3.1. а) Как легко видеть на рис. 105 , угол отклонения частицы $\theta$ равен удвоенному углу наклона касательной к поверхности в точке столкновения. Поэтому
\[
\operatorname{tg} \frac{\theta}{2}=\frac{d \rho}{d z}=\frac{b}{a} \cos \frac{z}{a} .
\]

Отсюда
\[
\rho^{2}=b^{2}-a^{2} \operatorname{tg}^{2} \frac{\theta}{2}
\]

Рис. 105

и
\[
d \sigma=\pi\left|d \rho^{2}\right|=\pi a^{2} \operatorname{tg} \frac{\theta}{2} \frac{d \theta}{\cos ^{2}(\theta / 2)}=\frac{a^{2} d o}{4 \cos ^{4} \frac{\theta}{2}} .
\]

Возможно отклонение частицы на углы от нулевого (при $\rho \rightarrow b$ ) до $\theta_{m}=$ $=2 \operatorname{arctg} \frac{b}{a}$ (при $\rho \rightarrow 0$ ).
Итак,
\[
d \sigma=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{a^{2} d o}{4 \cos ^{4} \frac{\theta}{2}} & \text { при } 0<\theta<\theta_{m}, \\
0 & \text { при } \theta_{m}<\theta .
\end{array}\right.
\]
б) $d \sigma=A^{2 /(1-n)}\left(n \operatorname{ctg} \frac{\theta}{2}\right)^{(1+n) /(1-n)} \frac{d o}{(1-n) \sin \theta \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}$.

При $n \rightarrow 1$ приведенное сечение равно
\[
\frac{d \sigma}{d o}=\left\{\begin{aligned}
0 & \text { при } \theta>\theta_{0}=2 \operatorname{arctg} A, \\
\infty & \text { при } \theta<\theta_{0} .
\end{aligned}\right.
\]

Этот результат ошибочен. Почему?
\[
d \sigma=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{b}{4}\left(a \sqrt{\operatorname{tg} \frac{\theta}{2}}-b\right) \frac{d o}{\sin ^{2} \frac{\theta}{2} \sin \theta} & \text { при } 0<\theta<\theta_{m}=2 \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}, \\
0 & \text { при } \theta_{m}<\theta .
\end{array}\right.
\]

3.2. Параболоид вращения $\rho^{2}=\frac{\alpha}{E} z$.

Сближаются ли траектории частиц, рассеянных в поле и на параболоиде при $r \rightarrow \infty$ ?
3.3. При $E>V$
\[
d \sigma=\left\{\begin{array}{l}
{\left[\frac{a^{2} n^{2}}{4 \cos \frac{\theta}{2}} \frac{\left(n \cos \frac{\theta}{2}-1\right)\left(n-\cos \frac{\theta}{2}\right)}{\left(1+n^{2}-2 n \cos \frac{\theta}{2}\right)^{2}}+\frac{a^{2}}{4}\right] d o \quad \text { при } 0<\theta<\theta_{m},} \\
0 \text { при } \theta_{m}=2 \arccos n<\theta<\pi,
\end{array}\right.
\]

где
\[
n=\sqrt{1-V / E} .
\]

Чем вызвано отличие этого сечения от сечения рассеяния на потенциальной яме (см. [1], §19, задача 2)?
3.4.
\[
\sigma=\left\{\begin{array}{ll}
\pi\left(\frac{\beta}{E}-\frac{\alpha^{2}}{4 E^{2}}\right) & \text { при } E>\frac{\alpha^{2}}{4 \beta}, \\
0 & \text { при } E<\frac{\alpha^{2}}{4 \beta} .
\end{array}\right.
\]

Как изменится сечение при изменении знака $\alpha$ ?
\[
\sigma=\left\{\begin{array}{ll}
\pi\left(2 \sqrt{\frac{\gamma}{E}}-\frac{\beta}{E}\right) & \text { при } E>\frac{\beta^{2}}{4 \gamma} \\
0 & \text { при } E<\frac{\beta^{2}}{4 \gamma}
\end{array}\right.
\]
3.5. a) Рассмотрим движение пучка частиц в поле $U(r)=-\frac{\alpha}{r^{n}}$. Графики $U_{\text {эфф }}(r)=$ $=\frac{E \rho^{2}}{r^{2}}-\frac{\alpha}{r^{n}}$ значениях прицельного параметра $\rho$ приведены на рис. 106.

При больших значениях $\rho$ (кривая 1) частица рассеивается, приближаясь к центру поля на расстояние $r_{\min }(\rho)$, определяемое условием $U_{\text {эфф }}\left(r_{\min }\right)=E$. При уменьшении $\rho$ уменьшается и $r_{\min }$ вплоть до значения $r_{0}$, достигаемого при $\rho=\rho_{0}$ (кривая 2). При еще меньших $\rho$ частица падает в центр (кривая 3 ).

