Главная > СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (Г. Л. КОТКИН, В. Г. СЕРБО)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11.1. a)
q=2PmωsinQ,p=2mωPcosQ,Q˙=ω+ω˙2ωsin2Q,P˙=Pω˙ωcos2Q.

В данном случае P и Q — переменные действие-угол. Эти переменные удобнее, чем p и q для решения задачи методом теории возмущений, если частота ω меняется медленно: |ω˙|ω2 (см. задачу 13.10 ).
б)
q=Fmω2+2PmωsinQ,p=2mωPcosQ,Q˙=ω+F˙mω2PcosQ,P˙=F˙2mωPsinQ.
11.2. Ψ(p,Q)=Q(1+lnp24Q).
11.3. Функция Φ(q1,q2,,qs,P1,P2,,Ps) определяет каноническое преобразование, если det2ΦqiPkeq0.

11.4. Пусть Q=qcosαpsinα,P=qsinα+pcosα. Тогда {P,Q}p,q={q,p}p,qsin2α+{p,q}p,qcos2α=1. Для системы с одной степенью свободы этого достаточно, чтобы преобразование было каноническим.
11.5. Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к тождественному и члены ax2P и bP3 в производящей функции малы. Чтобы разрешить соотношения
p=P+2axP,Q=x+ax2+3bP2,

определяющие каноническое преобразование, относительно x и p, заменяем в малых членах x на Q и p на P :
p=P+2aQP,x=QaQ23bP2.

Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых переменных:
H(Q,P)=P22+ω2Q22+αQ3+βQP2+2aQP2aω2Q33bω2QP2+ члены четвертой степени по Q,P.

Полагая αaω2=0,β+2a3bω2=0, обратим в нуль и члены третьей степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении Q= =Acosωt,P=ωAsinωt и согласно (1) x=Acosωtαω2A2(β+ +αω2)A2sin2ωt (cp. [1], §28).
11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4, получаем x=Q5β8ω02Q39β8ω04QP2, где Q=Acosωt,P= =ω0Asinωt,ω=ω0+3β2ω0A2 (cp. [1], §28).
11.7.
H(P,Q)=H(P,Q)

При X=Asin(ωt+φ),Y=0 — осциллятор совершает движение по эллипсу
x=Acosλsin(ωt+φ),y=Asinλcos(ωt+φ).

11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно положить m=ω=e=c=1. В окончательных выражениях эти множители легко будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) представляет собой поворот в плоскости xpy и ypx, поэтому оно сохраняет вид части функции Гамильтона, равной
12(x2+y2+px2+py2).

Добавка же, возникающая от членов 12H2x2Hxpy, равна
12H2(X2cos2λ+PY2sin2λ+2XPYsinλcosλ)++H(X2PY2)sinλcosλH(cos2λsin2λ)XPY.

Недиагональный член XPY исчезнет, если положить
sin2λcos2λ+Hsinλcosλ=0, т. е. tg2λ=2H.

После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду
H=12m(PX2+PY2ctg2λ)+mω22(X2tg2λ+Y2).

Таким образом, переменные X,Y испытывают гармонические колебания с частотами, равными соответственно
ω1=ωtgλ=ω2+(eH2mc)2eH2mc,ω2=ωctgλ=ω2+(eH2mc)2+eH2mc
(cp. [2], §21, задача). Каждой из координат X,Y соответствует движение по эллипсу; произвольное колебание — суперпозиция двух таких движений (ср. задачи 6.36, 11.7).

Интересно, что при H0 оказывается λ=π/4 (а отнюдь не λ=0 ). Это значит, что даже при очень слабом поле H «нормальными» оказываются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания же, отвечающие координатам X(Y) при λ=0, которые в отсутствие поля H были бы линейными, при наличии поля H медленно изменяют направление поляризации.

Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует добавить частную производную по времени производящей функции
Φ=mωxyctgλPXPYmωtgλ+xPX+yPYcosλ
(выразив ее через X,Y,PX,PY ) (см. также сноску к решению задачи 13.25).
11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи ω=ω2,tg2λ=2ωHω2ωH2+ω12ω22, получим
H=12m(PX2+Ω22ω22PY2+pz2)+m2(Ω12X2+ω22Y2+ω32z2),

где Ω1,2 определены в задаче 6.36 .
11.10. Преобразование (λ=π/4)
qs1=12(Xs+PYsNmωs),qs2=12(Ys+PXsNmωs)

сохраняет вид функции Гамильтона (ср. с задачей 11.7)
H=p022Nm+s=1R[ps12+ps222Nm+Nmωs22(qs12+qs22)]==p022Nm+s=1R[PXs2+PYs22Nm+Nmωs22(Xs2+Ys2)].

Колебание, соответствующее Xs=Acos(ωst+β), есть
xn=A2sin(ωst+nφs+β),

а соответствующее Ys=Bcos(ωst+β) есть колебание
xn=B2sin(ωst+nφsβ).

11.11. Новая функция Гамильтона H=ωP1. Уравнения движения в новых переменных имеют вид
P˙1=P˙2=Q˙2=0,Q˙1=ω.

Как изменится вид функции Гамильтона H, если H зависит от времени?
11.12. Предложенное преобразование p=αP,r=Q/α есть преобразование подобия.
11.13. Градиентное преобразование A=A+ablaf(r,t),φ=φ1cft можно представить как каноническое преобразование r=r,P=Pecablaf, H=Hecft с помощью производящей функции
Φ(r,P)=rPecf(r,t).
11.14. Φ(q,P)=qPf(q,t).
11.15. б) Fτ(q,Q)=Fτ2(q+Q)+m2τ(qQ)2;
в) Fτ(q,Q)=mω2sinωτ[2qQ(q2+Q2)cosωτ].
11.16. а) Q=r+δa,P=p сдвиг системы как целого на δa (или сдвиг системы координат на δa ).
б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно
Q=r+[δφ,r],P=p+[δφ,p].

Преобразование представляет собой поворот системы координат на угол δφ.
в) Q(t)=q(t+δτ),P(t)=p(t+δτ),H(P,Q,t)=H(p,q,t+δτ). Преобразование представляет собой сдвиг во времени на δτ (cр. [1], § 45).
г) Q=r+2pδα,P=p2rδα.
Преобразование представляет собой поворот на угол 2δα в каждой паре плоскостей xipi(i=1,2,3) в фазовом пространстве.
11.18. a) Φ(r,P)=rP+nPδa+n[rP]δφ, где δa смещение вдоль направления n, а δφ=2πhδa угол поворота вокруг n ( h шаг винта);
б) Φ(r,P,t)=rPVPt+mrV;
в) Φ(r,P,t)=rPtδΩ[rP].

11.19. δf(q,p)=λ{W,f}p,q.

В самом деле, подставляя значения новых переменных P=pλWq и Q=q+λWP в f(Q,P) и разлагая полученное выражение по степеням λ, получим с точностью до первого порядка включительно
δf(q,p)=λfqW(q,p)pλfpW(q,p)q.
11.20. Полагая в предыдущей задаче Φ=rP+λrP, получим преобразование подобия с α=1+λ (см. задачу 11.12). Предложенная функция Гамильтона такова, что H(P,Q)=α2H(P,Q), и поэтому λ{H,rp}= =HH=2λH(λ0). С другой стороны, {H,rp}=ddt(rp). Отсюда rp2Et= const (cp. с задачей 4.13 б).
11.22. Пусть δ1q и δ1p1 — изменения координат и импульсов, связанные с преобразованием, задаваемым Φ1. Тогда
f(q+δ1q,p+δ1p)=f(q,p)+λ1{W1(q,p),f(q,p)}+λ12φ1(q,p).

К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование, задаваемое функцией Φ2,
f(q+δ21q,p+δ21p)=fλ2{W2,f}+λ1{W1,f}++λ1λ2{W2,{W1,f}}+λ12φ1+λ22φ2.

Преобразование λ12φ1(q,p) дает добавку выше второго порядка малости. Результат применения этих преобразований в обратном порядке
f(q+δ12q,p+δ12p)=fλ1{W1,f}+λ2{W2,f}++λ1λ2{W1,{W2,f}}+λ12φ1+λ22φ2

отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными λ1λ2. Вычитая (3) из (2), получим
λ1λ2({W2,{W1,f}}{W1,{W2,f}})=λ1λ2{f,{W1,W2}}.
1 Укажем, например, изменение импульса с точностью до второго порядка:
δ1p=Pp=λ1W1(q,P)q=λ1W1(q,p)q+λ122W1(q,p)pqW1(q,p)q.

