8.1. а) Уравнение движения
$$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=-\beta x^3$$

решаем методом последовательных приближений (ср. с задачей 6.34):
$$x=x_0+\delta x=A{e}^{i{\omega }_{0}t}+A^{\ast }{e}^{-i{\omega }_{0}t}+\delta x.$$
«Сила»
$$-\beta x_0^3=-\beta A^3{e}^{3i{\omega }_{0}t}-3\beta A^2{A}^{\ast }{e}^{i{\omega }_{0}t}-3\beta A{A}^{\ast 2}{e}^{-i{\omega }_{0}t}-\beta A^{\ast 3}{e}^{-3i{\omega }_{0}t}$$

содержит резонансные слагаемые
$$-3\beta A^2{A}^{\ast }{e}^{i{\omega }_{0}t}-3\beta A{A}^{\ast 2}{e}^{-i{\omega }_{0}t}=-3\beta |A{|}^{2}x,$$

которые удобнее присоединить к слагаемому ${\omega }_0^{2}x$ в левой части (1). Это приводит к замене
$${\omega }_0^2\to {\omega }^2={\omega }_0^2+3\beta |A{|}^2.$$

Для $\delta x$ получаем уравнение
$\delta \ddot{x}+{\omega }^2\delta x=-\beta (A^3{e}^{3i\omega t}+$ компл. сопряж. $)$, откуда
$$\delta x=\frac{\beta A^3}{8{\omega }^2}{e}^{3i\omega t}+\text{ компл. сопряж.. }$$

Итак,
$$\begin{array}{c}x=a\cos (\omega t+\phi )+\frac{\beta a^3}{32{\omega }^2}\cos (3\omega t+3\phi ),\\ A=\frac{1}{2}a{e}^{i\phi }\end{array}$$

Рис. 143
(ср. с [1], §28). На рис. 143 изображены графики $x(t)$.
При $\beta >0$ происходит ограничение колебаний, при $\beta <0$ максимумы становятся более острыми. Эти особенности колебаний и знак поправки к частоте нетрудно усмотреть из графика $U(x)$. Другие способы решения см. в задачах 1.9 и 11.25 в.
б) Решая задачу тем же способом, что и в пункте а), получаем:
$$\delta x=\frac{\alpha A^2}{3{\omega }_0^2}{e}^{2i{\omega }_{0}t}-\frac{2\alpha |A{|}^2}{{\omega }_0^2}+\frac{\alpha A^{\ast 2}}{3{\omega }_0^2}{e}^{-2i{\omega }_{0}t},$$
T. e.
$$x=a\cos ({\omega }_{0}t+\phi )-\frac{\alpha a^2}{2{\omega }_0^2}+\frac{\alpha a^2}{6{\omega }_0^2}\cos (2{\omega }_{0}t+2\phi )\text{. }$$

Искажение колебаний несимметрично (рис. 144).
В следующем приближении в «силе» $-\alpha {(x_0+\delta x)}^2$ нужно учитывать слагаемое $-2\alpha x_0\delta x$, содержащее резонансные члены
$$-\frac{2{\alpha }^2}{3{\omega }_0^2}{A}^2{A}^{\ast }{e}^{i{\omega }_{0}t}-\frac{2{\alpha }^2}{3{\omega }_0^2}A{A}^{\ast 2}{e}^{-i{\omega }_{0}t}+\frac{4{\alpha }^2|A{|}^2}{{\omega }_0^2}x=\frac{10{\alpha }^2}{3{\omega }_0^2}|A{|}^{2}x.$$

