9.1. a)
\[
\left(\begin{array}{ccc}
2 a^{2}(m+M) & 2 a^{2}(m-M) & 0 \\
2 a^{2}(m-M) & 2 a^{2}(m+M) & 0 \\
0 & 0 & 4 a^{2}(m+M)
\end{array}\right)
\]
б)
\[
\left(\begin{array}{ccc}
4 a^{2} m & 0 & 0 \\
0 & 4 a^{2} M & 0 \\
0 & 0 & 4 a^{2}(m+M)
\end{array}\right) .
\]
9.2. Для обеих фигур одной из главных осей является ось, перпендикулярная к плоскости рисунка и проходящая через центр инерции фигуры (ось $z$ ). Главная ось $x$ повернута на угол $\varphi$ к стороне $O^{\prime} x^{\prime}$ каждой из фигур. Главная ось $y$ перпендикулярна к оси $x$. Обе эти оси проходят через центр тяжести фигур.

a) Координаты центра в осях $O^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}\left(x^{\prime}=b, y^{\prime}=a\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
I_{z z}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)(M+m), \\
I_{x x}=\left(a^{2}+b^{2}\right)(M+m) \mp \sqrt{\left(b^{2}-a^{2}\right)^{2}(M+m)^{2}+4 a^{2} b^{2}(M-m)^{2}}, \\
I_{y y}=\left(a^{2}+b^{2}\right)(M+m) \pm \sqrt{\left(b^{2}-a^{2}\right)^{2}(M+m)^{2}+4 a^{2} b^{2}(M-m)^{2}},
\end{array}
\]

при $a \gtrless b, \varphi=\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{2 a b(M-m)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)(M+m)}$.
б) В осях $O^{\prime} x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ (рис. 151) координаты центра масс $O: x^{\prime}=y^{\prime}=a, z^{\prime}=0$. В системе координат $O x^{\prime \prime} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}$ с осями, параллельными осям $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, тензор инерции
\[
I_{i k}^{\prime \prime}=4 m a^{2}\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{array}\right) .
\]

При переходе к системе $O x y z$, повернутой на угол $\varphi$ вокруг $z^{\prime \prime}$, координаты преобразуются следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
x=x^{\prime \prime} \cos \varphi+y^{\prime \prime} \sin \varphi, \quad y=-x^{\prime \prime} \sin \varphi+y^{\prime \prime} \cos \varphi, \\
z=z^{\prime \prime},
\end{array}
\]
Рис. 151
а компоненты тензора инерции – как произведения координат:
\[
\begin{array}{c}
I_{x x}=I_{x x}^{\prime \prime} \cos ^{2} \varphi+2 I_{x y}^{\prime \prime} \sin \varphi \cos \varphi+I_{y y}^{\prime \prime} \sin ^{2} \varphi= \\
=4 m a^{2}\left(3 \cos ^{2} \varphi+\sin 2 \varphi+\sin ^{2} \varphi\right), \\
I_{y y}=4 m a^{2}\left(\cos ^{2} \varphi-\sin 2 \varphi+3 \sin ^{2} \varphi\right), \\
I_{z z}=16 m a^{2}, \\
I_{x y}=4 m a^{2}(-\sin 2 \varphi+\cos 2 \varphi), \\
I_{x z}=I_{y z}=0 .
\end{array}
\]

Угол $\varphi$ выбираем так, чтобы выполнялось условие $I_{x y}=0$, например, $\varphi=\pi / 8$. Тогда
\[
I_{x x}=4 m a^{2}(2+\sqrt{2}), \quad I_{y y}=4 m a^{2}(2-\sqrt{2}) .
\]
9.3. $I_{\mathrm{n}}=\sum_{i, k} I_{i k} n_{i} n_{k}$.
9.4. Центр масс: точка на оси симметрии на расстоянии $\frac{(R-r) r^{3}}{R^{3}-r^{3}}$ от центра шара влево. Тело – симметрический волчок. Относительно оси симметрии $I_{3}=\frac{m}{R^{3}-r^{3}} \frac{2}{5}\left(R^{5}-r^{5}\right)$; относительно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс,
\[
I_{1}=I_{2}=\frac{m}{R^{3}-r^{3}}\left[\frac{2}{5}\left(R^{5}-r^{5}\right)-\frac{(R-r)^{2} r^{3} R^{3}}{\left(R^{3}-r^{3}\right)}\right] .
\]
9.5. $D_{i k}=\left(\sum_{n} I_{n n}\right) \delta_{i k}-3 I_{i k}$ (см. [2], §99).
9.6. Центр масс расположен на оси полушара на расстоянии $\frac{3}{8} R$ от центра шара ( $R$ – радиус шара). Момент инерции относительно любой из осей, перпендикулярных к оси симметрии ( $m$ – масса полушара)
\[
I=\frac{2}{5} m R^{2}-m\left(\frac{3}{8} R\right)^{2}=\frac{83}{320} m R^{2} .
\]

При колебаниях центр масс может двигаться только по вертикали. Пусть $\varphi$ – угол поворота полушара, $z$ – высота центра масс над плоскостью, $z=$ $=R-\frac{3}{8} R \cos \varphi$. Функция Лагранжа системы $L=\frac{1}{2} I \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{z}^{2}-m g z$, при малых $\varphi$ имеем $L=\frac{1}{2} I \dot{\varphi}^{2}-\frac{3}{16} m g R \varphi^{2}$. Отсюда частота малых колебаний
\[
\omega=\sqrt{\frac{120}{83} \cdot \frac{g}{R}} .
\]
9.7. Очевидно, скорость шарика после столкновения $\mathrm{v}$ может быть направлена только вдоль или против $\mathbf{V}$, т. е. $\mathbf{v}=v \mathbf{V} / V$. Скорость гантельки после удара $\mathbf{u}$ направлена вдоль $\mathbf{V}$, ее угловая скорость $\omega$.

Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса (относительно центра гантельки):
\[
\begin{aligned}
m V & =m v+2 m u, \\
\frac{1}{2} m V^{2} & =\frac{1}{2} m v^{2}+m u^{2}+\frac{1}{2} I \omega^{2}, \\
m V r & =m v r+I \omega,
\end{aligned}
\]

где $m-$ масса шарика, $r-$ его радиус, $I=\frac{14}{5} m r^{2}-$ момент инерции гантельки.

Отсюда
\[
\mathbf{v}=-\frac{1}{13} \mathbf{V}, \quad \mathbf{u}=\frac{7}{13} \mathbf{V}, \quad \omega=\frac{5}{13} \frac{V}{r} .
\]
9.8. В настоящее время расстояния от центра инерции системы Земля-Луна до Земли и Луны равны $\frac{m}{M+m} R$ и $\frac{M}{M+m} R$ соответственно, а момент импульса системы
\[
\begin{array}{c}
m\left(\frac{M R}{M+m}\right)^{2} \Omega_{\Omega}+M\left(\frac{m R}{M+m}\right)^{2} \Omega_{\Omega}+I \Omega_{3}=J \Omega_{\Omega}+I \Omega_{3}, \\
J=\frac{M m}{M+m} R^{2},
\end{array}
\]

где $\Omega_{\text {л }}$ и $\Omega_{3}$ – угловые скорости вращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг собственной оси ( $\Omega_{3} / \Omega_{\Omega} \approx 28$ ). При записи (1) мы считали Луну материальной точкой, а у Земли учитывали вращение вокруг центра инерции и вокруг собственной оси (с моментом инерции $I=\frac{2}{5} M a^{2}$ ).

В момент, когда сутки сравняются с месяцем, угловая скорость вращения Земли $\omega$ совпадает с угловой скоростью Луны, расстояние от Земли до Луны (по третьему закону Кеплера) станет равным $R\left(\Omega_{\Pi} / \omega\right)^{2 / 3}$, а момент импульса
\[
\left[J\left(\frac{\Omega_{Л}}{\omega}\right)^{4 / 3}+I\right] \omega .
\]

Из (1) и (2) найдем уравнение для $x=\frac{\omega}{\Omega_{3}}$ :
\[
x(1+k-x)^{3}=k^{3} \frac{\Omega_{\pi}}{\Omega_{3}},
\]

где $k=\frac{J \Omega_{Л}}{I \Omega_{3}}=\frac{5}{2}\left(\frac{R}{a}\right)^{2} \frac{m}{M+m} \frac{\Omega_{Л}}{\Omega_{3}} \approx 3,8$.
Уравнение (3), или $x(4,8-x)^{3}=2,01$, имеет два действительных корня: $x_{1} \approx 1 / 55$ и $x_{2} \approx 4$. Первый из них отвечает будущему, второй – прошлому. Соответственно в первом случае месяц станет равным 55 современным суткам, во втором – был равен 6 часам. Расстояние от Земли до Луны станет равным $1,6 R$, а было – $2,6 a$.
(О более реалистических, чем рассмотренная, моделях эволюции системы Земля – Луна см., например, [24], гл. 2.)
9.9. а) Тело вращается с угловой скоростью $\frac{2}{7} \omega$; в тепло перешло $\frac{5}{7}$ начальной кинетической энергии.