Величины $r_{0}$ и $\rho_{0}$ определяются условиями
\[
U_{э ф \phi}\left(r_{0}\right)=E, \quad U_{э ф \phi}^{\prime}\left(r_{0}\right)=0
\]

и равны
\[
r_{0}=(n-2)^{1 / n}\left(\frac{2 E}{\alpha}\right)^{1 / n}, \quad \rho_{0}=\sqrt{\frac{n}{n-2}}\left[\frac{(n-2) \alpha}{2 E}\right]^{1 / n} .
\]

Если $R>r_{0}$, то на шарик падают частицы с $r_{\min } \leqslant R$, и сечение падения
\[
\sigma=\pi \rho^{2}\left(r_{\text {min }}=R\right)=\pi R^{2}\left(1+\frac{\alpha}{E R^{2}}\right) .
\]

Если $R<r_{0}$, то на шарик падают частицы, которые упали бы в центр, и сечение падения
\[
\sigma=\pi \rho_{0}^{2}=\frac{\pi n}{n-2}\left[\frac{(n-2) \alpha}{2 E}\right]^{2 / n} .
\]
б) $\sigma=\pi\left(2 \sqrt{\frac{\gamma}{E}}-\frac{\beta}{E}\right)$, если $2 \sqrt{\gamma E}>\beta, E R^{4}<\gamma$.

Если же хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то
\[
\sigma=\pi R^{2}\left(1+\frac{\gamma}{E R^{4}}-\frac{\beta}{E R^{2}}\right) .
\]
3.6. a) $d \sigma=\frac{R^{2}(1+\lambda) d o}{4\left(1+\lambda \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)^{2}}$, где
\[
\lambda=\frac{4 R E(R E+\alpha)}{\alpha^{2}} .
\]

Как объяснить результат, получаемый при $\alpha+2 R E=0$ ?
б) В плоскости траектории частицы введем декартовы координаты с осью $x$, направленной вдоль оси пучка, и осью $y$ – вдоль прицельного параметра. Движение частицы в области $r \leqslant R$ есть гармоническое колебание по каждой из координат, причем в начальный момент этого колебания (при $t=0$ ) $y_{0}=\rho, \dot{y}_{0}=0, x_{0}=-\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}, \dot{x}_{0}=v$, так что
\[
x=-\sqrt{R^{2}-\rho^{2}} \cos \omega t+\frac{v}{\omega} \sin \omega t, \quad y=\rho \cos \omega t .
\]

Момент выхода частицы из области действия сил определяется условием
\[
x^{2}+y^{2}=R^{2},
\]

а угол $\theta$ между скоростью частицы в этот момент и осью $x$ – условием
\[
\sin \theta=\frac{\dot{y}}{v}=-\frac{\rho \omega}{v} \sin \omega t .
\]

Подставив (1) и (3) в (2), получаем уравнение
\[
\rho^{4}-\rho^{2} R^{2}\left(1+\lambda \sin ^{2} \theta\right)-\frac{1}{4} R^{4}(1+\lambda)^{2} \sin ^{2} \theta=0,
\]

где $\lambda=\frac{v^{2}}{R^{2} \omega^{2}}$. Отсюда
\[
\rho_{1,2}^{2}=\frac{R^{2}}{2}\left(1+\lambda \sin ^{2} \theta \mp \sqrt{\cos ^{2} \theta-\lambda^{2} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}\right),
\]

и сечение
\[
d \sigma=\pi\left(\left|d \rho_{1}^{2}\right|+\left|d \rho_{2}^{2}\right|\right)=\pi d\left(\rho_{1}^{2}-\rho_{2}^{2}\right)=\frac{R^{2}\left(1+\lambda^{2} \cos 2 \theta\right) d o}{2 \sqrt{1-\lambda^{2} \sin ^{2} \theta}} .
\]

Если $\lambda>1$, то возможно рассеяние только на углы, меньшие $\theta_{m}=$ $=\arcsin \frac{R^{2} \omega^{2}}{v^{2}}$, а при $\theta \rightarrow \theta_{m}$ сечение $\frac{d \sigma}{d o}$ неограниченно возрастает. Такая особенность сечения называется радужным рассеянием (см. [11], гл. 5, § 5). Подобного типа особенность сечения приводит к образованию радуги при рассеянии света каплями воды.
Примеры радужного рассеяния см. также в задачах 3.8, 3.10.
3.7.
\[
\frac{d \sigma}{d o}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{a^{2} \theta_{m}^{2}\left(\theta_{m}-\theta\right)}{\theta^{3}\left(2 \theta_{m}-\theta\right)^{2}} & \text { при } \theta \leqslant \theta_{m}=\pi \frac{V}{E}, \\
0 & \text { при } \theta>\theta_{m} .
\end{array}\right.
\]
б) При вычисления угла рассеяния (см. [1], §20)
\[
\theta=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{F_{y} d x}{2 E}=2 \frac{V}{E} \frac{\rho \sqrt{R^{2}-\rho^{2}}}{R^{2}}
\]