Поэтому, в частности, сдвиги λW=δaP (см. задачу 11.16) перестановочны, а повороты вокруг разных осей λW=δφ[rP] нет.
Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?
11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром λ можно рассматривать как «движение», причем λ играет роль времени, а W(q,p) — функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения «движения»
dQdλ=W(Q,P)P,dPdλ=W(Q,P)Q.

Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
a) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данном каноническом преобразовании имеет вид
δr=λN{W,r}=λN{Ma,r}=[n,r]δφ,δp=[n,p]δφ,

где M=[r,p],n=aa,δφ=λaN. Это преобразование представляет собой поворот системы координат на угол δφ вокруг направления n. Направив ось z по а, получаем окончательно
X=xcosφysinφ,Y=ycosφ+xsinφ,Z=z

и аналогичные формулы для компонент импульса.
б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при каноническом преобразовании, задаваемом A1, имеет вид
δx=pxδφ,δy=pyδφ,δpx=xδφ,δpy=yδφ,

где δφ=λ2N. Это преобразование представляет собой поворот на угол +δφ в плоскости xpx и на угол δφ в плоскости ypy. Поэтому
X=xcosφ+pxsinφ,Y=ycosφpysinφ,PX=xsinφ+pxcosφ,PY=ysinφ+pycosφ.

Аналогично A2(A3) задает поворот на угол φ(φ) в плоскостях xpy и ypx ( xy и pxpy ) и A4 — поворот на угол 4φ в плоскостях xpx и ypy.

Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим преобразованием. Например, поворот в плоскости xpy — не каноническое преобразование.

Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического осциллятора (функция Гамильтона H=12A4 ) и движение частицы в плоскости xy в произвольном поле, обладающем осевой симметрией, U(x2+y2). В обоих случаях интегралами является момент импульса 2A3, сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношению к поворотам вокруг оси z. Для осциллятора, кроме того, есть интегралы движения A1 и A2, сохранение которых связано со «скрытой» симметрией — инвариантностью функции Гамильтона относительно определенных поворотов в фазовом пространстве. В этом смысле осциллятор подобен частицу в трехмерном центральном поле, для которой есть три интеграла движения Mx,y,z.

Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому, что точка (x,y,px,py ) в фазовом пространстве движется по замкнутой линии, в то время как для частицы в поле U(x2+y2) фазовая траектория «заполняет» двумерную поверхность (см. [1], § 52).
Рис. 158
11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем с течением времени не меняется, в координатном пространстве происходит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системы изображалось прямоугольником ABCD (рис. 158), то через время t, он перейдет в параллелограмм ABCD(AD=AD), причем расстояние по оси x между точками A и C равно Δx=Δx0+Δp0mt. Со временем этот параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.

Рис. 159
б) Если в точке x=L расположена стенка, то выделенный фазовый объем уже не будет параллелограммом ABCD, а будет иметь вид, изображенный на рис. 159,a. С течением времени первоначальный фазовый объем ABCD превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников 0xL, p0pp0+Δp0 и 0xL,p0Δp0pp0 (рис. 159,σ ).
в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией E и частотой ω эллипс x2a2+p2b2=1 с полуосями a=2Emω2,b=2Em. Все точки выделенного фазового объема движутся по таким эллипсам и через период T=2πω возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенного «объема» по координатам Δx и импульсам Δp пульсируют с частотой 2ω. В отличие от предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазового объема по всей доступной области фазового пространства.
г) Для осциллятора с трением (сила трения Fтр =2mλx˙ )
x=aeλtcos(ωt+φ),p=mx˙=maeλt[ωsin(ωt+φ)+λcos(ωt+φ)],

и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет собой спираль
x2a2+(p+ωλxmaω)2=e2λt.

Выделенный фазовый объем с течением времени уменьшается до нуля.

Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является канонической — для полного ее описания необходимо задавать не только функцию Лагранжа L=m2(x˙2ω02x2), но и диссипативную функцию F=12mλx˙2 (см. [1], § 25).
Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжа» в виде
L=m2e2λt(x˙2ω02x2)
(ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных x и p=Lx˙ выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом случае обобщенный импульс p=mxe2λt не имеет, как прежде, простого физического смысла.
д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделенная область фазового пространства с течением времени растягивается, «заполняя» всю доступную область фазового пространства (ср. с пунктом б)).

Пусть вначале выделена область x0<x<x0+Δx,p0<p<p0+Δp. Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают на одпо колебапие больше (или меньше), чем самые медленные:
τT2ΔT,ΔTdTdEΔE,ΔEp0Δpm+|dU(x0)dx|Δx.
е) Пусть имеется N частиц таких, что точки фазового пространства, изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью Nw(x0,p0,0) и перемещаются согласно уравнениям
x=f(x0,p0,t),p=φ(x0,p0,t).

Здесь
f(x0,p0,t)=x0+p0mt,φ(x0,p0,t)=p0

для свободного движения и
f(x0,p0,t)=x0cosωt+p0mωsinωtφ(x0,p0,t)=mωx0sinωt+p0cosωt

для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной области фазового пространства, все точки которой движутся по такому же закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового объема dxdp имеем
Nw(x,p,t)dxdp=Nw(x0,p0,0)dx0dp0.

Согласно теореме Лиувилля (см. [1], § 46)
(x,p)(x0,p0)=1, поэтому
w(x,p,t)=w(x0,p0,0).

Выражая из (1) x0 и p0
x0=f(x,p,t),p0=φ(x,p,t)

и подставляя в (2), получаем
Рис. 160
w(x,p,t)=w(f(x,p,t),φ(x,p,t),0),

или
w(x,p,t)=exp[α(xX)2β(xX)(pP)γ(pP)2]2πΔp0Δx0,

где X=f(X0,P0,t),P=φ(X0,P0,t), а коэффициенты α,β,γ для свободных частиц
α=12Δx02,β=tmΔx02,γ=12Δp02+t22m2Δx02,

и для осцилляторов
α=cos2ωt2Δx02+m2ω2sin2ωt2Δp02,β=cos2ωt2Δp02+sin2ωt2m2ω2Δx02,γ=sinωtcosωt(mωΔp021mωΔx02).

На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового пространства, в которых 2πΔx0Δp0w(x,p,t)12 (для свободных частиц и осцилляторов соответственно). Эти области представляют собой эллипсы, деформирующиеся со временем’. Центры их перемешаются по такому же закону (1), как и частицы. В случае свободного движения этот эллипс неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов — лишь пульсирует. Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже не являются независимыми ( w(x,p,t) не разбивается на два множителя вида w1(x,t)w2(p,t)).

Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам (независимо от значений импульса)
w(x,t)=w(x,p,t)dpw~(p,t)=w(x,p,t)dx.

Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в X и P соответственно:
w(x,t)=12πΔxe(xX)22Δx2,w~(p,t)=12πΔpe(pP)22Δp2,

где для свободного движения
Δx2=Δx02+Δp02m2t2,Δp2=Δp02,

а для осцилляторов
Δx2=Δx02cos2ωt+Δp02m2ω2sin2ωt,Δp2=Δp02cos2ωt+m2ω2Δx02sin2ωt.
1 Если масштабы по осям p и x в фазовом пространстве гармонических осцилляторов выбраны так, что mω=1, то фазовые траектории представляют собой окружности, а выделенная область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не деформируясь.

11.25. a) {a,a}=i,H0=ωaa.
б) Переменные P и Q канонические, поскольку {P,Q}=1. Из равенства dF=p(x,Q)dxP(x,Q)dQ определяется производящая функция
F(x,Q,t)=i2mωx2+i2Q2e2iωti2mωxQeiωt.

Новая функция Гамильтона
H0(Q,P)=H0+F(x,Q,t)t=0.
в) Выделив в
x4=(QeiωtiPeiωt2mω)4

слагаемое 3Q2P2/2m2ω2, не содержащее времени, получаем усредненную функцию Гамильтона
H(Q,P)=3β8mω2Q2P2.

