11.1. a)
\[
\begin{aligned}
q & =\sqrt{\frac{2 P}{m \omega}} \sin Q, & p & =\sqrt{2 m \omega P} \cos Q, \\
\dot{Q} & =\omega+\frac{\dot{\omega}}{2 \omega} \sin 2 Q, & \dot{P} & =-P \frac{\dot{\omega}}{\omega} \cos 2 Q .
\end{aligned}
\]

В данном случае $P$ и $Q$ – переменные действие-угол. Эти переменные удобнее, чем $p$ и $q$ для решения задачи методом теории возмущений, если частота $\omega$ меняется медленно: $|\dot{\omega}| \ll \omega^{2}$ (см. задачу 13.10 ).
б)
\[
\begin{aligned}
q & =\frac{F}{m \omega^{2}}+\sqrt{\frac{2 P}{m \omega}} \sin Q, & p & =\sqrt{2 m \omega P} \cos Q, \\
\dot{Q} & =\omega+\dot{F} \sqrt{\frac{m \omega}{2 P}} \cos Q, & \dot{P} & =\dot{F} \sqrt{2 m \omega P} \sin Q .
\end{aligned}
\]
11.2. $\Psi(p, Q)=-Q\left(1+\ln \frac{p^{2}}{4 Q}\right)$.
11.3. Функция $\Phi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{s}\right)$ определяет каноническое преобразование, если $\operatorname{det} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial q_{i} \partial P_{k}}
eq 0$.

11.4. Пусть $Q=q \cos \alpha-p \sin \alpha, P=q \sin \alpha+p \cos \alpha$. Тогда $\{P, Q\}_{p, q}=-\{q, p\}_{p, q} \sin ^{2} \alpha+\{p, q\}_{p, q} \cos ^{2} \alpha=1$. Для системы с одной степенью свободы этого достаточно, чтобы преобразование было каноническим.
11.5. Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к тождественному и члены $a x^{2} P$ и $b P^{3}$ в производящей функции малы. Чтобы разрешить соотношения
\[
p=P+2 a x P, \quad Q=x+a x^{2}+3 b P^{2},
\]

определяющие каноническое преобразование, относительно $x$ и $p$, заменяем в малых членах $x$ на $Q$ и $p$ на $P$ :
\[
p=P+2 a Q P, \quad x=Q-a Q^{2}-3 b P^{2} .
\]

Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в новых переменных:
\[
\begin{array}{c}
H^{\prime}(Q, P)=\frac{P^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} Q^{2}}{2}+\alpha Q^{3}+\beta Q P^{2}+2 a Q P^{2}-a \omega^{2} Q^{3}- \\
-3 b \omega^{2} Q P^{2}+\text { члены четвертой степени по } Q, P .
\end{array}
\]

Полагая $\alpha-a \omega^{2}=0, \beta+2 a-3 b \omega^{2}=0$, обратим в нуль и члены третьей степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении $Q=$ $=A \cos \omega t, P=-\omega A \sin \omega t$ и согласно (1) $x=A \cos \omega t-\alpha \omega^{-2} A^{2}-(\beta+$ $\left.+\alpha \omega^{-2}\right) A^{2} \sin ^{2} \omega t$ (cp. [1], §28).
11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в задаче 10.4, получаем $x=Q-\frac{5 \beta}{8 \omega_{0}^{2}} Q^{3}-\frac{9 \beta}{8 \omega_{0}^{4}} Q P^{2}$, где $Q=A \cos \omega t, P=$ $=-\omega_{0} A \sin \omega t, \omega=\omega_{0}+\frac{3 \beta}{2 \omega_{0}} A^{2}$ (cp. [1], §28).
11.7.
\[
H^{\prime}(P, Q)=H(P, Q) \text {. }
\]

При $X=A \sin (\omega t+\varphi), Y=0$ – осциллятор совершает движение по эллипсу
\[
\begin{array}{l}
x=A \cos \lambda \sin (\omega t+\varphi), \\
y=A \sin \lambda \cos (\omega t+\varphi) .
\end{array}
\]

11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно временно положить $m=\omega=e=c=1$. В окончательных выражениях эти множители легко будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) представляет собой поворот в плоскости $x p_{y}$ и $y p_{x}$, поэтому оно сохраняет вид части функции Гамильтона, равной
\[
\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right) .
\]

Добавка же, возникающая от членов $\frac{1}{2} \mathscr{H}^{2} x^{2}-\mathscr{H} x p_{y}$, равна
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \mathscr{H}^{2}\left(X^{2} \cos ^{2} \lambda\right. & \left.+P_{Y}^{2} \sin ^{2} \lambda+2 X P_{Y} \sin \lambda \cos \lambda\right)+ \\
& +\mathscr{H}\left(X^{2}-P_{Y}^{2}\right) \sin \lambda \cos \lambda-\mathscr{H}\left(\cos ^{2} \lambda-\sin ^{2} \lambda\right) X P_{Y} .
\end{aligned}
\]

Недиагональный член $X P_{Y}$ исчезнет, если положить
\[
\sin ^{2} \lambda-\cos ^{2} \lambda+\mathscr{H} \sin \lambda \cos \lambda=0, \quad \text { т. е. } \quad \operatorname{tg} 2 \lambda=\frac{2}{\mathscr{H}} .
\]

После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(P_{X}^{2}+P_{Y}^{2} \operatorname{ctg}^{2} \lambda\right)+\frac{m \omega^{2}}{2}\left(X^{2} \operatorname{tg}^{2} \lambda+Y^{2}\right) .
\]

Таким образом, переменные $X, Y$ испытывают гармонические колебания с частотами, равными соответственно
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=\omega \operatorname{tg} \lambda=\sqrt{\omega^{2}+\left(\frac{e \mathscr{H}}{2 m c}\right)^{2}}-\frac{e \mathscr{H}}{2 m c}, \\
\omega_{2}=\omega \operatorname{ctg} \lambda=\sqrt{\omega^{2}+\left(\frac{e \mathscr{H}}{2 m c}\right)^{2}}+\frac{e \mathscr{H}}{2 m c}
\end{array}
\]
(cp. [2], §21, задача). Каждой из координат $X, Y$ соответствует движение по эллипсу; произвольное колебание – суперпозиция двух таких движений (ср. задачи 6.36, 11.7).