учтем, что сила
\[
F_{y}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{2 V y}{R^{2}}=\frac{2 V \rho}{R^{2}} & \text { при }-\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}<x<\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}, \\
0 & \text { при }|x|>\sqrt{R^{2}-\rho^{2}} .
\end{array}\right.
\]

Отсюда находим $\rho_{1,2}^{2}=\frac{1}{2} R^{2}\left(1 \mp \sqrt{1-\theta^{2} / \theta_{m}^{2}}\right)$, где $\theta_{m}=V / E$, поэтому $d \sigma=\pi\left(\left|d \rho_{1}^{2}\right|+\left|d \rho_{2}^{2}\right|\right)=\pi d\left(\rho_{1}^{2}-\rho_{2}^{2}\right)$. Окончательно
\[
d \sigma=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{R^{2} d o}{2 \theta_{m} \sqrt{\theta_{m}^{2}-\theta^{2}}} & \text { при } 0<\theta<\theta_{m}, \\
0 & \text { при } \theta>\theta_{m} .
\end{array}\right.
\]

Сравните этот ответ с ответом задачи 3.6б, в которой рассматривался потенциал, отличающийся знаком от данного.
3.8. Угол отклонения частицы
\[
\theta=\left|\frac{3 \pi \beta}{4 E \rho^{4}}-\frac{\pi a}{2 E \rho^{2}}\right|
\]

легко вычисляется по общей формуле ${ }^{1}$. Зависимость $\theta\left(\rho^{2}\right)$ изображена на рис. 107. Из (1) находим
\[
\begin{array}{r}
\rho_{1}^{2}=\frac{\alpha \pi}{4 E \theta}\left(\sqrt{1+\frac{\theta}{\theta_{m}}}-1\right), \\
\rho_{2,3}^{2}=\frac{\alpha \pi}{4 E \theta}\left(1 \mp \sqrt{1-\frac{\theta}{\theta_{m}}}\right),
\end{array}
\]

где $\theta_{m}=\frac{\pi \alpha^{2}}{12 E \beta}$. Сечение
\[
\begin{aligned}
d \sigma=\pi\left(\left|d \rho_{1}^{2}\right|+\left|d \rho_{2}^{2}\right|\right. & \left.+\left|d \rho_{3}^{2}\right|\right)=\pi d\left(-\rho_{1}^{2}+\rho_{2}^{2}-\rho_{3}^{2}\right)= \\
& =\frac{\alpha \pi}{8 E \theta^{3}}\left(\frac{1+\theta / 2 \theta_{m}}{\sqrt{1+\theta / \theta_{m}}}+\frac{2-\theta / \theta_{m}}{\sqrt{1-\theta / \theta_{m}}}-1\right) d o .
\end{aligned}
\]

Для справедливости полученного результата достаточно, чтобы каждое слагаемое в (1) было много меньше единицы. Оценка показывает, что для этого достаточно выполнения условия $\theta \ll 1$. Выражение (2) получено для $\theta<\theta_{m}$. Если $\theta_{m} \ll 1$, то для $\theta_{m}<\theta \ll 1$ сечение
\[
d \sigma=\pi\left|d \rho_{1}^{2}\right|=\frac{\alpha \pi}{8 E \theta^{3}}\left(\frac{1+\theta / 2 \theta_{m}}{\sqrt{1+\theta / \theta_{m}}}-1\right) d o .
\]
${ }^{1}$ Проще всего взять оба слагаемых (1) из задачи 2 к § 20 работы [1].

Рис. 107
Рис. 108
Зависимость $\frac{d \sigma}{d o}$ от $\theta$ изображена на рис. 108. При $\theta \rightarrow 0$ и при $\theta \rightarrow \theta_{m}$ сечение $\frac{d \sigma}{d o}$ неограниченно возрастает. Сечение рассеяния в интервал углов, прилегающий к $\theta=0$, бесконечно, так как рассеяние на малые углы отвечает большим прицельным параметрам.
Сечение рассеяния в интервал углов $\theta_{m}-\delta<\theta<\theta_{m}$
\[
\int_{\theta_{m}-\delta}^{\theta_{m}} 2 \pi \frac{d \sigma}{d o} \theta d \theta=\frac{\alpha \pi^{2} \delta^{1 / 2}}{2 E \theta_{m}^{3 / 2}}
\]

