beta}{R^{3}},
\]
где $R$ — расстояние от Солнца до центра масс системы Земля-Луна. Определить происходящее из-за этого смещение перигелия за сто лет.
б) Плоскость орбиты Луны составляет с плоскостью орбиты Земли угол $\theta=5^{\circ}$. Определить связанную с этим среднюю скорость прецессии плоскости орбиты Луны.
2.22. Определить угловую скорость прецессии орбиты в поле $U(r)=$ $=-\frac{\alpha}{r}+\delta U(r)$, если эксцентриситет орбиты $e \ll 1$, полагая
\[
\delta U(r)=\delta U(a)+(r-a) \delta U^{\prime}(a)+\frac{1}{2}(r-a)^{2} \delta U^{\prime \prime}(a),
\]
где $a=\frac{r_{\max }+r_{\min }}{2}-$ средний радиус орбиты.
2.23. Определить угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле $U(r)=-\frac{\alpha}{r}+\delta U(r)(\delta U(r)$ — малая добавка) с точностью до второго порядка включительно по $\delta U(r)$.
2.24. Найти уравнение траектории частицы, движущейся в поле $U(r)=-\frac{\alpha}{r}+\frac{\gamma}{r^{3}}$, рассматривая $\frac{\gamma}{r^{3}}$ как малую добавку к кулоновскому полю.
2.25. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле $\mathscr{E}$ сводится к задачам о движении центра масс и о движении частицы в заданном поле.
2.26. При каком условии разделяются задачи о движении центра масс и об относительном движении для двух заряженных частиц в однородном магнитном поле?
Векторный потенциал магнитного поля удобно выбрать в виде
\[
\mathbf{A}=\frac{1}{2}[\mathscr{H} \mathbf{r}] .
\]
2.27. Выразить кинетическую энергию, импульс и момент импульса системы $N$ частиц через координаты Якоби:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\xi}_{n} & =\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+\ldots+m_{n} \mathbf{r}_{n}}{m_{1}+\ldots+m_{n}}-\mathbf{r}_{n+1} \quad(n=1, \ldots, N-1), \\
\boldsymbol{\xi}_{N} & =\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+\ldots+m_{N} \mathbf{r}_{N}}{m_{1}+\ldots+m_{N}} .
\end{aligned}
\]
2.28. На первоначально покоившуюся частицу налетает частица такой же массы $m$, имевшая на бесконечности скорость $v$ и взаимодействующая с первой по закону $U(r)=\alpha / r^{n}$. Удар центральный. Найти точку остановки налетевшей частицы.
2.29. Доказать, что для заряженной частицы в однородном магнитном поле $\mathscr{H}$ интегралом движения является $\mathbf{M} \mathscr{H}+\frac{e}{2 c}[\mathbf{r} \mathscr{H}]^{2}$, где $\mathbf{M}=m[\mathbf{r v}]$.
2.30. Найти траекторию и закон движения заряженной частицы в магнитном поле $\mathscr{H}=g \mathbf{r} / r^{3}$ (поле магнитного монополя).
Подобный вид имеет магнитное поле тонкого длинного соленоида вне его в точках, удаленных от его торца на расстояние, большое по сравнению с диаметром соленоида, но малое по сравнению с его длиной.
2.31. Описать качественно характер движения и вид траектории заряженной частицы в поле магнитного диполя $\mathfrak{m}$, движущейся в плоскости, перпендикулярной к вектору $\mathfrak{m}$. Векторный потенциал магнитного диполя $\mathbf{A}=[\mathfrak{m r}] / r^{3}$.
2.32. а) Описать качественно движение заряженной частицы в поле $U=\frac{1}{2} m \lambda r^{2}$, где $r$ — расстояние от оси $z$ (поле равномерно заряженного цилиндра), при наличии однородного магнитного поля $\mathscr{H}$, параллельного оси $z$.
