11.1. a)
$$\begin{array}{rlrl}q& =\sqrt{\frac{2P}{m\omega }}\sin Q,& p& =\sqrt{2m\omega P}\cos Q,\\ \dot{Q}& =\omega +\frac{\dot{\omega }}{2\omega }\sin 2Q,& \dot{P}& =-P\frac{\dot{\omega }}{\omega }\cos 2Q.\end{array}$$

В данном случае $P$ и $Q$ — переменные действие-угол. Эти переменные удобнее, чем $p$ и $q$ для решения задачи методом теории возмущений, если частота $\omega$ меняется медленно: $|\dot{\omega }|\ll {\omega }^2$ (см. задачу 13.10 ).
б)
$$\begin{array}{rlrl}q& =\frac{F}{m{\omega }^2}+\sqrt{\frac{2P}{m\omega }}\sin Q,& p& =\sqrt{2m\omega P}\cos Q,\\ \dot{Q}& =\omega +\dot{F}\sqrt{\frac{m\omega }{2P}}\cos Q,& \dot{P}& =\dot{F}\sqrt{2m\omega P}\sin Q.\end{array}$$
11.2. $\mathrm{\Psi }(p,Q)=-Q(1+\ln \frac{p^2}{4Q})$.
11.3. Функция $\mathrm{\Phi }(q_1,q_2,\dots ,q_s,P_1,P_2,\dots ,P_s)$ определяет каноническое преобразование, если $\det \frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial q_i\partial P_k}eq0$.

11.4. Пусть $Q=q\cos \alpha -p\sin \alpha ,P=q\sin \alpha +p\cos \alpha$. Тогда $\{P,Q{\}}_{p,q}=-\{q,p{\}}_{p,q}{\sin }^2\alpha +\{p,q{\}}_{p,q}{\cos }^2\alpha =1$. Для системы с одной степенью свободы этого достаточно, чтобы преобразование было каноническим.
11.5. Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к тождественному и члены $a{x}^{2}P$ и $b{P}^3$ в производящей функции малы. Чтобы разрешить соотношения
$$p=P+2axP,Q=x+a{x}^2+3b{P}^2,$$

определяющие каноническое преобразование, относительно $x$ и $p$, заменяем в малых членах $x$ на $Q$ и $p$ на $P$ :
$$p=P+2aQP,x=Q-a{Q}^2-3b{P}^2.$$

Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых переменных:
$$\begin{array}{c}{H}^{\prime }(Q,P)=\frac{P^2}{2}+\frac{{\omega }^2{Q}^2}{2}+\alpha Q^3+\beta Q{P}^2+2aQ{P}^2-a{\omega }^2{Q}^3-\\ -3b{\omega }^{2}Q{P}^2+\text{ члены четвертой степени по }Q,P.\end{array}$$

Полагая $\alpha -a{\omega }^2=0,\beta +2a-3b{\omega }^2=0$, обратим в нуль и члены третьей степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении $Q=$ $=A\cos \omega t,P=-\omega A\sin \omega t$ и согласно (1) $x=A\cos \omega t-\alpha {\omega }^{-2}{A}^2-(\beta +$ $+\alpha {\omega }^{-2})A^2{\sin }^2\omega t$ (cp. [1], §28).
11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4, получаем $x=Q-\frac{5\beta }{8{\omega }_0^2}{Q}^3-\frac{9\beta }{8{\omega }_0^4}Q{P}^2$, где $Q=A\cos \omega t,P=$ $=-{\omega }_{0}A\sin \omega t,\omega ={\omega }_0+\frac{3\beta }{2{\omega }_0}{A}^2$ (cp. [1], §28).
11.7.
$$H^{\prime }(P,Q)=H(P,Q)\text{. }$$

При $X=A\sin (\omega t+\phi ),Y=0$ — осциллятор совершает движение по эллипсу
$$\begin{array}{l}x=A\cos \lambda \sin (\omega t+\phi ),\\ y=A\sin \lambda \cos (\omega t+\phi ).\end{array}$$

11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно положить $m=\omega =e=c=1$. В окончательных выражениях эти множители легко будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) представляет собой поворот в плоскости $x{p}_y$ и $y{p}_x$, поэтому оно сохраняет вид части функции Гамильтона, равной
$$\frac{1}{2}(x^2+y^2+p_x^2+p_y^2).$$

Добавка же, возникающая от членов $\frac{1}{2}{\mathcal{H}}^2{x}^2-\mathcal{H}x{p}_y$, равна
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{\mathcal{H}}^2(X^2{\cos }^2\lambda & +P_Y^2{\sin }^2\lambda +2X{P}_Y\sin \lambda \cos \lambda )+\\ & +\mathcal{H}(X^2-P_Y^2)\sin \lambda \cos \lambda -\mathcal{H}({\cos }^2\lambda -{\sin }^2\lambda )X{P}_Y.\end{array}$$

Недиагональный член $X{P}_Y$ исчезнет, если положить
$${\sin }^2\lambda -{\cos }^2\lambda +\mathcal{H}\sin \lambda \cos \lambda =0,\text{ т. е. }\mathrm{tg}2\lambda =\frac{2}{\mathcal{H}}.$$

После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду
$$H=\frac{1}{2m}(P_X^2+P_Y^2{\mathrm{ctg}}^2\lambda )+\frac{m{\omega }^2}{2}(X^2{\mathrm{tg}}^2\lambda +Y^2).$$

Таким образом, переменные $X,Y$ испытывают гармонические колебания с частотами, равными соответственно
$$\begin{array}{l}{\omega }_1=\omega \mathrm{tg}\lambda =\sqrt{{\omega }^2+{\left(\frac{e\mathcal{H}}{2mc}\right)}^2}-\frac{e\mathcal{H}}{2mc},\\ {\omega }_2=\omega \mathrm{ctg}\lambda =\sqrt{{\omega }^2+{\left(\frac{e\mathcal{H}}{2mc}\right)}^2}+\frac{e\mathcal{H}}{2mc}\end{array}$$
(cp. [2], §21, задача). Каждой из координат $X,Y$ соответствует движение по эллипсу; произвольное колебание — суперпозиция двух таких движений (ср. задачи 6.36, 11.7).