конечно и стремится к нулю при $\delta \rightarrow 0$.
Как зависит количество рассеянных частиц, попавших на счетчик, от размеров счетчика, если он расположен под углом $\theta_{m}$ ?
3.9. Скорость частицы после рассеяния по сравнению с первоначальным направлением оказывается повернутой на угол
\[
\theta=\pi-\frac{\pi}{\sqrt{1-a^{2} / \rho^{2}}}, \quad a^{2}=\frac{\alpha}{E} .
\]

Счетчик рассеянных частиц регистрирует вместе с частицами, отклоненными на угол $|\theta|<\pi$, также и частицы, сделавшие предварительно несколько оборотов вокруг центра (рис. $109, a$ ). Наблюдаемый угол отклонения $\chi$ лежит в пределах $0<\chi<\pi$ и связан с $\theta$ соотношением
\[
-\theta=2 \pi l \pm \chi,
\]

Рис. 109

где верхнему знаку соответствует $l=0,1, \ldots$, а нижнему $l=1,2, \ldots$ (рис. 109,б). Из (1) и (2) имеем
\[
\rho^{2}(\chi, l, \pm)=a^{2}+\frac{\pi a^{2}}{2}\left(\frac{1}{2 \pi l \pm \chi}-\frac{1}{2 \pi l+2 \pi \pm \chi}\right) .
\]

Сечение
\[
\begin{array}{c}
d \sigma=\pi \sum_{l=0}^{\infty}\left|d \rho^{2}(\chi, l,+)\right|+\pi \sum_{l=1}^{\infty}\left|d \rho^{2}(\chi, l,-)\right| . \\
\text { Учитывая, что } \frac{d \rho^{2}(\chi, l,+)}{d \chi}<0, \frac{d \rho^{2}(\chi, l,-)}{d \chi}>0 \text {, находим } \\
d \sigma=\pi d\left[-\sum_{l=0}^{\infty} \rho^{2}(\chi, l,+)+\sum_{l=1}^{\infty} \rho^{2}(\chi, l,-)\right]= \\
=\frac{\pi^{2} a^{2}}{2} d\left(\frac{1}{2 \pi-\chi}-\frac{1}{\chi}\right)=\frac{\pi a^{2}\left(2 \pi^{2}-2 \pi \chi+\chi^{2}\right)}{2 \chi^{2}(2 \pi-\chi)^{2} \sin \chi} d o .
\end{array}
\]

Сечение $\frac{d \sigma}{d o}$ обращается в бесконечность при $\chi \rightarrow \pi$. В данном случае это приводит к тому, что сечение рассеяния в малый конечный телесный

\[
\begin{array}{l}
\text { угол } \Delta o=\int_{\pi-\chi_{0}}^{\pi} 2 \pi \sin \chi d \chi=\pi \chi_{0}^{2} \text { равно } \\
\Delta \sigma=\frac{a^{2}}{2 \pi} \int_{\pi-\chi_{0}}^{\pi} \frac{d o}{\chi}=a^{2} \chi_{0}=a^{2} \sqrt{\frac{\Delta o}{\pi}} .
\end{array}
\]

Появление особенности дифференциального сечения обусловлено тем, что угол отклонения, равный $\pi$, достигается при значениях прицельного параметра $\rho(\pi, l, \pm)$, отличных от нуля. В телесный угол $\Delta o$, пропорциональный квадрату малой величины $\Delta \chi \equiv \chi_{0}$, попадают частицы, летевшие до рассеяния через площадки $2 \pi \rho \Delta \rho$, площади которых пропорциональны первой степени $\Delta \rho \propto \chi_{0}$. Такую особенность рассеяния называют сиянием (см. [11], гл. 5, §5).

Такая же особенность есть и в рассеянии на угол $\chi=0$, но в данном случае она маскируется бесконечным сечением из-за рассеяния частиц со сколь угодно большими прицельными параметрами. Сияние при рассеянии вперед могло бы проявиться, например, при ограничении диаметра налетающего на центр пучка частиц.
3.10. а) Условие $E \gg V$ приводит, как легко видеть, к малости угла отклонения частицы при рассеянии. Изменение импульса
\[
\Delta p=-\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{-\infty}^{\infty} U(|\boldsymbol{\rho}+\mathbf{v} t|) d t=\frac{2 V \sqrt{\pi}}{v} x e^{-x^{2}},
\]

где $x=\varkappa \rho$.
Угол отклонения
\[
\theta=\frac{\Delta p}{p}=\frac{V \sqrt{\pi}}{E} x e^{-x^{2}} .
\]