б) Линия центров вращается с угловой скоростью $\frac{\sqrt{2}}{7} \omega$ вокруг направления момента $M$, составляющего с ней угол $45^{\circ}$; при этом тело вращается вокруг линии центров с угловой скоростью $\frac{5}{14} \omega$. В тепло перешло $\frac{19}{28}$ начальной кинетической энергии.
9.10 a. $f_{1,2}=m\left(g \pm \frac{v^{2}}{14 r}\right)$.
9.10 б. Удобно воспользоваться подвижной системой координат с началом в точке $A$ и осями $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, параллельными ребрам $A B=a$, $A D=b, A A^{\prime}=c$ параллелепипеда. В этой системе угловая скорость $\Omega=$ $=\Omega \mathbf{n}$, где $\mathbf{n}=\mathbf{l} / l, \mathbf{l}=(a, b, c)$, а момент импульса параллелепипеда $\mathbf{M}=\left(I_{1} \Omega_{1}, I_{2} \Omega_{2}, I_{3} \Omega_{3}\right)$, где
\[
I_{1}=\frac{2}{3} m\left(b^{2}+c^{2}\right), \quad I_{2}=\frac{2}{3} m\left(a^{2}+c^{2}\right), \quad I_{3}=\frac{2}{3} m\left(a^{2}+b^{2}\right)
\]
– его главные моменты инерции. Вектор $\mathbf{M}$ неподвижен относительно системы $0 x_{1} x_{2} x_{3}$, т. е. в лабораторной системе вращается с угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}$, так что $\dot{\mathbf{M}}=[\boldsymbol{\Omega M}]$.

Пусть силы, действующие на параллелепипед в точках $A$ и $C^{\prime}$, равны $-\mathbf{f}$ и $\mathbf{f}$ (силы тяжести мы не учитываем). Момент этих сил $\mathbf{K}=[\mathbf{l f}]$. Уравнение движения $\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{K}$ приводит к равенству
\[
\Omega[\mathbf{n} \mathbf{M}]=l[\mathbf{n} \mathbf{f}],
\]

позволяющему определить $f_{\perp}$ – составляющую силы $\mathbf{f}$, перпендикулярную вектору $\mathbf{n}$ :
\[
\begin{aligned}
\mathbf{f}_{\perp}=\frac{\Omega}{l} \mathbf{M}_{\perp}= & \frac{\Omega}{l}\{\mathbf{M}-\mathbf{n}(\mathbf{M n})\}= \\
& =\frac{2 m \Omega^{2}}{3 l^{4}}\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) \cdot(a, b, c)-\frac{2 m \Omega^{2}}{3 l^{2}} \cdot\left(a^{3}, b^{3}, c^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Составляющая силы $\mathbf{f}$, параллельная диагонали $A C^{\prime}$, не может быть найдена в модели, рассматривающей параллелепипед (и шарниры) как недеформируемое твердое тело. Легко видеть, что прилагая к параллелепипеду в точках $A$ и $C^{\prime}$ силы $N \mathbf{n}$ и $-N \mathbf{n}$, мы не повлияем на его движение.
Таким образом, силы, приложенные к шарнирам $A$ и $C^{\prime}$, равны $\mathbf{f}$ и $-\mathbf{f}$,
\[
\mathbf{f}=-\frac{2 m \Omega^{2}}{3 l^{2}}\left(a^{3}, b^{3}, c^{3}\right)+N^{\prime}(a, b, c),
\]

где $N^{\prime}$ – неопределимая величина. (Мы ввели $N^{\prime}=N-\frac{2 m \Omega^{2}}{l^{5}}\left(a^{4}, b^{4}, c^{4}\right)$ ). В лабораторной системе вектор $f_{\perp}$ вращается с угловой скоростью $\Omega$.
9.11. Момент инерции эллипсоида (см. [1], §32, задача 2e) относительно оси вращения $I_{3}=\frac{2 M}{5} a^{2}$; относительно любой перпендикулярной ей оси, проходящей через центр масс, $I_{1}=\frac{M\left(a^{2}+c^{2}\right)}{5}$ ( $M$ – масса эллипсоида).

Налетающая частица массы $m \ll M$ передает эллипсоиду импульс $\mathbf{p}=\left(p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)=m v(0,-1,0)$ и момент импульса $\mathbf{M}=m v\left(\rho_{1}, 0,-\rho_{2}\right)$.

В системе, движущейся со скоростью $\frac{\mathrm{p}}{M+m}$, найдем (см. [1], §33), что эллипсоид будет вращаться вокруг полуоси $c$ с угловой скоростью $\Omega_{3}=$ $=\frac{M_{z}}{I_{3}}=-\frac{5 m v \rho_{2}}{2 M a^{2}}$, одновременно прецессируя вокруг направления $\mathbf{M} \mathbf{c}$ угловой скоростью
\[
\Omega=\frac{|\mathbf{M}|}{I_{1}}=\frac{5 m v \sqrt{\rho_{1}^{2}+\rho_{2}^{2}}}{M\left(a^{2}+c^{2}\right)} .
\]
9.12. Обозначим угловую скорость вращения диска вокруг его оси $\dot{\psi}$, угол между этой осью и направлением на север $\varphi$. Угловая скорость диска в инерциальной системе $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\Omega}+\dot{\varphi}+\dot{\psi}$, ее ироекции: на ось диска $\omega_{3}=$ $=\dot{\psi}+\Omega \cos \alpha \cos \varphi$, на вертикаль $\omega_{1}=\dot{\varphi}+\Omega \sin \alpha$, на горизонтальную ось, перпендикулярную оси диска, $\omega_{2}=\Omega \cos \alpha \sin \varphi$. Функция Лагранжа равна кинетической энергии (учтем, что $I_{1}=I_{2}$ ):
\[
L=\frac{1}{2} I_{1}(\dot{\varphi}+\Omega \sin \alpha)^{2}+\frac{1}{2} I_{1} \Omega^{2} \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \varphi+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\psi}+\Omega \cos \alpha \cos \varphi)^{2} .
\]

Исследовать движение удобно, используя интегралы движения $p_{\psi}$ и $E=p_{\psi} \dot{\psi}+p_{\varphi} \dot{\varphi}-L:$
\[
\begin{array}{c}
p_{\psi}=I_{3}(\dot{\psi}+\Omega \cos \alpha \cos \varphi), \\
E=\frac{1}{2} I_{1}\left(\dot{\varphi}^{2}-\Omega^{2} \sin ^{2} \alpha\right)-\frac{1}{2} I_{1} \Omega^{2} \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \varphi+ \\
+\frac{1}{2} I_{3}\left(\dot{\psi}^{2}-\Omega^{2} \cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \varphi\right) .
\end{array}
\]

Исключив $\dot{\psi}$, находим
\[
E=\frac{1}{2} I_{1} \dot{\varphi}^{2}+U_{\text {эфф }}(\varphi)+\text { const },
\]

где
\[
U_{\text {эфф }}(\varphi)=-p_{\psi} \Omega \cos \alpha \cos \varphi+\frac{1}{2} I_{1} \Omega^{2} \cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \varphi .
\]

Ограничимся случаем $\dot{\psi} \gg \Omega$. Тогда $\rho_{\psi} \approx I_{3} \dot{\psi}$,
\[
U_{\text {эфф }}(\varphi) \approx-p_{\psi} \Omega \cos \alpha \cos \varphi \text {. }
\]

Функция $U_{\text {эфф }}(\varphi)$ имеет минимум при $\varphi=0$ (т. е. в направлении на север). Ось гирокомпаса колеблется около этого направления. Для малых колебаний
\[
U_{э ф \phi}(\varphi)=\frac{1}{2} I_{3} \dot{\psi} \Omega \cos \alpha \cdot \varphi^{2}+\mathrm{const}
\]

и частота колебаний оси равна $\sqrt{\frac{I_{3}}{I_{1}} \Omega \dot{\psi} \cos \alpha}$. Например, для гироскопа, делающего около 10 тысяч оборотов в минуту, период колебаний приблизительно полминуты (для $\frac{I_{3}}{I_{1}} \cos \alpha \sim 1$ ).
Каким образом можно учесть момент инерции рамки?
9.13. Удобно использовать подвижную систему координат с осью $x$, проходящей через точку касания диска с поверхностью стола.
В этой системе
\[
\frac{d^{\prime} \mathbf{M}}{d t}+[\dot{\varphi}, \mathbf{M}]=\mathbf{K},
\]

где $\mathbf{M}$ – момент импульса волчка относительно неподвижной точки $O, \mathbf{K}$ момент действующих на него сил (ср. [1], §36). Проекция (1) на ось $x$
\[
\dot{M}_{x}-\dot{\varphi} M_{y}=K_{x} .
\]

Очевидно, $M_{y}=0, K_{x}=0$, так что $M_{x}=$ const.
Пусть $I_{1}=I_{2}
eq I_{3}$ – главные моменты инерции волчка относительно точки $O$. В начальный момент
\[
M=\Omega I_{3}, \quad M_{x}=\Omega I_{3} \cos \theta .
\]

Когда проскальзывание прекратится, ось $x$ станет мгновенной осью вращения, т. е. угловая скорость волчка $\omega$ будет направлена вдоль оси $x$, а $M_{x}=$ $=I_{3} \omega \cos ^{2} \theta+I_{1} \omega \sin ^{2} \theta$. Таким образом,
\[
\omega=\frac{\Omega I_{3} \cos \theta}{I_{3} \cos ^{2} \theta+I_{1} \sin ^{2} \theta} .
\]

Отметим, что после прекращения проскальзывания $\dot{\varphi}=-\omega \operatorname{tg} \theta$.

