2.1. Для исследования движения частицы используем законы сохранения энергии и момента импульса:
$$\begin{array}{c}\frac{m{\dot{\mathbf{r}}}^2}{2}+U(r)=E,\\ m[\mathbf{r}\dot{\mathbf{r}}]=\mathbf{M}.\end{array}$$

Согласно (2) траектория является плоской кривой. Введя в ее плоскости полярные координаты (рис. 75), получаем
$$\begin{array}{c}\frac{m{\dot{r}}^2}{2}+\frac{m{r}^2{\dot{\phi }}^2}{2}+U(r)=E,\\ m{r}^2\dot{\phi }=M.\end{array}$$

Исключая из (3) $\dot{\phi }$ с помощью (4), находим
$$\frac{m{\dot{r}}^2}{2}+U_{\text{э中ф }}(r)=E,$$

где
$$U_{эф\varphi }(r)=U(r)+\frac{M^2}{2m{r}^2}.$$

Таким образом, радиальное движение можно рассматривать как одномерное движение в поле $U_{\text{эфф }}(r)$.

Для качественного исследования характера движения используем графики
$$U_{\text{эфф }}(r)=-\frac{\alpha }{r}-\frac{\gamma }{r^3}+\frac{M^2}{2m{r}^2}$$

при различных значениях $M$ (рис. 76).

Рис. 76 $=\frac{M^2\mp \sqrt{M^4-12\alpha \gamma m^2}}{2m\alpha })$. Максимальное значение $U_{эф\varphi }\left(r_1\right)=U_{max}$ положительно при $M^4>16\alpha \gamma m^2$ (рис. 76,a) и отрицательно при $12\alpha \gamma m^2<M^4<16\alpha \gamma m^2$ (рис. 76,б); в обоих этих случаях $U_{эфф}\left(r_2\right)=$ $=U_{min}<0$.
Если же $M^4<12\alpha \gamma m^2$, то функция $U_{\text{эфф }}(r)$ монотонна (рис. 76,8 ).
Рассмотрим подробнее случай а). Если $E>U_{max}$, то частица, летящая из бесконечности, падает в центр поля. При этом величина $\dot{\phi }$, согласно (4), возрастает. Этих соображений достаточно для того, чтобы грубо изобразить траекторию частицы (рис. $77,a$ ).

На больших расстояниях, таких, что $\frac{\gamma }{r^3}\ll \frac{\alpha }{r}$ главную роль в $U(r)$ играет член $-\frac{\alpha }{r}$ и траектория мало отличается от гиперболы. (О виде траектории при $r\to 0$ см. задачу 2.8.)

Если энергия $E$ близка к $U_{max}$, то интервал значений $r$, близких к $r_1$, частица проходит очень медленно. Вращение же радиуса-вектора продолжается своим чередом со скоростью $\dot{\phi }\approx \frac{M}{m{r}_1^2}$, так что частица может сделать много оборотов вокруг центра, прежде чем пройдет этот интервал (рис. 77,б). Если $E=U_{max}$, то
Рис. 77
частица в своем радиальном движении асимптотически приближается из бесконечности к точке $r=r_1$ (ср. с задачей 1.3). Траектория же представляет собой спираль, приближающуюся к окружности радиуса $r_1$ с центром в $O$ (рис. 78, кривая $a$ ). Если частица с такой энергией удаляется от центра в области $r<r_1$, то ее траектория также приближается к этой окружности, но изнутри (рис. 78 , кривая $b$ ). Наконец, при $E=U_{max}$ возможно движение по окружности $r=r_1$.

Любое изменение величин $E$ или $M$ переводит частицу на траекторию, удаляющуюся от этой окружности, т. е. движение с $r=r_1$ неустойчиво.

Если $0<E<U_{max}$, то частица, летевшая из бесконечности, отражается от потенциального барьера $U_{\text{эфф }}(r)$ и вновь удаляется на бесконечность. Примерный вид траекторий в этом случае показан на рис. 79
Рис. 78
(кривые $a$ и $b$ ). Если энергия близка к $U_{max}$, то частица сделает много оборотов вокруг центра, прежде чем радиальная скорость $\dot{r}$ изменит знак. Чем ближе энергия к нулю (при фиксированном $M$ это соответствует увеличению прицельного параметра), тем менее искривлена траектория частицы. При $E<U_{max}$ возможно также падение в центр поля частицы, которая движется в области $r<a$. Траектория в этом случае изображена на рис. 80 .

При $U_{min}<E<0$ частица может также совершать радиальные колебания в области $c⩽r⩽d$ (рис. 81). Если энергия близка к нулю, то размах радиальных колебаний велик, период их тоже может стать большим. При энергии, близкой к $U_{min}$, траектория близка к окружности радиуса $r_2$, причем угол поворота радиуса-вектора за период радиального колебания зависит от величин $\alpha ,\gamma ,M$ (ср. с задачей 5.4). При $E=U_{min}$ частица движется по указанной окружности.

Подобным же образом можно исследовать движение частицы в остальных случаях.

Рис. 79
Рис. 80
Рис. 81
Какими особенностями может обладать траектория, если $M^4=$ $=12\alpha \gamma m^2$ ?

Закон движения и уравнение траектории можно найти, используя уравнения (4), (5). Из (5) получаем
$$\dot{r}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}[E-U_{i\varphi \varphi }(r)]},$$

откуда
$$t=\pm \sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dr}{\sqrt{E-U_{\text{эфф }}(r)}}+C.$$

Исключив $dt$ из (7) с помощью (4), найдем уравнение траектории
$$\phi =\pm \frac{M}{\sqrt{2m}}\int \frac{dr}{r^2\sqrt{E-U_{\text{эфф }}(r)}}+C^{\prime }.$$

Рассмотрим случай $M^4>12\alpha \gamma m^2$. Если частица движется к центру, то в (7) (а значит, и в (8)) следует выбрать знак «минус». Пусть $r=r_0$ при $t=0$, тогда (8) можно переписать в виде
$$t=-\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_{r_0}^r\frac{dr}{\sqrt{E-U_{эф\varphi }(r)}}.$$

Равенство (10) определяет в неявном виде зависимость $r$ от времени. Если траектория проходит через точку $r=r_0,\phi ={\phi }_0$, то уравнение траектории (с учетом выбранного знака) приобретает вид
$$\phi =-M{\int }_{r_0}^r\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_0,$$

где
$$\left|p_r\right|=\sqrt{2m[E-U_{\text{эфф }}(r)]}.$$

В частности, для частицы, скорость которой на бесконечности составляет с осью $x$ угол $\psi$, нужно положить $r_0=\mathrm{\infty },{\phi }_0=\pi -\psi$.

Если $E>U_{max}$, то уравнения (10) и (11) полностью определяют закон движения и траекторию частицы.

Если же $0<E<U_{max}$, то эти уравнения отвечают только участку $AB$ траектории (рис. 79 , кривая $a$ ). В точке $B$ радиальная компонента скорости $\dot{r}$ обращается в нуль, а затем меняет знак. Поэтому участок траектории $BC$ описывается уравнением (9) со знаком «плюс», причем постоянную нужно определять заново. Удобно записать (9) в виде
$$\phi =M{\int }_{r_{\min }}^r\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+C^{\prime }$$

Нижний предел интеграла мы могли выбрать произвольно, пока не определена постоянная $C^{\prime }$. Согласно (12) имеем
$$C^{\prime }=\phi \left(r_{min}\right).$$

Определяя $\phi \left(r_{min}\right)$ из (11), получаем уравнение участка траектории $BC$ :
$$\phi =({\int }_{r_{\text{min }}}^r-{\int }_{r_0}^{r_{\text{min }}})\frac{Mdr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_0.$$

Подобным же образом определяем закон движения на участке $BC$
$$t=({\int }_{r_{\text{min }}}^r-{\int }_{r_0}^{r_{\text{min }}})\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dr}{\sqrt{E-U_{\text{эфф }}(r)}}.$$

Если $U_{min}<E<0,a<r_0<b,\dot{r}(0)<0,{\phi |}_{t=0}={\phi }_0$, то уравнение (11) описывает участок траектории $AB$ (рис. 81). Участок $BC$ описывается уравнением
$$\phi =M{\int }_a^r\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_1,$$

где угол ${\phi }_1$ можно получить, положив в (11) $r=a$. Уравнение участка $CD$
$$\phi =-M{\int }_b^r\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_2$$

где ${\phi }_2$ определяется из (16) при $r=b$ и т. д. Подставляя в (16) и (17) значения ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$, представим уравнения участков траектории в виде
$$\begin{array}{c}\phi =M({\int }_a^r-{\int }_{r_0}^a)\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_0\\ \phi =M({\int }_b^r+{\int }_a^b-{\int }_{r_0}^a)\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_0=M(-{\int }_a^r+2{\int }_a^b-{\int }_{r_0}^a)\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_0\end{array}$$

Нетрудно убедиться, что уравнение участка траектории, отвечающего $n$-му радиальному колебанию (считая участок $AB$ первым), имеет вид ${}^1$
$$\phi =M(\pm {\int }_a^r+2(n-1){\int }_a^b-{\int }_{r_0}^a)\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}+{\phi }_0.$$

В приведенных формулах предполагается, что угол $\phi$ изменяется непрерывно, ограничения $0⩽\phi <2\pi$ не вводятся. Данному значению $r$ соответствует бесконечно много значений $\phi$ (при различных $n$ и знаках в формуле (20)); $\phi$ есть многозначная функция $r$. Наоборот, зависимость $r(\phi )$ однозначна.

Аналогично можно выразить законы движения и уравнения траектории и в других случаях.
2.2. Вне сферы радиуса $R$ частица движется со скоростью $\sqrt{2E/m}$, а внутри — со скоростью $\sqrt{2(E+V)/m}$. В зависимости от соотношения $E$ и $M$ получаются различные виды траектории.

При $\frac{M^2}{2m{R}^2}-V<E<\frac{M^2}{2m{R}^2}$ частица либо движется внутри сферы, испытывая отражения на границе (рис. $82,a$ ), либо (если, кроме то-
${}^1$ Уравнение траектории (20) можно представить в виде
$$\begin{array}{c}\cos \gamma (\phi +\alpha )=\left(\gamma M{\int }_a^r\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}\right),\\ \text{ где }\pi {\gamma }^{-1}=M{\int }_a^b\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|},\alpha =M{\int }_{r_0}^a\frac{dr}{r^2\left|p_r\right|}-{\phi }_0.\end{array}$$

Рис. 82

го, $E>0$ ) может двигаться и вне сферы (траектория прямая, рис. 82,б). При $\frac{M^2}{2m{R}^2}<E$ имеет место преломление траектории (рис. 82, б).
Как выглядит траектория при $E=\frac{M^2}{2m{R}^2}-V$ ?
2.3. Для определения уравнения траектории используем формулы
$$\phi =\int \frac{Mdr}{r^2\sqrt{2m(E-U_{\text{эфф }})}},U_{эф\varphi }=U(r)+\frac{M^2}{2m{r}^2}.$$

В результате вычисления ${}^1$ получаем
$$r=\frac{p}{e\cos \gamma (\phi -\psi )-1},$$

где
$$\begin{array}{c}p=\frac{2}{\alpha }(\beta +\frac{M^2}{2m}),e=\sqrt{1+\frac{4E}{{\alpha }^2}(\beta +\frac{M^2}{2m})},\\ \frac{{}^1\text{ Интеграл, записанный в виде }}{1+\frac{2m\beta }{M^2}},E>0,\psi -\text{ произвольная постоянная. }\\ \frac{\tilde{M}}{M}\phi =\int \frac{\tilde{M}dr}{r^2\sqrt{2m(E-{\tilde{M}}^2/2m{r}^2-\alpha /r)}},\end{array}$$
${}^1$ Интеграл, записанный в виде

где ${\tilde{M}}^2=M^2+2m\beta$ сводится к соответствующему интегралу в задаче Кеплера (см. [1], § 15).

Траектория представляет собой кривую, получаемую из гиперболы с помощью уменьшения полярных углов в $\gamma$ раз (рис. 83). Постоянная $\psi$ определяет ориентацию траектории.