Разрешить это уравнение относительно $x$ в аналитической форме не удается. Однако, используя график функции $x e^{-x^{2}}$ (рис. 110), видим, что при $\theta<\theta_{m}=\frac{V}{E} \sqrt{\frac{\pi}{2 e}}-$ уравнение (1) имеет два корня.
Используя соотношение
\[
d \theta=\frac{V \sqrt{\pi}}{E}\left(1-2 x^{2}\right) e^{-x^{2}} d x
\]

Рис. 110
Рис. 111
и учитывая (1), представим сечение
\[
d \sigma=\pi\left(\left|d \rho_{1}^{2}\right|+\left|d \rho_{2}^{2}\right|\right)=\frac{2 \pi}{\varkappa^{2}}\left(x_{1} d x_{1}-x_{2} d x_{2}\right)
\]

в виде
\[
d \sigma=\frac{d o}{\varkappa^{2} \theta^{2}}\left(\frac{x_{2}^{2}}{2 x_{2}^{2}-1}+\frac{x_{1}^{2}}{1-2 x_{1}^{2}}\right) .
\]

При $\theta \ll \theta_{m}$ оказывается $x_{1} \ll 1, x_{2} \gg 1$ и
\[
d \sigma=\frac{d o}{2 \varkappa^{2} \theta^{2}} .
\]

При $\theta_{m}-\theta \ll \theta_{m}$ можно разрешить (1), разложив $x e^{-x^{2}}$ в ряд вблизи максимума. Получаем
\[
x_{1,2}=\frac{1 \mp \sqrt{1-\theta / \theta_{m}}}{\sqrt{2}}, \quad d \sigma=\frac{d o}{2 \varkappa^{2} \theta_{m}^{2} \sqrt{1-\theta / \theta_{m}}} .
\]

График $d \sigma / d o$ изображен на рис. 111. Особенность при $\theta=\theta_{m}-$ интегрируемая (ср. с задачей 3.8).

Связано ли появление особенности сечения при $\theta=\theta_{m}$ с приближенным методом решения задачи?
б) $d \sigma=\frac{d o}{\varkappa^{2} \theta^{2}}\left(\frac{x_{1}+x_{1}^{2}}{1-2 x_{1}}+\frac{x_{2}+x_{2}^{2}}{2 x_{2}-1}\right)$, где $\frac{x_{1,2}}{\left(1+x_{1,2}\right)^{3}}=\left(\frac{2 E \theta}{\pi V}\right)^{2}$.
При $\theta \ll \theta_{m}=\frac{\pi V}{3 \sqrt{3} E}$
\[
d \sigma=\frac{\pi V d o}{4 \varkappa^{2} E \theta^{3}} .
\]

При $\theta_{m}-\theta \ll \theta_{m}$
\[
d \sigma=\frac{\sqrt{3} d o}{2 \sqrt{2} \varkappa^{2} \theta_{m}^{2} \sqrt{1-\theta / \theta_{m}}} .
\]
3.11. а) При столкновении частица, имевшая скорость $\mathbf{v}$, приобретает скорость $\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}-2 \mathbf{n}(\mathbf{n v})$, где $\mathbf{n}-$ единичный вектор нормали к поверхности эллипсоида. Подставляя
\[
\mathbf{v}=v(0,0,1), \quad \mathbf{n}=\frac{1}{N}\left(\frac{x}{a^{2}}, \frac{y}{b^{2}}, \frac{z}{c^{2}}\right),{ }^{1}
\]

получаем
\[
\mathbf{v}^{\prime}=v\left(-\frac{2 x z}{N^{2} a^{2} c^{2}},-\frac{2 y z}{N^{2} b^{2} c^{2}}, 1-\frac{2 z^{2}}{N^{2} c^{4}}\right) .
\]

Введем полярные углы, определяющие направление $\mathbf{v}^{\prime}: \mathbf{v}^{\prime}=v(\sin \theta \cos \varphi$, $\sin \theta \sin \varphi, \cos \theta$ ). Сравнивая с (1), находим
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{a^{2} y}{b^{2} x}, \quad \cos \theta=1-\frac{2 z^{2}}{N^{2} c^{4}}, \quad \sin ^{2} \theta=\left(\frac{2 z}{N^{2} c^{2}}\right)^{2}\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}\right) .
\]

Сечение
\[
d \sigma=d x d y=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(\theta, \varphi)}\right| d \theta d \varphi,
\]

где зависимость $x, y$ от $\theta, \varphi$ определяется из (2) и уравнения эллипсоида. Для вычисления якобиана оказывается удобным ввести промежуточную переменную $u$ такую, что
\[
x=a^{2} u \cos \varphi, \quad y=b^{2} u \sin \varphi .
\]

Из (2) получаем
\[
\sin \theta=\frac{2 z u}{N^{2} c^{2}}, \quad 1-\cos \theta=\frac{2 z^{2}}{N^{2} c^{4}}, \quad \operatorname{tg} \frac{\theta}{2}=\frac{z}{u c^{2}}
\]
${ }^{1}$ Как известно из дифференциальной геометрии
\[
\mathbf{n} \propto \operatorname{grad}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-1\right),
\]
$N$ определяется условием $\mathbf{n}^{2}=1$.