9.14. Пусть $a=b
eq c$ – полуоси эллипсоида, $R, \Theta, \Phi$ – сферические координаты центра инерции эллипсоида, $\theta, \varphi, \psi$ – эйлеровы углы, причем ось $x_{3}$ движущейся системы направлена вдоль полуоси $c$. Кинетическая энергия тела (см. [1], §35)
\[
\begin{aligned}
T= & \frac{m}{2}\left(\dot{R}^{2}+R^{2} \dot{\Theta}^{2}+R^{2} \dot{\Phi}^{2} \sin ^{2} \Theta\right)+ \\
& +\frac{I_{1}}{2}\left(\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta+\dot{\theta}^{2}\right)+\frac{I_{3}}{2}(\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2},
\end{aligned}
\]

где $I_{1}=I_{2}=\frac{m}{5}\left(a^{2}+c^{2}\right)$ и $I_{3}=\frac{2 m}{5} a^{2}-$ моменты инерции эллипсоида относительно осей $x_{1}, x_{2}, x_{3}$.

Предложенная потенциальная энергия взаимодействия эллипсоида с кулоновским центром может быть преобразована к виду
\[
U=-\frac{\gamma m M}{R}-\frac{\gamma M D}{4} \cdot \frac{3 \cos ^{2} \alpha-1}{R^{3}},
\]

где $D=2\left(I_{1}-I_{3}\right)$, а $\alpha-$ угол между радиусом-вектором $\mathbf{R}$ и осью $x_{3}$.
Единичный вектор $\mathbf{e}_{x_{3}}$, задающий направление оси, имеет компоненты $\mathbf{e}_{x_{3}}=(\sin \theta \sin \varphi,-\sin \theta \cos \varphi, \cos \theta)$. Отсюда
\[
\cos \alpha=\frac{\mathbf{R e}_{x_{3}}}{R}=\cos \theta \cos \Theta+\sin \theta \sin \Theta \sin (\varphi-\Phi) .
\]

Из (1), (2) и (3) получается окончательное выражение для функции Лагранжа $L=T-U$.
9.15. Рассмотрим вначале влияние только Солнца. Начало системы координат совместим с Солнцем, ось $X_{3}$ (см. обозначения предыдущей задачи) направим перпендикулярно к плоскости орбиты Земли, ось $x_{3}$ – на север.

Можно ожидать, что угловая скорость прецессии земной оси $\dot{\varphi}$ мала по сравнению со скоростями суточного $\dot{\psi}$ и годичного $\dot{\Phi}$ вращения Земли. Поэтому в функции Лагранжа сохраним лишь члены первого порядка по $\dot{\varphi}$. Кроме того, положим постоянными величины $R, \Theta=\pi / 2$ и $\dot{\Phi}$, причем
\[
\frac{2 \pi}{\dot{\Phi}}=2 \pi \sqrt{\frac{R^{3}}{\gamma M}}=1 \text { год, }
\]

и усредним $\cos ^{2} \alpha$ за год: $\left\langle\cos ^{2} \alpha\right\rangle=(1 / 2) \sin ^{2} \theta$. После этого
\[
L=\frac{1}{2} I_{1} \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} I_{3}\left(\dot{\psi}^{2}+2 \dot{\psi} \dot{\varphi} \cos \theta\right)-\frac{3 \gamma M m\left(a^{2}-c^{2}\right)}{20 R^{3}} \sin ^{2} \theta .
\]

Из сохранения $p_{\psi}=I_{3}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)$ и $p_{\varphi}=I_{3} \dot{\psi} \cos \theta$ следует, что $\dot{\psi}$ и $\theta=23^{\circ}$ сохраняются (с точностью до величин порядка $\dot{\psi}$ ). Уравнения движения по углу $\theta$
\[
I_{1} \ddot{\theta}+I_{3} \dot{\varphi} \dot{\psi} \sin \theta+\frac{3 \gamma M m\left(a^{2}-c^{2}\right)}{10 R^{3}} \sin \theta \cos \theta=0
\]

с учетом того, что $\ddot{\theta} \sim \dot{\theta}^{2} \sim \dot{\varphi}^{2}$, дает
\[
\dot{\varphi}=-\frac{3 \gamma M}{4 R^{3} \dot{\psi}} \frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}} \cos \theta .
\]

Подставляя соотношение (1) и $\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}} \approx \frac{2(a-c)}{a}$, получим
\[
\dot{\varphi} \approx-\frac{3}{2} \frac{a-c}{a} \frac{\dot{\Phi}^{2}}{\dot{\psi}} \cos \theta \approx-16^{\prime \prime} \text { в год. }
\]

Скорость прецессии, вызываемой Луной, получается из (2) заменой массы Солнца $M$ на массу Луны и $R$ – расстоянием от Земли до Луны и оказывается равной $-31^{\prime \prime}$ в год. Полная скорость $\dot{\varphi}=-48^{\prime \prime}$ в год. Наблюдаемая величина $\dot{\varphi}_{\text {эксп. }}=-50,2^{\prime \prime}$ в год (см. [24], гл. 2).

Таким образом, земная ось вращается вокруг оси $X_{3}$ с периодом около 26 тысяч лет в направлении, противоположном вращению Земли вокруг Солнца (так называемое предварение равноденствий).
9.16 .
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}+\left(\frac{1}{I_{2}}-\frac{1}{I_{3}}\right) M_{2} M_{3}=K_{1}, \\
\dot{M}_{2}+\left(\frac{1}{I_{3}}-\frac{1}{I_{1}}\right) M_{3} M_{1}=K_{2}, \\
\dot{M}_{3}+\left(\frac{1}{I_{1}}-\frac{1}{I_{2}}\right) M_{1} M_{2}=K_{3},
\end{array}
\]

при $I_{1}=I_{2}$
\[
M_{1}=B \cos (\omega t+\varphi), \quad M_{2}=B \sin (\omega t+\varphi), \quad M_{3}=\text { const },
\]
$\omega=\left(\frac{1}{I_{3}}-\frac{1}{I_{1}}\right) M_{3}$ (см. [1], §36, а также ср. с задачей 10.20).

9.17. Рассмотрим движение вокруг оси, близкой к оси инерции $x_{1}$. Из уравнении Эйлера (см. [1], формула (36.5))
\[
\dot{\Omega}_{1}+\frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}} \Omega_{2} \Omega_{3}=0
\]

получаем $\Omega_{1}=$ const $\mathrm{c}$ точностью до членов, пропорциональных $\Omega_{2,3} / \Omega_{1} \ll 1$. Два других уравнения при этом условии становятся линейными относительно $\Omega_{2}$ и $\Omega_{3}$. Предполагая
\[
\Omega_{2,3} \propto e^{s t},
\]

получаем для $s$ уравнение
\[
s^{2}=\frac{\left(I_{1}-I_{3}\right)\left(I_{2}-I_{1}\right)}{I_{2} I_{3}} \Omega_{1}^{2} .
\]

При $I_{2}<I_{1}<I_{3}$ или $I_{3}<I_{1}<I_{2}$ уравнение (2) имеет действительные корни, что, согласно (1), соответствует неустойчивости вращения относительно оси $x_{1}$.

Если же момент инерции $I_{1}$ является наибольшим или наименьшим, то уравнснис (2) имсет мнимыс корни, т. с. измснснис $\Omega_{2}$ и $\Omega_{3}$ имсст характср осцилляций и вращение вокруг оси $x_{1}$ устойчиво.
9.18. Движение шара определяется уравнениями
\[
\begin{array}{c}
m \dot{\mathbf{v}}=m \mathbf{g}+\mathbf{f}, \\
I \dot{\boldsymbol{\omega}}=[\mathbf{a}], \\
\mathbf{v}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{a}]=0,
\end{array}
\]

где $m$ – масса шара, $I=\frac{2}{5} m a^{2}$ – его момент инерции, а – радиус шара, проведенный в точку его касания с цилиндром, $\mathbf{f}$ – сила, приложенная к шару в этой точке (сумма сил реакции и трения), $v-$ скорость и $\omega-$ угловая скорость шара.