Интересно, что при $\mathcal{H}\to 0$ оказывается $\lambda =\pi /4$ (а отнюдь не $\lambda =0$ ). Это значит, что даже при очень слабом поле $\mathcal{H}$ «нормальными» оказываются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания же, отвечающие координатам $X(Y)$ при $\lambda =0$, которые в отсутствие поля $\mathcal{H}$ были бы линейными, при наличии поля $\mathcal{H}$ медленно изменяют направление поляризации.

Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует добавить частную производную по времени производящей функции
$$\mathrm{\Phi }=-m\omega xy\mathrm{ctg}\lambda -\frac{P_X{P}_Y}{m\omega }\mathrm{tg}\lambda +\frac{x{P}_X+y{P}_Y}{\cos \lambda }$$
(выразив ее через $X,Y,P_X,P_Y$ ) (см. также сноску к решению задачи 13.25).
11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи $\omega ={\omega }_2,\mathrm{tg}2\lambda =\frac{2{\omega }_{\mathcal{H}}{\omega }_2}{{\omega }_{\mathcal{H}}^2+{\omega }_1^2-{\omega }_2^2}$, получим
$$H^{\prime }=\frac{1}{2m}(P_X^2+\frac{{\mathrm{\Omega }}_2^2}{{\omega }_2^2}{P}_Y^2+p_z^2)+\frac{m}{2}({\mathrm{\Omega }}_1^2{X}^2+{\omega }_2^2{Y}^2+{\omega }_3^2{z}^2),$$

где ${\mathrm{\Omega }}_{1,2}$ определены в задаче 6.36 .
11.10. Преобразование $(\lambda =\pi /4)$
$$q_{s1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X_s+\frac{P_{Ys}}{Nm{\omega }_s}),q_{s2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_s+\frac{P_{Xs}}{Nm{\omega }_s})$$

сохраняет вид функции Гамильтона (ср. с задачей 11.7)
$$\begin{array}{rl}H& =\frac{p_0^2}{2Nm}+\sum _{s=1}^R[\frac{p_{s1}^2+p_{s2}^2}{2Nm}+\frac{Nm{\omega }_s^2}{2}(q_{s1}^2+q_{s2}^2)]=\\ & =\frac{p_0^2}{2Nm}+\sum _{s=1}^R[\frac{P_{Xs}^2+P_{Ys}^2}{2Nm}+\frac{Nm{\omega }_s^2}{2}(X_s^2+Y_s^2)].\end{array}$$

Колебание, соответствующее $X_s=A\cos ({\omega }_{s}t+\beta )$, есть
$$x_n=\frac{A}{\sqrt{2}}\sin ({\omega }_{s}t+n{\phi }_s+\beta ),$$

а соответствующее $Y_s=B\cos ({\omega }_{s}t+\beta )-$ есть колебание
$$x_n=\frac{B}{\sqrt{2}}\sin (-{\omega }_{s}t+n{\phi }_s-\beta ).$$

11.11. Новая функция Гамильтона $H^{\prime }=\omega P_1$. Уравнения движения в новых переменных имеют вид
$${\dot{P}}_1={\dot{P}}_2={\dot{Q}}_2=0,{\dot{Q}}_1=\omega .$$

Как изменится вид функции Гамильтона $H^{\prime }$, если $\mathcal{H}$ зависит от времени?
11.12. Предложенное преобразование $p=\alpha P,r=Q/\alpha$ есть преобразование подобия.
11.13. Градиентное преобразование ${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+ablaf(\mathbf{r},t),{\phi }^{\prime }=\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$ можно представить как каноническое преобразование ${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r},{\mathbf{P}}^{\prime }=\mathbf{P}-\frac{e}{c}ablaf$, $H^{\prime }=H-\frac{e}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$ с помощью производящей функции
$$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r},\mathbf{P})=\mathbf{r}\mathbf{P}-\frac{e}{c}f(\mathbf{r},t).$$
11.14. $\mathrm{\Phi }(q,P)=qP-f(q,t)$.
11.15. б) $F_{\tau }(q,Q)=\frac{F\tau }{2}(q+Q)+\frac{m}{2\tau }(q-Q{)}^2$;
в) $F_{\tau }(q,Q)=\frac{m\omega }{2\sin \omega \tau }[2qQ-(q^2+Q^2)\cos \omega \tau ]$.
11.16. а) $\mathbf{Q}=\mathbf{r}+\delta \mathbf{a},\mathbf{P}=\mathbf{p}-$ сдвиг системы как целого на $\delta \mathbf{a}$ (или сдвиг системы координат на $-\delta \mathbf{a}$ ).
б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно
$$\mathbf{Q}=\mathbf{r}+[\delta \phi ,\mathbf{r}],\mathbf{P}=\mathbf{p}+[\delta \phi ,\mathbf{p}].$$