и из уравнения эллипсоида находим
\[
u^{-2}=a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi+c^{2} \operatorname{tg}^{2} \frac{\theta}{2} .
\]

Далее,
\[
\frac{\partial(x, y)}{\partial(\theta, \varphi)}=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, \varphi)} \frac{\partial(u, \varphi)}{\partial(\theta, \varphi)}=\frac{a^{2} b^{2}}{2} \frac{\partial u^{2}}{\partial \theta} .
\]

Окончательно
\[
d \sigma=\frac{a^{2} b^{2} c^{2} d o}{4 \cos ^{4} \frac{\theta}{2}\left(a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi+c^{2} \operatorname{tg}^{2} \frac{\theta}{2}\right)^{2}} .
\]

С помощью какого предельного перехода можно получить из этого результата сечение рассеяния на параболоиде?
б) $d \sigma=\frac{a^{2} b^{2} c^{2} d o}{\cos ^{3} \theta\left(a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi+c^{2} \operatorname{tg}^{2} \theta\right)^{2}}$;
в) $d \sigma=\frac{\cos \theta a^{2} b^{2} c^{2} d o}{\sin ^{4} \theta\left(a^{2} \cos ^{2} \varphi+b^{2} \sin ^{2} \varphi+c^{2} \operatorname{ctg}^{2} \theta\right)^{2}}$.
3.12. а) Изменение импульса при рассеянии
\[
\Delta \mathbf{p}=-\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial U(\mathbf{r}(t))}{\partial \mathbf{r}} d t .
\]

При рассеянии на малые углы в правую часть (1) можно подставить $\mathbf{r}(t)=$ $=\rho+\mathbf{v} t$, где $\rho \perp \mathbf{v}$;
\[
\Delta \mathrm{p}=-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\rho}} \int_{-\infty}^{\infty} U(\boldsymbol{\rho}+\mathbf{v} t) d t=-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\rho}} \frac{\mathbf{a} \boldsymbol{\rho} \pi}{v \rho} .{ }^{1}
\]

Пусть ось $z$ параллельна $\mathbf{v}$, ось $y$ перпендикулярна к а. Тогда
\[
\Delta p_{x}=-\frac{\pi a_{x}}{v} \frac{\rho_{y}^{2}}{\rho^{3}}, \quad \Delta p_{y}=\frac{\pi a_{x}}{v} \frac{\rho_{x} \rho_{y}}{\rho^{3}} .
\]
${ }^{1}$ Замена в (2) дифференцирования по $\mathbf{r}$ дифференцированием по $\rho$ (при условии $\rho \perp \mathbf{v}_{\infty}$ ) приводит к тому, что полученная формула определяет только компоненты $\Delta \mathbf{p}$, перпендикулярные к $\mathbf{v}_{\infty}$.

Направление скорости после рассеяния характеризуем углами в сферической системе координат
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{\Delta p_{y}}{\Delta p_{x}}, \quad \theta=\frac{\Delta p}{p} .
\]

Из (3) ясно, что рассеяние происходит только в интервал углов
\[
\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{3 \pi}{2} .
\]

Из (3) и (4) находим
\[
\rho_{x}= \pm \frac{\pi a_{x}}{2 E} \frac{\sin \varphi \cos \varphi}{\theta}, \quad \rho_{y}=\mp \frac{\pi a_{x}}{2 E} \frac{\cos ^{2} \varphi}{\theta} .
\]

Сечение
\[
d \sigma=\sum d \rho_{x} d \rho_{y}=\sum\left|\frac{\partial\left(\rho_{x}, \rho_{y}\right)}{\partial(\theta, \varphi)}\right| d \theta d \varphi=\left(\frac{\pi a_{x}}{E}\right)^{2} \frac{\cos ^{2} \varphi}{2 \theta^{4}} d o .
\]
(Суммирование в (6) проводится по двум возможным, согласно (5), значениям $\rho$.)
б) $d \sigma=\frac{\left|\mathbf{a}_{\perp}\right| d o}{2 E \theta^{3}}, \mathbf{a}_{\perp}-$ компонента $\mathbf{a}$, перпендикулярная к $\mathbf{v}_{\infty}$. Сечение оказывается симметричным относительно $\mathbf{v}_{\infty}$ (хотя поле отнюдь не симметрично относительно этого направления).
3.13. Изменение угла отклонения частицы (ср. с задачей 2.17)
\[
\delta \theta(\rho)=-\frac{1}{E} \frac{\partial}{\partial \rho} \int_{r_{\text {mir. }}}^{\infty} \frac{\delta U(r) d r}{\sqrt{1-\frac{\rho^{2}}{r^{2}}-\frac{U(r)}{E}}} .
\]