Это приводит к замене
$${\omega }_0\to {\omega }_0-\frac{5{\alpha }^2{a}^2}{12{\omega }_0^3}$$
8.2. $x=a\cos \omega t-\frac{1}{4}\gamma a^2\cos 2\omega t+\frac{1}{4}\gamma a^2,\omega ={\omega }_0+\frac{{\gamma }^2{a}^2{\omega }_0}{16}$.
8.3. $\phi =\frac{a{\mathrm{\Omega }}^2}{g-l{\mathrm{\Omega }}^2}\cos \mathrm{\Omega }t+\frac{a^2{\mathrm{\Omega }}^4}{12(g-l{\mathrm{\Omega }}^2)(g-4l{\mathrm{\Omega }}^2)}\sin 2\mathrm{\Omega }t$ (обозначения задачи 5.9).
8.4. $x=x^{(0)}+x^{(1)}+\dots$,
$$\begin{array}{c}{x}^{(0)}=\frac{f_1\cos {\omega }_{1}t}{m({\omega }_0^2-{\omega }_1^2)}+\frac{f_2\cos {\omega }_{2}t}{m({\omega }_0^2-{\omega }_2^2)},\\ x^{(1)}=-\frac{\alpha f_1^2}{2m{\omega }_0^2{({\omega }_0^2-{\omega }_1^2)}^2}-\frac{\alpha f_2^2}{2m{\omega }_0^2{({\omega }_0^2-{\omega }_2^2)}^2}-\\ -\frac{\alpha f_1^2\cos 2{\omega }_{1}t}{2m({\omega }_0^2-4{\omega }_1^2){({\omega }_0^2-{\omega }_1^2)}^2}-\frac{\alpha f_2^2\cos 2{\omega }_{2}t}{2m({\omega }_0^2-4{\omega }_2^2){({\omega }_0^2-{\omega }_2^2)}^2}-\\ -\frac{\alpha f_1{f}_2\cos ({\omega }_1-{\omega }_2)t}{m[{\omega }_0^2-{({\omega }_1-{\omega }_2)}^2]({\omega }_0^2-{\omega }_1^2)({\omega }_0^2-{\omega }_2^2)}-\\ -\frac{\alpha f_1{f}_2\cos ({\omega }_1+{\omega }_2)t}{m[{\omega }_0^2-{({\omega }_1+{\omega }_2)}^2]({\omega }_0^2-{\omega }_1^2)({\omega }_0^2-{\omega }_2^2)}\end{array}$$

Какие комбинационные частоты возникают при учете ангармонической поправки $\delta U=\frac{m\beta x^4}{4}$ ?
8.5. Функция Лагранжа
$$\begin{array}{rl}L=& \frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-\frac{k}{2}{(\sqrt{(l-y{)}^2+x^2}-l_0)}^2-mgy=\\ & =\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2-{\omega }_1^2{x}^2-{\omega }_2^2{y}^2+2\alpha x^{2}y)+\dots ,\end{array}$$

где
$${\omega }_1^2=\frac{g}{l},l=l_0+\frac{mg}{k},{\omega }_2^2=\frac{k}{m},\alpha =\frac{k{l}_0}{2m{l}^2}.$$

Действуя далее так же, как и в задаче 8.1, получаем
$$\begin{array}{c}x=a\cos ({\omega }_{1}t+\phi )-\frac{\alpha ab}{2{\omega }_2(2{\omega }_1+{\omega }_2)}\cos ({\omega }_{1}t+{\omega }_{2}t+\phi +\psi )+\\ +\frac{\alpha ab}{2{\omega }_2(2{\omega }_1-{\omega }_2)}\cos ({\omega }_{1}t-{\omega }_{2}t+\phi -\psi ),\\ y=b\cos ({\omega }_{2}t+\psi )+\frac{\alpha a^2}{2{\omega }_2^2}+\beta b^2+\frac{\alpha a^2}{2({\omega }_2^2-4{\omega }_1^2)}\cos (2{\omega }_{1}t+2\phi ).\end{array}$$

Ангармонические поправки резко возрастают при $2{\omega }_1\approx {\omega }_2$. Случай $2{\omega }_1={\omega }_2$ рассмотрен в задаче 8.10.
8.6. а) Решение уравнения ищем в виде
$$x=A{e}^{i\omega t}+A^{\ast }{e}^{-i\omega t}.$$

Приравнивая коэффициенты при $e^{i\omega t}$, получаем
$$({\omega }_0^2-{\omega }^2+2i\lambda \omega +3\beta |A{|}^2)A=\frac{1}{2}f,$$

откуда
$$[{({\omega }_0^2-{\omega }^2+3\beta |A{|}^2)}^2+4{\lambda }^2{\omega }^2]|A{|}^2=\frac{f^2}{4}.$$