Удобно воспользоваться цилиндрическими координатами с осью $z$, направленной по оси цилиндра. При этом необходимо учитывать, что проекция скорости изменения любого вектора А на подвижные оси определяется формулами
\[
\begin{aligned}
(\dot{\mathbf{A}})_{\varphi} & =\dot{A}_{\varphi}+[\dot{\varphi} \mathbf{A}]_{\varphi}=\dot{A}_{\varphi}+\dot{\varphi} A_{r} \\
(\dot{\mathbf{A}})_{r} & =\dot{A}_{r}+[\dot{\varphi} \mathbf{A}]_{r}=\dot{A}_{r}-\dot{\varphi} A_{\varphi}
\end{aligned}
\]

( $r=b-a, \varphi, z-$ координаты центра шара, $\left.\dot{\varphi}=v_{\varphi} / r\right)$. Из уравнений
\[
m \dot{v}_{\varphi}=f_{\varphi}, \quad I \dot{\omega}_{z}=a f_{\varphi}, \quad v_{\varphi}+a \omega_{z}=0
\]

получаем
\[
v_{\varphi}=\text { const }, \omega_{z}=\text { const }, \quad f_{\varphi}=0 .
\]

Из уравнений
\[
\begin{array}{c}
m \dot{v}_{z}=-m g+f_{z}, \quad v_{z}-a \omega_{\varphi}=0, \\
I\left(\dot{\omega}_{\varphi}+\dot{\varphi} \omega_{r}\right)=-a f_{z}, \quad I\left(\dot{\omega}_{r}-\dot{\varphi} \omega_{\varphi}\right)=0
\end{array}
\]

следует
\[
\left(I+m a^{2}\right) \ddot{\omega}_{\varphi}+I \dot{\varphi}^{2} \omega_{\varphi}=0,
\]

откуда
\[
\begin{aligned}
\omega_{\varphi} & =C \cos (\Omega t+\alpha), \quad \Omega=\sqrt{\frac{I}{I+m a^{2}}} \dot{\varphi}=\sqrt{\frac{2}{7}} \frac{v_{\varphi}}{r}, \\
\omega_{r} & =-\frac{5 g r}{2 a v_{\varphi}}+\sqrt{\frac{7}{2}} C \sin (\Omega t+\alpha), \\
z & =z_{0}-a \frac{C}{\Omega} \sin (\Omega t+\alpha) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, шар совершает гармонические колебания по высоте, и в такт этим колебаниям изменяется радиальная компонента угловой скорости.
9.19. а) В качестве обобщенных координат выбираем координаты $X, Y$ центра и эйлеровы углы $\varphi, \theta, \psi([1], \S 35)$. Ось $Z$ вертикальна, подвижная ось $x_{3}$ направлена по оси диска. Линия пересечения плоскости диска с плоскостью $X Y$ (линия узлов) составляет угол $\varphi$ с осью $X$. Функция Лагранжа
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{m}{2}\left(\dot{X}^{2}+\dot{Y}^{2}+a^{2} \dot{\theta}^{2} \cos ^{2} \theta\right)+\frac{1}{2} I_{1}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+ \\
+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2}-m g a \sin \theta
\end{array}
\]

где $I_{1}=I_{2}$ и $I_{3}$ – моменты инерции диска относительно осей $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, $a$ – радиус, $m$ – масса диска (высота центра диска над плоскостью $Z=$ $=a \sin \theta$.

Интегралами движения являются обобщенные импульсы
\[
\begin{array}{c}
m \dot{X}=p_{X}, \quad m \dot{Y}=p_{Y}, \\
I_{1} \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta+I_{3} \cos \theta(\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi})=p_{\varphi} \equiv M_{Z}, \\
I_{3}(\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi})=p_{\psi} \equiv M_{3}
\end{array}
\]

и энергия. В системе координат, движущейся с постоянной скоростью $(\dot{X}, \dot{Y}, 0)$, центр диска движется только в вертикальном направлении. Из (1) находим
\[
\dot{\varphi}=\frac{M_{Z}-M_{3} \cos \theta}{I_{1} \sin ^{2} \theta}, \quad \dot{\psi}=\frac{M_{3}}{I_{3}}-\frac{M_{Z}-M_{3} \cos \theta}{I_{1} \sin ^{2} \theta} \cos \theta,
\]

и, подставляя в интеграл энергии, получаем
\[
E=\frac{1}{2}\left(I_{1}+m a^{2} \cos ^{2} \theta\right) \dot{\theta}^{2}+\frac{M_{3}^{2}}{2 I_{3}}+\frac{\left(M_{Z}-M_{3} \cos \theta\right)^{2}}{2 I_{1} \sin ^{2} \theta}+m g a \sin \theta .
\]

Отсюда через квадратуры определяется зависимость $\theta(t)$, а затем с помощью (2) зависимость $\varphi(t), \psi(t)$.

Угол наклона диска совершает колебания, и в такт с ними изменяются скорости прецессии $\dot{\varphi}$ и вращения вокруг оси $\dot{\psi}$. Уравнения (2), (3) подобны уравнениям движения тяжелого симметрического волчка (см., например, уравнения (4)-(7) из [1], §35, задача 1 ).

Качение диска устойчиво при $\Omega_{3}^{2}>m g a I_{1} / I_{3}^{2}$, верчение – при $\Omega_{Z}^{2}>m g a / I_{1}$.
б) В отсутствие проскальзывания на диск, кроме сил тяжести $m \mathrm{~g}$ и реакции опоры $\mathbf{R}$, действует еще сила трения $\mathbf{f}$.
Уравнение
\[
\dot{\mathbf{M}}-[\mathrm{aR}]=[\mathrm{af}]
\]

удобно записать в проекциях на оси $Z, x_{3}$ и $\xi$ (ось $\xi$ – линия узлов) ${ }^{1}$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}_{Z}=f_{\eta} a \cos \theta, \quad \dot{M}_{3}=f_{\xi} a, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=f_{\xi} a \sin \theta .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ В отсутствие силы трения эти уравнения представляют собой уравнения Лагранжа для углов Эйлера.

Здесь $\mathbf{a}$ – вектор, проведенный из центра диска в точку его соприкосновения с плоскостью.
Запишем уравнение
\[
m \mathbf{V}=\mathbf{f}+\mathbf{R}+m \mathbf{g}
\]

в проекциях на оси $\xi$ и $\eta$, где ось $\eta$ горизонтальна и перпендикулярна оси $\xi$ (см. формулу (4) предыдущей задачи):
\[
\begin{array}{l}
f_{\xi}=m(\dot{\mathbf{V}})_{\xi}=m\left(\dot{V}_{\xi}+\dot{\varphi} V_{\eta}\right), \\
f_{\eta}=m(\dot{\mathbf{V}})_{\eta}=m\left(\dot{V}_{\eta}-\dot{\varphi} V_{\xi}\right) . \\
\end{array}
\]

Условие качения без проскальзывания $\mathbf{V}+[\boldsymbol{\Omega} \mathbf{a}]=0$ приводит к равенствам
\[
V_{\xi}=-a(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta), \quad V_{\eta}=a \dot{\theta} .
\]

Подставляя (1), (6), (7) в (4), (5), получим систему уравнений относительно углов Эйлера. Движение без проскальзывания и без отрыва диска от плоскости возможно, если
\[
|f| \leqslant \mu m(g+\ddot{Z}), \quad g+\ddot{Z} \geqslant 0
\]
( $\mu-$ коэффициент трения).
Полагая $\dot{\theta}=0$, получаем $\ddot{\varphi}=\ddot{\psi}=0$, причем $\theta, \dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ связаны соотношением
\[
I_{3}^{\prime} \dot{\varphi}(\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi}) \sin \theta-I_{1} \dot{\varphi}^{2} \sin \theta \cos \theta+m g a \cos \theta=0
\]
(здесь и далее $I_{1,3}^{\prime}=I_{1,3}+m a^{2}$ ). Центр диска, двигаясь с постоянной по величине скоростью $V=a\left|\Omega_{3}\right|=a|\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta|$, описывает окружность радиуса $R=V /|\dot{\varphi}|$. Условия (8) можно представить также в виде
\[
I_{3}^{\prime} R V^{2}=\left|I_{1} a V^{2} \cos \theta+m g a^{2} R^{2} \operatorname{ctg} \theta\right| .
\]

В частности, если масса диска сосредоточена в его центре ( $I_{1}=I_{3}=0$ ), то получаем элементарное соотношение: $V^{2}=g R|\operatorname{ctg} \theta|$.