В дальнейшем скобки \langle\rangle , обозначающие усреднение, опускаем. Очевидно, что iQP=|Q0|2=|a|2 интеграл движения. Уравнения Гамильтона
Q˙=iεQ,P˙=iεP,ε=3β|Q0|24mω2,

откуда
Q=Q0eiεt,P=iQ0eiεt,

так что
x=12mω(Q0eiωt+Q0eiωt)=x0cos(ωt+φ).

Влияние добавки δU сводится к изменению частоты
ω=ω+3β|Q0|24mω2=ω+3βx028ω
(ср. с задачей 8.1).

г) Новая функция Гамильтона
H(Q,P,t)=m2ω2α(QeiωtiPeiωt2mω)4e4iωt+e4iωt2

после усреднения сводится к
H(Q,P)=α8(Q4+P4).

Для переменной ξ=iQP=|a|2, пропорциональной квадрату амплитуды колебании, уравнение движения
ξ˙={H,ξ}=iα2(P4Q4).

Учитывая, что
α4(Q4+P4)=A= const ,

находим
ξ˙2=4A2+α2ξ˙4.

Таким образом, ξ изменяется так же, как координата частицы (с массой, равной единице) в поле V(ξ)=α22ξ4 при энергии 2A2 (ср. с задачей 1.2). Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так называемый взрывной рост амплитуды).

Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справедливо только при |ξ˙|ωξ, т. е. при ξω/α.
11.26. Вводим новые переменные:
a=mωx+ipx2mωeiωt,b=mω2y+ipy2mω2eiω2t,c=mω3z+ipz2mω3eiω3t,
(ω=ω2+ω3) и канонические сопряженные им импульсы ia,ib,ic. Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам 2π/ω2,3,
H=ε|a|2+η(abc+abc),ε=ω1ω,η=α42mωω2ω3.

Уравнения движения
a˙=iεaiηbc,b˙=iηac,c˙=iηab

имеют интегралы 1
H=A,|a|2+|b|2=B,|a|2+|c|2=C.

Уравнение
ddt|a|2=iη(abcabc)

можно представить в виде, удобном для качественного исследования:
ξ˙2+V(ξ)=0,

где ξ=|a|2,
V(ξ)=(Aεξ)24η2ξ(Bξ)(Cξ).

В начальный момент c=0, поэтому A=εC,B<C и
V(ξ)=(Cξ)2(ε24ξ)4η2ξ(CB)(Cξ).

Графики V(ξ) для случаев ε2<4η2C и ε2>4η2C приведены на рис. 162,a и б.

В первом случае ξ испытывает колебания, так что происходят биения. Энергия периодически перекачивается от осциллятора x к осцилляторам y,z и обратно. Во втором случае (т.е. при большой «расстройке» ε и малых начальных амплитудах) колебания y и z не возбуждаются.
Подробно об этой задаче см. [22].
11.27. a) H=ε|a|2+μ|a|4+η(a2+a2), где
ε=ωγ,μ=3β8mω2,η=hω8.
Рис. 162
1 Интегралы B и C называют интегралами Мэнли-Роу.

б) Уравнения движения
a˙=i(ε+2μ|a|2)a+2iηa,a˙=i(ε+2μ|a|2)a+2iηa

имеют постоянные решения
a0=0,|a1|2=2ηε2μ.

Для ξ=|a|2 получаем уравнение
ξ˙=2iη(a2a2).

Учитывая, что H=εξ+μξ2+η(a2+a2)=C= const, получаем
ξ˙2+V(ξ)=0,

где V(ξ)=4η2[(a2+a2)24|a|4]=4(Cεξμξ2)216η2ξ2. В интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина C мала. В области резонанса |ε|<2η график V(ξ) (рис. 163) позволяет заметить, что ξ испытывает колебания в пределах от нуля до ξm2|a1|2.
Таким образом, переход к установившемуся режиму ко.ебании ξ=|a1|2 (ср. с задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-то неучтенным нами механизмом, например трением, и быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот переходной процесс имеет характер биений даже при нулевой «расстройке», ε=0, в отличие от переходного процесса в линейных колебаниях (см. задачу 5.11).
11.28. Усредненная функция Гамильтона
H(Q,P,t)=H(Q,P)=mω22(εh2)Q2+12m(ε+h2)P2.