Исследование этого уравнения, кубического относительно $|A{|}^2$, можно провести подобно исследованию аналогичного уравнения (29.4) в [1].
8.7. а) Решение уравнения колебаний
$$\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^2(1+h\cos 2\omega t)x+\beta x^3=0$$

ищем в виде
$$x=A{e}^{i\omega t}+A^{\ast }{e}^{-i\omega t},$$

причем сохраняем только члены, содержащие $e^{\pm i\omega t}.1$ Приравнивая нулю коэффициенты при $e^{\pm i\omega t}$ находим
$$\begin{array}{l}\frac{h}{2}{\omega }_0^{2}A+({\omega }^2-{\omega }_0^2-2i\omega \lambda -3\beta |A{|}^2)A^{\ast }=0,\\ \frac{h}{2}{\omega }_0^2{A}^{\ast }+({\omega }^2-{\omega }_0^2+2i\omega \lambda -3\beta |A{|}^2)A=0.\end{array}$$
${}^1$ Предполагаем, что члены с $e^{\pm 3i\omega t}$ значительно меньшие, будут компенсированы вкладом в (2) третьей гармоники, как это видно из дальнейшего.

Не равное нулю $A$ возможно при условии
$$\left|\begin{array}{cc}\frac{h}{2}{\omega }_0^2& {\omega }^2-{\omega }_0^2-2i\omega \lambda -3\beta |A{|}^2\\ {\omega }^2-{\omega }_0^2+2i\omega \lambda -3\beta |A{|}^2& \frac{h}{2}{\omega }_0^2\end{array}\right|=0,$$

откуда
$$|A{|}^2=\frac{1}{3\beta }[{\omega }^2-{\omega }_0^2\pm \sqrt{{\left(\frac{h}{2}{\omega }_0^2\right)}^2-(2\omega \lambda {)}^2}].$$

Из (3) получаем ${}^1$
$$\begin{array}{l}\sin 2\phi =\mathrm{Im}\frac{A}{A^{\ast }}=-\frac{4\lambda }{h{\omega }_0},\\ \cos 2\phi =\mp \frac{2}{h{\omega }_0}\sqrt{{\left(\frac{h}{2}{\omega }_0^2\right)}^2-(2\omega \lambda {)}^2}.\end{array}$$

Итак,
$$x=a\cos (\omega t+\phi ),$$

где $A=\frac{1}{2}a{e}^{i\phi }$.
Рис. 145
Зависимость $|A{|}^2$ от ${\omega }^2$ изображена на рис. 145 (для определенности считаем $\beta >0$ ). В некоторых областях частот возможны две или три (считая нулевую) различные амплитуды установившихся колебаний.

Амплитуды, соответствующие участкам $AD$ и $CD$, реально не осуществляются, так как такие колебания неустойчивы (доказательство этого относительного участка $AD$ см. в следующей задаче, а исследование устойчивости колебаний на участках $ABC,CD$ и $DE$ см. в [8]).
б) С учетом третьей гармоники $x$ имеет вид
$$x=A{e}^{i\omega t}+A^{\ast }{e}^{-i\omega t}+B{e}^{3i\omega t}+B^{\ast }{e}^{-3i\omega t}.$$

Мы предполагаем, что $|B|\ll |A|$, что будет подтверждено результатом. Подставляя (8) в (1), выделим члены, содержащие $e^{3i\omega t}$; при этом опускаем произведения $B$ на малые параметры. Оказывается,
$$B=(\frac{h}{16}+\frac{\beta A^2}{8{\omega }^2})A$$

и, действительно, $|B|\ll |A|$.
${}^1$ Формулы (6) определяют фазу с точностью до слагаемого $n\pi$. Определение фазы с бо́льшей точностью не имеет смысла, так как изменение фазы на $\pi$ соответствует просто сдвигу начала отсчета времени.