Интересно, что при $\mathscr{H} \rightarrow 0$ оказывается $\lambda=\pi / 4$ (а отнюдь не $\lambda=0$ ). Это значит, что даже при очень слабом поле $\mathscr{H}$ «нормальными» оказываются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания же, отвечающие координатам $X(Y)$ при $\lambda=0$, которые в отсутствие поля $\mathscr{H}$ были бы линейными, при наличии поля $\mathscr{H}$ медленно изменяют направление поляризации.

Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует добавить частную производную по времени производящей функции
\[
\Phi=-m \omega x y \operatorname{ctg} \lambda-\frac{P_{X} P_{Y}}{m \omega} \operatorname{tg} \lambda+\frac{x P_{X}+y P_{Y}}{\cos \lambda}
\]
(выразив ее через $X, Y, P_{X}, P_{Y}$ ) (см. также сноску к решению задачи 13.25).
11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи $\omega=\omega_{2}, \operatorname{tg} 2 \lambda=\frac{2 \omega_{\mathscr{H}} \omega_{2}}{\omega_{\mathscr{H}}^{2}+\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}}$, получим
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2 m}\left(P_{X}^{2}+\frac{\Omega_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}} P_{Y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+\frac{m}{2}\left(\Omega_{1}^{2} X^{2}+\omega_{2}^{2} Y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}\right),
\]

где $\Omega_{1,2}$ определены в задаче 6.36 .
11.10. Преобразование $(\lambda=\pi / 4)$
\[
q_{s 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(X_{s}+\frac{P_{Y s}}{N m \omega_{s}}\right), \quad q_{s 2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Y_{s}+\frac{P_{X s}}{N m \omega_{s}}\right)
\]

сохраняет вид функции Гамильтона (ср. с задачей 11.7)
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{p_{0}^{2}}{2 N m}+\sum_{s=1}^{R}\left[\frac{p_{s 1}^{2}+p_{s 2}^{2}}{2 N m}+\frac{N m \omega_{s}^{2}}{2}\left(q_{s 1}^{2}+q_{s 2}^{2}\right)\right]= \\
& =\frac{p_{0}^{2}}{2 N m}+\sum_{s=1}^{R}\left[\frac{P_{X s}^{2}+P_{Y s}^{2}}{2 N m}+\frac{N m \omega_{s}^{2}}{2}\left(X_{s}^{2}+Y_{s}^{2}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Колебание, соответствующее $X_{s}=A \cos \left(\omega_{s} t+\beta\right)$, есть
\[
x_{n}=\frac{A}{\sqrt{2}} \sin \left(\omega_{s} t+n \varphi_{s}+\beta\right),
\]

а соответствующее $Y_{s}=B \cos \left(\omega_{s} t+\beta\right)-$ есть колебание
\[
x_{n}=\frac{B}{\sqrt{2}} \sin \left(-\omega_{s} t+n \varphi_{s}-\beta\right) .
\]

11.11. Новая функция Гамильтона $H^{\prime}=\omega P_{1}$. Уравнения движения в новых переменных имеют вид
\[
\dot{P}_{1}=\dot{P}_{2}=\dot{Q}_{2}=0, \quad \dot{Q}_{1}=\omega .
\]

Как изменится вид функции Гамильтона $H^{\prime}$, если $\mathscr{H}$ зависит от времени?
11.12. Предложенное преобразование $p=\alpha P, r=Q / \alpha$ есть преобразование подобия.
11.13. Градиентное преобразование $\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+
abla f(\mathbf{r}, t), \varphi^{\prime}=\varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial f}{\partial t}$ можно представить как каноническое преобразование $\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}, \mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P}-\frac{e}{c}
abla f$, $H^{\prime}=H-\frac{e}{c} \frac{\partial f}{\partial t}$ с помощью производящей функции
\[
\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{P})=\mathbf{r P}-\frac{e}{c} f(\mathbf{r}, t) .
\]
11.14. $\Phi(q, P)=q P-f(q, t)$.
11.15. б) $F_{\tau}(q, Q)=\frac{F \tau}{2}(q+Q)+\frac{m}{2 \tau}(q-Q)^{2}$;
в) $F_{\tau}(q, Q)=\frac{m \omega}{2 \sin \omega \tau}\left[2 q Q-\left(q^{2}+Q^{2}\right) \cos \omega \tau\right]$.
11.16. а) $\mathbf{Q}=\mathbf{r}+\delta \mathbf{a}, \mathbf{P}=\mathbf{p}-$ сдвиг системы как целого на $\delta \mathbf{a}$ (или сдвиг системы координат на $-\delta \mathbf{a}$ ).
б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно
\[
\mathbf{Q}=\mathbf{r}+[\delta \varphi, \mathbf{r}], \quad \mathbf{P}=\mathbf{p}+[\delta \varphi, \mathbf{p}] .
\]