Преобразование представляет собой поворот системы координат на угол $-\delta \phi$.
в) $Q(t)=q(t+\delta \tau ),P(t)=p(t+\delta \tau ),H^{\prime }(P,Q,t)=H(p,q,t+\delta \tau )$. Преобразование представляет собой сдвиг во времени на $\delta \tau$ (cр. [1], § 45).
г) $\mathbf{Q}=\mathbf{r}+2\mathbf{p}\delta \alpha ,\mathbf{P}=\mathbf{p}-2\mathbf{r}\delta \alpha$.
Преобразование представляет собой поворот на угол $2\delta \alpha$ в каждой паре плоскостей $x_i{p}_i(i=1,2,3)$ в фазовом пространстве.
11.18. a) $\mathrm{\Phi }(\mathbf{r},\mathbf{P})=\mathbf{r}\mathbf{P}+\mathbf{n}\mathbf{P}\delta a+\mathbf{n}[\mathbf{r}\mathbf{P}]\delta \phi$, где $\delta a-$ смещение вдоль направления $\mathbf{n}$, а $\delta \phi =\frac{2\pi }{h}\delta a-$ угол поворота вокруг $\mathbf{n}$ ( $h-$ шаг винта);
б) $\mathrm{\Phi }(r,P,t)=\mathbf{r}\mathbf{P}-\mathbf{V}\mathbf{P}t+m\mathbf{r}\mathbf{V}$;
в) $\mathrm{\Phi }(\mathbf{r},\mathbf{P},t)=\mathbf{r}\mathbf{P}-t\delta \mathbf{\Omega }[\mathbf{r}\mathbf{P}]$.

11.19. $\delta f(q,p)=\lambda \{W,f{\}}_{p,q}$.

В самом деле, подставляя значения новых переменных $P=p-\lambda \frac{\partial W}{\partial q}$ и $Q=q+\lambda \frac{\partial W}{\partial P}$ в $f(Q,P)$ и разлагая полученное выражение по степеням $\lambda$, получим с точностью до первого порядка включительно
$$\delta f(q,p)=\lambda \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial W(q,p)}{\partial p}-\lambda \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial W(q,p)}{\partial q}.$$
11.20. Полагая в предыдущей задаче $\mathrm{\Phi }=\mathbf{r}\mathbf{P}+\lambda \mathbf{r}\mathbf{P}$, получим преобразование подобия с $\alpha =1+\lambda$ (см. задачу 11.12). Предложенная функция Гамильтона такова, что $H^{\prime }(\mathbf{P},\mathbf{Q})={\alpha }^{2}H(\mathbf{P},\mathbf{Q})$, и поэтому $\lambda \{H,\mathbf{r}\mathbf{p}\}=$ $=H^{\prime }-H=2\lambda H(\lambda \to 0)$. С другой стороны, $\{H,\mathbf{r}\mathbf{p}\}=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\mathbf{p})$. Отсюда $\mathbf{r}\mathbf{p}-2Et=$ const (cp. с задачей 4.13 б).
11.22. Пусть ${\delta }_{1}q$ и ${\delta }_1{p}^1$ — изменения координат и импульсов, связанные с преобразованием, задаваемым ${\mathrm{\Phi }}_1$. Тогда
$$f(q+{\delta }_{1}q,p+{\delta }_{1}p)=f(q,p)+{\lambda }_1\{W_1(q,p),f(q,p)\}+{\lambda }_1^2{\phi }_1(q,p).$$

К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование, задаваемое функцией ${\mathrm{\Phi }}_2$,
$$\begin{array}{c}f(q+{\delta }_{21}q,p+{\delta }_{21}p)=f-{\lambda }_2\{W_2,f\}+{\lambda }_1\{W_1,f\}+\\ +{\lambda }_1{\lambda }_2\{W_2,\{W_1,f\}\}+{\lambda }_1^2{\phi }_1+{\lambda }_2^2{\phi }_2.\end{array}$$

Преобразование ${\lambda }_1^2{\phi }_1(q,p)$ дает добавку выше второго порядка малости. Результат применения этих преобразований в обратном порядке
$$\begin{array}{c}f(q+{\delta }_{12}q,p+{\delta }_{12}p)=f-{\lambda }_1\{W_1,f\}+{\lambda }_2\{W_2,f\}+\\ +{\lambda }_1{\lambda }_2\{W_1,\{W_2,f\}\}+{\lambda }_1^2{\phi }_1+{\lambda }_2^2{\phi }_2\end{array}$$

отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными ${\lambda }_1{\lambda }_2$. Вычитая (3) из (2), получим
$${\lambda }_1{\lambda }_2(\{W_2,\{W_1,f\}\}-\{W_1,\{W_2,f\}\})={\lambda }_1{\lambda }_2\{f,\{W_1,W_2\}\}.$$
${}^1$ Укажем, например, изменение импульса с точностью до второго порядка:
$${\delta }_{1}p=P-p=-{\lambda }_1\frac{\partial W_1(q,P)}{\partial q}=-{\lambda }_1\frac{\partial W_1(q,p)}{\partial q}+{\lambda }_1^2\frac{{\partial }^2{W}_1(q,p)}{\partial p\partial q}\frac{\partial W_1(q,p)}{\partial q}.$$

Поэтому, в частности, сдвиги $\lambda W=\delta \mathrm{aP}$ (см. задачу 11.16) перестановочны, а повороты вокруг разных осей $\lambda W=\delta \phi [\mathbf{r}\mathbf{P}]-$ нет.
Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?
11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром $\lambda$ можно рассматривать как «движение», причем $\lambda$ играет роль времени, а $W(q,p)$ — функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения «движения»
$$\frac{dQ}{d\lambda }=\frac{\partial W(Q,P)}{\partial P},\frac{dP}{d\lambda }=-\frac{\partial W(Q,P)}{\partial Q}.$$

Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
a) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данном каноническом преобразовании имеет вид
$$\begin{array}{l}\delta \mathbf{r}=-\frac{\lambda }{N}\{W,\mathbf{r}\}=\frac{\lambda }{N}\{\mathbf{M}\mathbf{a},\mathbf{r}\}=-[\mathbf{n},\mathbf{r}]\delta \phi ,\\ \delta \mathbf{p}=-[\mathbf{n},\mathbf{p}]\delta \phi ,\end{array}$$

где $\mathbf{M}=[\mathbf{r},\mathbf{p}],\mathbf{n}=\frac{\mathbf{a}}{a},\delta \phi =-\frac{\lambda a}{N}$. Это преобразование представляет собой поворот системы координат на угол $\delta \phi$ вокруг направления $\mathrm{n}$. Направив ось $z$ по а, получаем окончательно
$$X=x\cos \phi -y\sin \phi ,Y=y\cos \phi +x\sin \phi ,Z=z$$

и аналогичные формулы для компонент импульса.
б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при каноническом преобразовании, задаваемом $A_1$, имеет вид
$$\delta x=p_x\delta \phi ,\delta y=-p_y\delta \phi ,\delta p_x=-x\delta \phi ,\delta p_y=y\delta \phi ,$$

где $\delta \phi =\frac{\lambda }{2N}$. Это преобразование представляет собой поворот на угол $+\delta \phi$ в плоскости $x{p}_x$ и на угол $-\delta \phi$ в плоскости $y{p}_y$. Поэтому
$$\begin{array}{rlrl}X& =x\cos \phi +p_x\sin \phi ,& Y& =y\cos \phi -p_y\sin \phi ,\\ P_X& =-x\sin \phi +p_x\cos \phi ,& P_Y& =y\sin \phi +p_y\cos \phi .\end{array}$$

Аналогично $A_2\left(A_3\right)$ задает поворот на угол $\phi (-\phi )$ в плоскостях $x{p}_y$ и $y{p}_x$ ( $xy$ и $p_x{p}_y$ ) и $A_4$ — поворот на угол $4\phi$ в плоскостях $x{p}_x$ и $y{p}_y$.

Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим преобразованием. Например, поворот в плоскости $x{p}_y$ — не каноническое преобразование.

Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического осциллятора (функция Гамильтона $H=\frac{1}{2}{A}_4$ ) и движение частицы в плоскости $xy$ в произвольном поле, обладающем осевой симметрией, $U(x^2+y^2)$. В обоих случаях интегралами является момент импульса $2A_3$, сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношению к поворотам вокруг оси $z$. Для осциллятора, кроме того, есть интегралы движения $A_1$ и $A_2$, сохранение которых связано со «скрытой» симметрией — инвариантностью функции Гамильтона относительно определенных поворотов в фазовом пространстве. В этом смысле осциллятор подобен частицу в трехмерном центральном поле, для которой есть три интеграла движения $M_{x,y,z}$.

Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому, что точка $(x,y,p_x,p_y$ ) в фазовом пространстве движется по замкнутой линии, в то время как для частицы в поле $U(x^2+y^2)$ фазовая траектория «заполняет» двумерную поверхность (см. [1], § 52).
Рис. 158
11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем с течением времени не меняется, в координатном пространстве происходит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системы изображалось прямоугольником $ABCD$ (рис. 158), то через время $t$, он перейдет в параллелограмм $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }(AD=A^{\prime }{D}^{\prime })$, причем расстояние по оси $x$ между точками $A^{\prime }$ и $C^{\prime }$ равно $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }{x}_0+\frac{\mathrm{\Delta }{p}_0}{m}t$. Со временем этот параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.

Рис. 159
б) Если в точке $x=L$ расположена стенка, то выделенный фазовый объем уже не будет параллелограммом $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, а будет иметь вид, изображенный на рис. $159,a$. С течением времени первоначальный фазовый объем $ABCD$ превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников $0⩽x⩽L$, $p_0⩽p⩽p_0+\mathrm{\Delta }{p}_0$ и $0⩽x⩽L,-p_0-\mathrm{\Delta }{p}_0⩽p⩽-p_0$ (рис. $159,\sigma$ ).
в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией $E$ и частотой $\omega -$ эллипс $\frac{x^2}{a^2}+\frac{p^2}{b^2}=1$ с полуосями $a=\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}},b=\sqrt{\frac{2E}{m}}$. Все точки выделенного фазового объема движутся по таким эллипсам и через период $T=\frac{2\pi }{\omega }$ возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенного «объема» по координатам $\mathrm{\Delta }x$ и импульсам $\mathrm{\Delta }p$ пульсируют с частотой $2\omega$. В отличие от предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазового объема по всей доступной области фазового пространства.
г) Для осциллятора с трением (сила трения $F_{\text{тр }}=-2m\lambda \dot{x}$ )
$$\begin{array}{c}x=a{e}^{-\lambda t}\cos (\omega t+\phi ),\\ p=m\dot{x}=-ma{e}^{-\lambda t}[\omega \sin (\omega t+\phi )+\lambda \cos (\omega t+\phi )],\end{array}$$

и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет собой спираль
$$\frac{x^2}{a^2}+{\left(\frac{p+\omega \lambda x}{\mathrm{ma}\omega }\right)}^2=e^{-2\lambda t}.$$

Выделенный фазовый объем с течением времени уменьшается до нуля.

Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является канонической — для полного ее описания необходимо задавать не только функцию Лагранжа $L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2-{\omega }_0^2{x}^2)$, но и диссипативную функцию $F=\frac{1}{2}m\lambda {\dot{x}}^2$ (см. [1], § 25).
Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжа» в виде
$$L^{\prime }=\frac{m}{2}{e}^{2\lambda t}({\dot{x}}^2-{\omega }_0^2{x}^2)$$
(ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных $x$ и $p^{\prime }=\frac{\partial L^{\prime }}{\partial \dot{x}}$ выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом случае обобщенный импульс $p^{\prime }=mx{e}^{2\lambda t}$ не имеет, как прежде, простого физического смысла.
д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделенная область фазового пространства с течением времени растягивается, «заполняя» всю доступную область фазового пространства (ср. с пунктом б)).

Пусть вначале выделена область $x_0<x<x_0+\mathrm{\Delta }x,p_0<p<p_0+\mathrm{\Delta }p$. Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают на одпо колебапие больше (или меньше), чем самые медленные:
$$\tau \sim \frac{T^2}{\mathrm{\Delta }T},\mathrm{\Delta }T\sim \frac{dT}{dE}\mathrm{\Delta }E,\mathrm{\Delta }E\sim \frac{p_0\mathrm{\Delta }p}{m}+\left|\frac{dU\left(x_0\right)}{dx}\right|\mathrm{\Delta }x.$$
е) Пусть имеется $N$ частиц таких, что точки фазового пространства, изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью $Nw(x_0,p_0,0)$ и перемещаются согласно уравнениям
$$\begin{array}{l}x=f(x_0,p_0,t),\\ p=\phi (x_0,p_0,t).\end{array}$$

Здесь
$$f(x_0,p_0,t)=x_0+\frac{p_0}{m}t,\phi (x_0,p_0,t)=p_0$$

для свободного движения и
$$\begin{array}{l}f(x_0,p_0,t)=x_0\cos \omega t+\frac{p_0}{m\omega }\sin \omega t\\ \phi (x_0,p_0,t)=-m\omega x_0\sin \omega t+p_0\cos \omega t\end{array}$$

для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной области фазового пространства, все точки которой движутся по такому же закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового объема $dxdp$ имеем
$$Nw(x,p,t)dxdp=Nw(x_0,p_0,0)d{x}_{0}d{p}_0.$$

Согласно теореме Лиувилля (см. [1], § 46)
$\frac{\partial (x,p)}{\partial (x_0,p_0)}=1$, поэтому
$$w(x,p,t)=w(x_0,p_0,0).$$

Выражая из (1) $x_0$ и $p_0$
$$x_0=f(x,p,-t),p_0=\phi (x,p,-t)$$

и подставляя в (2), получаем
Рис. 160
$$w(x,p,t)=w(f(x,p,-t),\phi (x,p,-t),0),$$

или
$$w(x,p,t)=\frac{\exp [-\alpha (x-X{)}^2-\beta (x-X)(p-P)-\gamma (p-P{)}^2]}{2\pi \mathrm{\Delta }{p}_0\mathrm{\Delta }{x}_0},$$

где $X=f(X_0,P_0,t),P=\phi (X_0,P_0,t)$, а коэффициенты $\alpha ,\beta ,\gamma$ для свободных частиц
$$\begin{array}{c}\alpha =\frac{1}{2\mathrm{\Delta }{x}_0^2},\beta =-\frac{t}{m\mathrm{\Delta }{x}_0^2},\\ \gamma =\frac{1}{2\mathrm{\Delta }{p}_0^2}+\frac{t^2}{2m^2\mathrm{\Delta }{x}_0^2},\end{array}$$

и для осцилляторов
$$\begin{array}{c}\alpha =\frac{{\cos }^2\omega t}{2\mathrm{\Delta }{x}_0^2}+\frac{m^2{\omega }^2{\sin }^2\omega t}{2\mathrm{\Delta }{p}_0^2},\\ \beta =\frac{{\cos }^2\omega t}{2\mathrm{\Delta }{p}_0^2}+\frac{{\sin }^2\omega t}{2m^2{\omega }^2\mathrm{\Delta }{x}_0^2},\\ \gamma =\sin \omega t\cos \omega t(\frac{m\omega }{\mathrm{\Delta }{p}_0^2}-\frac{1}{m\omega \mathrm{\Delta }{x}_0^2}).\end{array}$$

На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового пространства, в которых $2\pi \mathrm{\Delta }{x}_0\mathrm{\Delta }{p}_{0}w(x,p,t)⩾\frac{1}{2}$ (для свободных частиц и осцилляторов соответственно). Эти области представляют собой эллипсы, деформирующиеся со временем’. Центры их перемешаются по такому же закону (1), как и частицы. В случае свободного движения этот эллипс неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов — лишь пульсирует. Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже не являются независимыми ( $w(x,p,t)$ не разбивается на два множителя вида $w_1(x,t)w_2(p,t))$.

Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам (независимо от значений импульса)
$$\begin{array}{l}w(x,t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}w(x,p,t)dp\\ \tilde{w}(p,t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}w(x,p,t)dx.\end{array}$$

Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в $X$ и $P$ соответственно:
$$\begin{array}{l}w(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Delta }x}{e}^{-\frac{(x-X{)}^2}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}},\\ \tilde{w}(p,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Delta }p}{e}^{-\frac{(p-P{)}^2}{2\mathrm{\Delta }{p}^2}},\end{array}$$

где для свободного движения
$$\mathrm{\Delta }{x}^2=\mathrm{\Delta }{x}_0^2+\frac{\mathrm{\Delta }{p}_0^2}{m^2}{t}^2,\mathrm{\Delta }{p}^2=\mathrm{\Delta }{p}_0^2,$$

а для осцилляторов
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{x}^2=\mathrm{\Delta }{x}_0^2{\cos }^2\omega t+\frac{\mathrm{\Delta }{p}_0^2}{m^2{\omega }^2}{\sin }^2\omega t,\\ \mathrm{\Delta }{p}^2=\mathrm{\Delta }{p}_0^2{\cos }^2\omega t+m^2{\omega }^2\mathrm{\Delta }{x}_0^2{\sin }^2\omega t.\end{array}$$
${}^1$ Если масштабы по осям $p$ и $x$ в фазовом пространстве гармонических осцилляторов выбраны так, что $m\omega =1$, то фазовые траектории представляют собой окружности, а выделенная область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не деформируясь.

11.25. a) $\{a^{\ast },a\}=-i,H_0=\omega a^{\ast }a$.
б) Переменные $P$ и $Q$ канонические, поскольку $\{P,Q\}=1$. Из равенства $dF=p(x,Q)dx-P(x,Q)dQ$ определяется производящая функция
$$F(x,Q,t)=\frac{i}{2}m\omega x^2+\frac{i}{2}{Q}^2{e}^{-2i\omega t}-i\sqrt{2m\omega }xQ{e}^{-i\omega t}.$$

Новая функция Гамильтона
$$H_0^{\prime }(Q,P)=H_0+\frac{\partial F(x,Q,t)}{\partial t}=0.$$
в) Выделив в
$$x^4={\left(\frac{Q{e}^{-i\omega t}-iP{e}^{i\omega t}}{\sqrt{2m\omega }}\right)}^4$$

слагаемое $-3Q^2{P}^2/2m^2{\omega }^2$, не содержащее времени, получаем усредненную функцию Гамильтона
$$⟨H^{\prime }(Q,P)⟩=-\frac{3\beta }{8m{\omega }^2}{Q}^2{P}^2.$$

В дальнейшем скобки \langle\rangle , обозначающие усреднение, опускаем. Очевидно, что $-iQP={\left|Q_0\right|}^2=|a{|}^2-$ интеграл движения. Уравнения Гамильтона
$$\dot{Q}=-i\epsilon Q,\dot{P}=i\epsilon P,\epsilon =\frac{3\beta {\left|Q_0\right|}^2}{4m{\omega }^2},$$

откуда
$$Q=Q_0{e}^{-i\epsilon t},P=i{Q}_0^{\ast }{e}^{i\epsilon t},$$

так что
$$x=\frac{1}{\sqrt{2m\omega }}(Q_0{e}^{-i{\omega }^{\prime }t}+Q_0^{\ast }{e}^{i{\omega }^{\prime }t})=x_0\cos ({\omega }^{\prime }t+\phi ).$$

Влияние добавки $\delta U$ сводится к изменению частоты
$${\omega }^{\prime }=\omega +\frac{3\beta {\left|Q_0\right|}^2}{4m{\omega }^2}=\omega +\frac{3\beta x_0^2}{8\omega }$$
(ср. с задачей 8.1).

г) Новая функция Гамильтона
$$H^{\prime }(Q,P,t)=m^2{\omega }^2\alpha {\left(\frac{Q{e}^{-i\omega t}-iP{e}^{i\omega t}}{\sqrt{2m\omega }}\right)}^4\frac{e^{4i\omega t}+e^{-4i\omega t}}{2}$$

после усреднения сводится к
$$⟨H^{\prime }(Q,P)⟩=\frac{\alpha }{8}(Q^4+P^4).$$

Для переменной $\xi =-iQP=|a{|}^2$, пропорциональной квадрату амплитуды колебании, уравнение движения
$$\dot{\xi }=\{⟨H^{\prime }⟩,\xi \}=-\frac{i\alpha }{2}(P^4-Q^4).$$

Учитывая, что
$$\frac{\alpha }{4}(Q^4+P^4)=A=\text{ const },$$

находим
$${\dot{\xi }}^2=-4A^2+{\alpha }^2{\dot{\xi }}^4.$$

Таким образом, $\xi$ изменяется так же, как координата частицы (с массой, равной единице) в поле $V(\xi )=-\frac{{\alpha }^2}{2}{\xi }^4$ при энергии $-2A^2$ (ср. с задачей 1.2). Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так называемый взрывной рост амплитуды).

Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справедливо только при $|\dot{\xi }|\ll \omega \xi$, т. е. при $\xi \ll \omega /\alpha$.
11.26. Вводим новые переменные:
$$a=\frac{m\omega x+i{p}_x}{\sqrt{2m\omega }}{e}^{i\omega t},b=\frac{m{\omega }_{2}y+i{p}_y}{\sqrt{2m{\omega }_2}}{e}^{i{\omega }_{2}t},c=\frac{m{\omega }_{3}z+i{p}_z}{\sqrt{2m{\omega }_3}}{e}^{i{\omega }_{3}t},$$
$(\omega ={\omega }_2+{\omega }_3)$ и канонические сопряженные им импульсы $i{a}^{\ast },i{b}^{\ast },i{c}^{\ast }$. Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам $2\pi /{\omega }_{2,3}$,
$$\begin{array}{c}⟨H^{\prime }⟩=\epsilon |a{|}^2+\eta (a^{\ast }bc+a{b}^{\ast }{c}^{\ast }),\\ \epsilon ={\omega }_1-\omega ,\eta =\frac{\alpha }{4\sqrt{2m\omega {\omega }_2{\omega }_3}}.\end{array}$$