Таким образом,
$$x=a\cos (\omega t+\phi )+b\cos (3\omega t+\psi ),$$

где $b=2|B|,\psi =\arg B$.
Нетрудно заметить, что пятая гармоника окажется малой второго порядка $(\sim h^{2}A)$, седьмая — третьего $\left(h^{3}A\right)$ и т. д. Это служит обоснованием используемого способа вычисления амплитуд. Четные гармоники не возникают.
8.8. а) Ищем решение уравнения в виде
$$x(t)=a(t)\cos \omega t+b(t)\sin \omega t,$$

где $a(t)$ и $b(t)$ — медленно изменяющиеся функции времени. Для определения $a(t)$ и $b(t)$ получаем систему уравнений (см. [1], §27)
$$\begin{array}{l}\dot{a}+(\omega -{\omega }_0+\frac{h{\omega }_0}{4})b=0,\\ \dot{b}-(\omega -{\omega }_0-\frac{h{\omega }_0}{4})a=0.\end{array}$$

Если $|{\omega }_1-{\omega }_0|<h{\omega }_0/4$, то ее решение
$$\begin{array}{l}a(t)={\alpha }_1(C_1{e}^{-st}+C_2{e}^{st}),\\ b(t)={\alpha }_2(C_1{e}^{-st}-C_2{e}^{st}),\end{array}$$

где
$$s=\frac{1}{4}\sqrt{{\left(h{\omega }_0\right)}^2-16{(\omega -{\omega }_0)}^2},{\alpha }_{1,2}=\sqrt{h{\omega }_0\pm 4(\omega -{\omega }_0)}.$$

Отсюда
$$x=C^{\prime }{e}^{st}\cos (\omega t-\phi )+C^{\prime \prime }{e}^{-st}\cos (\omega t+\phi ),$$

где $\mathrm{tg}\phi ={\alpha }_1/{\alpha }_2$ (рис. 146).
Таким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают. Скорость их роста, характеризуемая величиной $s$, действительно мала. В реальных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается, например, если становится существенной роль ангармонических поправок (см. задачу 8.7) или обратное влияние колебаний на устройство, периодически изменяющее частоту.

Полезно обратить внимание на аналогию между полученным результатом и особым решением задачи о нормальных колебаниях цепочки частиц,

Рис. 146
Рис. 147

соединенных пружинками различной жесткости (задача 7.4 в). Неоднородность с периодом $2a$ вдоль цепочки приводит к нарастанию вдоль цепочки амплитуды установившегося колебания, причем «длина волны» равна $4a$ (рис. 140), подобно тому как периодическое изменение со временем частоты осциллятора приводит к возрастанию со временем амплитуды.

Еще более полную аналогию можно обнаружить с задачей 7.6. Области неустойчивости относительно параметрического резонанса соответствует запрещенная зона спектра колебаний цепочки.

К подобным же уравнениям приводит в квантовой механике задача о движении частицы в периодическом поле. В этой задаче также появляются «запрещенные зоны» и «поверхностные состояния»,
б) Если $|\omega -{\omega }_0|>h{\omega }_0/4$, то
$$x=C{\beta }_1\sin (\mathrm{\Omega }t+\psi )\cos \omega t-C{\beta }_2\cos (\mathrm{\Omega }t+\psi )\sin \omega t,$$

где $\mathrm{\Omega }=\frac{1}{4}\sqrt{16{(\omega -{\omega }_0)}^2-{\left(h{\omega }_0\right)}^2}$,
$${\beta }_{1,2}=\{\begin{array}{rll}\sqrt{4(\omega -{\omega }_0)\pm h{\omega }_0}& \text{ при }& \omega >{\omega }_0,\\ \pm \sqrt{4(\omega -{\omega }_0)\pm h{\omega }_0}& \text{ при }& \omega <{\omega }_0.\end{array}$$

Колебания представляют собой биения:
$$x=C\sqrt{4|\omega -{\omega }_0|-h{\omega }_0\cos (2\mathrm{\Omega }t+\psi )}\cos (\omega t+\theta ),$$

где $\theta$ — медленно меняющаяся фаза (см. рис. 147). Если частота приближается к границе области неустойчивости, то глубина модуляции колебаний приближается к полной, а период их неограниченно растет.
Каков вид колебаний при $|\omega -{\omega }_0|=h{\omega }_0/4$ ?