Преобразование представляет собой поворот системы координат на угол $-\delta \varphi$.
в) $Q(t)=q(t+\delta \tau), P(t)=p(t+\delta \tau), H^{\prime}(P, Q, t)=H(p, q, t+\delta \tau)$. Преобразование представляет собой сдвиг во времени на $\delta \tau$ (cр. [1], § 45).
г) $\mathbf{Q}=\mathbf{r}+2 \mathbf{p} \delta \alpha, \mathbf{P}=\mathbf{p}-2 \mathbf{r} \delta \alpha$.
Преобразование представляет собой поворот на угол $2 \delta \alpha$ в каждой паре плоскостей $x_{i} p_{i}(i=1,2,3)$ в фазовом пространстве.
11.18. a) $\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{P})=\mathbf{r P}+\mathbf{n} \mathbf{P} \delta a+\mathbf{n}[\mathbf{r P}] \delta \varphi$, где $\delta a-$ смещение вдоль направления $\mathbf{n}$, а $\delta \varphi=\frac{2 \pi}{h} \delta a-$ угол поворота вокруг $\mathbf{n}$ ( $h-$ шаг винта);
б) $\Phi(r, P, t)=\mathbf{r P}-\mathbf{V P} t+m \mathbf{r V}$;
в) $\Phi(\mathbf{r}, \mathbf{P}, t)=\mathbf{r P}-t \delta \boldsymbol{\Omega}[\mathbf{r} \mathbf{P}]$.

11.19. $\delta f(q, p)=\lambda\{W, f\}_{p, q}$.

В самом деле, подставляя значения новых переменных $P=p-\lambda \frac{\partial W}{\partial q}$ и $Q=q+\lambda \frac{\partial W}{\partial P}$ в $f(Q, P)$ и разлагая полученное выражение по степеням $\lambda$, получим с точностью до первого порядка включительно
\[
\delta f(q, p)=\lambda \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial W(q, p)}{\partial p}-\lambda \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial W(q, p)}{\partial q} .
\]
11.20. Полагая в предыдущей задаче $\Phi=\mathbf{r P}+\lambda \mathbf{r P}$, получим преобразование подобия с $\alpha=1+\lambda$ (см. задачу 11.12). Предложенная функция Гамильтона такова, что $H^{\prime}(\mathbf{P}, \mathbf{Q})=\alpha^{2} H(\mathbf{P}, \mathbf{Q})$, и поэтому $\lambda\{H, \mathbf{r p}\}=$ $=H^{\prime}-H=2 \lambda H(\lambda \rightarrow 0)$. С другой стороны, $\{H, \mathbf{r p}\}=\frac{d}{d t}(\mathbf{r p})$. Отсюда $\mathbf{r p}-2 E t=$ const (cp. с задачей 4.13 б).
11.22. Пусть $\delta_{1} q$ и $\delta_{1} p^{1}$ – изменения координат и импульсов, связанные с преобразованием, задаваемым $\Phi_{1}$. Тогда
\[
f\left(q+\delta_{1} q, p+\delta_{1} p\right)=f(q, p)+\lambda_{1}\left\{W_{1}(q, p), f(q, p)\right\}+\lambda_{1}^{2} \varphi_{1}(q, p) .
\]

К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование, задаваемое функцией $\Phi_{2}$,
\[
\begin{array}{c}
f\left(q+\delta_{21} q, p+\delta_{21} p\right)=f-\lambda_{2}\left\{W_{2}, f\right\}+\lambda_{1}\left\{W_{1}, f\right\}+ \\
+\lambda_{1} \lambda_{2}\left\{W_{2},\left\{W_{1}, f\right\}\right\}+\lambda_{1}^{2} \varphi_{1}+\lambda_{2}^{2} \varphi_{2} .
\end{array}
\]

Преобразование $\lambda_{1}^{2} \varphi_{1}(q, p)$ дает добавку выше второго порядка малости. Результат применения этих преобразований в обратном порядке
\[
\begin{array}{c}
f\left(q+\delta_{12} q, p+\delta_{12} p\right)=f-\lambda_{1}\left\{W_{1}, f\right\}+\lambda_{2}\left\{W_{2}, f\right\}+ \\
+\lambda_{1} \lambda_{2}\left\{W_{1},\left\{W_{2}, f\right\}\right\}+\lambda_{1}^{2} \varphi_{1}+\lambda_{2}^{2} \varphi_{2}
\end{array}
\]

отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными $\lambda_{1} \lambda_{2}$. Вычитая (3) из (2), получим
\[
\lambda_{1} \lambda_{2}\left(\left\{W_{2},\left\{W_{1}, f\right\}\right\}-\left\{W_{1},\left\{W_{2}, f\right\}\right\}\right)=\lambda_{1} \lambda_{2}\left\{f,\left\{W_{1}, W_{2}\right\}\right\} .
\]
${ }^{1}$ Укажем, например, изменение импульса с точностью до второго порядка:
\[
\delta_{1} p=P-p=-\lambda_{1} \frac{\partial W_{1}(q, P)}{\partial q}=-\lambda_{1} \frac{\partial W_{1}(q, p)}{\partial q}+\lambda_{1}^{2} \frac{\partial^{2} W_{1}(q, p)}{\partial p \partial q} \frac{\partial W_{1}(q, p)}{\partial q} .
\]

Поэтому, в частности, сдвиги $\lambda W=\delta \mathrm{aP}$ (см. задачу 11.16) перестановочны, а повороты вокруг разных осей $\lambda W=\delta \varphi[\mathbf{r P}]-$ нет.
Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?
11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром $\lambda$ можно рассматривать как «движение», причем $\lambda$ играет роль времени, а $W(q, p)$ – функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения «движения»
\[
\frac{d Q}{d \lambda}=\frac{\partial W(Q, P)}{\partial P}, \quad \frac{d P}{d \lambda}=-\frac{\partial W(Q, P)}{\partial Q} .
\]

Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
a) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данном каноническом преобразовании имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\delta \mathbf{r}=-\frac{\lambda}{N}\{W, \mathbf{r}\}=\frac{\lambda}{N}\{\mathbf{M a}, \mathbf{r}\}=-[\mathbf{n}, \mathbf{r}] \delta \varphi, \\
\delta \mathbf{p}=-[\mathbf{n}, \mathbf{p}] \delta \varphi,
\end{array}
\]

где $\mathbf{M}=[\mathbf{r}, \mathbf{p}], \mathbf{n}=\frac{\mathbf{a}}{a}, \delta \varphi=-\frac{\lambda a}{N}$. Это преобразование представляет собой поворот системы координат на угол $\delta \varphi$ вокруг направления $\mathrm{n}$. Направив ось $z$ по а, получаем окончательно
\[
X=x \cos \varphi-y \sin \varphi, \quad Y=y \cos \varphi+x \sin \varphi, \quad Z=z
\]

и аналогичные формулы для компонент импульса.
б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при каноническом преобразовании, задаваемом $A_{1}$, имеет вид
\[
\delta x=p_{x} \delta \varphi, \quad \delta y=-p_{y} \delta \varphi, \quad \delta p_{x}=-x \delta \varphi, \quad \delta p_{y}=y \delta \varphi,
\]

где $\delta \varphi=\frac{\lambda}{2 N}$. Это преобразование представляет собой поворот на угол $+\delta \varphi$ в плоскости $x p_{x}$ и на угол $-\delta \varphi$ в плоскости $y p_{y}$. Поэтому
\[
\begin{aligned}
X & =x \cos \varphi+p_{x} \sin \varphi, & Y & =y \cos \varphi-p_{y} \sin \varphi, \\
P_{X} & =-x \sin \varphi+p_{x} \cos \varphi, & P_{Y} & =y \sin \varphi+p_{y} \cos \varphi .
\end{aligned}
\]

Аналогично $A_{2}\left(A_{3}\right)$ задает поворот на угол $\varphi(-\varphi)$ в плоскостях $x p_{y}$ и $y p_{x}$ ( $x y$ и $p_{x} p_{y}$ ) и $A_{4}$ – поворот на угол $4 \varphi$ в плоскостях $x p_{x}$ и $y p_{y}$.

Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является каноническим преобразованием. Например, поворот в плоскости $x p_{y}$ – не каноническое преобразование.

Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармонического осциллятора (функция Гамильтона $H=\frac{1}{2} A_{4}$ ) и движение частицы в плоскости $x y$ в произвольном поле, обладающем осевой симметрией, $U\left(x^{2}+y^{2}\right)$. В обоих случаях интегралами является момент импульса $2 A_{3}$, сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношению к поворотам вокруг оси $z$. Для осциллятора, кроме того, есть интегралы движения $A_{1}$ и $A_{2}$, сохранение которых связано со «скрытой» симметрией – инвариантностью функции Гамильтона относительно определенных поворотов в фазовом пространстве. В этом смысле осциллятор подобен частицу в трехмерном центральном поле, для которой есть три интеграла движения $M_{x, y, z}$.

Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому, что точка $\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right.$ ) в фазовом пространстве движется по замкнутой линии, в то время как для частицы в поле $U\left(x^{2}+y^{2}\right)$ фазовая траектория «заполняет» двумерную поверхность (см. [1], § 52).
Рис. 158
11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем с течением времени не меняется, в координатном пространстве происходит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системы изображалось прямоугольником $A B C D$ (рис. 158), то через время $t$, он перейдет в параллелограмм $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\left(A D=A^{\prime} D^{\prime}\right)$, причем расстояние по оси $x$ между точками $A^{\prime}$ и $C^{\prime}$ равно $\Delta x=\Delta x_{0}+\frac{\Delta p_{0}}{m} t$. Со временем этот параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.

Рис. 159
б) Если в точке $x=L$ расположена стенка, то выделенный фазовый объем уже не будет параллелограммом $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, а будет иметь вид, изображенный на рис. $159, a$. С течением времени первоначальный фазовый объем $A B C D$ превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников $0 \leqslant x \leqslant L$, $p_{0} \leqslant p \leqslant p_{0}+\Delta p_{0}$ и $0 \leqslant x \leqslant L,-p_{0}-\Delta p_{0} \leqslant p \leqslant-p_{0}$ (рис. $159, \sigma$ ).
в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией $E$ и частотой $\omega-$ эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{p^{2}}{b^{2}}=1$ с полуосями $a=\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^{2}}}, b=\sqrt{\frac{2 E}{m}}$. Все точки выделенного фазового объема движутся по таким эллипсам и через период $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенного «объема» по координатам $\Delta x$ и импульсам $\Delta p$ пульсируют с частотой $2 \omega$. В отличие от предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазового объема по всей доступной области фазового пространства.
г) Для осциллятора с трением (сила трения $F_{\text {тр }}=-2 m \lambda \dot{x}$ )
\[
\begin{array}{c}
x=a e^{-\lambda t} \cos (\omega t+\varphi), \\
p=m \dot{x}=-m a e^{-\lambda t}[\omega \sin (\omega t+\varphi)+\lambda \cos (\omega t+\varphi)],
\end{array}
\]

и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет собой спираль
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\left(\frac{p+\omega \lambda x}{\operatorname{ma\omega }}\right)^{2}=e^{-2 \lambda t} .
\]

Выделенный фазовый объем с течением времени уменьшается до нуля.

Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является канонической – для полного ее описания необходимо задавать не только функцию Лагранжа $L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}-\omega_{0}^{2} x^{2}\right)$, но и диссипативную функцию $F=\frac{1}{2} m \lambda \dot{x}^{2}$ (см. [1], § 25).
Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжа» в виде
\[
L^{\prime}=\frac{m}{2} e^{2 \lambda t}\left(\dot{x}^{2}-\omega_{0}^{2} x^{2}\right)
\]
(ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных $x$ и $p^{\prime}=\frac{\partial L^{\prime}}{\partial \dot{x}}$ выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом случае обобщенный импульс $p^{\prime}=m x e^{2 \lambda t}$ не имеет, как прежде, простого физического смысла.
д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделенная область фазового пространства с течением времени растягивается, «заполняя» всю доступную область фазового пространства (ср. с пунктом б)).

Пусть вначале выделена область $x_{0}<x<x_{0}+\Delta x, p_{0}<p<p_{0}+\Delta p$. Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают на одпо колебапие больше (или меньше), чем самые медленные:
\[
\tau \sim \frac{T^{2}}{\Delta T}, \quad \Delta T \sim \frac{d T}{d E} \Delta E, \quad \Delta E \sim \frac{p_{0} \Delta p}{m}+\left|\frac{d U\left(x_{0}\right)}{d x}\right| \Delta x .
\]
е) Пусть имеется $N$ частиц таких, что точки фазового пространства, изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью $N w\left(x_{0}, p_{0}, 0\right)$ и перемещаются согласно уравнениям
\[
\begin{array}{l}
x=f\left(x_{0}, p_{0}, t\right), \\
p=\varphi\left(x_{0}, p_{0}, t\right) .
\end{array}
\]

Здесь
\[
f\left(x_{0}, p_{0}, t\right)=x_{0}+\frac{p_{0}}{m} t, \quad \varphi\left(x_{0}, p_{0}, t\right)=p_{0}
\]

для свободного движения и
\[
\begin{array}{l}
f\left(x_{0}, p_{0}, t\right)=x_{0} \cos \omega t+\frac{p_{0}}{m \omega} \sin \omega t \\
\varphi\left(x_{0}, p_{0}, t\right)=-m \omega x_{0} \sin \omega t+p_{0} \cos \omega t
\end{array}
\]

для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной области фазового пространства, все точки которой движутся по такому же закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового объема $d x d p$ имеем
\[
N w(x, p, t) d x d p=N w\left(x_{0}, p_{0}, 0\right) d x_{0} d p_{0} .
\]

Согласно теореме Лиувилля (см. [1], § 46)
$\frac{\partial(x, p)}{\partial\left(x_{0}, p_{0}\right)}=1$, поэтому
\[
w(x, p, t)=w\left(x_{0}, p_{0}, 0\right) .
\]

Выражая из (1) $x_{0}$ и $p_{0}$
\[
x_{0}=f(x, p,-t), \quad p_{0}=\varphi(x, p,-t)
\]

и подставляя в (2), получаем
Рис. 160
\[
w(x, p, t)=w(f(x, p,-t), \varphi(x, p,-t), 0),
\]

или
\[
w(x, p, t)=\frac{\exp \left[-\alpha(x-X)^{2}-\beta(x-X)(p-P)-\gamma(p-P)^{2}\right]}{2 \pi \Delta p_{0} \Delta x_{0}},
\]

где $X=f\left(X_{0}, P_{0}, t\right), P=\varphi\left(X_{0}, P_{0}, t\right)$, а коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma$ для свободных частиц
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\frac{1}{2 \Delta x_{0}^{2}}, \quad \beta=-\frac{t}{m \Delta x_{0}^{2}}, \\
\gamma=\frac{1}{2 \Delta p_{0}^{2}}+\frac{t^{2}}{2 m^{2} \Delta x_{0}^{2}},
\end{array}
\]

и для осцилляторов
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\frac{\cos ^{2} \omega t}{2 \Delta x_{0}^{2}}+\frac{m^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \omega t}{2 \Delta p_{0}^{2}}, \\
\beta=\frac{\cos ^{2} \omega t}{2 \Delta p_{0}^{2}}+\frac{\sin ^{2} \omega t}{2 m^{2} \omega^{2} \Delta x_{0}^{2}}, \\
\gamma=\sin \omega t \cos \omega t\left(\frac{m \omega}{\Delta p_{0}^{2}}-\frac{1}{m \omega \Delta x_{0}^{2}}\right) .
\end{array}
\]

На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового пространства, в которых $2 \pi \Delta x_{0} \Delta p_{0} w(x, p, t) \geqslant \frac{1}{2}$ (для свободных частиц и осцилляторов соответственно). Эти области представляют собой эллипсы, деформирующиеся со временем’. Центры их перемешаются по такому же закону (1), как и частицы. В случае свободного движения этот эллипс неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов – лишь пульсирует. Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже не являются независимыми ( $w(x, p, t)$ не разбивается на два множителя вида $\left.w_{1}(x, t) w_{2}(p, t)\right)$.

Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам (независимо от значений импульса)
\[
\begin{array}{l}
w(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} w(x, p, t) d p \\
\widetilde{w}(p, t)=\int_{-\infty}^{\infty} w(x, p, t) d x .
\end{array}
\]

Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в $X$ и $P$ соответственно:
\[
\begin{array}{l}
w(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \Delta x} e^{-\frac{(x-X)^{2}}{2 \Delta x^{2}}}, \\
\widetilde{w}(p, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \Delta p} e^{-\frac{(p-P)^{2}}{2 \Delta p^{2}}},
\end{array}
\]

где для свободного движения
\[
\Delta x^{2}=\Delta x_{0}^{2}+\frac{\Delta p_{0}^{2}}{m^{2}} t^{2}, \quad \Delta p^{2}=\Delta p_{0}^{2},
\]

а для осцилляторов
\[
\begin{array}{l}
\Delta x^{2}=\Delta x_{0}^{2} \cos ^{2} \omega t+\frac{\Delta p_{0}^{2}}{m^{2} \omega^{2}} \sin ^{2} \omega t, \\
\Delta p^{2}=\Delta p_{0}^{2} \cos ^{2} \omega t+m^{2} \omega^{2} \Delta x_{0}^{2} \sin ^{2} \omega t .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Если масштабы по осям $p$ и $x$ в фазовом пространстве гармонических осцилляторов выбраны так, что $m \omega=1$, то фазовые траектории представляют собой окружности, а выделенная область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не деформируясь.