Направление асимптот определяется условием $r\to \mathrm{\infty }$, или $e\cos ({\phi }_{1,2}-\psi )=1$. Скорость отклоняется на угол
$$\pi -({\phi }_1-{\phi }_2)=\pi -\frac{2}{\gamma }\arccos \frac{1}{e}=\pi -\frac{2}{\gamma }\mathrm{arctg}\sqrt{\frac{4E}{{\alpha }^2}(\beta +\frac{M^2}{2m})}.$$

Рис. 85
Рис. 86
2.4. Полезно прежде всего исследовать характер движения с помощью графика $U_{\text{эфф }}(r)$. Для случая $\beta <M^2/2m$ этот график изображен на рис. 84. В этом случае возможно только инфинитное движение в области $r⩾r_m$, причем $E>0$. Уравнение траектории такое же, как в задаче 2.3 (уравнение (2)), а в равенствах (3) нужно заменить $\beta$ на $-\beta$. Основное отличие от траектории, найденной в задаче 2.3 , возникает вследствие того, что $\gamma <1$. Примерный вид траектории показан на рис. 85. (Точка перегиба $A$ определяется условием $dU/dr=0$, т. е. $r=2\beta /\alpha$.)
Для случая $\beta >M^2/2m$ график $U_{\text{эфф }}(r)$ приведен на рис. 86.

Если $E>U_{max}=\frac{{\alpha }^2}{4(\beta -M^2/2m)}$, то частица, летящая из бесконечности, падает в центр поля. Уравнение траектории и в этом случае можно получить из уравнения задачи 2.3. Для этого, кроме замены $\beta$ на $-\beta$ нужно заменить $\psi$ на $\psi +\pi /2\gamma$, а затем воспользоваться формулами
$$\sin ix=i\mathrm{sh}x,\sqrt{-x}=i\sqrt{x}.$$

В результате получим
$$\begin{array}{rl}r& =\frac{p^{\prime }}{e^{\prime }\mathrm{sh}{\gamma }^{\prime }(\phi -\psi )+1},\\ p^{\prime }=\frac{2}{\alpha }(\beta -\frac{M^2}{2m}),e^{\prime }& =\sqrt{\frac{4E}{{\alpha }^2}(\beta -\frac{M^2}{2m})-1},{\gamma }^{\prime }=\sqrt{\frac{2m\beta }{M^2}-1.}\end{array}$$

Траектория для этого случая изображена на рис. $87a$. Заметим, что при $r\to 0$ оказывается $\phi \to \mathrm{\infty }$. Это значит, что частица, падая в центр поля, делает вокруг него бесконечное число оборотов.
Рис. 87
Если $E<U_{max}$, то, согласно рис. 86, возможно движение либо в области $b⩽r<\mathrm{\infty }$ (рассеяние), либо в области $0<r⩽a$ (падение на центр). Уравнение траектории получаем, используя равенство $\cos ix=\mathrm{ch}x$ (а во втором случае еще и замену $\psi$ на $\psi +\pi /\gamma$ ):
$$r=\frac{p^{\prime }}{1\mp e^{\prime \prime }\mathrm{ch}{\gamma }^{\prime }(\phi -\psi )},e^{\prime \prime }=\sqrt{1-\frac{4E}{{\alpha }^2}(\beta -\frac{M^2}{2m})}.$$

В случае $E=U_{max}$ воспользоваться формулой (2) задачи 2.3 нельзя

(так как при ее выводе предполагалось $eeq0$ ) и нужно вновь брать интеграл (1). Получаем
T. e.
$$\begin{array}{c}r=\frac{p^{\prime }}{1+c\exp (-{\gamma }^{\prime }\phi )},\\ r=\frac{p^{\prime }}{1\pm \exp [-{\gamma }^{\prime }(\phi -\psi )]}\text{ или }r=p^{\prime }\end{array}$$

в зависимости от начального значения $r$. Траектория представляет собой либо спираль, начинающуюся на бесконечности или вблизи от центра и асимптотически приближающуюся к окружности радиуса $r=p^{\prime }$, либо саму эту окружность (рис. 87б).

Наконец, в случае $\beta =M^2/2m$ также проще вновь взять интеграл. В этом случае происходит рассеяние, а уравнение траектории
$$r=\frac{\alpha /E}{1-m{\alpha }^2(\phi -\psi {)}^2/2M^{2}E}.$$

Время падения частицы в центр поля определяем с помощью формулы
$$t=\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_0^r\frac{dr}{\sqrt{E-U_{эф\mathrm{\Phi }}}}.$$

Например, для случая, когда траектория имеет вид (2), время падения с расстояния $r$
$$\begin{array}{l}t=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{m}{2}}(\sqrt{E{r}^2-\alpha r-\beta -M^2/2m}-\sqrt{\beta -M^2/2m})+\\ +\frac{\alpha }{2E}\sqrt{\frac{m}{2E}}(\arcsin \frac{2Er/\alpha -1}{e^{\prime }}-\arcsin \frac{1}{e^{\prime }}).\end{array}$$
2.5. Уравнение траектории
$$r=\frac{p}{1+e\cos \gamma (\phi -\psi )}$$
( $p,e,\gamma$ определены в задаче 2.3). При $E<0$ движение финитное ${}^1$
$$T_r=\frac{\pi \alpha \sqrt{m}}{(2|E|{)}^{3/2}},\mathrm{\Delta }\phi =\frac{2\pi }{\gamma }{T}_{\phi }=\gamma T_r.$$
${}^1$ Период тот же, что и в поле $U_0=-\alpha /r$. Для определения $T_r$ достаточно заметить, что добавление к полю $U_0$ добавки $\beta /r^2$ сказывается на радиальном движении так же, как увеличение $M$. Период же $T_r$ в кулоновском поле $U_0$ от $M$ не зависит.

Траектория замкнутая, если $\gamma$ — рациональное число. На рис. 88 изображена траектория для $\gamma \approx 5$.
2.6. При $\beta <M^2/2m$
$$\begin{array}{ll}r=\frac{\tilde{p}}{1-\tilde{e}\cos \tilde{\gamma }(\phi -\psi )},& \tilde{p}=\frac{2}{\alpha }(\frac{M^2}{2m}-\beta ),\\ \tilde{\gamma }=\sqrt{1-\frac{2m\beta }{M^2}},& \tilde{e}=\sqrt{1+\frac{4E}{{\alpha }^2}(\frac{M^2}{2m}-\beta )};\end{array}$$

если $E<0$, то $\mathrm{\Delta }\phi =2\pi /\tilde{\gamma },T_{\phi }=\tilde{\gamma }{T}_r$ ( $T_r$ то же, что в
Рис. 88 задаче 2.5).
При $\beta >M^2/2m$ (в обозначениях задачи 2.4)
$$\begin{array}{l}r=\frac{p^{\prime }}{e^{\prime }\mathrm{sh}{\gamma }^{\prime }(\phi -\psi )-1},\text{ если }E>U_{max},\\ r=\frac{p^{\prime }}{e^{\prime \prime }\mathrm{ch}{\gamma }^{\prime }(\phi -\psi )-1},\text{ если }E<U_{max}.\end{array}$$
2.7. а) Финитное движение возможно, если функция $U_{\text{эфф }}(r)$ имеет минимум. Уравнение $U_{\text{эфф }}^{\prime }(r)=0$ приводится к виду $f(x)=M^2\varkappa /\alpha m$, где $f(x)=x(x+1)e^{-x},x=\varkappa r$. С помощью графика $f(x)$ легко убедиться, что это уравнение имеет корни только при условии, что $M^2\varkappa /\alpha m$ меньше максимального (при $x>0$ ) значения $f(x)$.

Последнее равно $(2+\sqrt{5})\exp (-\frac{1+\sqrt{5}}{2})\approx 0,84$. Итак, финитное движение возможно, если $M^2<0,84\alpha \mathrm{m}/\varkappa$.
б) Финитное движение возможно, при $M^2<8\mathrm{mV}/{\mathrm{e}}^2{\varkappa }^2$.
2.8. В уравнении траектории (см. формулу (1) задачи 2.3) при малых $r$ можсм прснсбрсчь величиной $E$ (при $n=2$ ), а при $n>2$ — также и членом $M^2/2m{r}^2$. Получаем (рис. 89 )
$$\begin{array}{ll}\phi =-\frac{M\ln \left(r/r_0\right)}{\sqrt{2m\alpha -M^2}}+{\phi }_0& \text{ при }n=2,\\ \phi =\frac{2m{r}^{-1+n/2}}{\sqrt{2m\alpha }(n-2)}+C& \text{ при }n>2.\end{array}$$

Рис. 89

Число оборотов оказывается бесконечным только при $n=2$.
Время падения в центр конечно, поскольку радиальная скорость при приближении к центру возрастает.
2.9. Число оборотов частицы вокруг центра бесконечно только в случае б) при $E=0,n=2$.
2.10. Время падения равно $\pi \sqrt{m{R}^3/8\alpha }$.
2.11. Относительное движение характеризуется моментом $M=mv\rho$ и энергией $E=\frac{m{v}^2}{2}$, где $m=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}-$ приведенная масса. Искомое расстояние определяется условием $U_{\text{эфф }}\left(r_{min}\right)=E$. Простой ответ может быть получен при $n=1,2,4$.
2.12. Траектории частиц:
$$\frac{m}{m_{1,2}}\frac{p}{r_{1,2}}=1\pm e\cos \phi ,$$

где
$$m=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2},p=\frac{M^2}{m\alpha },e=\sqrt{1+\frac{2E{M}^2}{m{\alpha }^2}};$$
$E$ и $M$ — полные энергия и момент системы. Частицы движутся по подобным коническим сечениям с общим фокусом, причем радиусы-векторы частиц в любой момент направлены противоположно (рис. 90).
2.13. Как легко видеть на рис. 91 ,
$$OS=\rho (\mathrm{ctg}{\phi }_0-\mathrm{ctg}2{\phi }_0).$$

Здесь
$${\phi }_0=\rho {\int }_{r_{min}}^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{1-U(r)/E-{\rho }^2/r^2}}.$$

При $\rho \to 0$
$${\phi }_0=\rho {\int }_{r_{\text{tini }}}^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{1-U/E}}-2{\rho }^3{E}^{3/2}\frac{\partial }{\partial E}{\int }_{r_{\text{min }}}^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^4\sqrt{E-U}}+\dots$$
(ср. с задачей 2.23), так что
$$OS={\left(2{\int }_{r_{min}}^{\mathrm{\infty }}\frac{dr}{r^2\sqrt{1-U/E}}\right)}^{-1}+O\left({\rho }^2\right)\dots$$

Точка $S$ — мнимый фокус пучка рассеянных частиц, так как с точностью до первого порядка по $\rho$ включительно положение точки пересечения асимптоты траектории с осью пучка не зависит от $\rho$.
2.14. Уравнение траектории
$$\frac{p}{r}=e\cos (\phi -{\phi }_0)-1,$$

где $p=\frac{M^2}{m\alpha },e=\sqrt{1+\frac{2E{M}^2}{m{\alpha }^2}}$, а ${\phi }_0$ определяется из условия $\phi \to 0$ при $r\to \mathrm{\infty }:\cos {\phi }_0=1/e$. Область, недостижимая для частиц, ограничена огибающей семейства траекторий.

Для определения ее продифференцируем уравнение траектории
$$\frac{M^2}{m\alpha r}+1-\cos \phi -\frac{M}{\alpha }\sqrt{\frac{2E}{m}}\sin \phi =0$$

по параметру $M$ :
$$\frac{2M}{mr}-\sqrt{\frac{2E}{m}}\sin \phi =0,$$

и исключим $M$ из (1) и (2):
$$2\alpha /Er=1+\cos \phi .$$

Итак, недостижимая для частиц область $r<\frac{2\alpha }{E(1+\cos \phi )}$ ограничена параболоидом вращения (рис. 92).
2.15. $\rho <\frac{2a\delta }{1-{\delta }^2-(1-\delta {)}^2\cos \phi }$, где $\delta =\frac{ma{v}^2}{2\alpha },OA=a$.