8.9. Пусть при $0<t<\tau$ колебание $x=e^{i{\omega }_{1}t}$. Тогда на отрезке $\tau <t<2\tau$,
$$x=a{e}^{i{\omega }_{2}t}+b{e}^{-i{\omega }_{2}t},$$

где $a$ и $b$ определяются условием «сшивания» при $t=\tau$ :
$$x(\tau -0)=x(\tau +0),\dot{x}(\tau -0)=\dot{x}(\tau +0),$$

откуда
$$\begin{array}{l}a=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2{\omega }_2}{e}^{i({\omega }_1-{\omega }_2)\tau },\\ b=\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2{\omega }_2}{e}^{i({\omega }_1+{\omega }_2)\tau }.\end{array}$$

Аналогично находим, что при $2\tau <t<3\tau$
$$x=\alpha e^{i{\omega }_{1}t}+\beta e^{-i{\omega }_{1}t},$$

где
$$\begin{array}{l}\alpha =e^{-i{\omega }_1\tau }(\cos {\omega }_2\tau +i\frac{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}{2{\omega }_1{\omega }_2}\sin {\omega }_2\tau ),\\ \beta =i\sin {\omega }_2\tau e^{3i{\omega }_1\tau }\frac{{\omega }_1^2-{\omega }_2^2}{2{\omega }_1{\omega }_2}.\end{array}$$

Ясно, что колебание вида
$$A{e}^{i{\omega }_{1}t}+B{e}^{-i{\omega }_{1}t}$$

при $0<t<\tau$ переходит через период $2\tau$ в колебание
$$\begin{array}{c}A(\alpha e^{i{\omega }_{1}t}+\beta e^{-i{\omega }_{1}t})+B({\alpha }^{\ast }{e}^{-i{\omega }_{1}t}+{\beta }^{\ast }{e}^{i{\omega }_{1}t})=\\ =(\alpha A+{\beta }^{\ast }B)e^{i{\omega }_{1}t}+(\beta A+{\alpha }^{\ast }B)e^{-i{\omega }_{1}t}.\end{array}$$

Найдем такую линейную комбинацию (1), чтобы через период $2\tau$ колебание сохраняло свой вид с точностью до постоянного множителя:
$$(\alpha A+{\beta }^{\ast }B)e^{i{\omega }_{1}t}+(\beta A+{\alpha }^{\ast }B)e^{-i{\omega }_{1}t}=\mu (A{e}^{i{\omega }_1{t}^{\prime }}+B{e}^{-i{\omega }_1{t}^{\prime }}),$$

здесь $t^{\prime }=t-2\tau$,
$$\begin{array}{l}\alpha A+{\beta }^{\ast }B=\mu e^{-2i{\omega }_1\tau }A,\\ \beta A+{\alpha }^{\ast }B=\mu e^{2i{\omega }_1\tau }B.\end{array}$$

Система (2) имеет нетривиальное решение при условии
$$(\alpha -\mu e^{-2i{\omega }_1\tau })({\alpha }^{\ast }-\mu e^{2i{\omega }_1\tau })-\beta {\beta }^{\ast }=0,$$

откуда
$${\mu }_{1,2}=\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-1}$$

где
$$\gamma =\mathrm{Re}\left(\alpha e^{2i{\omega }_1\tau }\right)=\cos {\omega }_1\tau \cos {\omega }_2\tau -\frac{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}{2{\omega }_1{\omega }_2}\sin {\omega }_1\tau \sin {\omega }_2\tau .$$

Через $n$ периодов колебание
$$\begin{array}{c}{x}_{1,2}=A_{1,2}(e^{i{\omega }_{1}t}+{\lambda }_{1,2}{e}^{-i{\omega }_{1}t}),0<t<\tau ,\\ {\lambda }_{1,2}={\mu }_{1,2}\frac{e^{-2i{\omega }_1\tau }-\alpha }{{\beta }^{\ast }}\end{array}$$

переходит в
$$x_{1,2}(t)={\mu }_{1,2}^n{A}_{1,2}(e^{i{\omega }_1{t}^{\prime }}+{\lambda }_{1,2}{e}^{-i{\omega }_1{t}^{\prime }}),0<t^{\prime }=t-2n\tau <\tau .$$