11.25. a) $\left\{a^{*}, a\right\}=-i, H_{0}=\omega a^{*} a$.
б) Переменные $P$ и $Q$ канонические, поскольку $\{P, Q\}=1$. Из равенства $d F=p(x, Q) d x-P(x, Q) d Q$ определяется производящая функция
\[
F(x, Q, t)=\frac{i}{2} m \omega x^{2}+\frac{i}{2} Q^{2} e^{-2 i \omega t}-i \sqrt{2 m \omega} x Q e^{-i \omega t} .
\]

Новая функция Гамильтона
\[
H_{0}^{\prime}(Q, P)=H_{0}+\frac{\partial F(x, Q, t)}{\partial t}=0 .
\]
в) Выделив в
\[
x^{4}=\left(\frac{Q e^{-i \omega t}-i P e^{i \omega t}}{\sqrt{2 m \omega}}\right)^{4}
\]

слагаемое $-3 Q^{2} P^{2} / 2 m^{2} \omega^{2}$, не содержащее времени, получаем усредненную функцию Гамильтона
\[
\left\langle H^{\prime}(Q, P)\right\rangle=-\frac{3 \beta}{8 m \omega^{2}} Q^{2} P^{2} .
\]

В дальнейшем скобки \langle\rangle , обозначающие усреднение, опускаем. Очевидно, что $-i Q P=\left|Q_{0}\right|^{2}=|a|^{2}-$ интеграл движения. Уравнения Гамильтона
\[
\dot{Q}=-i \varepsilon Q, \quad \dot{P}=i \varepsilon P, \quad \varepsilon=\frac{3 \beta\left|Q_{0}\right|^{2}}{4 m \omega^{2}},
\]

откуда
\[
Q=Q_{0} e^{-i \varepsilon t}, \quad P=i Q_{0}^{*} e^{i \varepsilon t},
\]

так что
\[
x=\frac{1}{\sqrt{2 m \omega}}\left(Q_{0} e^{-i \omega^{\prime} t}+Q_{0}^{*} e^{i \omega^{\prime} t}\right)=x_{0} \cos \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right) .
\]

Влияние добавки $\delta U$ сводится к изменению частоты
\[
\omega^{\prime}=\omega+\frac{3 \beta\left|Q_{0}\right|^{2}}{4 m \omega^{2}}=\omega+\frac{3 \beta x_{0}^{2}}{8 \omega}
\]
(ср. с задачей 8.1).

г) Новая функция Гамильтона
\[
H^{\prime}(Q, P, t)=m^{2} \omega^{2} \alpha\left(\frac{Q e^{-i \omega t}-i P e^{i \omega t}}{\sqrt{2 m \omega}}\right)^{4} \frac{e^{4 i \omega t}+e^{-4 i \omega t}}{2}
\]

после усреднения сводится к
\[
\left\langle H^{\prime}(Q, P)\right\rangle=\frac{\alpha}{8}\left(Q^{4}+P^{4}\right) .
\]

Для переменной $\xi=-i Q P=|a|^{2}$, пропорциональной квадрату амплитуды колебании, уравнение движения
\[
\dot{\xi}=\left\{\left\langle H^{\prime}\right\rangle, \xi\right\}=-\frac{i \alpha}{2}\left(P^{4}-Q^{4}\right) .
\]

Учитывая, что
\[
\frac{\alpha}{4}\left(Q^{4}+P^{4}\right)=A=\text { const },
\]

находим
\[
\dot{\xi}^{2}=-4 A^{2}+\alpha^{2} \dot{\xi}^{4} .
\]

Таким образом, $\xi$ изменяется так же, как координата частицы (с массой, равной единице) в поле $V(\xi)=-\frac{\alpha^{2}}{2} \xi^{4}$ при энергии $-2 A^{2}$ (ср. с задачей 1.2). Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так называемый взрывной рост амплитуды).

Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справедливо только при $|\dot{\xi}| \ll \omega \xi$, т. е. при $\xi \ll \omega / \alpha$.
11.26. Вводим новые переменные:
\[
a=\frac{m \omega x+i p_{x}}{\sqrt{2 m \omega}} e^{i \omega t}, \quad b=\frac{m \omega_{2} y+i p_{y}}{\sqrt{2 m \omega_{2}}} e^{i \omega_{2} t}, \quad c=\frac{m \omega_{3} z+i p_{z}}{\sqrt{2 m \omega_{3}}} e^{i \omega_{3} t},
\]
$\left(\omega=\omega_{2}+\omega_{3}\right)$ и канонические сопряженные им импульсы $i a^{*}, i b^{*}, i c^{*}$. Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам $2 \pi / \omega_{2,3}$,
\[
\begin{array}{c}
\left\langle H^{\prime}\right\rangle=\varepsilon|a|^{2}+\eta\left(a^{*} b c+a b^{*} c^{*}\right), \\
\varepsilon=\omega_{1}-\omega, \quad \eta=\frac{\alpha}{4 \sqrt{2 m \omega \omega_{2} \omega_{3}}} .
\end{array}
\]

Уравнения движения
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}=-i \varepsilon a-i \eta b c, \\
\dot{b}=-i \eta a c^{*}, \\
\dot{c}=-i \eta a b^{*}
\end{array}
\]