2.16. Умножим равенство
$$[\mathbf{v}\mathbf{M}]-\frac{\alpha \mathbf{r}}{r}=\mathbf{A}$$

скалярно на r. Обозначив через $\phi$ угол между $\mathbf{r}$ и $\mathbf{A}$, получаем
$$\frac{M^2}{m}-\alpha r=\mathrm{Ar}\cos \phi$$

или $\frac{p}{r}=1+e\cos \phi$, где $p=\frac{M^2}{m\alpha },e=\frac{|\mathbf{A}|}{\alpha }$.
Отметим, что вектор А направлен от центра поля к точке $r=r_{min}$.
2.17. $\delta T=-\frac{\partial \delta I}{\partial E}$, где
$$\delta I=T⟨\delta U⟩=2\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_{r_1}^{r_2}\frac{\delta U(r)dr}{\sqrt{E-U_{\text{эфф }}(r)}}$$
(ср. с задачей 1.10). Подобным же образом изменение углового расстояния между последовательными прохождениями точек $r=r_{min}$ можно представить в виде $\delta \mathrm{\Delta }\phi =\frac{\partial \delta I}{\partial M}$ (ср. [1], $\mathrm{\S }15$, задача $3;\mathrm{\S }49$ ).
2.18. В области $r\ll D$ поле $U(r)$ мало отличается от кулоновского $U_0(r)=-\alpha /r$. Поэтому траектория финитного движения близка к эллипсу, параметр $p$ и эксцентриситет $e$ которого, определяемые постоянными $E$ и $M$, сохраняются, а ориентация изменяется. Скорость поворота эллипса $\mathrm{\Omega }$ определяется смещением перигелия за период $\mathrm{\Omega }=\delta \mathrm{\Delta }\phi /T_0$, где $\delta \mathrm{\Delta }\phi$ вычисляем по формуле предыдущей задачи с $\delta U=\frac{\alpha }{D}-\frac{\alpha r}{2D^2}$, а $T_0$ — период в кулоновском поле’. В результате вычисления получаем $\mathrm{\Omega }=M/2m{D}^2$. Уравнение траектории можно представить в виде
$$\frac{p}{r}=1+e\cos \gamma \phi ,\gamma =1-\frac{\mathrm{\Omega }{T}_0}{2\pi }.$$

Отклонение кривой (1) от истинной траектории — первого порядка малости по $\delta U$, т. е. в течение одного периода уравнение (1) описывает траекторию с такой же точностью, как уравнение неподвижного эллипса. Однако уравнение (1) сохраняет ту же точность в течение многих периодов. Поэтому именно это уравнение можно назвать «правильным нулевым приближением».

Иначе говоря, в уравнении (1) учтены только накапливающиеся эффекты первого порядка.
${}^1$ Удобно перейти к интегрированию по $\xi$, пэичем (см. [1], § 15) $r=\frac{\alpha }{2|E|}(1-e\cos \xi )$.

2.19. Поле $U(r)=-\alpha /r^{1+\epsilon }$ мало отличается от кулоновского, поэтому орбита частицы в этом поле представляет собой медленно прецессирующий эллипс. Разлагая $U(r)$ по $\epsilon$, представим его в виде $U(r)=U_0(r)+\delta U$, где $U_0(r)=-\frac{\tilde{\alpha }}{r},\delta U=\frac{\epsilon \tilde{\alpha }}{r}\ln \frac{r}{R},\tilde{\alpha }=\alpha R^{-\epsilon },R$ — постоянная, равная характерному размеру орбиты. вычисляем, сделав замену
$$\begin{array}{c}r=-\frac{\tilde{\alpha }}{2E}(1-e\cos \xi ),t=\frac{T}{2\pi }(\xi -e\sin \xi ),e=\sqrt{1+\frac{2E{M}^2}{m{\tilde{\alpha }}^2}},\\ T=\pi \tilde{\alpha }\sqrt{\frac{m}{2|E{|}^3}}\text{ (см. [1], § 15). Получаем }\\ \mathrm{\Omega }=\frac{\delta \mathrm{\Delta }\phi }{T}=\frac{\epsilon \tilde{\alpha }}{2\pi }\frac{\partial }{\partial M}{\int }_0^{2\pi }\ln \frac{\tilde{\alpha }(1-e\cos \xi )}{2|E|R}d\xi =\\ =-\frac{\epsilon |E|}{\pi }\frac{\partial ϵ}{\partial M}{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos \xi d\xi }{1-e\cos \xi }=\frac{2\pi }{T}\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e^2}.\end{array}$$

При $\epsilon >0$ направление прецессии орбиты совпадает с направлением движения частицы по орбите, а при $\epsilon <0$ — противоположно ему.
2.20 a. $\mathrm{\Omega }=-\frac{3}{2}\frac{\beta }{m\omega }\frac{a^2+b^2}{a^4{b}^4}\frac{M}{|M|}$.
2.20б. Функция Лагранжа
$$\begin{array}{rl}L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-\frac{mg}{2l}(x^2+y^2)& +\frac{m}{2}\frac{x^2+y^2}{l^2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)=\\ & =\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)-\frac{mg}{2l}{r}^2+\frac{m{r}^2}{2l^2}{\dot{r}}^2.\end{array}$$

Если пренебречь последним слагаемым, то задачу о движении частицы удобно решать в декартовых координатах. Это приводит к гармоническим колебаниям с частотой
$$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$$

по осям $x$ и $y$, т. е. к эллиптической траектории (ср. [1], задача 3 к § 21). Точное уравнение траектории удобно получить в цилиндрических координатах, используя интегралы движения $E$ и $\mathbf{M}=(0,0,M)$ :
$$\phi =\int \frac{M\sqrt{1+r^2/l^2}dr}{r^2\sqrt{2m(E-U_{эфф})}},U_{\text{эфф }}=\frac{mg{r}^2}{2l}+\frac{M^2}{2m{r}^2}.$$

Разложение
$$\sqrt{1+\frac{r^2}{l^2}}=1+\frac{r^2}{2l^2}+\dots$$

приводит к уравнению
$$\phi =\int \frac{Mdr}{r^2\sqrt{2m(E-U_{\text{эф申 }})}}+\frac{M}{2m{l}^2}\int \frac{dr}{\sqrt{2m(E-U_{\text{эф申 }})}}={\phi }_0(r)+\mathrm{\Omega }t,$$

где ${\phi }_0(r)$ соответствует движению по эллипсу, а
$$\mathrm{\Omega }=\frac{M}{2m{l}^2}=\frac{ab}{2l^2}\omega$$

определяет его прецессию.
2.21. Функция Лагранжа системы Земля — Луна равна
$$L=\frac{m_1}{2}{\dot{\mathbf{R}}}_1^2+\frac{m_2}{2}{\dot{\mathbf{R}}}_2^2+\frac{\gamma m_0{m}_1}{R_1}+\frac{\gamma m_0{m}_2}{R_2}+\frac{\gamma m_1{m}_2}{|{\mathbf{R}}_1-{\mathbf{R}}_2|},$$

где ${\mathbf{R}}_1$ и ${\mathbf{R}}_2$ — радиус-векторы Земли и Луны в гелиоцентрической системе координат, $m_1,m_2$ — их массы, $m_0$ — масса Солнца, $\gamma -$ гравитационная постоянная. Введем координаты центра масс Земли и Луны (точка $O$ на рис. 93 а) и их взаимного расстояния
$$\mathbf{R}=\frac{m_1{\mathbf{R}}_1+m_2{\mathbf{R}}_2}{m_1+m_2},\mathbf{r}={\mathbf{R}}_2-{\mathbf{R}}_1,$$

Рис. 93 a тогда
$$\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_{1,2}=\mathbf{R}+{\mathbf{r}}_{1,2},{\mathbf{r}}_{1,2}=\mp \frac{m}{m_{1,2}}\mathbf{r},\\ m=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}\approx m_2.\end{array}$$

Использовав разложение
$$\frac{1}{R_i}=\frac{1}{R}{(1+\frac{2{\mathbf{R}\mathbf{r}}_i}{R^2}+\frac{r_i^2}{R^2})}^{-1/2}=\frac{1}{R}-\frac{{\mathbf{R}\mathbf{r}}_i}{R^3}+\frac{1}{2R^3}[3\frac{{\left({\mathbf{R}\mathbf{r}}_i\right)}^2}{R^2}-r_i^2]+\dots$$

и учитывая, что
$$m_1{\mathbf{r}}_1+m_2{\mathbf{r}}_2=0,m_1{r}_1^2\ll m_2{r}_2^2\approx m_2{r}^2,$$

получаем
$$\begin{array}{c}L=L_1+L_2-\delta U,\\ L_1=\frac{m_1+m_2}{2}{\dot{\mathbf{R}}}^2+\frac{\gamma m_0(m_1+m_2)}{R},\\ L_2=\frac{m}{2}{\dot{\mathbf{r}}}^2+\frac{\gamma m_1{m}_2}{r},\delta U=-\frac{\gamma m_{0}m}{2R^3}[3\frac{(\mathbf{R}\mathbf{r}{)}^2}{R^2}-r^2].\end{array}$$

Без учета $\delta U$ задачи о движении центра масс $O$ и относительном движении разделяются и сводятся к задаче Кеплера (мы будем говорить далее просто о движениях Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли).
a) В задаче о движении Земли вокруг Солнца малость $\delta U$ характеризуется отношением
$$\frac{\delta U}{\left(\gamma m_0{m}_1/R\right)}\sim \frac{m_2{r}^2}{m_1{R}^2}\sim {10}^{-6}.$$

Считая орбиту Луны окружностью радиуса $r$, лежащей в плоскости орбиты Земли, имеем
$$\delta U=-\frac{2\beta }{R^3}(3{\cos }^2\chi -1),\beta =\frac{1}{4}\gamma m_0{m}_2{r}^2,$$

где $\chi$ — угол между векторами $\mathbf{R}$ и $\mathbf{r}$. Этот угол меняется на $2\pi$ за 29,5 суток (синодический месяц — промежуток времени между новолуниями). Усредняем (2) за этот промежуток, что приводит к замене ${\cos }^2\chi \to \frac{1}{2}$. В итоге
$$\delta U=-\frac{\beta }{R^2}.$$

Смещение перигелия за год (см. [1], задача 3 к §15)
$$\delta \phi =\frac{6\pi \beta }{{\alpha }_1{R}^2}=\frac{3\pi m_2}{2m_1}{\left(\frac{r}{R}\right)}^2,{\alpha }_1=\gamma m_0{m}_1.$$

Смещение перигелия за столетие
$$100\delta \phi =7,7^{\prime \prime }.$$

Следует заметить, что полное смещение перигелия Земли за столетие, равное ${1158}^{\prime \prime }$, обусловлено главным образом влиянием Юпитера и Венеры.
Интересно, что оценка релятивистской поправки дает величину
$$\sim 100\cdot 2\pi {\left(\frac{V}{c}\right)}^2\sim 1^{\prime \prime },V\approx 30\mathrm{km}/\mathrm{c}$$
(см. [2] §39 и §101).
б) Исследуя движение Луны вокруг Земли, также можно считать $\delta U$ малой добавкой к $L_2$ :
$$\frac{\delta U}{\left(\gamma m_1{m}_2/r\right)}\sim \frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{{\omega }^2}\sim {10}^{-2},{\mathrm{\Omega }}^2=\frac{\gamma m_0}{R^3},{\omega }^2=\frac{\gamma m_1}{r^3}.$$

Здесь период $2\pi /\omega =27,3$ суток — звездный (сидерический) месяц, а период $2\pi /\mathrm{\Omega }$ равен 1 году. Добавка $\delta U$ приводит к различным искажениям орбиты Луны — пульсациям эксцентриситета, смещению перигелия (ср. с задачей 2.38 б) и др. Мы рассмотрим лишь одно из них, пренебрегая их взаимным влиянием и принимая невозмущенную орбиту Луны за окружность; принимаем также $R=$ const.
Введем геоцентрическую систему координат $Oxyz$ с осью $x$, нарис. 936 правленной вдоль линии пересечения плоскости орбиты Луны с плоскостью орбиты Земли (линия лунных узлов), осью $y$, лежащей в плоскости орбиты Земли, и осью $z$, перпендикулярной этой плоскости и направленной в северную небесную полусферу (рис. 93 б). Координаты Солнца в этой системе равны
$$-\mathbf{R}=R(\cos \phi ,\sin \phi ,0),\phi =\mathrm{\Omega }t+{\phi }_0,$$

а координаты Луны равны
$$\mathbf{r}=r(\cos \psi ,\cos \theta \sin \psi ,\sin \theta \sin \psi ),\psi =\omega t+{\psi }_0,$$

где ${\phi }_0$ и ${\psi }_0$ определяются моментами прохождения Солнца и Луны через ось $x$.
Усреднение величины
$$(\mathbf{R}\mathbf{r}{)}^2=R^2{r}^2(\cos \phi \cos \psi +\cos \theta \sin \phi \sin \psi {)}^2$$

за месяц сводится к заменам
$${\cos }^2\psi \to \frac{1}{2},{\sin }^2\psi \to \frac{1}{2},\sin \psi \cos \psi \to 0,$$