Любое колебание представляет собой суперпозицию колебаний вида $x_{1,2}$ в частности, действительное колебание (только и имеющее непосредственный физический смысл)
$$x(t)=A{e}^{i{\omega }_{1}t}+A^{\ast }{e}^{-i{\omega }_{1}t},0<t<\tau ,$$

есть сумма $x_1(t)+x_2(t)$ с
$$A_1=\frac{A^{\ast }-{\lambda }_{2}A}{{\lambda }_1-{\lambda }_2},A_2=\frac{{\lambda }_{1}A-A^{\ast }}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}.$$

Если $\gamma <1$, то $\left|{\mu }_{1,2}\right|=1$ и колебания $x_{1,2}(t)$ (а с ними и $x(t)$ ) остаются ограниченными.

Если же $\gamma >1$, то ${\mu }_1>1$, и амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это и есть случай возникновения параметрического резонанса. Нетрудно убедиться, что при малой разности частот $|{\omega }_1-{\omega }_2|\ll {\omega }_1$ это условие выполняется, если частоты близки к $\pi n/\tau$ :
$$|({\omega }_1+{\omega }_2)\tau -2\pi n|<\frac{{({\omega }_1-{\omega }_2)}^2\tau }{{\omega }_1+{\omega }_2}.$$

На рис. 148 (взятом из [20]) показаны области неустойчивости относительно параметрического резонанса,

Рис. 148
8.10. Уравнения движения
$$\begin{array}{rl}\ddot{x}+{\omega }^{2}x-2\alpha xy& =0,\\ \ddot{y}+4{\omega }^{2}y-\alpha x^2& =0.\end{array}$$

Решение ищем в виде
$$\begin{array}{l}x=A{e}^{i\omega t}+A^{\ast }{e}^{-i\omega t}+\delta x,\\ y=B{e}^{2i\omega t}+B^{\ast }{e}^{-2i\omega t}+\delta y,\end{array}$$

принимая, что $A$ и $B$ — медленно меняющиеся амплитуды колебаний, а более быстро осциллирующими слагаемыми $\delta x$ и $\delta y$ можно пренебречь: $|\ddot{A}|\ll \omega |\dot{A}|\ll {\omega }^2|A|,|\ddot{B}|\ll \omega |\dot{B}|\ll {\omega }^2|B|,\delta x\sim \delta y\ll |A|$.

Сохраняя только слагаемые с $e^{i\omega t}$ (соответственно $e^{2i\omega t}$ ) и пренебрегая $|\ddot{A}|,|\ddot{B}|$, получаем
$$\begin{array}{rl}\omega \dot{A}-i\alpha B{A}^{\ast }& =0,\\ 4\omega \dot{B}-i\alpha A^2& =0.\end{array}$$

Легко видеть, что из (1) следует
$$|A{|}^2+4|B{|}^2=C=\text{ const }$$
(это закон сохранения энергии) и
$$A^{\ast 2}B+A^2{B}^{\ast }=D=\text{ const. }$$

Используя (1), находим
$$\omega \frac{d}{dt}|A{|}^2=i\alpha (A^{\ast 2}B-A^2{B}^{\ast }).$$

Возведем (4) в квадрат и учтем (2), (3):
$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{d}{dt}|A{|}^2\right)}^2& =-\frac{{\alpha }^2}{{\omega }^2}[{(A^{\ast 2}B+A^2{B}^{\ast })}^2-4|A{|}^4|B{|}^2]=\\ & =\frac{{\alpha }^2}{{\omega }^2}[|A{|}^4(C-|A{|}^2)-D^2].\end{array}$$

Уравнение (5), аналогичное закону сохранения энергии для задачи об одномерном движении частицы с координатой $|A{|}^2$, удобно исследовать с помощью графика $U\left(|A{|}^2\right)=(|A{|}^2-C)|A{|}^4$ (рис. 149).

Таким образом, амплитуда $|A|$ испытывает колебания — происходят биения. Зависимость амплитуд $|A|$ и $|B|$ от времени может быть выражена через эллиптические функции (мы не будем этого делать).