имеют интегралы ${ }^{1}$
\[
\left\langle H^{\prime}\right\rangle=A, \quad|a|^{2}+|b|^{2}=B, \quad|a|^{2}+|c|^{2}=C .
\]

Уравнение
\[
\frac{d}{d t}|a|^{2}=i \eta\left(a b^{*} c^{*}-a^{*} b c\right)
\]

можно представить в виде, удобном для качественного исследования:
\[
\dot{\xi}^{2}+V(\xi)=0,
\]

где $\xi=|a|^{2}$,
\[
V(\xi)=(A-\varepsilon \xi)^{2}-4 \eta^{2} \xi(B-\xi)(C-\xi) .
\]

В начальный момент $c=0$, поэтому $A=\varepsilon C, B<C$ и
\[
V(\xi)=(C-\xi)^{2}\left(\varepsilon^{2}-4 \xi\right)-4 \eta^{2} \xi(C-B)(C-\xi) .
\]

Графики $V(\xi)$ для случаев $\varepsilon^{2}<4 \eta^{2} C$ и $\varepsilon^{2}>4 \eta^{2} C$ приведены на рис. $162, a$ и б.

В первом случае $\xi$ испытывает колебания, так что происходят биения. Энергия периодически перекачивается от осциллятора $x$ к осцилляторам $y, z$ и обратно. Во втором случае (т.е. при большой «расстройке» $\varepsilon$ и малых начальных амплитудах) колебания $y$ и $z$ не возбуждаются.
Подробно об этой задаче см. [22].
11.27. a) $\left\langle H^{\prime}\right\rangle=\varepsilon|a|^{2}+\mu|a|^{4}+\eta\left(a^{2}+a^{* 2}\right)$, где
\[
\varepsilon=\omega-\gamma, \quad \mu=\frac{3 \beta}{8 m \omega^{2}}, \quad \eta=\frac{h \omega}{8} .
\]
Рис. 162
${ }^{1}$ Интегралы $B$ и $C$ называют интегралами Мэнли-Роу.

б) Уравнения движения
\[
\begin{aligned}
-\dot{a} & =i\left(\varepsilon+2 \mu|a|^{2}\right) a+2 i \eta a^{*}, \\
\dot{a}^{*} & =i\left(\varepsilon+2 \mu|a|^{2}\right) a^{*}+2 i \eta a
\end{aligned}
\]

имеют постоянные решения
\[
a_{0}=0, \quad\left|a_{1}\right|^{2}=\frac{2 \eta-\varepsilon}{2 \mu} .
\]

Для $\xi=|a|^{2}$ получаем уравнение
\[
\dot{\xi}=-2 i \eta\left(a^{* 2}-a^{2}\right) .
\]

Учитывая, что $\left\langle H^{\prime}\right\rangle=\varepsilon \xi+\mu \xi^{2}+\eta\left(a^{2}+a^{* 2}\right)=C=$ const, получаем
\[
\dot{\xi}^{2}+V(\xi)=0,
\]

где $V(\xi)=4 \eta^{2}\left[\left(a^{* 2}+a^{2}\right)^{2}-4|a|^{4}\right]=4\left(C-\varepsilon \xi-\mu \xi^{2}\right)^{2}-16 \eta^{2} \xi^{2}$. В интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина $C$ мала. В области резонанса $|\varepsilon|<2 \eta$ график $V(\xi)$ (рис. 163) позволяет заметить, что $\xi$ испытывает колебания в пределах от нуля до $\xi_{m} \approx 2\left|a_{1}\right|^{2}$.
Таким образом, переход к установившемуся режиму ко.ебании $\xi=\left|a_{1}\right|^{2}$ (ср. с задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-то неучтенным нами механизмом, например трением, и быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот переходной процесс имеет характер биений даже при нулевой «расстройке», $\varepsilon=0$, в отличие от переходного процесса в линейных колебаниях (см. задачу 5.11).
11.28. Усредненная функция Гамильтона
\[
\left\langle H^{\prime}(Q, P, t)\right\rangle=H^{\prime}(Q, P)=\frac{m \omega^{2}}{2}\left(\varepsilon-\frac{h}{2}\right) Q^{2}+\frac{1}{2 m}\left(\varepsilon+\frac{h}{2}\right) P^{2} .
\]

Величина $\sqrt{Q^{2}+P^{2} / m^{2} \omega^{2}}$ представляет собой амплитуду колебания. Переменные $Q$ и $P$ мало изменяются за период $2 \pi / \gamma$. Это легко видеть из уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры $\varepsilon$ и $h$.

Рис. 164
На плоскости $Q, P$ точка, изображающая состояние системы, движется по линии $H^{\prime}(Q, P)=C=$ const. На рис. 164, $a$ и $б$ приведены семейства таких линий для области параметрического резонанса $|\varepsilon|<h / 2$ и ее окрестности $|\varepsilon|>h / 2$. В первом случае амплитуда в конечном счете неограниченно растет, во втором – испытывает биения (ср. с задачей 8.8).
11.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразование – каноническое.

При $V=0$ движение $x$-осциллятора изображается движением точки по окружности в плоскости $x, p_{x} / m \omega_{1}$ с частотой $\omega_{1}$. Радиус этой окружности
\[
a=\sqrt{x^{2}+\frac{p_{x}^{2}}{m^{2} \omega_{1}^{2}}}
\]

совпадает с амплитудой колебаний по оси $x$. В плоскости $X, P_{x} / m \omega_{1}$ это будет неподвижная точка $X=x(0), P_{x}=p_{x}(0)$. Таким образом, новые переменные при $V=0$ не зависят от времени и потому $H_{0}^{\prime}=0 .{ }^{1}$

При $V
eq 0$ эти переменные зависят от времени, но так как новая функция Гамильтона $H^{\prime}=H_{0}^{\prime}+V=V$ мала, то усредненное движение в
${ }^{1}$ Из $_{3}$ уравнений Гамильтона для новых переменных (например, $\dot{X}=\partial H_{0}^{\prime} / \partial P_{x}=0$ ) следует, что $H_{0}^{\prime}$ не зависит от них и потому $H_{0}^{\prime}=f(t)$, где $f(t)$ – произвольная функция времени, которую мы, не теряя общности, можем положить равной нулю.