так что
$${⟨(\mathbf{R}\mathbf{r}{)}^2⟩}_{\text{месяц }}=\frac{1}{2}{R}^2{r}^2({\cos }^2\phi +{\cos }^2\theta {\sin }^2\phi ),$$

а усреднение за год — к заменам
$${\cos }^2\phi \to \frac{1}{2},{\sin }^2\phi \to \frac{1}{2},$$

что дает
$$⟨(\mathbf{R}\mathbf{r}{)}^2⟩=\frac{1}{4}{R}^2{r}^2(1+{\cos }^2\theta ).$$

В итоге
$$⟨\delta U⟩=-\frac{\gamma m_{0}m{\mathrm{\Omega }}^2}{8R^3}{r}^2(3{\cos }^2\theta -1).$$

За поворотом плоскости орбиты можно проследить, рассматривая движение вектора момента импульса $\mathbf{M}=m[\mathbf{r}\dot{\mathbf{r}}]$, перпендикулярного этой плоскости. Уравнение его движения $\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{K}$, где
$$\mathbf{K}=-\left[\mathbf{r}\frac{\partial \delta U}{\partial \mathbf{r}}\right]$$
— момент сил, действующих на Луну. Поскольку изменение угла $\theta$ есть поворот вокруг оси $x$, то
$$K_x=-\frac{\partial \delta U}{\partial \theta },$$
T. e.
$$⟨\mathbf{K}⟩=(-\frac{3\gamma m_{0}m{\mathrm{\Omega }}^2}{4R^3}{r}^2\sin \theta \cos \theta ,0,0).$$

Так как момент сил $⟨\mathbf{K}⟩$ перпендикулярен вектору $\mathbf{M}$, он приводит лишь к его повороту. При этом поворачиваются и оси $x,y$, так что угловая скорость ${\mathrm{\Omega }}_{\text{п }}$ прецессии вектора М направлена вдоль оси $z$. Ее можно найти из условия
$$\left[{\mathbf{\Omega }}_{\mathrm{\Pi }}\mathbf{M}\right]=⟨\mathbf{K}⟩,$$

что дает
$${\left({\mathbf{\Omega }}_{\mathrm{\Pi }}\right)}_z=-\frac{⟨K_x⟩}{M_y}=\frac{⟨K_x⟩}{m\omega r^2\sin \theta }=-\frac{3{\mathrm{\Omega }}^2}{2\omega }\cos \theta \approx -\frac{\mathrm{\Omega }}{17,3}.$$

Таким образом мы нашли, что период прецессии орбиты Луны составляет $2\pi /{\mathrm{\Omega }}_{\mathbf{n}}=17,3$ года. Это движение называется отступлением лунных узлов. Истинное значение этого периода 18,6 года. Учитывая грубость сделанных нами приближений, можно признать хорошим согласие нашего результата с истинным.

Этот период определяет период повторения циклов солнечных и лунных затмений. Его (точнее, его утроенное значение, содержащее целое число 19765 суток) знали еще жрецы древнего Вавилона.

Заметим, что ограничившись усреднением за месяц, т. е. используя (3), мы обнаружили бы неравномерность прецессии в течение года:
$${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Pi }}\to (1-\frac{1}{2}\cos 2\phi ){\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Pi }}.$$
2.22. Аналогично задаче 2.18 имеем
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Omega }=\frac{\partial }{\partial M}⟨\delta U⟩=\frac{a}{2}\frac{\partial e^2}{\partial M}[\delta U^{\prime }(a)+& \frac{a}{2}\delta U^{\prime \prime }(a)]=\\ & =-\sqrt{\frac{a}{m\alpha }}[\delta U^{\prime }(a)+\frac{a}{2}\delta U^{\prime \prime }(a)]\frac{M}{|M|}\end{array}$$

Учет следующих членов разложения $\delta U$ по $(r-a)$ даст в $\mathrm{\Omega }$ вклад $\lesssim e^2\mathrm{\Omega }$.
2.23. Смещение перигелия за период можно представить в виде
$$\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{4}{3}\sqrt{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial M\partial E}{\int }_{r_1+\delta r_1}^{r_2+\delta r_2}{(E-U_{i\varphi \varphi }-\delta U)}^{3/2}dr.$$

С точностью до второго порядка по $\delta U$ имеем
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }\phi & =2\pi +{\delta }_1\phi +{\delta }_2\phi ,\\ {\delta }_1\phi & =T\frac{\partial }{\partial M}⟨\delta U⟩,\\ {\delta }_2\phi & =-\frac{{\partial }^2}{2\partial M\partial E}\left[T⟨(\delta U{)}^2⟩\right],\end{array}$$

где $⟨f⟩$ — среднее значение функции $f(r)$ за период $T$ невозмущенного движения (ср. с задачей 2.17). Скорость прецессии
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Omega }& =\frac{{\delta }_1\phi +{\delta }_2\phi }{T+\delta T}=\frac{{\delta }_1\phi }{T}+\frac{{\delta }_2\phi }{T}-\frac{{\delta }_1\phi \delta T}{T^2},\\ \delta T& =-\frac{\partial }{\partial E}(T⟨\delta U⟩).\end{array}$$
2.24. Представим уравнение траектории
$$\phi =\int \frac{Mdr}{r^2\sqrt{2m(E-\frac{M^2}{2m{r}^2}+\frac{\alpha }{r}-\frac{\gamma }{r^3})}},$$

разлагая подынтегральное выражение по $\delta U=\gamma /r^3$, в виде
$$\phi ={\phi }_0(r)+\delta \phi (r),$$

где
$$\begin{array}{l}{\phi }_0(r)=\int \frac{Mdr}{r^2\sqrt{2m(E-\frac{M^2}{2m{r}^2}+\frac{\alpha }{r})}},\\ \delta \phi (r)=\int \frac{\gamma Mdr}{r^5\sqrt{2m{(E-\frac{M^2}{2m{r}^2}+\frac{\alpha }{r})}^3}}.\end{array}$$

Пренебрегая в (2) поправкой $\delta \phi (r)$, получим, разумеется, уравнение траектории в кулоновском поле (см. [1], § 15)
$$\frac{p}{r}=1+e\cos \phi ,$$

где $p=\frac{M^2}{m\alpha },e=\sqrt{1+\frac{2E{M}^2}{m{\alpha }^2}}$. Учитывая же в (2) поправку $\delta \phi (r)$, получим вместо (5)
$$\frac{p}{r}=1+e\cos (\phi -\delta \phi (r)).$$

В правой части (6) можно провести разложение по $\delta \phi (r)$, а также подставить в $\delta \phi (r)$ зависимость $r=r_0(\phi )$, определяемую, согласно (5),
$$\frac{p}{r}=1+e\cos \phi +e\delta \phi (r_0(\phi ))\sin \phi \text{. }$$

Вычисляя’ интеграл (4), находим
$$\delta \phi (r_0(\phi ))=\frac{m^2\alpha \gamma }{M^4}\{-3\phi -\frac{2e^2+1}{e}\sin \phi -\frac{1+e\cos \phi }{e^2\sin \phi }[2e+(e^2+1)\cos \phi ]\}.$$

Подставляя (8) в (7), с точностью до первого порядка по $\zeta =\frac{m^2\alpha \gamma }{M^4}$ получаем
$$\begin{array}{rl}\frac{p}{r}=1+e\cos [(1+3\zeta )\phi ]+\zeta \frac{2e^2+1}{e}& {\sin }^2\phi -\\ & -\zeta \frac{1+e\cos \phi }{e}[2e+(e^2+1)\cos \phi ]\end{array}$$
${}^1$ Удобно представить (4) в виде
$$\delta \phi =\frac{\partial }{\partial M}\int \frac{\sqrt{2m}\gamma dr}{r^3\sqrt{E-\frac{M^2}{2m{r}^2}+\frac{\alpha }{r}}}$$

и перейти к интегрированию по $\phi$ согласно (5):
$$\begin{array}{l}\delta \phi =\frac{\partial }{\partial M}\frac{m^2\gamma \alpha }{M^3}\int (1+e\cos \phi )d\phi =\\ =-\frac{3m^2\gamma \alpha }{M^4}(\phi +e\sin \phi )+\frac{m^2\gamma \alpha }{M^3}\frac{\partial e}{\partial M}\sin \phi +\frac{m^2\gamma \alpha }{M^3}\frac{\partial \phi }{\partial M}(1+e\cos \phi ).\end{array}$$

Находя из (5)
$$\frac{2M}{m{\alpha }^{2}r}=\frac{\partial e}{\partial M}\cos \phi -e\frac{\partial \phi }{\partial M}\sin \phi ,\frac{\partial e}{\partial M}=\frac{e^2-1}{eM}$$

и подставляя в $\left(8^{\prime }\right)$, получаем (8).

или
$$\begin{array}{rl}\frac{p^{\prime }}{r}& =1+e^{\prime }\cos \lambda \phi +f\cos 2\phi ,\\ \lambda & =1+3\zeta ,\\ p^{\prime }& =p(1+\zeta \frac{e^3-2e^2+5e-1}{2e}),\\ e^{\prime }& =e(1+\zeta \frac{e^4-2e^3-e^2-2}{2e^2}),\\ f& =-\zeta \frac{e^3+2e^2+e+1}{2e}.\end{array}$$

Вблизи $\phi =0,\pi$ разложение (2) становится неприменимым, так как $\delta \phi$ неограниченно возрастает. Однако уравнение траектории (9) справедливо и в этих областях (ср. с задачей (1.8)).

В случае инфинитного движения ( $E⩾0$ ) уравнение (9) решает задачу. Если же $E<0$, то (9) есть уравнение траектории лишь на нескольких оборотах ${}^1$, пока остается $3\zeta \phi \ll 1$. Сохраняя в (8) только накапливающуюся часть $\delta \phi =-3\zeta \phi$, получаем уравнения
$$\frac{p}{r}=1+ϵ\cos \lambda \phi ,\lambda =1+3\zeta ,$$

описывающие траекторию па большом участке («правильное», в отличие от (5), нулевое приближение; ср. с задачей 2.18). Нетрудно также видоизменить уравнение (9) так, чтобы оно описывало траекторию на большом участке с точностью до первого порядка включительно:
$$\frac{p^{\prime }}{r}=1+e^{\prime }\cos \lambda \phi +f\cos 2\lambda \phi .$$
2.25. Достаточно убедиться, что выраженная через координаты центра масс $\mathbf{R}=\frac{m_1{\mathbf{r}}_1+m_2{\mathbf{r}}_2}{m_1+m_2}$ и относительного движения $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$ функция Лагранжа разбивается на две части:
$$\begin{array}{rl}L& =L_1(\mathbf{R},\dot{\mathbf{R}})+L_2(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}),\\ L_1(\mathbf{R},\dot{\mathbf{R}})& =\frac{m_1+m_2}{2}{\dot{\mathbf{R}}}^2+(e_1+e_2)\mathcal{E}\mathbf{R},\\ L_2(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})& =\frac{m_1}{2}{\dot{\mathbf{r}}}^2-\frac{e_1{e}_2}{r}+m(\frac{e_1}{m_1}-\frac{e_2}{m_2})\mathcal{E}\mathbf{r}.\end{array}$$
${}^1\mathrm{B}$ частности, радиус-вектор $\mathbf{r}$ должен быть периодической функцией $\phi$.

Функция $L_1(\mathbf{R},\dot{\mathbf{R}})$ определяет движение центра масс, происходящее так же, как движение частицы с массой $m_1+m_2$ и зарядом $e_1+e_2$ в однородном поле. Относительное движение, определяемое $L_2(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})$, происходит так же, как движение частицы с массой $m=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$ (приведенная масса) в кулоновском и однородном полях.