Отметим, что, в отличие от колебаний осцилляторов с линейной связью (задача 6.8), в дашом случае от пачалышх амплитуд и фаз зависит не только глубина биений, но и период.

Эта задача имеет отношение. например, к связи продольных и изгибных колебаний молекулы ${\mathrm{CO}}_2$ (так называемый резонанс Ферми, см. [21]) и к удвоению и делению частоты света в нелинейной оптике (см. [22]).
8.11. ${\omega }^2=\frac{a^2{\gamma }^2}{2l^2}\pm \frac{g}{l}$ (ср. [1], $\mathrm{\S }30$ задача 1 ).
8.12.
a) $Uiфф=\frac{{\alpha }^2}{m{\omega }^2}[\frac{a^2}{r^6}+\frac{3(\mathbf{a}\mathbf{r}{)}^2}{r^8}]$,
б) $U_{iфф}=\frac{{\alpha }^2}{m({\omega }^2-{\omega }_0^2)}[\frac{a^2}{r^6}+\frac{3(\mathbf{a}\mathbf{r}{)}^2}{r^8}]$,

где ${\omega }_0$ — собственная частота осциллятора.
Обратим внимание на то, что зависимость $Uэфф\propto r^{-6}$ характерна для межмолекулярных сил. Если подставить в (1) значения величин’:
${}^1\mathrm{B}$ системе СИ: $\alpha \sim \frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\sim \frac{{\left({10}^{-19}\mathrm{K}\right)}^2}{{10}^{-11}\mathrm{\Phi }/\mathrm{M}\cdot 10},m\sim {10}^{-30}$ кг, $a\sim {10}^{-10}\mathrm{м}$, $U_{\text{эфф }}\sim {10}^{-18}{\left(\frac{a}{r}\right)}^6$ Дж.

$\alpha \sim e^2\sim {(5\cdot {10}^{-10}\text{ ед. СГСЭ })}^2,m\sim {10}^{-27}$ г, $a\sim {10}^{-8}$ см, $\omega \sim {10}^{16}$ сек ${}^{-1}$ типичные для атомов, то получим $U_{\text{эфф }}\sim {10}^{-59}$ эрг $\cdot {\mathrm{c}\mathrm{м}}^6/r^6$, что по порядку величины близко к правильному значению для ван-дер-ваальсова взаимодействия. Такой результат может служить указанием на физическую природу этого взаимодействия. Полный же расчет ван-дер-ваальсовых сил возможен лишь в квантовой механике.
8.13. Движение вдоль оси $z$ почти равномерное, $z=vt$. В плоскости $(x,y)$ на частицу действует быстро осциллирующая сила $f_x=2Ax\sin kvt$, $f_y=2Ay\sin kvt$. Соответствующий эффективный потенциал $U_{\text{эфф }}=$ $=\frac{m{\mathrm{\Omega }}^2}{2}(x^2+y^2)$, где $\mathrm{\Omega }=\frac{A\sqrt{2}}{mkv}$.

Согласно условию частота колебаний силы $kv\gg \mathrm{\Omega }$, так что сила действительно быстро осциллирующая. Итак, в плоскости $(x,y)$ частица совершает гармонические колебания с частотой $\mathrm{\Omega }$ около оси $z$. Эта задача иллюстрирует принцип жесткой фокусировки пучков частиц в ускорителях.
8.14. Уравнения движения
$$\begin{array}{rl}m\ddot{x}& =\frac{e}{c}\mathcal{H}(x)\dot{y},\\ m\ddot{y}& =-\frac{e}{c}\mathcal{H}(x)\dot{x}.\end{array}$$

Ищем закон движения в виде
$$x=X+\xi ,y=Y+\eta ,$$

где слагаемые $\xi ,\eta$ описывают быстрое движение по почти круговой орбите, a $X,Y$ — медленное смещение ее центра (сравните с [1], §30). Подставляя (1) в уравнения движения, разлагаем $\mathcal{H}(X+\xi )$ по степеням $\xi$ :
$$\begin{array}{l}\ddot{X}+\ddot{\xi }=\omega \dot{Y}+\omega \dot{\eta }+\frac{e}{mc}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}\xi (\dot{Y}+\dot{\eta }),\\ \ddot{Y}+\ddot{\eta }=-\omega \dot{X}-\omega \dot{\xi }-\frac{e}{mc}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}\xi (\dot{X}+\dot{\xi })\end{array}$$