Гироскопические эффекты, возникающие при отличных от нуля $I_{1,3}$, могут оказаться весьма значительными. Например, для однородного диска $\left(2 I_{1}=I_{3}=\frac{1}{2} m a^{2}\right)$ в случае $R \gg a$ получаем $\frac{3}{2} V^{2}=g R|\operatorname{ctg} \theta|$; для обруча $\left(2 I_{1}=I_{3}=m a^{2}\right)$ в том же случае $2 V^{2}=g R|\operatorname{ctg} \theta|$.

При качении диска в вертикальном положении
\[
\theta=\frac{\pi}{2}, \quad \dot{\varphi}=0, \quad \dot{\psi}=\Omega_{3}=\text { const. }
\]

Для исследования устойчивости такого движения положим в уравнениях (1), (4)-(7)
\[
\theta=\frac{\pi}{2}-\beta, \quad \beta \ll 1, \quad \dot{\varphi} \sim \dot{\beta} \sim \beta \Omega_{3} \ll \Omega_{3}, \quad \ddot{\varphi} \sim \ddot{\beta} \sim \dot{\Omega}_{3} \ll \dot{\varphi} \Omega_{3}
\]

и сохраним только члены первого порядка малости. Получаем
\[
\begin{array}{c}
M_{Z}=I_{1} \dot{\varphi}+I_{3} \Omega_{3} \beta=\text { const, } \quad \Omega_{3}=\text { const }, \\
I_{1}^{\prime} \ddot{\beta}+I_{3}^{\prime} \Omega_{3} \dot{\varphi}-m g a \beta=0,
\end{array}
\]

откуда
\[
I_{1}^{\prime} \ddot{\beta}+\left(\frac{I_{3} I_{3}^{\prime}}{I_{1}} \Omega_{3}^{2}-m g a\right) \beta=\frac{I_{3}^{\prime}}{I_{1}} M_{Z} \Omega_{3} .
\]

Если
\[
\Omega_{3}^{2}>\frac{I_{1} m g a}{I_{3} I_{3}^{\prime}},
\]

то при отклонении угла $\theta$ от $\pi / 2$ возникают малые колебания $\beta$ и $\dot{\varphi}$ :
\[
\begin{array}{c}
\beta=\frac{I_{3}^{\prime} \Omega_{3} M_{Z}}{I_{1} \omega^{2}}+\beta_{0} \cos (\omega t+\delta), \\
\dot{\varphi}=-\frac{m g a M_{Z}}{I_{1}^{2} \omega^{2}}-\frac{I_{3} \Omega_{3} \beta_{0}}{I_{1}} \sin (\omega t+\delta),
\end{array}
\]

где $\omega^{2}=\frac{I_{3} I_{3}^{\prime}}{I_{1} I_{1}^{\prime}} \Omega_{3}^{2}-\frac{M g a}{I_{1}^{\prime}}$.
Направление движения диска также испытывает малые колебания, причем диск движется не вблизи прямой, а вблизи окружности радиуса $a \Omega_{3} I_{1}^{2} \omega^{2} / m g a M_{Z}$.

Таким образом, наличие малого отклонения начальных условии от (9) может привести либо к малым колебаниям вблизи «равновесного» движения по прямой (если $M_{z}=0, \beta_{0}
eq 0$ ) либо к новому «равновесному» движению (если $M_{z}
eq 0, \beta_{0}=0$ ).
Если неравенство (11) не выполнено, то движение неустойчиво.

Можно сказать, что движение происходит с $\theta=$ const, если в «пространстве» $\theta, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$ точка лежит на поверхности, определяемой уравнением (8). Нетрудно убедиться, что при условии (11) движение устойчиво относительно возмущений, выводящих точку $(\theta, \dot{\varphi}, \dot{\psi})$ с поверхности (8) и безразлично относительно ее перемещений по этой поверхности. Аналогично обстоит дело и с устойчивостью движения диска на гладкой плоскости (нужно только заменить $I_{1,3}^{\prime}$ и $I_{1,3}$ ).

Верчение диска вокруг вертикального диаметра устойчиво, если $\Omega_{Z}^{2}>m g a / I_{1}^{\prime}$.
в) Отсутствие вращения вокруг вертикальной оси (верчения) приводит к условию
\[
\Omega_{Z}=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta=0 .
\]

На диск в этом случае действует добавочный «момент трения верчения» $\mathbf{N}$, направленный вертикально, и вместо (4) получаем
\[
\dot{M}_{Z}=f_{\xi} a \cos \theta+N, \quad \dot{M}_{3}=f_{\xi} a+N \cos \theta .
\]

Интегрирование уравнений движения относительно легко сводится к квадратурам (в отличие от уравнений пункта б)).

Движение с постоянным углом наклона возможно, если, кроме условия (8), выполняется и условие (12), т. е. $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ определяются углом $\theta$. В этом случае
\[
R=a|\sin \theta \operatorname{tg} \theta|, \quad V^{2}=\frac{m g a^{3} \sin \theta}{I_{3}^{\prime}-I_{1} \operatorname{ctg}^{2} \theta} .
\]

Качение диска в вертикальном положении устойчиво при $\Omega_{3}^{2}>m g a / I_{3}^{\prime}$.
г) При наличии малого наклона плоскости к функции Лагранжа следует добавить член $\delta L=-m g \alpha X$ (ось $X$ направлена вверх вдоль плоскости, ось $Y$ горизонтальна, ось $Z$ перпендикулярна плоскости). Полагая в (1), (4)-(7)
\[
\theta=\frac{\pi}{2}-\beta, \quad \beta \ll 1, \quad \dot{\psi} \sim \dot{\beta} \ll \Omega_{Z}, \quad \ddot{\psi} \sim \ddot{\beta} \sim \dot{\Omega}_{Z} \ll \dot{\psi} \Omega_{Z}
\]

и добавляя вклад $\delta L$, получаем
\[
\begin{array}{c}
I_{1}^{\prime} \ddot{\beta}+\left(I_{1}-I_{3}^{\prime}\right) \Omega_{Z}^{2} \beta-I_{3}^{\prime} \Omega_{Z} \dot{\psi}-m g a \beta=m g a \alpha \sin \Omega_{Z} t, \\
I_{3}^{\prime} \ddot{\psi}+\left(I_{3}+2 m a^{2}\right) \Omega_{Z} \dot{\beta}=-m g a \alpha \cos \Omega_{Z} t,
\end{array}
\]

откуда
\[
\psi=-\left(2+\frac{2 m a^{2}}{I_{3}^{\prime}}+\frac{m g a}{I_{3}^{\prime} \Omega_{Z}^{2}}\right) \alpha \cos \Omega_{Z} t, \quad \beta=-2 \alpha \sin \Omega_{Z} t .
\]

Подставляя (7) и $\theta, \varphi=\Omega_{Z} t, \psi$ в
\[
\dot{X}=V_{\xi} \cos \varphi-V_{\eta} \sin \varphi, \quad \dot{Y}=V_{\xi} \sin \varphi+V_{\eta} \cos \varphi
\]

и усредняя по периоду вращения, находим
\[
\langle\dot{X}\rangle=0, \quad\langle\dot{Y}\rangle=-\left(1+\frac{m a^{2}}{I_{3}^{\prime}}+\frac{m g a}{2 I_{3}^{\prime} \Omega_{Z}^{2}}\right) \alpha a \Omega_{Z},
\]
т. е. диск смещается, не теряя высоты.
9.20. а) Положение шара определяется координатами его центра масс $X, Y, Z$ и углами Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ (см. [1], §35), которые задают положения главных осей инерции. Ось $Z$ направлена вверх, ось $x_{3}$ – от центра масс к геометрическому центру шара, для которого $x_{3}=b$, радиус шара $a$. Исследование движения шара проводится так же, как и в предыдущей задаче.

Если $M_{Z}
eq M_{3}$, то $U_{\text {эфф }}(\theta)$ имеет минимум при $\theta_{0}
eq \theta, \pi$ и при энергии $E=U_{\text {эфф }}\left(\theta_{0}\right)$ происходит устойчивое вращение шара с постоянным углом $\theta=\theta_{0}$, при этом $Z=a-b \cos \theta_{0}$. Точка шара, которая в данный момент соприкасается с плоскостью, имеет скорость $v=(b \dot{\varphi}+a \dot{\psi}) \sin \theta_{0}$, направленную вдоль линии узлов.