Из уравнения $\theta=\theta_{0}(\rho)+\delta \theta(\rho)$ находим
\[
\rho=\rho_{0}(\theta)-\delta \theta\left(\rho_{0}(\theta)\right) \frac{d \rho_{0}(\theta)}{d \theta}
\]

(ср. с задачей 1.8). Здесь зависимость $\theta_{0}(\rho)$ соответственно $\rho_{0}(\theta)$, определяется при $\delta U(r)=0$. Отсюда сечение
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \sigma}{d \theta}=\pi\left|\frac{d \rho^{2}}{d \theta}\right|=\pi\left|\frac{d \rho_{0}^{2}(\theta)}{d(\theta)}-\frac{d}{d \theta} 2 \rho_{0}(\theta) \delta \theta\left(\rho_{0}(\theta)\right) \frac{d \rho_{0}(\theta)}{d \theta}\right|= \\
=\frac{d \sigma_{0}}{d \theta} \mp \frac{d}{d \theta}\left[\delta \theta\left(\rho_{0}(\theta)\right) \frac{d \sigma_{0}}{d \theta}\right] .
\end{array}
\]

Знак перед $d / d \theta$ противоположен знаку $d \rho_{0}(\theta) / d \theta$.
a) $\delta \frac{d \sigma}{d \theta}=\frac{\pi \beta}{E} \frac{d}{d \theta} \frac{\pi-\theta+2 \cos (\theta / 2)}{\sin \theta}$
б) $\delta \frac{d \sigma}{d \theta}=\frac{2 \gamma}{\pi^{3} \sqrt{\beta E}} \frac{d}{d \theta} \frac{(\pi-\theta)^{2}}{\sqrt{\theta(2 \pi-\theta)}}$.
3.14. Приобретаемая частицей энергия
\[
\varepsilon=\frac{(\mathrm{p}+\Delta \mathbf{p})^{2}}{2 m}-\frac{p^{2}}{2 m} \approx \mathbf{v} \Delta \mathbf{p}
\]

определяется в первом порядке лишь изменением продольной компоненты импульса. Так как отклонение частицы можно считать малым, в выражении для силы
\[
\mathbf{F}=-\frac{\partial U(r, t)}{\partial \mathbf{r}},
\]

действующей на частицу, положим (после дифференцирования) $\mathbf{r}=\rho+$ $+\mathbf{v}(t-\tau)$. Здесь $\rho-$ прицельный параметр, $\mathbf{a} \tau$ – момент времени, в который частица находится на минимальном расстоянии от центра. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon=\mathbf{v} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{F}(t) d t=\varepsilon_{m} e^{-\varkappa^{2} \rho^{2} \cos \varphi}, \\
\varepsilon_{m}=\sqrt{\pi} V_{2} \frac{\omega}{\varkappa v} e^{-\frac{\omega^{2}}{4 \varkappa^{2} v^{2}}}, \quad \varphi=\omega \tau,
\end{array}
\]

а сечение рассеяния для частиц с данным $\tau$ при $\cos \varphi>0(\cos \varphi<0)$ есть
\[
\frac{d \sigma}{d \varepsilon}=\left\{\begin{array}{lll}
\frac{\pi}{\varkappa^{2}|\varepsilon|} & \text { при } 0<\varepsilon<\varepsilon_{m} \cos \varphi & \left(0>\varepsilon>\varepsilon_{m} \cos \varphi\right), \\
0 & \text { при }|\varepsilon|>\varepsilon_{m}|\cos \varphi| .
\end{array}\right.
\]

В падающем пучке есть частицы с различными $\tau$. Усредняя сечение по фазе $\varphi$ (например, для $\varepsilon>0$ по формуле
\[
\left.\left\langle\frac{d \sigma}{d \varepsilon}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{d \sigma}{d \varepsilon} d \varphi, \quad \alpha=\arccos \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{m}}\right),
\]