этих переменных медленное. Действительно, после усреднения
\[
\left\langle H^{\prime}\right\rangle=-\frac{\beta}{4 \omega_{1} \omega_{2}}\left(\omega_{1} X P_{y}-\omega_{2} Y P_{x}\right),
\]

и из уравнений Гамильтона
\[
\dot{X}=\frac{\beta}{4 \omega_{1}} Y, \quad \dot{Y}=-\frac{\beta}{4 \omega_{2}} X
\]

легко получить
\[
X=A \cos (\gamma t+\varphi), \quad Y=-\sqrt{\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}} A \sin (\gamma t+\varphi), \quad \gamma=\frac{\beta}{4 \sqrt{\omega_{1} \omega_{2}}} \ll \omega_{1,2} .
\]

Аналогично для новых импульсов имеем
\[
P_{x}=m \omega_{1} B \cos (\gamma t+\psi), \quad P_{y}=-m \sqrt{\omega_{1} \omega_{2}} B \sin (\gamma t+\psi) .
\]

Таким образом, в плоскости $X, P_{x} / m \omega_{1}$ происходит медленное (с частотой $\gamma$ ) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси $x$ с медленно изменяющейся амплитудой
\[
a(t)=\sqrt{X^{2}+\left(P_{x} / m \omega_{1}\right)^{2}}=\sqrt{A^{2} \cos ^{2}(\gamma t+\varphi)+B^{2} \cos ^{2}(\gamma t+\psi)},
\]
т. е. биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси $y$ равна
\[
b(t)=\sqrt{\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}} \sqrt{A^{2} \sin ^{2}(\gamma t+\varphi)+B^{2} \sin ^{2}(\gamma t+\psi)} .
\]

Отсюда видно, что энергии $x$ – и $y$-осцилляторов $E_{x}=\frac{1}{2} m \omega_{1}^{2} a^{2}(t)$ и $E_{y}=$ $=\frac{1}{2} m \omega_{2}^{2} b^{2}(t)$ и их сумма $E=E_{x}+E_{y}$ не сохраняются. Однако сохраняется величина, которую можно назвать по.тным числом квантов,
\[
n=\frac{E_{x}}{\hbar \omega_{1}}+\frac{E_{y}}{\hbar \omega_{2}}=\frac{m \omega_{1}}{2 \hbar} C^{2},
\]

где $C=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$, а $\hbar-$ постоянная Планка.
В частности, при $\varphi=\psi=0$ амплитуда биений доходит до нуля
\[
\begin{array}{c}
x=X \cos \omega_{1} t+\frac{P_{x}}{m \omega_{1}} \sin \omega_{1} t=C \cos \gamma t \cos \left(\omega_{1} t+\varphi_{0}\right), \\
y=-C \sqrt{\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}} \sin \gamma t \cos \left(\omega_{2} t+\varphi_{0}\right), \quad \operatorname{tg} \varphi_{0}=-\frac{B}{A},
\end{array}
\]

а энергия колеблется с частотой $2 \gamma$ :
\[
E=\frac{1}{2} m \omega_{1} C^{2}\left(\omega_{1} \cos ^{2} \gamma t+\omega_{2} \sin ^{2} \gamma t\right) .
\]

Интересно отметить, что даже слабая связь $|V| \ll H_{0}=E$ приводит к большим изменениям энергии $\Delta E \sim E$. Так при $\varphi=\psi=0$ и $\omega_{1} \gtrsim \omega_{2}$ имеем
\[
\Delta E=\frac{1}{2} m \omega_{1}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) C^{2} \sim\langle E\rangle=\frac{1}{4} m \omega_{1}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) C^{2} .
\]

Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех осцилляторах со взаимодействием $\frac{1}{2} m \alpha x y z$ в пределе настолько большой энергии $z$-осциллятора $E_{z} \gg E_{x, y}$, что биения $x$ – и $y$-осцилляторов почти не сказываются на его движении
\[
z=z_{0} \sin \omega_{3} t, \quad \omega_{3}=\omega_{1}-\omega_{2} .
\]

При этом $\beta=\frac{1}{2} \alpha z_{0}$, а $n \hbar$ совпадает с одним из интегралов Мэнли-Роу (с интегралом $B$ в обозначениях задачи 11.26). Третий осциллятор играет роль большого резервуара энергии, с которым $x$ – и $y$-осцилляторы обмениваются энергией.
б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со временем
\[
\begin{array}{c}
X=A e^{\gamma t}+B e^{-\gamma t}, \quad Y=\sqrt{\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}}\left(A e^{\gamma t}-B e^{-\gamma t}\right), \\
P_{x}=m \omega_{1}\left(D e^{\gamma t}+F e^{-\gamma t}\right), \quad P_{y}=-m \sqrt{\omega_{1} \omega_{2}}\left(D e^{\gamma t}-F e^{-\gamma t}\right),
\end{array}
\]

что соответствует экспоненциально растущим амплитудам колебаний по осям $x$ и $y$. В этом случае сохраняется разность числа квантов
\[
\frac{E_{x}}{\hbar \omega_{1}}-\frac{E_{y}}{\hbar \omega_{2}}=\frac{2 m \omega_{1}}{\hbar}(A B+D F) .
\]