Уравнения движения
$$\begin{array}{l}\dot{a}=-i\epsilon a-i\eta bc,\\ \dot{b}=-i\eta a{c}^{\ast },\\ \dot{c}=-i\eta a{b}^{\ast }\end{array}$$

имеют интегралы ${}^1$
$$⟨H^{\prime }⟩=A,|a{|}^2+|b{|}^2=B,|a{|}^2+|c{|}^2=C.$$

Уравнение
$$\frac{d}{dt}|a{|}^2=i\eta (a{b}^{\ast }{c}^{\ast }-a^{\ast }bc)$$

можно представить в виде, удобном для качественного исследования:
$${\dot{\xi }}^2+V(\xi )=0,$$

где $\xi =|a{|}^2$,
$$V(\xi )=(A-\epsilon \xi {)}^2-4{\eta }^2\xi (B-\xi )(C-\xi ).$$

В начальный момент $c=0$, поэтому $A=\epsilon C,B<C$ и
$$V(\xi )=(C-\xi {)}^2({\epsilon }^2-4\xi )-4{\eta }^2\xi (C-B)(C-\xi ).$$

Графики $V(\xi )$ для случаев ${\epsilon }^2<4{\eta }^{2}C$ и ${\epsilon }^2>4{\eta }^{2}C$ приведены на рис. $162,a$ и б.

В первом случае $\xi$ испытывает колебания, так что происходят биения. Энергия периодически перекачивается от осциллятора $x$ к осцилляторам $y,z$ и обратно. Во втором случае (т.е. при большой «расстройке» $\epsilon$ и малых начальных амплитудах) колебания $y$ и $z$ не возбуждаются.
Подробно об этой задаче см. [22].
11.27. a) $⟨H^{\prime }⟩=\epsilon |a{|}^2+\mu |a{|}^4+\eta (a^2+a^{\ast 2})$, где
$$\epsilon =\omega -\gamma ,\mu =\frac{3\beta }{8m{\omega }^2},\eta =\frac{h\omega }{8}.$$
Рис. 162
${}^1$ Интегралы $B$ и $C$ называют интегралами Мэнли-Роу.

б) Уравнения движения
$$\begin{array}{rl}-\dot{a}& =i(\epsilon +2\mu |a{|}^2)a+2i\eta a^{\ast },\\ {\dot{a}}^{\ast }& =i(\epsilon +2\mu |a{|}^2)a^{\ast }+2i\eta a\end{array}$$

имеют постоянные решения
$$a_0=0,{\left|a_1\right|}^2=\frac{2\eta -\epsilon }{2\mu }.$$

Для $\xi =|a{|}^2$ получаем уравнение
$$\dot{\xi }=-2i\eta (a^{\ast 2}-a^2).$$

Учитывая, что $⟨H^{\prime }⟩=\epsilon \xi +\mu {\xi }^2+\eta (a^2+a^{\ast 2})=C=$ const, получаем
$${\dot{\xi }}^2+V(\xi )=0,$$

где $V(\xi )=4{\eta }^2[{(a^{\ast 2}+a^2)}^2-4|a{|}^4]=4{(C-\epsilon \xi -\mu {\xi }^2)}^2-16{\eta }^2{\xi }^2$. В интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина $C$ мала. В области резонанса $|\epsilon |<2\eta$ график $V(\xi )$ (рис. 163) позволяет заметить, что $\xi$ испытывает колебания в пределах от нуля до ${\xi }_m\approx 2{\left|a_1\right|}^2$.
Таким образом, переход к установившемуся режиму ко.ебании $\xi ={\left|a_1\right|}^2$ (ср. с задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-то неучтенным нами механизмом, например трением, и быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот переходной процесс имеет характер биений даже при нулевой «расстройке», $\epsilon =0$, в отличие от переходного процесса в линейных колебаниях (см. задачу 5.11).
11.28. Усредненная функция Гамильтона
$$⟨H^{\prime }(Q,P,t)⟩=H^{\prime }(Q,P)=\frac{m{\omega }^2}{2}(\epsilon -\frac{h}{2})Q^2+\frac{1}{2m}(\epsilon +\frac{h}{2})P^2.$$

Величина $\sqrt{Q^2+P^2/m^2{\omega }^2}$ представляет собой амплитуду колебания. Переменные $Q$ и $P$ мало изменяются за период $2\pi /\gamma$. Это легко видеть из уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры $\epsilon$ и $h$.

Рис. 164
На плоскости $Q,P$ точка, изображающая состояние системы, движется по линии $H^{\prime }(Q,P)=C=$ const. На рис. 164, $a$ и $б$ приведены семейства таких линий для области параметрического резонанса $|\epsilon |<h/2$ и ее окрестности $|\epsilon |>h/2$. В первом случае амплитуда в конечном счете неограниченно растет, во втором — испытывает биения (ср. с задачей 8.8).
11.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразование — каноническое.