Такой же результат можно получить, конечно, и исходя из уравнений движения частиц.
2.26. $L=\frac{m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1^2+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2^2}{2}+\frac{e_1}{c}\mathbf{A}\left({\mathbf{r}}_1\right){\dot{\mathbf{r}}}_1+\frac{e_2}{c}\mathbf{A}\left({\mathbf{r}}_2\right){\dot{\mathbf{r}}}_2$. Функция Лагранжа разбивается на две части, содержашие только $\mathbf{R},\dot{\mathbf{R}}$ и $\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}$ (обозначения задачи 2.25), если $\frac{e_1}{m_1}=\frac{e_2}{m_2}$ :
$$L=\frac{m_1+m_2}{2}{\dot{\mathbf{R}}}^2+\frac{e_1+e_2}{c}\mathbf{A}(\mathbf{R})\dot{\mathbf{R}}+\frac{m_1}{4}{\dot{\mathbf{r}}}^2+\frac{e_1{m}_1^2+e_2{m}_2^2}{c{(m_1+m_2)}^2}\mathbf{A}(\mathbf{r})\dot{\mathbf{r}}.$$
2.27. $T=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N{\mu }_n{\dot{\xi }}_n^2,\mathbf{p}={\mu }_N{\dot{\xi }}_N,\mathbf{M}=\sum _{n=1}^N{\mu }_n[{\mathit{\xi }}_n,{\dot{\mathit{\xi }}}_n]$, где
$$\frac{1}{{\mu }_n}=\frac{1}{\sum _{k=1}^n{m}_k}+\frac{1}{m_{n+1}}(n=1,\dots ,N-1),{\mu }_N=\sum _{k=1}^N{m}_k.$$
2.28. Обозначим координаты летевшей и покоившейся вначале частиц через $x_1$ и $x_2$. Пусть в начальный момент $x_1=-R,x_2=0$. Центр масс системы движется по закону $X=-\frac{R}{2}+\frac{vt}{2}$. Относительное движение с координатой $x=x_2-x_1$ происходит по закону
$$t=-\sqrt{\frac{m}{4}}{\int }_R^x\frac{dx}{\sqrt{\frac{m{v}^2}{4}-\frac{\alpha }{x^n}}}.$$

Закон движения первой частицы
$$x_1=X-\frac{x}{2}=-\frac{R}{2}+\frac{1}{2}{\int }_x^R\frac{dx}{\sqrt{1-4\alpha /m{v}^2{x}^n}}-\frac{x}{2}.$$

Расстояние между частицами уменьшается до величины $x_{min}={\left(\frac{m{v}^2}{4\alpha }\right)}^{1/n}$, а затем вновь возрастает. Когда оно вновь станет равно $R$, первая частица окажется в точке
$$x_{1f}=x_{min}[{\int }_1^{R/x_{\text{min }}}(\frac{1}{\sqrt{1-z^{-n}}}-1)dz-1].$$

Точка остановки налетевшей частицы есть предел $x_{1f}$ при $R\to \mathrm{\infty }$.
Если $n⩽1$, то $x_{1f}\to \mathrm{\infty }$ при $R\to \mathrm{\infty }$, т. е. обе частицы после столкновения уходят на бесконечность.
2.30. Уравнение движения
$$m\dot{\mathbf{v}}=\frac{eg}{c{r}^3}[\mathbf{v}\mathbf{r}]$$

имеет интегралы
$$\begin{array}{c}\frac{m{v}^2}{2}=E\\ m[\mathbf{r}\mathbf{v}]-\frac{eg}{c}\frac{\mathbf{r}}{r}=\mathbf{J}.\end{array}$$

Умножив (1) скалярно на $\mathbf{r}$, получаем $\mathbf{r}\dot{\mathbf{v}}=0$ или $\frac{d}{dt}\frac{r^2}{2}-v^2=0$, откуда
$$r^2=r_0^2+v^2{(t-t_0)}^2.$$

Умножив (3) скалярно на $\mathbf{r}/r$, получаем
$$-\frac{eg}{c}=J\cos \theta ,$$

где $\theta$ — полярный угол в сферической системе координат с осью $z$, параллельной вектору $\mathbf{J}$. Проекция (3) на ось $z$
$$m{r}^2\dot{\phi }{\sin }^2\theta -\frac{eg}{c}\cos \theta =J$$

совместно с (5) дает
$$\dot{\phi }=\frac{J}{m{r}^2}.$$

При $t=t_0$ имеем $v=r_0\dot{\phi }\sin \theta$ и из (6) следует $J=\frac{m{r}_{0}v}{\sin \theta }$, и с учетом (5)
$$\mathrm{tg}\theta =-\frac{m{r}_{0}vc}{eg}.$$

Интегрируя уравнение $\dot{\phi }=\frac{r_{0}v}{\sin \theta \cdot r^2(t)}$, получаем
$$\phi ={\phi }_0+\frac{1}{\sin \theta }\mathrm{arctg}\frac{v(t-t_0)}{r_0}.$$

Таким образом, частица движется с постоянной скоростью $v$ по поверхности конуса $\theta =$ const. Введя
$$\psi =(\phi -{\phi }_0)\sin \theta ,$$

перепишем (8) в виде
$$\mathrm{tg}\psi =\frac{v(t-t_0)}{r_0}.$$

Равенства (4), (9) и (10) можно интерпретировать следующим образом: движение точки по развертке конуса оказывается равномерным и прямолинейным, причем $r$ и $\psi$ — полярные координаты в плоскости развертки.
2.31. Движение заряженной частицы в электромагнитном ноле определяется функцией Лагранжа
$$L=\frac{m{\mathbf{v}}^2}{2}-e\phi +\frac{e}{c}\mathbf{v}\mathbf{A},$$

где $\phi$ и А — скалярный и векторный потенциалы (см. [2], § 16,17).
Используя цилиндрические координаты, имеем
$$L=\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{z}}^2)+\frac{e}{c}\frac{\mathfrak{m}{r}^2\dot{\phi }}{{(r^2+z^2)}^{3/2}}.$$

Из уравнения движения для $z$
$$m\ddot{z}+\frac{3e}{2c}\frac{\mathfrak{m}{r}^2\dot{\phi }}{{(r^2+z^2)}^{5/2}}=0$$

видно, что при $z=0$ компонента силы, параллельная оси $z$, обращается в нуль. Поэтому, если $z(0)=\dot{z}(0)=0$, то траектория частицы лежит в плоскости $z=0$. Так как $\phi$ является циклической координатой, имеем
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{r}^2\dot{\phi }+\frac{e\mathfrak{m}}{cr}=p_{\phi }=\text{ const. }$$

Отсюда видно, что $p_{\phi }$ в случае инфинитного движения есть значение $M_z$ при $r\to \mathrm{\infty }$. Кроме того, выполняется закон сохранения энергии (так как $\partial L/\partial t=0)$ :
$$\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)=E.$$

Исключая из (5) $\dot{\phi }$ с помощью (4), находим
$$\frac{m}{2}{\dot{r}}^2+U_{эф\varphi }(r)=E,$$

где
$$U_{\text{эфф }}(r)=\frac{1}{2m{r}^2}{(p_{\phi }-\frac{e\mathfrak{m}}{cr})}^2.$$

Таким образом, движение вдоль радиуса происходит так же, как одномерное в поле $U_{\text{эфф }}(r)$.

Графики $U_{\text{эфф }}(r)$ для случаев $p_{\phi }<0$ и $p_{\phi }>0$ изображены на рис. $94,a$ и $б$ соответственно.
Рис. 94
В случае $p_{\phi }<0$ для любой энергии $E>0$ движение инфинитно. Для того, чтобы качественно изобразить траекторию, полезно выразить из (4)
$$\dot{\phi }=-\frac{\left|p_{\phi }\right|}{m{r}^2}-\frac{em}{mc{r}^3}.$$

Скорость поворота радиуса-вектора частицы имеет все время одно и то же направление и возрастает с приближением к диполю.

Примерный вид траектории показан на рис. 95 (кривая 1). Траектория симметрична относительно прямой, соединяющей центр поля с точкой $r=r_{\text{min }}$.

Рис. 95
Рис. 96
В случае $p_{\phi }>0$ возможно рассеяние частиц любой энергии $E>0$, а при $E<U_m=\frac{c^2{p}_{\phi }^4}{32n{e}^2{\mathfrak{m}}^2}(E=E_1$ на рис. 94,б) возможно также финитное движение. Из равенства
$$\dot{\phi }=\frac{p_{\phi }}{m{r}^2}-\frac{em}{mc{r}^3}$$

следует, что $\dot{\phi }>0$ при $r>r_1=\frac{e\mathfrak{m}}{c{\rho }_{\phi }}$ и $\dot{\phi }<0$ при $r<r_1$. При $r=r_1$ частица имеет «точки остановки» по $\phi$.

Частица с энергией $E>U_m$ ( $E=E_2$ на рис. 94,б) рассеивается, причем в двух точках $r=r_1$ ее скорость параллельна радиусу-вектору (рис. 95, кривая 2).

При $E<U_m$ возможно рассеяние без точек остановки по $\phi$ (рис. 95, кривая 3) или финитное движение в кольце $a⩽r⩽b$ (рис. 96). В последнем случае частица в течение периода совершает как прямое (участок $AB$ ), так и «попятное» (участок $BC$ ) движение по $\phi$.
2.32. а) Удобно использовать цилиндрические координаты, а векторный потенциал выбрать в виде $A_{\phi }=\frac{1}{2}r\mathcal{H},A_z=A_r=0$. Движение в направлении оси $z$ равномерное, а в плоскости, перпендикулярной к оси $z,-$ финитное. Проекция траектории на эту плоскость изображена на рис. 97. Траектории $a,6,в$ отвечают условию ${}^1{p}_{\phi }>0$ и соответственно $U_1<E_{\perp }<U_2,E_{\perp }=U_2,U_2<E_{\perp }$, где $E_{\perp }=E-\frac{m{v}_z^2}{2},U_1=(\tilde{\mathrm{\Omega }}-\mathrm{\Omega })p_{\phi }$,
${}^1$ Для определенности считаем $\mathcal{H}>0,p_{\phi }-$ обобщенный импульс, соответствующий координате $\phi$.

Рис. 97
$U_2=\frac{\lambda p_{\phi }}{2\mathrm{\Omega }},\mathrm{\Omega }=\frac{e\mathcal{H}}{2mc},\tilde{\mathrm{\Omega }}=\sqrt{{\mathrm{\Omega }}^2+\lambda }$. Для $p_{\phi }<0$ траектория приведена на рис. 97,2 , для $p_{\phi }=0$ — на рис. $97,\partial$.

Закон движения частицы в этой плоскости легко найти, зная движение свободного изотропного осциллятора с частотой $\tilde{\mathrm{\Omega }}$ (см. [1], §23, задача 3)
$$r^2=a^2{\cos }^2\tilde{\mathrm{\Omega }}t+b^2{\sin }^2\tilde{\mathrm{\Omega }}t,\phi =-\mathrm{\Omega }t+\mathrm{Arctg}\left(\frac{b}{a}\mathrm{tg}\tilde{\mathrm{\Omega }}t\right).{}^1$$

Здесь минимальный ( $b$ ) и максимальный (a) радиусы определяются энергией $E=\frac{m{\tilde{\mathrm{\Omega }}}^2}{2}(a^2+b^2)-p_{\phi }\mathrm{\Omega }$ и импульсом $p_{\phi }=m\tilde{\mathrm{\Omega }}ab$, а начала отсчета $t$ и $\phi$ выбраны так, что $\phi (0)=0,r(0)=a$. Интересно, что период радиальных колебаний $T=\pi /\tilde{\mathrm{\Omega }}$ не зависит от $E$ и $p_{\phi }$. Угол поворота радиуса-вектора за этот период $\mathrm{\Delta }\phi =\pi (\pm 1-\mathrm{\Omega }/\tilde{\mathrm{\Omega }})$ для $p_{\phi }\gtrless 0$ и $\mathrm{\Delta }\phi =-\mathrm{\Omega }/\tilde{\mathrm{\Omega }}$ для $p_{\phi }=0$ не зависит от $E{.}^2$
Как изменится движение частицы, если $\lambda <0$ ?
Интересно сопоставить движение частицы в этой задаче с движением в скрещенных электрическом и магнитном полях (см. [3], §22).
${}^1\mathrm{Be}\mathrm{т}\mathrm{в}\mathrm{и}\mathrm{Arctg}\left(\frac{b}{a}\mathrm{tg}\tilde{\mathrm{\Omega }}\mathrm{t}\right)$ нужно выбирать так, чтобы угол $\phi$ был непрерывной функцией $t$. ${}^2$ Другой способ решения приведен в задаче 6.36 .