получим
\[
\left\langle\frac{d \sigma}{d \varepsilon}\right\rangle=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\varkappa^{2}|\varepsilon|} \arccos \frac{|\varepsilon|}{\varepsilon_{m}} & \text { при }|\varepsilon|<\varepsilon_{m}, \\
0 & \text { при }|\varepsilon|>\varepsilon_{m} .
\end{array}\right.
\]
3.15.
\[
\begin{array}{c}
\frac{d N}{N}=\frac{\lambda^{2} \sin \theta d \theta}{\cos ^{3} \theta \sqrt{1-\lambda^{2} \operatorname{tg}^{2} \theta}}, \quad \lambda=\frac{V^{2}-v_{0}^{2}}{2 V v_{0}}, \\
0 \leqslant \theta \leqslant \operatorname{arctg} \lambda^{-1}, \quad \text { если } \quad V<v_{0}, \\
\left(\pi-\operatorname{arctg}|\lambda|^{-1}\right) \leqslant \theta \leqslant \pi, \quad \text { если } \quad V<v_{0} .
\end{array}
\]
3.16.
\[
\begin{array}{c}
\frac{d N}{N}=\frac{6\left(T_{\max }-T\right)\left(T-T_{\min }\right)}{\left(T_{\max }-T_{\min }\right)^{3}} d T, \quad T_{\min } \leqslant T \leqslant T_{\mathrm{r}} \\
T_{\min }=\frac{m}{2}\left(v_{0}-V\right)^{2}, \quad T_{\max }=\frac{m}{2}\left(v_{0}+V\right)^{2} . \\
\operatorname{tg} \theta_{1}=\operatorname{ctg} \theta_{2}=\frac{\alpha}{E \rho}, \quad E=\frac{m v^{2}}{2}, \\
v_{1}=\frac{E \rho v}{\sqrt{\alpha^{2}+E^{2} \rho^{2}}}, \quad v_{2}=\frac{\alpha v}{\sqrt{\alpha^{2}+E^{2} \rho^{2}}} .
\end{array}
\]
3.18.
\[
\begin{array}{r}
\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \pi \text { при } m_{1}<m_{2}, \\
\theta=\frac{\pi}{2} \text { при } m_{1}=m_{2}, \\
0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2} \text { при } m_{1}>m_{2} .
\end{array}
\]
3.19. В системе центра масс в результате столкновения составляющая скорости, нормальная к поверхности шариков в точке соприкосновения, обратится в нуль, а тангенциальная $v_{0}^{\prime}$
Рис. 112 сохранится (рис. 112). Сечение рассеяния, выраженное через угол $\chi$ отклонения частицы в системе центра масс,
\[
d \sigma=\pi\left|d \rho^{2}\right|=4 a^{2} \pi\left|d \cos ^{2} \chi\right|=4 a^{2} \cos \chi d o .
\]

Для перехода к лабораторной системе из равенства
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{v_{0}^{\prime} \sin \chi}{v_{0}^{\prime} \cos \chi+v_{0}}=\frac{\sin \chi \cos \chi}{1+\cos ^{2} \chi}
\]

находим
\[
\cos ^{2} \chi_{1,2}=\frac{3}{2} \cos ^{2} \theta-1 \pm \frac{1}{2} \cos \theta \sqrt{9 \cos ^{2} \theta-8} .
\]

Учитывая обе возможные связи $\chi \mathrm{c} \theta$, получаем
\[
\begin{aligned}
d \sigma=4 \pi a^{2}\left(\left|d \cos ^{2} \chi_{1}\right|\right. & \left.+\left|d \cos ^{2} \chi_{2}\right|\right)= \\
= & 4 \pi a^{2} d\left(\cos ^{2} \chi_{2}-\cos ^{2} \chi_{1}\right)=4 a^{2} \frac{5-9 \sin ^{2} \theta}{\sqrt{1-9 \sin ^{2} \theta}} d o,
\end{aligned}
\]

причем $0<\theta<\arcsin \frac{1}{3}$.
Если налетающие шарики тождественны с первоначально покоившимся, так что не имеет смысла различать их после рассеяния, то к полученному сечению следует добавить сечение вылета первоначально покоившихся шариков в телесный угол $d o$ :
\[
d \sigma^{\prime}=4 a^{2} \cos \theta d o \quad(0<\theta<\pi / 2) .
\]
3.20. $I(x)=I(0) e^{-n \sigma x}$.
3.21. $d N=\sigma n_{1} n_{2}\left|\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right| d V d t$.
3.22. a) $F_{\mathrm{Tp}}=2 \pi m v^{2} n \int_{0}^{\pi} f(\theta)(1-\cos \theta) \sin \theta d \theta$;
б) $\left\langle\Theta^{2}\right\rangle=2 \pi\left(\frac{m}{M}\right)^{2} n l \int_{0}^{\pi} f(\theta) \sin ^{3} \theta d \theta$;

здесь $l$ – путь, пройденный частицей массы $M, v$ – ее скорость, а $n-$ концентрация легких частиц.
${ }^{1}$ Величина $\int \frac{d \sigma}{d o}(1-\cos \theta) d o$ называется транспортным сечением (в отличие от полного сечения $\int \frac{d \sigma}{d o} d o$ ).