При $V=0$ движение $x$-осциллятора изображается движением точки по окружности в плоскости $x,p_x/m{\omega }_1$ с частотой ${\omega }_1$. Радиус этой окружности
$$a=\sqrt{x^2+\frac{p_x^2}{m^2{\omega }_1^2}}$$

совпадает с амплитудой колебаний по оси $x$. В плоскости $X,P_x/m{\omega }_1$ это будет неподвижная точка $X=x(0),P_x=p_x(0)$. Таким образом, новые переменные при $V=0$ не зависят от времени и потому $H_0^{\prime }=0.{}^1$

При $Veq0$ эти переменные зависят от времени, но так как новая функция Гамильтона $H^{\prime }=H_0^{\prime }+V=V$ мала, то усредненное движение в
${}^1$ Из ${}_3$ уравнений Гамильтона для новых переменных (например, $\dot{X}=\partial H_0^{\prime }/\partial P_x=0$ ) следует, что $H_0^{\prime }$ не зависит от них и потому $H_0^{\prime }=f(t)$, где $f(t)$ — произвольная функция времени, которую мы, не теряя общности, можем положить равной нулю.

этих переменных медленное. Действительно, после усреднения
$$⟨H^{\prime }⟩=-\frac{\beta }{4{\omega }_1{\omega }_2}({\omega }_{1}X{P}_y-{\omega }_{2}Y{P}_x),$$

и из уравнений Гамильтона
$$\dot{X}=\frac{\beta }{4{\omega }_1}Y,\dot{Y}=-\frac{\beta }{4{\omega }_2}X$$

легко получить
$$X=A\cos (\gamma t+\phi ),Y=-\sqrt{\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}}A\sin (\gamma t+\phi ),\gamma =\frac{\beta }{4\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}}\ll {\omega }_{1,2}.$$

Аналогично для новых импульсов имеем
$$P_x=m{\omega }_{1}B\cos (\gamma t+\psi ),P_y=-m\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}B\sin (\gamma t+\psi ).$$

Таким образом, в плоскости $X,P_x/m{\omega }_1$ происходит медленное (с частотой $\gamma$ ) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси $x$ с медленно изменяющейся амплитудой
$$a(t)=\sqrt{X^2+{\left(P_x/m{\omega }_1\right)}^2}=\sqrt{A^2{\cos }^2(\gamma t+\phi )+B^2{\cos }^2(\gamma t+\psi )},$$
т. е. биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси $y$ равна
$$b(t)=\sqrt{\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}}\sqrt{A^2{\sin }^2(\gamma t+\phi )+B^2{\sin }^2(\gamma t+\psi )}.$$

Отсюда видно, что энергии $x$ — и $y$-осцилляторов $E_x=\frac{1}{2}m{\omega }_1^2{a}^2(t)$ и $E_y=$ $=\frac{1}{2}m{\omega }_2^2{b}^2(t)$ и их сумма $E=E_x+E_y$ не сохраняются. Однако сохраняется величина, которую можно назвать по.тным числом квантов,
$$n=\frac{E_x}{\hslash {\omega }_1}+\frac{E_y}{\hslash {\omega }_2}=\frac{m{\omega }_1}{2\hslash }{C}^2,$$

где $C=\sqrt{A^2+B^2}$, а $\hslash -$ постоянная Планка.
В частности, при $\phi =\psi =0$ амплитуда биений доходит до нуля
$$\begin{array}{c}x=X\cos {\omega }_{1}t+\frac{P_x}{m{\omega }_1}\sin {\omega }_{1}t=C\cos \gamma t\cos ({\omega }_{1}t+{\phi }_0),\\ y=-C\sqrt{\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}}\sin \gamma t\cos ({\omega }_{2}t+{\phi }_0),\mathrm{tg}{\phi }_0=-\frac{B}{A},\end{array}$$

а энергия колеблется с частотой $2\gamma$ :
$$E=\frac{1}{2}m{\omega }_1{C}^2({\omega }_1{\cos }^2\gamma t+{\omega }_2{\sin }^2\gamma t).$$

Интересно отметить, что даже слабая связь $|V|\ll H_0=E$ приводит к большим изменениям энергии $\mathrm{\Delta }E\sim E$. Так при $\phi =\psi =0$ и ${\omega }_1\gtrsim {\omega }_2$ имеем
$$\mathrm{\Delta }E=\frac{1}{2}m{\omega }_1({\omega }_1-{\omega }_2)C^2\sim ⟨E⟩=\frac{1}{4}m{\omega }_1({\omega }_1-{\omega }_2)C^2.$$

Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех осцилляторах со взаимодействием $\frac{1}{2}m\alpha xyz$ в пределе настолько большой энергии $z$-осциллятора $E_z\gg E_{x,y}$, что биения $x$ — и $y$-осцилляторов почти не сказываются на его движении
$$z=z_0\sin {\omega }_{3}t,{\omega }_3={\omega }_1-{\omega }_2.$$

При этом $\beta =\frac{1}{2}\alpha z_0$, а $n\hslash$ совпадает с одним из интегралов Мэнли-Роу (с интегралом $B$ в обозначениях задачи 11.26). Третий осциллятор играет роль большого резервуара энергии, с которым $x$ — и $y$-осцилляторы обмениваются энергией.
б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со временем
$$\begin{array}{c}X=A{e}^{\gamma t}+B{e}^{-\gamma t},Y=\sqrt{\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}}(A{e}^{\gamma t}-B{e}^{-\gamma t}),\\ P_x=m{\omega }_1(D{e}^{\gamma t}+F{e}^{-\gamma t}),P_y=-m\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}(D{e}^{\gamma t}-F{e}^{-\gamma t}),\end{array}$$

что соответствует экспоненциально растущим амплитудам колебаний по осям $x$ и $y$. В этом случае сохраняется разность числа квантов
$$\frac{E_x}{\hslash {\omega }_1}-\frac{E_y}{\hslash {\omega }_2}=\frac{2m{\omega }_1}{\hslash }(AB+DF).$$