б) Найти закон движения и траекторию заряженной частицы, движущейся в поле $U=\alpha / r^{2}$ в плоскости, перпендикулярной постоянному однородному магнитному полю $\mathscr{H}$.
2.33. Заряженная частица движется в кулоновском поле $U(r)=-\alpha / r$ в плоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю $\mathscr{H}$. Описать траекторию частицы. Исследовать случай, когда $\mathscr{H}$ мало́, и случай, когда поле $U(r)$ является малым возмущением.
2.34. Найти законы движения двух одинаковых заряженных частиц в однородном магнитном поле $\mathscr{H}$ в случае, когда траектории их лежат в одной плоскости, перпендикулярной к $\mathscr{H}$, а энергию их взаимодействия $U(r)=e^{2} / r$ можно считать малой поправкой.
2.35. Показать, что в поле $U(\mathbf{r})=-\frac{\alpha}{r}-\mathbf{F r}$ сохраняется величина $\mathbf{F}[\mathbf{v M}]-\frac{\alpha \mathbf{F r}}{r}+\frac{1}{2}[\mathbf{F r}]^{2}$. Истолковать этот интеграл движения при очень малых $\mathbf{F}$.
2.36. Исследовать влияние малой добавки $\delta U(\mathbf{r})=-\mathbf{F r}$ к кулоновскому полю на финитное движение частицы.
a) Найти среднюю (за период) скорость изменения момента импульса.
б) Определить зависимость от времени момента импульса, размеров и ориентации орбиты, если сила $\mathbf{F}$ лежит в плоскости орбиты.
в) Тот же вопрос при произвольной ориентации силы.
УказАниЕ. Составить и решить усредненные по периоду уравнения движения для векторов $\mathbf{M}=m[\mathbf{r v}]$ и $\mathbf{A}=[\mathbf{v M}]-\frac{\alpha \mathbf{r}}{r}$.
2.37. Найти систематическое изменение траектории финитного движения заряженной частицы в поле $U(r)=-\alpha / r$ под влиянием слабых постоянных однородных электрического и магнитного полей $\mathscr{E}$ и $\mathscr{H}$.
a) Ограничиться случаем, когда магнитное поле перпендикулярно плоскости орбиты, а электрическое поле лежит в ней.
б) Рассмотреть общий случай.
2.38 a. Найти систематическое изменение эллиптической орбиты частицы в поле $U(r)=-\alpha / r$ под влиянием малой добавки $\delta U=$ $=\beta r^{2}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)$. (Таково, например, усредненное за месяц поле тяготения Луны в околоземном пространстве — поле «приливных сил».) Ограничиться случаем, когда плоскость орбиты проходит через ось $z$.
2.38 б. Принимая, что орбита Луны в поле Земли представляет собой эллипс, лежащий в плоскости орбиты Земли, определить систематическое изменение орбиты Луны под влиянием добавки к потенциальной энергии
\[
\delta U(r, t)=-\frac{m \Omega^{2}}{2} r^{2}\left(3 \cos ^{2} \chi-1\right),
\]
где $m$ — масса Луны, $\Omega$ — угловая скорость обращения Земли вокруг Солнца, $\chi$ — угол между направлениями от Земли к Солнцу и к Луне (между $R(t)$ и $z$-см. задачу 2.21).
2.39. Найти систематическое смещение траектории финитного движения частицы, движущейся в поле $U=-\alpha / r$ и в поле магнитного диполя $\mathfrak{m}$, если влияние магнитного диполя можно рассматривать как малое возмущение. Векторный потенциал выбрать в виде $\frac{[\mathbf{m r}]}{r^{3}}$.
2.40. Определить среднюю скорость прецессии орбиты частицы в поле $U(r)=-\alpha / r$ под действием малой добавочной силы $\mathbf{F}=\beta \ddot{\mathbf{v}}$ (такой вид имеет сила торможения излучением, в этом случае $\beta=\frac{2}{3} \frac{q^{2}}{c^{3}}$, где $q-$ заряд частицы, — см. [2], § 75).