Учтем теперь малую силу сухого трения f. Она направлена в сторону, противоположную $v$, и приведет к изменению угла $\theta_{0}$. При $v \gtrless 0$
\[
\dot{M}_{Z}=\mp f b \sin \theta_{0}, \quad \dot{M}_{3}=\mp f a \sin \theta_{0},
\]

откуда
\[
M_{Z} a-M_{3} b=C=\text { const. }
\]

Для быстро вращающегося шара $M \approx M_{3}, M_{Z} \approx M \cos \theta_{0}$, или с учетом (2)
\[
M\left(a \cos \theta_{0}-b\right)=C .
\]

Отсюда видно, что при уменьшении момента импульса из-за трения угол $\theta_{0}$ должен уменьшаться, если $a \cos \theta_{0}-b>0$, и увеличиваться, если $a \cos \theta_{0}-$ $-b<0$. При этом в силу (1), (3) $\dot{\theta}_{0}=-f b / a C\left(a \cos \theta_{0}-b\right)^{2}$.

Центр масс медленно движется вдоль оси $Z$, а в плоскости $X Y$ переменная сила трения $f_{X}=-f \cos \varphi, f_{Y}=-f \sin \varphi$ вызывает вращение центра масс по малой окружности с угловой скоростью $\dot{\varphi}$. Конечно, даже малая сила трения приведет со временем к тому, что проскальзывание исчезнет и скорость нижней точки шара станет равной нулю.
б) Пусть $\mathbf{R}_{\Perp}=(X+b \sin \theta \sin \varphi, Y-b \sin \theta \cos \varphi, a)-$ координаты геометрического центра шара; $\Omega=\left(\Omega_{X}, \Omega_{Y}, \Omega_{Z}\right)=(\dot{\theta} \cos \varphi+$ $+\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi, \dot{\theta} \sin \varphi-\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi, \dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta)$ – угловая скорость вращения шара и $\mathbf{a}=(0,0,-a)$ – радиус, проведенный из геометрического центра шара в точку касания. Тогда условие качения шара без проскальзывания $\dot{\mathbf{R}}_{\amalg}+[\boldsymbol{\Omega} \mathbf{a}]=0$ представляет собой неголономную связь:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=\dot{\theta}(a-b \cos \theta) \sin \varphi-(a \dot{\psi}+b \dot{\varphi}) \sin \theta \cos \varphi, \\
\dot{Y}=-\dot{\theta}(a-b \cos \theta) \cos \varphi-(a \dot{\psi}+b \dot{\varphi}) \sin \theta \sin \varphi .
\end{array}
\]

Уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{X}=\lambda_{1}, \quad m \ddot{Y}=\lambda_{2}, \\
\dot{M}_{Z}=\left(\lambda_{1} \cos \varphi+\lambda_{2} \sin \varphi\right) b \sin \theta, \\
\dot{M}_{3}=\left(\lambda_{1} \cos \varphi+\lambda_{2} \sin \varphi\right) a \sin \theta, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=\left(-\lambda_{1} \sin \varphi+\lambda_{2} \cos \varphi\right)(a-b \cos \theta)
\end{array}
\]

содержат в правых частях силы трения и моменты этих сил. Множители Лагранжа $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ с помощью условий связи (4) могут быть выражены через углы Эйлера. Так, проекции силы трения на линию узлов $f_{\|}$и на перпендикулярное направление $f_{\perp}$ равны
\[
\begin{array}{c}
f_{\|}=m \dot{\theta} \dot{\varphi}(a-b \cos \theta)-m \frac{d}{d t}[(a \dot{\psi}+b \dot{\varphi}) \sin \theta], \\
f_{\perp}=-m \frac{d}{d t}[\dot{\theta}(a-b \cos \theta)]-m \dot{\varphi}(a \dot{\psi}+b \dot{\varphi}) \sin \theta .
\end{array}
\]

Заметим, что (6), (7) совпадут с (1), если в уравнениях (1) заменить силу сухого трения $\mp f$ на силу трения покоя $f_{\|}(9)$. Как и раньше, $M_{z} a-M_{3} b=$ $=C$ является интегралом движения (2).
9.21. При решении задачи необходимо учесть, что высота тела над землей $h$ мала по сравнению с радиусом Земли $R$ и центробежное ускорение $R \Omega^{2}$ ( $\Omega$ – угловая скорость Земли) мало по сравнению с ускорением свободного падения на поверхности Земли $g$. Таким образом, в задаче есть два малых параметра:
\[
\varepsilon_{1}=h / R \lesssim \varepsilon_{2}=R \Omega^{2} / g \sim 0,01 .
\]

В уравнении движения ( $\gamma$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли)
\[
\ddot{\mathbf{r}}=-\gamma M \frac{\mathbf{R}+\mathbf{r}}{|\mathbf{R}+\mathbf{r}|^{3}}+2[\mathbf{v} \boldsymbol{\Omega}]+[\boldsymbol{\Omega}[\mathbf{R}+\mathbf{r}, \boldsymbol{\Omega}]]
\]

разложим первое слагаемое в ряд по малому параметру $r / R \lesssim \varepsilon_{1}$ :
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{g}+2[\mathbf{v} \boldsymbol{\Omega}]+\mathbf{g}_{1}+[\boldsymbol{\Omega}[\mathbf{r} \boldsymbol{\Omega}]], \quad \mathbf{r}(0)=\mathbf{h}, \quad \mathbf{v}(0)=0 \\
\mathbf{g}=-\gamma M \frac{\mathbf{R}}{R^{3}}+[\boldsymbol{\Omega}[\mathbf{R} \boldsymbol{\Omega}]], \quad \mathbf{g}_{1}=\frac{\gamma M}{R^{2}}\left(3 \mathbf{R} \frac{\mathbf{r} \mathbf{R}}{R^{3}}-\frac{\mathbf{r}}{R}\right)\left[1+O\left(\varepsilon_{1}\right)\right] .
\end{array}
\]

Кориолисово ускорение $2[\mathbf{v} \boldsymbol{\Omega}] \sim g t \Omega \sim \sqrt{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}} g$ и $g_{1} \sim \varepsilon_{1} g$ имеют первый порядок малости, а $[\boldsymbol{\Omega}[\mathbf{r} \boldsymbol{\Omega}]] \sim \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} g$ – второй.

Вертикаль $\mathbf{h}$ антипараллельна вектору g и составляет малый угол $\alpha=$ $=\varepsilon_{2} \sin \lambda \cos \lambda$ с направлением вектора $\mathbf{R}$ (здесь $\lambda$ – северная широта (геоцентрическая) – угол между плоскостью экватора и вектором $\mathbf{R}$ ). Выбираем ось $z$ по вертикали вверх, ось $x$ – по меридиану к югу, ось $y$ – по широте к востоку, тогда
\[
\mathrm{g}=(0,0,-g), \mathbf{R}=R(\sin \alpha, 0, \cos \alpha), \boldsymbol{\Omega}=\Omega(-\cos (\alpha+\lambda), 0, \sin (\alpha+\lambda))
\]

В нулевом приближении частица движется с ускорением $-g$ вдоль оси $z$. В первом приближении кориолисово ускорение приводит лишь к отклонению на восток, причем величина смещения $y \sim \sqrt{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}} g t^{2} \sim \sqrt{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}} h$. Ускорение $\mathrm{g}_{1}$ имеет вдоль $z$ составляющие $\sim \varepsilon_{1} g$, а вдоль $x$ и $y$-лишь второго порядка, поэтому в первом приближении влияние $\mathrm{g}_{1}$ приведет лишь к увеличению времени падения с высоты $h$ на величину $\sim \varepsilon_{1} \sqrt{2 h / g}$. Отклонение к югу, таким образом, возникает лишь во втором порядке. Запишем уравнение (2) в проекциях на выбранные оси, удерживая для компонент $z, y, x$ слагаемые нулевого, первого и второго порядков малости соответственно:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{z}=-g, \quad \ddot{y}=-2 \dot{z} \Omega \cos \lambda, \\
\ddot{x}=2 \dot{y} \Omega \sin \lambda+g(3 z \sin \alpha-x) / R+\Omega^{2} z \sin \lambda \cos \lambda .
\end{array}
\]

Решая методом последовательных приближений, найдем
\[
z=h-\frac{1}{2} g t^{2}, \quad y=\frac{1}{3} g t^{3} \Omega \cos \lambda, \quad x=2 h t^{2} \Omega^{2} \sin \lambda \cos \lambda .
\]

Подставляя время падения $t=\sqrt{2 h / g}$, найдем отклонения к востоку и югу
\[
y=\frac{1}{3} \sqrt{8 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2}} h \cos \lambda, \quad x=2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} h \sin 2 \lambda .
\]
9.22. Воспользуемся системой отсчета, вращающейся вместе с сосудом; ось $x$ направим вдоль $A B$, начало координат поместим в неподвижной точке – пересечении осей $A B$ и $C D$. Угловая скорость системы $\Omega=\omega_{1}+$ $+\boldsymbol{\omega}_{2}=\left(\omega_{2}, \omega_{1} \cos \omega_{2} t,-\omega_{1} \sin \omega_{2} t\right)$. На каждую частицу жидкости массы $m$ в этой системе отсчета наряду с силой тяжести $m g$ действуют силы инерции (см. [1], § 39): сила Кориолиса $2 m[\mathbf{v} \boldsymbol{\Omega}]$, центробежная сила $\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} \frac{m[\boldsymbol{\Omega} \mathbf{r}]^{2}}{2}$ и сила $m[\mathrm{r} \dot{\boldsymbol{\Omega}}]$, где $\dot{\boldsymbol{\Omega}}$ – скорость изменения вектора $\boldsymbol{\Omega}$ в неподвижной системе отсчета.