и разделяем быстро осциллирующие и медленно меняющиеся слагаемые. Для осциллирующих слагаемых
$$\ddot{\xi }=\omega \dot{\eta },\ddot{\eta }=-\omega \dot{\xi },\omega =\frac{e}{mc}\mathcal{H}(X),$$

откуда
$$\xi =r\cos \omega t,\eta =-r\sin \omega t.$$

Для медленно меняющихся членов имеем
$$\begin{array}{rl}\ddot{X}& =\omega \dot{Y}+\frac{e}{mc}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}⟨\xi \dot{\eta }⟩,\\ \ddot{Y}& =-\omega \dot{X}-\frac{e}{mc}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}⟨\xi \dot{\xi }⟩,\end{array}$$

где
$$⟨\xi \dot{\eta }⟩=-r^2\omega ⟨{\cos }^2\omega t⟩=-\frac{r^2\omega }{2},⟨\xi \dot{\xi }⟩=0.$$

Поскольку $\ddot{X},\ddot{Y}\sim \epsilon \omega \dot{X},\epsilon \omega \dot{Y}$, то левые части (2) можно положить равными нулю.
Итак,
$$\dot{Y}=\frac{e{r}^2}{2mc}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x}=\frac{1}{2}\epsilon v,\dot{X}=0.$$
(Скорость смещения центра орбиты (скорость дрейфа) в более общем случае рассмотрена в [2], задача 3 к § 22 и [8], § 25.)
8.15. Уравнение движения шарика
$$m\ddot{y}=-\frac{dU(y)}{dy}+f(t).$$

Собственное движение шарика под действием пружинки описывается «низкочастотным» смещением $x=y-y_0\cos \gamma t$, для которого
$$m\ddot{x}=-\frac{dU(x+y_0\cos \gamma t)}{dx}.$$

Усредняя по периоду $2\pi /\gamma$ высокочастотного движения
$$(⟨{\cos }^{2n+1}\gamma t⟩=0,⟨{\cos }^2\gamma t⟩=\frac{1}{2},⟨{\cos }^4\gamma t⟩=\frac{3}{8}),$$

получим эффективную силу и соответствующую эффективную потенциальную энергию
$$U_{\text{эфф }}(x)=A{x}^2+B{x}^4,A=-C+\frac{9}{4}B{y}_0^2.$$

График функции $U_{\text{эфф }}(x)$ изображен на рис. 150.

При $A>0$, или $T=y_0^2>T_c=4C/9B$ шарик колеблется вблизи точки $x=0$ с частотой $\omega =\sqrt{2A/m}\propto \sqrt{T-T_c}$. При $A<0$, или $T<T_c$, минимумы $U_{\text{эфф }}(x)$ расположены в точках $\pm x_0=\pm \sqrt{-A/2B}$ и шарик колеблется вблизи одного из них с частотой $\omega =\sqrt{-A/m}\propto \sqrt{T_c-T}$.

Возникающая картина весьма близка к картине фазовых переходов второго рода, описываемых феноменологической теорией Ландау [23]. Быстрые вынужденные колебания являются аналогом теплового движения (соответствующего оптическим модам колебаний системы, не связанным с переходом), а величина $T=y_0^2$-аналог температуры. При больших $T$ система колеблется вокруг положения равновесия $x=0$. При этом имеется симметрия относительно замены $x\to -x$. При уменьшении температуры до значения $T<T_c$ шарик начинает колебаться вокруг одного из новых положений равновесия: $x_0$ или $-x_0$. При этом симметрия $x\to -x$, очевидно, разрушается. Значение $T_c$ — аналог температуры фазового перехода второго рода. В окрестности точки $T=T_c$ величина $x_0$ мала, $x_0\propto \sqrt{T_c-T}$, и мала частота собственных колебаний $\omega$.