11.1. a)
В данном случае и — переменные действие-угол. Эти переменные удобнее, чем и для решения задачи методом теории возмущений, если частота меняется медленно: (см. задачу 13.10 ).
б)
11.2. .
11.3. Функция определяет каноническое преобразование, если .
11.4. Пусть . Тогда . Для системы с одной степенью свободы этого достаточно, чтобы преобразование было каноническим.
11.5. Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к тождественному и члены и в производящей функции малы. Чтобы разрешить соотношения
определяющие каноническое преобразование, относительно и , заменяем в малых членах на и на :
Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых переменных:
Полагая , обратим в нуль и члены третьей степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении и согласно (1) (cp. [1], §28).
11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4, получаем , где (cp. [1], §28).
11.7.
При — осциллятор совершает движение по эллипсу
11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно положить . В окончательных выражениях эти множители легко будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) представляет собой поворот в плоскости и , поэтому оно сохраняет вид части функции Гамильтона, равной
Добавка же, возникающая от членов , равна
Недиагональный член исчезнет, если положить
После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду
Таким образом, переменные испытывают гармонические колебания с частотами, равными соответственно
(cp. [2], §21, задача). Каждой из координат соответствует движение по эллипсу; произвольное колебание — суперпозиция двух таких движений (ср. задачи 6.36, 11.7).
Интересно, что при оказывается (а отнюдь не ). Это значит, что даже при очень слабом поле «нормальными» оказываются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания же, отвечающие координатам при , которые в отсутствие поля были бы линейными, при наличии поля медленно изменяют направление поляризации.
Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует добавить частную производную по времени производящей функции
(выразив ее через ) (см. также сноску к решению задачи 13.25).
11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи , получим
где определены в задаче 6.36 .
11.10. Преобразование
сохраняет вид функции Гамильтона (ср. с задачей 11.7)
Колебание, соответствующее , есть
а соответствующее есть колебание
11.11. Новая функция Гамильтона . Уравнения движения в новых переменных имеют вид
Как изменится вид функции Гамильтона , если зависит от времени?
11.12. Предложенное преобразование есть преобразование подобия.
11.13. Градиентное преобразование можно представить как каноническое преобразование , с помощью производящей функции
11.14. .
11.15. б) ;
в) .
11.16. а) сдвиг системы как целого на (или сдвиг системы координат на ).
б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно
Преобразование представляет собой поворот системы координат на угол .
в) . Преобразование представляет собой сдвиг во времени на (cр. [1], § 45).
г) .
Преобразование представляет собой поворот на угол в каждой паре плоскостей в фазовом пространстве.
11.18. a) , где смещение вдоль направления , а угол поворота вокруг ( шаг винта);
б) ;
в) .
11.19. .
В самом деле, подставляя значения новых переменных и в и разлагая полученное выражение по степеням , получим с точностью до первого порядка включительно
11.20. Полагая в предыдущей задаче , получим преобразование подобия с (см. задачу 11.12). Предложенная функция Гамильтона такова, что , и поэтому . С другой стороны, . Отсюда const (cp. с задачей 4.13 б).
11.22. Пусть и — изменения координат и импульсов, связанные с преобразованием, задаваемым . Тогда
К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование, задаваемое функцией ,
Преобразование дает добавку выше второго порядка малости. Результат применения этих преобразований в обратном порядке
отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными . Вычитая (3) из (2), получим
Укажем, например, изменение импульса с точностью до второго порядка:
Поэтому, в частности, сдвиги (см. задачу 11.16) перестановочны, а повороты вокруг разных осей нет.
Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?
11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром можно рассматривать как «движение», причем играет роль времени, а — функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения «движения»
Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
a) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данном каноническом преобразовании имеет вид
где . Это преобразование представляет собой поворот системы координат на угол вокруг направления . Направив ось по а, получаем окончательно
и аналогичные формулы для компонент импульса.
б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при каноническом преобразовании, задаваемом , имеет вид
где . Это преобразование представляет собой поворот на угол в плоскости и на угол в плоскости . Поэтому
Аналогично задает поворот на угол в плоскостях и ( и ) и — поворот на угол в плоскостях и .
Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим преобразованием. Например, поворот в плоскости — не каноническое преобразование.
Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического осциллятора (функция Гамильтона ) и движение частицы в плоскости в произвольном поле, обладающем осевой симметрией, . В обоих случаях интегралами является момент импульса , сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношению к поворотам вокруг оси . Для осциллятора, кроме того, есть интегралы движения и , сохранение которых связано со «скрытой» симметрией — инвариантностью функции Гамильтона относительно определенных поворотов в фазовом пространстве. В этом смысле осциллятор подобен частицу в трехмерном центральном поле, для которой есть три интеграла движения .
Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому, что точка ) в фазовом пространстве движется по замкнутой линии, в то время как для частицы в поле фазовая траектория «заполняет» двумерную поверхность (см. [1], § 52).
Рис. 158
11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем с течением времени не меняется, в координатном пространстве происходит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системы изображалось прямоугольником (рис. 158), то через время , он перейдет в параллелограмм , причем расстояние по оси между точками и равно . Со временем этот параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.
Рис. 159
б) Если в точке расположена стенка, то выделенный фазовый объем уже не будет параллелограммом , а будет иметь вид, изображенный на рис. . С течением времени первоначальный фазовый объем превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников , и (рис. ).
в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией и частотой эллипс с полуосями . Все точки выделенного фазового объема движутся по таким эллипсам и через период возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенного «объема» по координатам и импульсам пульсируют с частотой . В отличие от предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазового объема по всей доступной области фазового пространства.
г) Для осциллятора с трением (сила трения )
и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет собой спираль
Выделенный фазовый объем с течением времени уменьшается до нуля.
Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является канонической — для полного ее описания необходимо задавать не только функцию Лагранжа , но и диссипативную функцию (см. [1], § 25).
Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжа» в виде
(ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных и выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом случае обобщенный импульс не имеет, как прежде, простого физического смысла.
д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделенная область фазового пространства с течением времени растягивается, «заполняя» всю доступную область фазового пространства (ср. с пунктом б)).
Пусть вначале выделена область . Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают на одпо колебапие больше (или меньше), чем самые медленные:
е) Пусть имеется частиц таких, что точки фазового пространства, изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью и перемещаются согласно уравнениям
Здесь
для свободного движения и
для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной области фазового пространства, все точки которой движутся по такому же закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового объема имеем
Согласно теореме Лиувилля (см. [1], § 46)
, поэтому
Выражая из (1) и
и подставляя в (2), получаем
Рис. 160
или
где , а коэффициенты для свободных частиц
и для осцилляторов
На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового пространства, в которых (для свободных частиц и осцилляторов соответственно). Эти области представляют собой эллипсы, деформирующиеся со временем’. Центры их перемешаются по такому же закону (1), как и частицы. В случае свободного движения этот эллипс неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов — лишь пульсирует. Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже не являются независимыми ( не разбивается на два множителя вида .
Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам (независимо от значений импульса)
Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в и соответственно:
где для свободного движения
а для осцилляторов
Если масштабы по осям и в фазовом пространстве гармонических осцилляторов выбраны так, что , то фазовые траектории представляют собой окружности, а выделенная область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не деформируясь.
11.25. a) .
б) Переменные и канонические, поскольку . Из равенства определяется производящая функция
Новая функция Гамильтона
в) Выделив в
слагаемое , не содержащее времени, получаем усредненную функцию Гамильтона
В дальнейшем скобки \langle\rangle , обозначающие усреднение, опускаем. Очевидно, что интеграл движения. Уравнения Гамильтона
откуда
так что
Влияние добавки сводится к изменению частоты
(ср. с задачей 8.1).
г) Новая функция Гамильтона
после усреднения сводится к
Для переменной , пропорциональной квадрату амплитуды колебании, уравнение движения
Учитывая, что
находим
Таким образом, изменяется так же, как координата частицы (с массой, равной единице) в поле при энергии (ср. с задачей 1.2). Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так называемый взрывной рост амплитуды).
Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справедливо только при , т. е. при .
11.26. Вводим новые переменные:
и канонические сопряженные им импульсы . Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам ,
Уравнения движения
имеют интегралы
Уравнение
можно представить в виде, удобном для качественного исследования:
где ,
В начальный момент , поэтому и
Графики для случаев и приведены на рис. и б.
В первом случае испытывает колебания, так что происходят биения. Энергия периодически перекачивается от осциллятора к осцилляторам и обратно. Во втором случае (т.е. при большой «расстройке» и малых начальных амплитудах) колебания и не возбуждаются.
Подробно об этой задаче см. [22].
11.27. a) , где
Рис. 162
Интегралы и называют интегралами Мэнли-Роу.
б) Уравнения движения
имеют постоянные решения
Для получаем уравнение
Учитывая, что const, получаем
где . В интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина мала. В области резонанса график (рис. 163) позволяет заметить, что испытывает колебания в пределах от нуля до .
Таким образом, переход к установившемуся режиму ко.ебании (ср. с задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-то неучтенным нами механизмом, например трением, и быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот переходной процесс имеет характер биений даже при нулевой «расстройке», , в отличие от переходного процесса в линейных колебаниях (см. задачу 5.11).
11.28. Усредненная функция Гамильтона
Величина представляет собой амплитуду колебания. Переменные и мало изменяются за период . Это легко видеть из уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры и .
Рис. 164
На плоскости точка, изображающая состояние системы, движется по линии const. На рис. 164, и приведены семейства таких линий для области параметрического резонанса и ее окрестности . В первом случае амплитуда в конечном счете неограниченно растет, во втором — испытывает биения (ср. с задачей 8.8).
11.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразование — каноническое.
При движение -осциллятора изображается движением точки по окружности в плоскости с частотой . Радиус этой окружности
совпадает с амплитудой колебаний по оси . В плоскости это будет неподвижная точка . Таким образом, новые переменные при не зависят от времени и потому
При эти переменные зависят от времени, но так как новая функция Гамильтона мала, то усредненное движение в
Из уравнений Гамильтона для новых переменных (например, ) следует, что не зависит от них и потому , где — произвольная функция времени, которую мы, не теряя общности, можем положить равной нулю.
этих переменных медленное. Действительно, после усреднения
и из уравнений Гамильтона
легко получить
Аналогично для новых импульсов имеем
Таким образом, в плоскости происходит медленное (с частотой ) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси с медленно изменяющейся амплитудой
т. е. биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси равна
Отсюда видно, что энергии — и -осцилляторов и и их сумма не сохраняются. Однако сохраняется величина, которую можно назвать по.тным числом квантов,
где , а постоянная Планка.
В частности, при амплитуда биений доходит до нуля
а энергия колеблется с частотой :
Интересно отметить, что даже слабая связь приводит к большим изменениям энергии . Так при и имеем
Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех осцилляторах со взаимодействием в пределе настолько большой энергии -осциллятора , что биения — и -осцилляторов почти не сказываются на его движении
При этом , а совпадает с одним из интегралов Мэнли-Роу (с интегралом в обозначениях задачи 11.26). Третий осциллятор играет роль большого резервуара энергии, с которым — и -осцилляторы обмениваются энергией.
б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со временем
что соответствует экспоненциально растущим амплитудам колебаний по осям и . В этом случае сохраняется разность числа квантов