При затвердевании смолы скорости частиц (относительно сосуда) обращаются в нуль и сила Кориолиса исчезает. Остальные три слагаемые нужно усреднить по периодам вращения:
\[
\langle m \mathbf{g}\rangle=-m g\left(\left\langle\cos \omega_{1} t\right\rangle,\left\langle\sin \omega_{1} t \sin \omega_{2} t\right\rangle,\left\langle\sin \omega_{1} t \cos \omega_{2} t\right\rangle\right)=0,
\]

если $\omega_{1}
eq \omega_{2}$,
\[
\langle m[\mathbf{r} \dot{\boldsymbol{\Omega}}]\rangle=m[\mathbf{r}\langle\dot{\boldsymbol{\Omega}}\rangle], \quad\langle\dot{\boldsymbol{\Omega}}\rangle=\left\langle\left[\boldsymbol{\omega}_{1} \boldsymbol{\omega}_{2}\right]\right\rangle=\left[\left\langle\boldsymbol{\omega}_{1}\right\rangle \boldsymbol{\omega}_{2}\right]=0 .
\]

Наконец,
\[
\left\langle\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} \frac{m}{2}[\boldsymbol{\Omega r}]^{2}\right\rangle=\frac{m}{2} \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}},
\]

где
\[
\begin{aligned}
U & =\left\langle[\boldsymbol{\Omega} \mathbf{r}]^{2}\right\rangle=\left\langle\Omega^{2} r^{2}-(\boldsymbol{\Omega} \mathbf{r})^{2}\right\rangle= \\
& =\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right) r^{2}-\left\langle\left(x \omega_{2}+y \omega_{1} \cos \omega_{2} t-z \omega_{1} \sin \omega_{2} t\right)^{2}\right\rangle= \\
& =\omega_{1}^{2} x^{2}+\left(\frac{\omega_{1}^{2}}{2}+\omega_{2}^{2}\right)\left(y^{2}+z^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Поверхность жидкости расположится по линии уровня $U(\mathbf{r})=$ const. Смола затвердеет в форме эллипсоида вращения.
Что изменится в этом результате при $\omega_{1}=\omega_{2}$ ?
При $g=0$ и $\omega_{2} \rightarrow 0$ из (1) получается, очевидно, неправильное решение. Почему?

9.23
\[
\begin{aligned}
t & =\sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{d r}{\sqrt{E+M \Omega-U_{э ф \phi}}}, \\
\varphi & =\sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{\left(\frac{M}{r^{2}}-\Omega\right) d r}{\sqrt{E+M \Omega-U_{э ф \phi}}},
\end{aligned}
\]

где $E$ – энергия, $M$ – момент импульса во вращающейся системе отсчета, $U_{\text {эфф }}=U(r)+\frac{M^{2}}{2 m r^{2}}$. Напомним, что $E=E_{0}-M \Omega, M=M_{0}$, где $E_{0}$ и $M_{0}$ – энергия и момент импульса в инерциальной системе.

Интересно, что центробежная потенциальная энергия $-m \Omega^{2} r^{2} / 2$ не входит в $U_{э ф ф}$.
9.24. В системе координат, связанной с рамкой, функция Лагранжа данной задачи совпадает с рассмотренной в задаче 6.36 (при $z=0$ и с параметрами $\left.\omega_{\mathscr{H}}=-2 \Omega, \omega_{1,2}^{2}=\frac{2}{m}\left(k_{1,2}+\frac{f_{1,2}}{l}\right)-\Omega^{2}\right)$. При $\omega_{1,2}^{2}>0$ движение частицы совпадает с движением анизотропного осциллятора в магнитном поле $\mathscr{H}=-2 m c \Omega / e$. Траектория частицы для случая $\omega_{1}=\omega_{2}$ изображена на рис. 97 к задаче 2.32. В частности, если $\omega_{1}=\omega_{2}=0$, движение частицы совпадает с движением свободной частицы в магнитном поле $x=$ $=x_{0}+a \cos \omega_{\mathscr{H}} t, y=y_{0}-a \sin \omega_{\mathscr{H}} t$, т. е. частица равномерно движется по окружности радиуса $a$ с центром в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$. Интересно разобраться, какому движению частиц в неподвижной системе координат соответствует последний случай, в частности при $a=0$ или при $x_{0}=y_{0}=0$.

Если центробежная сила превысит силы возвращающие, действующие со стороны обеих пружинок, $\omega_{1,2}^{2}<0$, то частица по-прежнему совершает малые колебания. Хотя потенциальная энергия имеет при $x=y=0$ максимум, устойчивость этого положения равновесия обеспечивается силой Кориолиса.

Если же $\omega_{1}^{2}$ и $\omega_{2}^{2}$ имеют разные знаки (т. е. $x=y=0$ – седловая точка для потенциальной энергии), то это положение равновесия неустойчиво.

Интересно сопоставить эти результаты с ответом задачи 5.4. В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $\Omega$, точка $r_{0}, \varphi_{0}$ лежит на гребне «потенциального цирка»; потенциальная энергия $U=-\frac{\alpha}{r^{n}}-\frac{m \Omega^{2} r^{2}}{2}$ имеет максимум относительно смещения в направлении радиуса-вектора и не изменяется при смещении в азимутальном направлении. В этом случае одно из нормальных колебаний происходит с частотой $\omega$, частота же другого обращается в нуль: положение равновесия безразлично относительно некоторых возмущений (например, изменения $\varphi_{0}$ ).
9.25. Функция Лагранжа
\[
\begin{aligned}
L & =\frac{m}{2}(\mathbf{v}+[\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}])^{2}+m \mathbf{g r}= \\
& =\frac{m}{2}\left[(\dot{x}-\omega y)^{2}+(\dot{y}+\omega x)^{2}+\dot{z}^{2}-g\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Для малых колебаний можно опустить $\dot{z}$, тогда уравнения движения
\[
\begin{aligned}
\ddot{x}-2 \omega \dot{y}+\left(\frac{g}{a}-\omega^{2}\right) x & =0, \\
\ddot{y}+2 \omega \dot{x}+\left(\frac{g}{b}-\omega^{2}\right) y & =0 .
\end{aligned}
\]

Ищем решение в виде
\[
x=A e^{i \Omega t}, \quad y=B e^{i \Omega t}
\]

и для $\Omega^{2}$ получаем уравнение
\[
\Omega^{4}-\left(\frac{g}{a}+\frac{g}{b}+2 \omega^{2}\right) \Omega^{2}+\left(\frac{g}{a}-\omega^{2}\right)\left(\frac{g}{b}-\omega^{2}\right)=0 .
\]

Легко убедиться, что корни его действительны. Однако при
\[
\left(\frac{g}{a}-\omega^{2}\right)\left(\frac{g}{b}-\omega^{2}\right)<0
\]

один из корней $\Omega_{1}^{2}<0$, так что соответствующее движение
\[
\begin{array}{l}
x=A_{1} e^{\left|\Omega_{1}\right| t}+A_{2} e^{-\left|\Omega_{1}\right| t}, \\
y=B_{1} e^{\left|\Omega_{1}\right| t}+B_{2} e^{-\left|\Omega_{1}\right| t}
\end{array}
\]

приводит к уходу частицы от начала координат. Это и означает, что нижнее положение частицы неустойчиво. Считая для определенности $a>b$, получаем область неустойчивости
\[
\frac{g}{a}<\omega^{2}<\frac{g}{b} .
\]

Обратим внимание на то, что при $\omega^{2}>g / b$ движение устойчиво, хотя потенциальная энергия во вращающейся системе отсчета
\[
U=-\frac{m}{2}\left(\omega^{2}-\frac{g}{a}\right) x^{2}-\frac{m}{2}\left(\omega^{2}-\frac{g}{b}\right) y^{2}
\]

представляет не потенциальную яму, а потенциальный горб. Устойчивость в этом случае обеспечивается действием сил Кориолиса.
9.26. а) Потенциальная энергия (включая центробежную)
\[
U(x)=k(x-a)^{2}-\frac{m \gamma^{2} x^{2}}{2} .
\]

Условие $U^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ определяет положение равновесия
\[
x_{0}=\frac{2 k a}{2 k-m \gamma^{2}} .
\]

Интересно, что при частоте вращения $\gamma$, большей частоты собственных колебаний частицы $\sqrt{2 k / m}$, оказывается $x_{0}<0$, а при $m \gamma^{2} \gg 2 k$ положение равновесия близко к оси вращения.