2.33. Уравнение траектории
$$\phi =\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{(\frac{p_{\phi }}{m{r}^2}-\mathrm{\Omega })dr}{\sqrt{E-U_{\text{эфф }}(r)}},$$

где $\mathrm{\Omega }=\frac{e\mathcal{H}}{2mc}$,
$$U_{i\mathrm{\Phi }\mathrm{\Phi }}(r)=-\frac{\alpha }{r}+\frac{m{r}^2}{2}{(\mathrm{\Omega }-\frac{p_{\phi }}{m{r}^2})}^2.$$

Качественно характер движения можно исследовать, используя графики $U_{\text{эфф }}(r)$. При этом нужно обращать внимание на то, что $\dot{\phi }$ меняет знак, когда $r$ проходит через значение $r_0=\sqrt{\frac{p_{\phi }}{m\mathrm{\Omega }}}$. В результате получаем траектории, приведенные на рис. 97, $a$-д.’ Различные траектории на рисунках соответствуют следующим условиям:
a) $p_{\phi }>0,U_{min}<E<U_0$, где $U_{min}-$ минимальное значение $U_{\text{эфф }}(r)$, $U_0=U_{9\varphi \varphi }\left(r_0\right)$;
б) $p_{\phi }>0,E=U_0$;
в) $p_{\phi }>0,E>U_0$;
г) $p_{\phi }<0$;
д) $p_{\phi }=0$. В последнем случае частица падает в центр на первом же витке.
Рассмотрим подробнее два предельных случая.
Уравнение (1) представим в виде
$$\phi =\frac{p_{\phi }}{\sqrt{2m}}\int \frac{dr}{r^2\sqrt{E+p_{\phi }\mathrm{\Omega }+\frac{\alpha }{r}-\frac{p_{\phi }^2}{2m{r}^2}-\frac{m{\mathrm{\Omega }}^2{r}^2}{2}}}-\mathrm{\Omega }t.$$

Таким образом, можно считать, что влияние магнитного поля сводится к замене энергии на $E^{\prime }=E+p_{\phi }\mathrm{\Omega }$, добавлении к полю $U=-\frac{\alpha }{r}$ добавки $\delta U=$ $=\frac{m{\mathrm{\Omega }}^2{r}^2}{2}$ (которая приводит к прецессии орбиты) и к добавочной прецессии с угловой скоростью — $\mathrm{\Omega }$. При достаточно малых значениях магнитного
${}^1$ Качественный характер исследования с помощью графиков позволяет воспользоваться тем же приближенным изображением траекторий, что и в задаче 2.32. Разумеется, точные траектории частиц в обеих задачах различны.

поля $\mathcal{H}$ поле $\delta U$ может оказаться малой добавкой к $U_0=\frac{p_{\phi }^2}{2m{r}^2}-\frac{\alpha }{r}$. Для этого достаточно, чтобы во всей области движения частицы выполнялось условие
$$\delta U(r)\ll |U_0(r)|.$$

Скорость прецессии, вызванной $\delta U$, можно определить как
$${\mathrm{\Omega }}^{\prime }=\frac{\delta \mathrm{\Delta }\phi }{T}=\frac{1}{T}\frac{\partial }{\partial p_{\phi }}(T⟨\delta U⟩),$$

где усреднение $\delta U$ производится по движению частицы в поле $U_0$ с энергией $E^{\prime }$ и моментом $p_{\phi }$, а $T$ — период этого движения (ср. с задачами 2.17, 2.18). Вычисление ${}^1$ приводит к значению
$${\mathrm{\Omega }}^{\prime }=-\frac{3{\mathrm{\Omega }}^2{p}_{\phi }}{2\left|E^{\prime }\right|},$$

причем $\delta U$ действительно можно считать малой поправкой, если кроме (3) выполнено также условие $\delta \mathrm{\Delta }\phi \ll 2\pi$, т. е.
$${\mathrm{\Omega }}^2{p}_{\phi }\alpha \sqrt{m}{\left|E^{\prime }\right|}^{-5/2}\ll 1.$$

Разумеется, $\delta U$ нельзя считать малой поправкой, если $E^{\prime }⩾0$, так как в этом случае удаление $\delta U$ качественно меняет характер движения.

Величина ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ может оказаться как малой по сравнению с $\mathrm{\Omega }$, так и большой. Знак ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ противоположен знаку $p_{\phi }$, т.е. направление этой скорости противоположно направлению движения частицы по орбите. Направление же скорости $\mathrm{\Omega }$ определяется магнитным полем.

Итак, траектория представляет собой эллипс, прецессирующий с угловой скоростью
$${\mathrm{\Omega }}_{пр}=-\mathrm{\Omega }+{\mathrm{\Omega }}^{\prime },$$

точнее говоря, поскольку может оказаться $\mathrm{\Omega }T\gtrsim 1$, в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ${\mathrm{\Omega }}_{\text{пр }}$, траектория представляет собой неподвижный эллипс.

Интересно сопоставить полученные результаты с теоремой Лармора (см. [3], § 45, см. также задачу 9.23).
${}^1$ Для вычисления $⟨\delta U⟩$ удобно использовать переменные, примененные в задачах 2.18, 2.19. Так как период в поле $U_0$ не зависит от $p_{\phi }$, в (4) можно вынести $T$ из-под знака производной.

Возможен ли случай, когда $\delta U$ можно считать малой поправкой, если энергия частицы $E$ положительна?

Далее рассмотрим случай, когда малой поправкой можно считать поле $U=-\alpha /r$. Движение без учета $U$ происходит по окружности. Ее радиус $a$ и расстояние $b$ от ее центра до центра поля можно выразить через максимальное и минимальное расстояния частицы от центра поля
$$r_{1,2}^2=\frac{E+p_{\phi }\mathrm{\Omega }\pm \sqrt{(E+2p_{\phi }\mathrm{\Omega })E}}{m{\mathrm{\Omega }}^2}.$$

Возможны два варианта расположения окружности, изображенные на рис. 98. Если $p_{\phi }\mathrm{\Omega }<0$, то осуществляется случай $a$ ), если $p_{\phi }\mathrm{\Omega }>0$, то осуществляется случай б). В обоих случаях
$$b^2=\frac{E+2p_{\phi }\mathrm{\Omega }}{2m{\mathrm{\Omega }}^2},a^2=\frac{E}{2m{\mathrm{\Omega }}^2}.$$

Учет поля $U$ приводит к систематическому смещению этой окружности (называемому дрейфом), причем ее радиус и расстояние от центра поля, определяемые постоянными $a$ и $b$, не изменяются, т. е. центр ее перемещается по окружности радиуса $b$. Угловая скорость смещения центра окружности
$$\gamma =\frac{\partial }{\partial p_{\phi }}⟨U⟩,$$

где усреднение $U$ производится по равномерному движению по окружности. Ограничимся случаем, когда $a\ll b$. В этом случае можно считать просто
$$⟨U⟩=-\frac{\alpha }{b},$$

так что $\gamma =\frac{\alpha }{2m\mathrm{\Omega }{b}^3}$. Заметим, что в этом случае линейная скорость дрейфа равна $c\mathcal{E}/\mathcal{H}$, где $e\mathcal{E}=\alpha /b^2$ — сила, действующая на частицу на расстоянии $b$ (ср. [3], §22).
2.34. Задача о движении двух одинаковых заряженных частиц в однородном магнитном поле сводится к задачам о движении центра масс и об относительном движении (см. задачу 2.26).

Координаты центра масс
$$\{\begin{array}{l}X=R\cos \omega t,\\ Y=-R\sin \omega t,\end{array}$$

где $\omega =е\mathcal{H}/mc$.
Относительное движение совпадает с движением частицы с массой $m/2$ и зарядом $e/2$ в
Рис. 98

поле $U=e^2/r$ и в однородном магнитном поле $\mathcal{H}$. Это движение подобно рассмотренному в предыдущей задаче, только в формулах следует заменить $m$ на $m/2$, $e$ на $e/2$ и $\alpha$ на $-e^2$. Ограничимся случаем, когда радиус орбиты $a$ мал по сравнению с расстоянием до центра поля (см. рис. 98,б). Частоту радиальных колебаний с бо́льшей, чем в предыдущей задаче, точностью легко определить, разлагая $U_{\text{эфф }}(r)=\frac{e^2}{r}+\frac{p_{\phi }^2}{m{r}^2}+\frac{m}{16}{\omega }^2{r}^2-\frac{1}{2}{p}_{\phi }\omega$ в ряд вблизи $r=b$ (см. [1], § 21). Из условия $U_{\text{эфф }}^{\prime }(b)=0$ находим
$$p_{\phi }=\sqrt{\frac{m^2}{16}{\omega }^2{b}^4-\frac{m}{2}{e}^{2}b}\approx \frac{m}{2}{b}^2(\frac{\omega }{2}-\gamma ),\gamma =\frac{2e^2}{m\omega b^3}.$$

Отсюда для ${\omega }_r=\sqrt{\frac{2U_{\text{эфф }}^{\prime \prime }(b)}{m}}$ получаем окончательно ${\omega }_r=\omega -\frac{\gamma }{2}$, а расстояние между частицами
$$r=b+a\cos ({\omega }_{r}t+\alpha ).$$

Для нахождения $\phi (t)$ воспользуемся сохранением обобщенного импульса $p_{\phi }=\frac{m}{2}{r}^2(\dot{\phi }+\frac{\omega }{2})$. С учетом (2), (3) получаем
$$\phi (t)=-\gamma t-\frac{a}{b}\sin ({\omega }_{r}t+\alpha )+{\phi }_0.$$

Воспользовавшись (3) и (4), можно представить координаты относительного движения в виде
$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \phi =b\cos (\gamma t-{\phi }_0)+a\cos (\omega t+\frac{\gamma t}{2}+\beta ),\\ y=r\sin \phi =-b\sin (\gamma t-{\phi }_0)-a\sin (\omega t+\frac{\gamma t}{2}+\beta ),\\ \beta =\alpha -{\phi }_0.\end{array}$$

Здесь первые слагаемые отвечают движению центра окружности с дрейфовой скоростью $b\gamma$, а вторые — движению по этой окружности с угловой скоростью $\omega +\frac{\gamma }{2}$.

Координаты частиц $x_{1,2}=X\pm \frac{x}{2},y_{1,2}=Y\pm \frac{y}{2}$ удобно представить в виде
$$\{\begin{array}{l}{x}_{1,2}=\pm \frac{b}{2}\cos (\gamma t-{\phi }_0)+{\rho }_{1,2}\cos (\omega t+{\psi }_{1,2}),\\ y_{1,2}=\mp \frac{b}{2}\sin (\gamma t-{\phi }_0)-{\rho }_{1,2}\sin (\omega t+{\psi }_{1,2}),\end{array}$$

где
$$\begin{array}{rl}{\rho }_{1,2}& =\sqrt{R^2+\frac{a^2}{4}\pm aR\cos (\frac{\gamma t}{2}+\beta )},\\ \mathrm{tg}{\psi }_{1,2}& =\frac{\pm a\sin (\frac{\gamma t}{2}+\beta )}{2R\pm a\cos (\frac{\gamma t}{2}+\beta )}.\end{array}$$

Итак, центры окружностей, по которым движутся частицы, вращаются вокруг начала координат с угловой скоростью $\gamma$ (дрейфуют со скоростью $b\gamma /2$ ), а радиусы этих окружностей пульсируют с частотой $\gamma /2$ (рис. 99).

Механизм «перекачки» энергии проще всего понять в другом предельном случае: $a\gg b$ (расстояние между центрами орбит частиц мало по сравнению с радиусами орбит (рис. 100)). Очевидно, работа, совершаемая силами взаимодействия, над второй частицей положительна, а над первой отрицательна в течение многих периодов.
2.35. Убедиться в постоянстве данной величины несложно, используя уравнения движения (ср. [1], § 15), причем удобно представлять ее в виде $\mathbf{A}\mathbf{F}+\frac{1}{2}[\mathbf{F}\mathbf{r}{]}^2$, где $\mathbf{A}=[\mathbf{v}\mathbf{M}]-\frac{\alpha \mathbf{r}}{r}$. При малых значениях $F$ траектория близка к эллипсу, большая полуось которого направлена по вектору $\mathbf{A}$, а эксцентриситет $e=|\mathbf{A}|/\alpha$. В этом случае $\mathbf{A}\mathbf{F}\approx$ const, или $e\cos \psi =$ const, где $\psi$ — угол между А и $\mathbf{F}$.
2.36. Появление малой добавки к потенциальной энергии $\delta U(\mathbf{r})$ приводит к изменению величин, характеризующих движение частицы (момент, положение перигелия и т. д.), причем за небольшой промежуток времени (несколько периодов невозмущенного движения) они также изменяются мало. Однако за длительное время изменения накапливаются, так что некоторые величины могут измениться во много раз.