Величина Q2+P2/m2ω2 представляет собой амплитуду колебания. Переменные Q и P мало изменяются за период 2π/γ. Это легко видеть из уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры ε и h.

Рис. 164
На плоскости Q,P точка, изображающая состояние системы, движется по линии H(Q,P)=C= const. На рис. 164, a и б приведены семейства таких линий для области параметрического резонанса |ε|<h/2 и ее окрестности |ε|>h/2. В первом случае амплитуда в конечном счете неограниченно растет, во втором — испытывает биения (ср. с задачей 8.8).
11.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразование — каноническое.

При V=0 движение x-осциллятора изображается движением точки по окружности в плоскости x,px/mω1 с частотой ω1. Радиус этой окружности
a=x2+px2m2ω12

совпадает с амплитудой колебаний по оси x. В плоскости X,Px/mω1 это будет неподвижная точка X=x(0),Px=px(0). Таким образом, новые переменные при V=0 не зависят от времени и потому H0=0.1

При Veq0 эти переменные зависят от времени, но так как новая функция Гамильтона H=H0+V=V мала, то усредненное движение в
1 Из 3 уравнений Гамильтона для новых переменных (например, X˙=H0/Px=0 ) следует, что H0 не зависит от них и потому H0=f(t), где f(t) — произвольная функция времени, которую мы, не теряя общности, можем положить равной нулю.

этих переменных медленное. Действительно, после усреднения
H=β4ω1ω2(ω1XPyω2YPx),

и из уравнений Гамильтона
X˙=β4ω1Y,Y˙=β4ω2X

легко получить
X=Acos(γt+φ),Y=ω1ω2Asin(γt+φ),γ=β4ω1ω2ω1,2.

Аналогично для новых импульсов имеем
Px=mω1Bcos(γt+ψ),Py=mω1ω2Bsin(γt+ψ).

Таким образом, в плоскости X,Px/mω1 происходит медленное (с частотой γ ) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси x с медленно изменяющейся амплитудой
a(t)=X2+(Px/mω1)2=A2cos2(γt+φ)+B2cos2(γt+ψ),
т. е. биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси y равна
b(t)=ω1ω2A2sin2(γt+φ)+B2sin2(γt+ψ).

Отсюда видно, что энергии x — и y-осцилляторов Ex=12mω12a2(t) и Ey= =12mω22b2(t) и их сумма E=Ex+Ey не сохраняются. Однако сохраняется величина, которую можно назвать по.тным числом квантов,
n=Exω1+Eyω2=mω12C2,

где C=A2+B2, а постоянная Планка.
В частности, при φ=ψ=0 амплитуда биений доходит до нуля
x=Xcosω1t+Pxmω1sinω1t=Ccosγtcos(ω1t+φ0),y=Cω1ω2sinγtcos(ω2t+φ0),tgφ0=BA,

а энергия колеблется с частотой 2γ :
E=12mω1C2(ω1cos2γt+ω2sin2γt).

Интересно отметить, что даже слабая связь |V|H0=E приводит к большим изменениям энергии ΔEE. Так при φ=ψ=0 и ω1ω2 имеем
ΔE=12mω1(ω1ω2)C2E=14mω1(ω1ω2)C2.

Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех осцилляторах со взаимодействием 12mαxyz в пределе настолько большой энергии z-осциллятора EzEx,y, что биения x — и y-осцилляторов почти не сказываются на его движении
z=z0sinω3t,ω3=ω1ω2.

При этом β=12αz0, а n совпадает с одним из интегралов Мэнли-Роу (с интегралом B в обозначениях задачи 11.26). Третий осциллятор играет роль большого резервуара энергии, с которым x — и y-осцилляторы обмениваются энергией.
б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со временем
X=Aeγt+Beγt,Y=ω1ω2(AeγtBeγt),Px=mω1(Deγt+Feγt),Py=mω1ω2(DeγtFeγt),

что соответствует экспоненциально растущим амплитудам колебаний по осям x и y. В этом случае сохраняется разность числа квантов
Exω1Eyω2=2mω1(AB+DF).

1
Оглавление
email@scask.ru