В частности, орбита в течение малого промежутка времени остается эллипсом. Большая полуось этого эллипса $a=\frac{\alpha }{2|E|}$ определяется энергией и не изменяется за длительное время. Эксцентриситет же $e=\sqrt{1-\frac{M^2}{m\alpha a}}$ и ориентация подвержены накапливающимся изменениям.
a) Изменение момента определяется уравнением
$$\dot{\mathbf{M}}=[\mathbf{r}\mathbf{F}].$$

Усредним это уравнение по периоду
$$⟨\dot{\mathbf{M}}⟩=[⟨\mathbf{r}⟩\mathbf{F}],$$

где
$$⟨\mathbf{r}⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^T\mathbf{r}(t)dt.$$

Рис. 101
Для усреднения используем систему координат с осью $Oz$, параллельной $\mathbf{M}$, и осью $Ox$, параллельной $\mathbf{A}$ (рис. 101). (Здесь $\mathbf{A}=[\mathbf{v}\mathbf{M}]-\frac{\alpha \mathbf{r}}{r}-$ дополнительный интеграл в задаче Кеплера; напомним, что вектор А направлен от центра поля к перигелию, а $|\mathbf{A}|=\alpha e$.) Очевидно, что — $⟨\mathbf{r}⟩$ параллелен $Ox$. Подставляя $x=a(\cos \xi -e),t=\frac{T}{2\pi }(\xi -e\sin \xi )$, получаем
$$⟨x⟩=\frac{a}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }(\cos \xi -e)(1-\cos \xi )d\xi =-\frac{3ae}{2}.$$

Таким образом,
$$⟨\mathbf{r}⟩=-\frac{3ae}{2}\frac{\mathbf{A}}{|A|}=-\frac{3a}{2\alpha }\mathbf{A}.$$

б) Если сила $\mathbf{F}$ перпендикулярна к $\mathbf{M}$, то из соображений симметрии ясно, что орбита — плоская кривая, а вектор $\mathbf{M}$ сохраняет свое направление (с точностью до знака). Перепишем (2), (5), опуская знак усреднения, в виде
$$\dot{M}=\frac{3ae}{2}F\sin \psi$$

где $\psi$ — угол между А и F. Учитывая, что
$$e\cos \psi =\epsilon =\mathrm{const}$$
(см. задачу 2.35), и исключая из (6) $e$ и $\psi$, находим
$$\dot{M}=\frac{3aF}{2}\sqrt{1-{\epsilon }^2-\frac{M^2}{ma\alpha }}\text{. }$$

Интегрируя уравнение (8), получаем
$$M=M_0\cos (\mathrm{\Omega }t+\beta ),$$

где
$$\mathrm{\Omega }=\frac{3F}{2}\sqrt{\frac{a}{m\alpha }},M_0=\sqrt{ma\alpha (1-{\epsilon }^2)},$$

а также
$$e=\sqrt{1-(1-{\epsilon }^2){\cos }^2(\mathrm{\Omega }t+\beta )}.$$

Итак, траектория представляет собой эллипс, покачивающийся около направления $\mathbf{F}$ и меняющий в такт покачиваниям эксцентриситет (рис. 102). Направление движения частицы по эллипсу также изменяется (вместе со знаком $M$ ). Период колебания эллипса $2\pi /\mathrm{\Omega }$ гораздо больше периода обращения частицы по эллипсу $T$.
в) В общем случае рассматриваем также изменение вектора А. Используя уравнения движения, легко получить
Рис. 102
$$\dot{\mathbf{A}}=\frac{1}{m}[\mathbf{F}\mathbf{M}]+[\mathbf{v}[\mathbf{r}\mathbf{F}]].$$

Для усреднения (10) используем равенства
$$\{\begin{array}{rl}⟨x\dot{x}⟩& =⟨\frac{d}{dt}\frac{x^2}{2}⟩=0,\\ ⟨y\dot{y}⟩& =⟨\frac{d}{dt}\frac{y^2}{2}⟩=0,\\ ⟨x\dot{y}⟩+⟨y\dot{x}⟩& =⟨\frac{d}{dt}xy⟩=0,\\ ⟨x\dot{y}⟩-⟨y\dot{x}⟩& =\frac{M}{m}.\end{array}$$

Получаем
$$⟨\dot{\mathbf{A}}⟩=\frac{3}{2m}[\mathbf{F}\mathbf{M}].$$

Итак, для М и А, усредненных по периоду (знак усреднения опускаем), имеем систему уравнений
$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{A}}=\frac{3}{2m}[\mathbf{F}\mathbf{M}],\\ \dot{\mathbf{M}}=\frac{3a}{2\alpha }[\mathbf{F}\mathbf{A}].\end{array}$$

Компоненты этих векторов, параллельные $\mathbf{F}$, сохраняются:
$$\mathrm{MF}=\mathrm{const},\mathbf{A}\mathbf{F}=\mathrm{const}$$
— результат, который легко получить и из других соображений. Для поперечной компоненты М
$${\mathbf{M}}_{\perp }=\mathbf{M}-\frac{\mathbf{F}(\mathbf{M}\mathbf{F})}{F^2}$$

из (13) получаем уравнение
$${\ddot{\mathbf{M}}}_{\perp }+{\mathrm{\Omega }}^2{\mathbf{M}}_{\perp }=0.$$

Его решение запишем, введя систему координат $O{X}_1{X}_2{X}_3$ с осью $X_3$, параллельной $\mathbf{F}$ :
$$\{\begin{array}{l}{M}_1=B_1\cos \mathrm{\Omega }t+C_1\sin \mathrm{\Omega }t,\\ M_2=B_2\cos \mathrm{\Omega }t+C_2\sin \mathrm{\Omega }t.\end{array}$$

Теперь из (13) находим
$$\{\begin{array}{l}{A}_1=-\frac{3F}{2m\mathrm{\Omega }}(B_2\sin \mathrm{\Omega }t-C_2\cos \mathrm{\Omega }t),\\ A_2=\frac{3F}{2m\mathrm{\Omega }}(B_1\sin \mathrm{\Omega }t-C_1\cos \mathrm{\Omega }t).\end{array}$$

Постоянные $B_{1,2},C_{1,2}$ определяются, как и следовало ожидать, начальными значениями векторов М и А.
Конец вектора $\mathrm{M}$ описывает эллипс с центром на оси $X_3$ в плоскости $\mu$, параллельной $O{X}_1{X}_2$ (рис. 103). Конец вектора $\mathbf{A}$ также описывает эллипс с центром на оси $X_3$ в плоскости $\sigma$, параллельной $\mu$, подобный первому и повернутый на $\pi /2$. При этом А все время перпендикулярен к М. Плоскость траектории перпендикулярна к М, вектор А определяет направление на перигелий орбиты.
Итак, плоскость траектории поворачивается («прецессирует») вокруг F. Угол, составляемый плоскостью орбиты $\rho$ с $\mathbf{F}$, колеблется при этом около некоторого среднего значения. Колеблются около среднего значения эксцентриситет и угол между проекцией $\mathbf{F}$ на плоскость $\rho$ и направлением на перигелий. Все эти движения происходят с частотой $\mathrm{\Omega }$.

Напомним, что мы пренебрегали поправками первого порядка по $\mathbf{F}$, если они не приводили к накапливающимся эффектам. Решение справедливо для отрезка времени порядка нескольких периодов прецессии орбиты.

Не приведет ли учет следующих приближений к качественному изменению характера движения (например, к уходу частицы на бесконечность)? Точное решение задачи о движении частицы в поле $U=-\frac{\alpha }{r}-\mathbf{F}\mathbf{r}$, возможное в параболических координатах (см. задачу 12.12б), показывает, что при заданном $E<0$ и достаточно малых $\mathbf{F}$ подобных эффектов не возникает.

Подчеркнем, что появление накапливающихся изменений орбиты под действием сколь угодно малого возмущения связано с вырождением невозмущенного движения.

В [5], § 7.3 можно найти решение этой задачи с использованием канонической теории возмущений.

2.37. Согласно теореме Лармора (см. [2], § 45) орбита частицы в однородном магнитном поле $\mathcal{H}$ вращается вокруг центра кулоновского поля с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }=-\frac{q\mathcal{H}}{2mc}$, где $q-$ заряд частицы. При этом векторы М и А изменяются со скоростями
$${\dot{\mathbf{M}}}_1=[\mathbf{\Omega }\mathit{M}],{\dot{\mathbf{A}}}_1=[\mathbf{\Omega }\mathbf{A}].$$

Усредненные за период скорости изменения векторов $\mathrm{M}$ и А под влиянием постоянной силы $\mathbf{F}=q\mathcal{E}$ определены в предыдущей задаче (см. формулу (13)):
$${\dot{\mathbf{M}}}_2=\frac{3a}{2\alpha }[\mathbf{F}\mathbf{A}],{\dot{\mathbf{A}}}_2=\frac{3}{2m}[\mathbf{F}\mathbf{M}].$$

Усредненные скорости изменения векторов $\mathrm{M}$ и А под влиянием обоих полей равны
$$\dot{\mathbf{M}}={\dot{\mathbf{M}}}_1+{\dot{\mathbf{M}}}_2,\dot{\mathbf{A}}={\dot{\mathbf{A}}}_1+{\dot{\mathbf{A}}}_2.$$
a) Направим ось $x$ по электрическому, а ось $y$ по магнитному полю. Тогда уравнения (3) принимают вид
$${\dot{A}}_x=-\mathrm{\Omega }{A}_y,{\dot{A}}_y=\mathrm{\Omega }{A}_x-\frac{3F}{2m}M,\dot{M}=\frac{3aF}{2\alpha }{A}_y.$$

Решение этой системы:
$$\begin{array}{l}{A}_x=-\frac{\mathrm{\Omega }}{\omega }B\cos (\omega t+\beta )+C,\\ A_y=B\sin (\omega t+\beta ),\\ M=\frac{3aF}{2\alpha \omega }B\sin (\omega t+\beta )+\frac{2m\mathrm{\Omega }}{3F}C,\end{array}$$

где $\omega =\sqrt{{\mathrm{\Omega }}^2+9a{F}^2/4m\alpha }$, а постоянные $B,\beta ,C$ определяются начальными значениями А и М.
Рис. 104

Итак, конец вектора А движется по эллипсу с осями, параллельными осям $x$ и $y$ (рис. 104) и центром на оси $x$. Орбита при этом покачивается (или вращается при $\mathrm{\Omega }B>\omega C$ ), причем периодически изменяется эксцентриситет. При $9a{F}^{2}B>4m\alpha \mathrm{\Omega }\omega C$ эллиптическая орбита периодически вытягивается в отрезок.
б) Обозначив ${\mathbf{\Omega }}_F=\frac{3\mathbf{F}}{2}\sqrt{\frac{a}{m\alpha }},{\mathbf{N}}^{-}=\mathbf{A}\sqrt{\frac{m\alpha }{a}}$, запишем (3) в виде $\dot{\mathbf{M}}=$ $=[\mathbf{\Omega }\mathbf{M}]+\left[{\mathbf{\Omega }}_F\mathbf{N}\right],\dot{\mathbf{N}}=[\mathbf{\Omega }\mathbf{N}]+[{\mathrm{\Omega }}_F\mathbf{M}$. Складывая и вычитая эти уравнения, находим
$${\dot{\mathbf{J}}}_{1,2}=\left[{\omega }_{1,2}{\mathbf{J}}_{1,2}\right],$$

где
$${\mathbf{J}}_{1,2}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}\pm \mathbf{N}),{\mathit{\omega }}_{1,2}=\mathbf{\Omega }\pm {\mathbf{\Omega }}_F.$$

Таким образом, векторы ${\mathbf{J}}_{1,2}$ вращаются с постоянными угловыми скоростями ${\omega }_{1,2}$ :
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{J}}_{1,2}(t)=& {\mathbf{J}}_{1,2}(0)\cos {\omega }_{1,2}t+\\ & +[\frac{{\omega }_{1,2}}{{\omega }_{1,2}}{\mathbf{J}}_{1,2}(0)]\sin {\omega }_{1,2}t+{\omega }_{1,2}\frac{{\mathbf{J}}_{1,2}(0){\mathit{\omega }}_{1,2}}{{\omega }_{1,2}^2}(1-\cos {\omega }_{1,2}t),\end{array}$$

и векторы $\mathbf{M}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2,\mathbf{A}=\sqrt{\frac{a}{m\alpha }}({\mathbf{J}}_1-{\mathbf{J}}_2)$ полностью определяются через свои начальные значения.

Мы не будем подробно анализировать этот ответ. Заметим только, что ${\omega }_1={\omega }_2$, если электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны.
2.38 a. Пусть частица движется в плоскости $xz$. Уравнения для вектора А (см. формулу (10) из задачи 2.36) можно привести к виду
$$\begin{array}{l}{\dot{A}}_x=-2\beta (5xz\dot{z}-2\dot{x}{z}^2)=\frac{6\beta }{m}zM-2\beta \frac{d}{dt}x{z}^2,\\ {\dot{A}}_z=2\beta (4\dot{x}xz-\dot{z}{x}^2)=\frac{4\beta }{m}xM+2\beta \frac{d}{dt}x{z}^2,\end{array}$$

где $M=m(z\dot{x}-x\dot{z})-$ медленно меняющаяся функция времени.
После усреднения этих уравнений получаем
$$\begin{array}{l}{\dot{A}}_x=6\beta M⟨z⟩=-9\frac{\beta a}{m\alpha }{A}_{z}M,\\ {\dot{A}}_z=4\beta M⟨x⟩=-6\frac{\beta a}{m\alpha }{A}_{x}M,\end{array}$$

где $a$ — большая полуось эллипса. Отсюда
$$\frac{{\dot{A}}_x}{{\dot{A}}_z}=\frac{3A_z}{2A_x},$$
т. е., в отличие от задачи 2.36 б, конец вектора А колеблется не вдоль прямой, а вдоль гиперболы
$$A_x^2=\frac{3}{2}{A}_z^2+\text{ const. }$$

Зависимость $A$ от времени можно найти из уравнения
$$t=-\frac{m\alpha }{9\beta a}\int \frac{d{A}_x}{M{A}_z},$$

в котором $M$ и $A_z$ должны быть выражены как функции $A_x$.
Например, для случая, когда в начальный момент $A_z(0)=0,A_x(0)=$ $=\alpha e_0$ ( $e_0-$ начальное значение эксцентриситета), имеем
$$\begin{array}{rlrl}{A}_z& =-\alpha \sqrt{\frac{2}{3}(x^2-e_0^2)},& M& =\sqrt{\frac{5}{3}\mathrm{m}\alpha \mathrm{a}(c^2-x^2)},\\ x& =\frac{A_x}{\alpha },& c& =\sqrt{\frac{3+2e_0^2}{5}}.\end{array}$$

С течением времени орбита медленно поворачивается в плоскости $xz$ и превращается в отрезок, составляющий с осью $x$ угол
$$\psi =-\mathrm{arctg}\sqrt{\frac{2}{3}k},k=\sqrt{\frac{3-3e_0^2}{3+2e_0^2}},$$

за время
$$t=\frac{1}{3\beta }\sqrt{\frac{m\alpha }{10a^3}}{\int }_{e_0}^c\frac{dx}{\sqrt{(x^2-e_0^2)(c^2-x^2)}}.$$

Входящий сюда интеграл приводится к полному эллиптическому интегралу первого рода (см. примечание к задаче 1.7 и [10] стр. 96-97)
$$t=\frac{T\alpha }{6\pi \sqrt{10c}\beta a^3}K(k),$$

где $T$ — период невозмущенного движения.

2.38 б. Будем пользоваться геоцентрической системой координат. Примем прямую Земля-Солнце за ось $z$, ось $x$ — лежащей в плоскости орбиты Земли. Система координат вращается вокруг оси $y$ с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }$. В этой системе отсчета $\delta U$ не зависит явно от времени, так что интегралом движения является энергия
$$E=\frac{m}{2}{v}^2-\frac{\alpha }{r}+\delta U-\frac{m}{2}{\mathrm{\Omega }}^2{r}^2,$$

где $\alpha =\gamma m_{1}m,\gamma -$ гравитационная постоянная, $m_1$ — масса Земли. Сила $\delta \mathbf{F}=-\frac{\partial \delta U}{\partial \mathbf{r}}$ и сила инерции ${\mathbf{F}}_{\text{и }}=m{\mathrm{\Omega }}^2\mathbf{r}+2m[\mathbf{v}\mathbf{\Omega }]$ приводят к искажению эллиптической орбиты Луны. Большая полуось эллипса $a=\alpha /2|E|$ при этом почти не изменяется.

Скорость изменения вектора А складывается из двух слагаемых ${\dot{A}}_1$ и ${\dot{\mathbf{A}}}_2$, отвечающих $\delta \mathbf{F}$ и ${\mathbf{F}}_{\text{и }}$ (ср. с задачей 2.37). Слагаемое ${\dot{\mathbf{A}}}_1$ найдено в пункте а):
$${\dot{A}}_{x1}=\frac{9}{2}\mathrm{\Omega }\zeta A_z,{\dot{A}}_{z1}=3\mathrm{\Omega }\zeta A_x,$$

где $\zeta =M{\mathrm{\Omega }}^{2}a/\alpha$. Поскольку эксцентриситет орбиты Луны мал $e=0,055$, то
$$M\approx m{a}^2\omega ,\alpha \approx m{\omega }^2{a}^3,\zeta \approx \frac{\mathrm{\Omega }}{\omega }\approx \frac{29,5}{365}\approx \frac{1}{12},$$

где $\omega$ — угловая скорость обращения Луны вокруг Земли в принятой (вращающейся) системе координат.

Сила инерции приводит к повороту вектора А с угловой скоростью $-\mathbf{\Omega }$ (так как в отсутствие $\delta U$ орбита была бы неподвижной в системе отсчета $0x_{0}y{z}_0$, оси которой сохраняют постоянные направления).
$${\dot{A}}_{x2}=-\mathrm{\Omega }{A}_z,{\dot{A}}_{z2}=\mathrm{\Omega }{A}_x.$$

Таким образом ${}^1$
$${\dot{A}}_x=-\mathrm{\Omega }(1-\frac{9}{2}\zeta )A_z,{\dot{A}}_z=\mathrm{\Omega }(1+3\zeta )A_x.$$
1Заметим, что согласно (1)
$$A\dot{A}=A_x{\dot{A}}_x+A_z{\dot{A}}_z=-7,5\mathrm{\Omega }\zeta A_x{A}_z.$$

Используя соотношения $A=\alpha e,e^2=1-M^2/\mathrm{ma}\alpha$, можем оценить $\dot{\zeta }={\mathrm{\Omega }}^{2}a\dot{M}/\alpha \sim$ $\sim 7,5e^2\zeta \mathrm{\Omega }\ll \mathrm{\Omega }$. Величину $\zeta$ в (1) можно считать постоянной.

Интегрирование (1) дает
$$A_x=B\cos ({\mathrm{\Omega }}^{\prime }t+\varphi ),A_z=B(1+\frac{15}{4}\zeta )\sin ({\mathrm{\Omega }}^{\prime }t+\varphi ),$$

где ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }=\mathrm{\Omega }(1-\frac{3}{4}\zeta ),B$ и $\varphi -$ постоянные. В системе $0xyz$ вектор А вращается вокруг оси $y$ со средней угловой скоростью $-{\mathbf{\Omega }}^{\prime }$. В системе $0x_{0}y{z}_0$ он вращается с угловой скоростью
$${\mathbf{\Omega }}_{\text{пр }}=\mathbf{\Omega }-{\mathbf{\Omega }}^{\prime }=\frac{3}{4}\zeta \mathbf{\Omega }.$$

Малым, согласно (2), изменениям $|\mathbf{A}|$ отвечают малые пульсации эксцентриситета орбиты.
2.39. Функция Лагранжа системы ( $q-$ заряд частицы)
$$L=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{\alpha }{r}+\frac{q}{c}\frac{[\mathfrak{m}\mathbf{r}]}{r^3}\mathbf{v}$$

лишь обозначениями отличается от рассмотренной в [2] (задача 2 к § 105). Уравнения движения
$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{M}}& =\frac{q}{mc{r}^2}[\mathbf{M}\mathbf{m}]\\ \dot{\mathbf{A}}& =\frac{q}{mc{r}^3}[\mathbf{A}\mathbf{m}]+\frac{3q(\mathbf{M}\mathbf{m})}{m^{2}c{r}^5}[\mathbf{M}\mathbf{r}]\end{array}$$

при усреднении по периоду $T$ невозмущенного движения дают уравнения, описывающие систематическое изменение векторов $\mathbf{M}$ и $\mathbf{A}$ :
$$\begin{array}{l}⟨\dot{\mathbf{M}}⟩=\left[{\mathbf{\Omega }}^{\prime }\mathbf{M}\right],{\mathbf{\Omega }}^{\prime }=-\frac{q\mathfrak{m}}{cm{a}^3{(1-e^2)}^{3/2}},\\ ⟨\dot{\mathbf{A}}⟩=[\mathbf{\Omega }\mathbf{A}],\mathbf{\Omega }={\mathbf{\Omega }}^{\prime }-3\mathbf{M}\frac{\left({\mathbf{\Omega }}^{\prime }\mathbf{M}\right)}{M^2},\end{array}$$

где $a$ и $e$ — большая полуось и эксцентриситет невозмущенной орбиты. Уравнение (1) можно переписать также в виде
$$⟨\dot{\mathbf{M}}⟩=[\mathbf{\Omega }\mathbf{M}],$$

так как вектор $\mathbf{\Omega }-{\mathbf{\Omega }}^{\prime }$ параллелен $\mathrm{M}$.

Из (2) и (3) видно, что эллипс, по которому движется частица, прецессирует «как целое» с угловой частотой $\mathrm{\Omega }$. Другая интерпретация может быть дана на основе уравнений (1) и (2): в системе координат, вращающейся с частотой ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$, вектор $M$, а с ним и п.тоскость движения частицы, неподвижен, вектор же А, а с ним и перигелий орбиты, вращается с постоянной частотой $\mathbf{\Omega }-{\mathbf{\Omega }}^{\prime }$ вокруг направления $\mathbf{M}$.

Укажем еще, что усреднение величин $1/r^3$ и $\mathbf{r}/r^5$ удобно проводить, перейдя от переменной $t$ к углу $\phi$ :
$$⟨\frac{1}{r^3}⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{dt}{r^3(t)}=\frac{m}{TM}{\int }_0^{2\pi }\frac{d\phi }{r(\phi )}=\frac{m}{TMp}{\int }_0^{2\pi }(1+e\cos \phi )d\phi =\frac{2\pi m}{TMp}$$

и
$$\begin{array}{c}⟨\frac{\mathbf{r}}{r^5}⟩=\beta \mathbf{A},\\ \beta =\frac{1}{A^{2}T}{\int }_0^T\frac{\mathbf{A}\mathbf{r}}{r^5}dt=\frac{m}{ATM}{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos \phi }{r^2(\phi )}d\phi =\frac{2\pi me}{TM{p}^2}.\end{array}$$
2.40. При усреднении уравнений (см. формулу (10) задачи 2.36)
$$\dot{\mathbf{A}}=\frac{1}{m}[\mathbf{F}\mathbf{M}]+[\mathbf{v}[\mathbf{r}\mathbf{F}]]$$

учтем, что $⟨\mathbf{F}⟩=0$ и что, согласно уравнениям невозмущенного движения,
$$m\ddot{\mathbf{v}}=\frac{d}{dt}m\dot{\mathbf{v}}=\frac{d}{dt}(-\alpha \frac{\mathbf{r}}{r^3})=-\frac{\alpha \mathbf{v}}{r^3}+\frac{3\alpha \mathbf{r}(\mathbf{r}\mathbf{v})}{r^5}.$$

Это дает (см. предыдущую задачу)
$$⟨\dot{\mathbf{A}}⟩=-\frac{\alpha \beta }{m^2}⟨\frac{[\mathbf{v}\mathbf{M}]}{r^3}⟩=\frac{\alpha \beta }{m^2}⟨\frac{\mathbf{A}}{r^3}+\frac{\alpha \mathbf{r}}{r^4}⟩=-\frac{3\pi \alpha \beta }{2m^2{a}^3{(1-e^2)}^{3/2}}\mathbf{A}.$$

Отсюда видно, что скорость изменения вектора А направлена в сторону, противоположную самому вектору А. Как известно, вектор А направлен к перигелию орбиты и по величине равен $A=\alpha e$. Таким образом, добавочная сила не вызывает прецессию орбиты, а приводит к уменьшению эксцентриситета.

Можно также показать (см. [2], § 75, задача 1), что вследствие потери энергии и момента частица за конечное время упадет на центр.