Знак $U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=2 k-m \gamma^{2}$ определяет устойчивость положения равновесия: при $m \gamma^{2}<2 k$ равновесие устойчиво; при $m \gamma^{2}>2 k$ – неустойчиво.
б) Очевидно, положение равновесия такое же, как в пункте а). Для исследования устойчивости рассмотрим потенциальную энергию при малых смещениях из положения равновесия:
\[
U(x, y, z)=U\left(x_{0}, 0,0\right)+\frac{k_{2} y^{2}}{2}+\frac{k_{3} z^{2}}{2}+k_{1} \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
k_{1}=2 k-m \gamma^{2}, \\
k_{2}=\frac{f+k\left(x_{0}-a\right)}{l+x_{0}-a}+\frac{f-k\left(x_{0}-a\right)}{l-x_{0}+a}-m \gamma^{2}=-m \gamma^{2}+k_{3} .
\end{array}
\]

Сравнение с задачей 9.24 приводит к заключению, что равновесие неустойчиво лишь в том случае, если $k_{1}$ и $k_{2}$ имеют разные знаки. В частности, при $m \gamma^{2} \gg 2 k+2 f / l$ равновесие устойчиво, в отличие от результатов пункта а). Если же $k_{1} k_{2}<0$, то отклонение частицы от точки $\left(x_{0}, 0,0\right.$ ) нарастает со временем (пока не станет существенным воздействие стенок рамки, которое мы не рассматриваем).

9.27. Воспользуемся декартовыми координатами во вращающейся системе отсчета. Начало координат поместим в центр масс, система вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $z$, а звезды расположены на оси $x$ (рис. 152).
Пусть расстояния от звезд до центра масс $a_{1,2}=\mp \frac{m_{2,1} a}{m_{1}+m_{2}}$, где $m_{1,2}-$ массы звезд, $a-$ расстояние между ними. Из равенства
\[
\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} a \omega^{2}=\frac{\gamma m_{1} m_{2}}{a^{2}}
\]
( $\gamma$ – гравитационная постоянная) получаем
Рис. 152
\[
\omega^{2}=\gamma \frac{m_{1}+m_{2}}{a^{3}} .
\]

Потенциальная энергия тела массы $m$ (включая центробежную энергию)
\[
U(x, y, z)=-\frac{\gamma m m_{1}}{r_{1}}-\frac{\gamma m m_{2}}{r_{2}}+\frac{m \omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),
\]

где $r_{1,2}$ – расстояние до звезд, $\mathbf{r}=(x, y, z)$ – радиус-вектор тела. Положение равновесия тела определяется усповием $\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}}=0$, или
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial x}=\gamma m\left(\frac{m_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{m_{2}}{r_{2}^{3}}-\frac{m_{1}+m_{2}}{a^{3}}\right) x-\gamma m\left(\frac{m_{1} a_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{m_{2} a_{2}}{r_{2}^{3}}\right)=0, \\
\frac{\partial U}{\partial y}=\gamma m\left(\frac{m_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{m_{2}}{r_{2}^{3}}-\frac{m_{1}+m_{2}}{a^{3}}\right) y=0, \\
\frac{\partial U}{\partial z}=\gamma m\left(\frac{m_{1}}{r_{1}^{3}}+\frac{m_{2}}{r_{2}^{3}}\right) z=0 .
\end{array}
\]

Отсюда $z=0$ и (при $y
eq 0$ ) $r_{1}=r_{2}=a$.
Таким образом, звезды и точка равновесия находятся в вершинах правильного треугольника. Есть две такие точки, так называемые точки Лагранжа, $x_{0}-a_{1}=a_{2}-x_{0}=\frac{a}{2}, y_{0}= \pm \frac{a \sqrt{3}}{2}, z_{0}=0$.

Вблизи точек Лагранжа
\[
\begin{array}{c}
U\left(x_{0}+x_{1}, y_{0}+y_{1}, z_{0}+z_{1}\right)= \\
=U\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)-\frac{3}{8} m \omega^{2} x_{1}^{2}-2 m \alpha x_{1} y_{1}-\frac{9}{8} m \omega^{2} y_{1}^{2}+\frac{1}{2} m \omega^{2} z_{1}^{2}, \\
\alpha= \pm \frac{3 \sqrt{3}}{4 a^{3}} \gamma\left(m_{1}-m_{2}\right) .
\end{array}
\]

Движение в направлении $z$, очевидно, устойчиво. Уравнения движения в плоскости $x, y$
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}-\frac{3}{4} \omega^{2} x_{1}-2 \alpha y_{1}-2 \omega \dot{y}_{1}=0, \\
\ddot{y}_{1}-\frac{9}{4} \omega^{2} y_{1}-2 \alpha x_{1}+2 \omega \dot{x}_{1}=0 .
\end{array}
\]

Подстановка $x=A e^{i \Omega t}, y=B e^{i \Omega t}$ приводит к уравнению для $\Omega$ :
\[
\Omega^{4}-\omega^{2} \Omega^{2}+\frac{27}{16} \omega^{4}-4 \alpha^{2}=0 .
\]

Его корни действительны при $64 \alpha^{2} \geqslant 23 \omega^{4}$, т. е. при
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2} \geqslant 27 m_{1} m_{2} .
\]

Это условие выполняется, если масса одной звезды больше другой не менее чем в 25 раз. В этом случае движение тел в окрестности точек Лагранжа устойчиво. Устойчивость движения обеспечивается силами Кориолиса (ср. с задачей 9.25).

На оси $x$ есть еще три точки, в которых $\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}}=0$, однако движение вблизи них неустойчиво.

Для системы Солнце-Юпитер в точках Лагранжа наблюдаются астероиды.
9.28. Будем рассматривать колебания в системе отсчета, вращающейся вместе с молекулой. Функция Лагранжа получается из (1) задачи 6.49 заменой $\mathbf{u}_{a}$ на $\mathbf{u}_{a}+\left[\boldsymbol{\Omega}, \mathbf{r}_{a 0}+\mathbf{u}_{a}\right]$, а угловая скорость вращения системы отсчета $\boldsymbol{\Omega}$ выбирается равной угловой скорости вращения молекулы в отсутствие колебаний $\boldsymbol{\Omega} m \sum r_{a 0}^{2}=\mathbf{M}$. Условие (3) задачи 6.49 , эквивалентное требованию $y_{1}+y_{2}+y_{3}=0$, отсутствует. Введя $q_{4}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)$ и пренебрегая квадратичными по $\boldsymbol{\Omega}$ членами ${ }^{1}$, можем представить функцию
${ }^{1}$ Учет этих поправок привел бы к заменам:
\[
k \rightarrow k-\frac{m \Omega^{2}}{6}, \quad l \rightarrow l\left(1+\frac{m \Omega^{2}}{2 k}\right), \quad \Omega \rightarrow \Omega\left(1-\frac{m \Omega^{2}}{k}\right) .
\]

Лагранжа в виде
\[
\begin{aligned}
L= & \frac{m}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+2 \dot{q}_{2}^{2}+2 \dot{q}_{3}^{2}+\dot{q}_{4}^{2}\right)-\frac{3 k}{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)+ \\
& +m \Omega\left(q_{1} \dot{q}_{4}-q_{4} \dot{q}_{1}\right)+\frac{2}{3} m \Omega\left(q_{2} \dot{q}_{3}-q_{3} \dot{q}_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения движения приводят к нормальным колебаниям
\[
\begin{array}{c}
q_{1}^{(1)}=A_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right), \quad q_{4}^{(1)}=2 \frac{\Omega}{\omega_{1}} A_{1} \sin \left(\omega_{1} t+\varphi_{1}\right), \\
q_{2,3}^{(1)}=0, \quad \omega_{1}=\sqrt{\frac{3 k}{m}} \\
q_{2}^{(2,3)}=A_{2,3} \cos \left(\omega_{2,3} t+\varphi_{2,3}\right), \quad q_{3}^{(2,3)}= \pm A_{2,3} \sin \left(\omega_{2,3} t+\varphi_{2,3}\right), \\
q_{1,4}^{(2,3)}=0, \quad \omega_{2,3}=\sqrt{\frac{3 k}{2 m}}, \\
q_{1}^{(4)}=\frac{2 \Omega}{\omega_{1}^{2}} C, \quad q_{2,3}^{(4)}=0, \quad q_{4}^{(4)}=C t+D .
\end{array}
\]

Вместо условия (3) задачи 6.49 получаем
\[
\sum_{a}\left\{\left[\mathbf{r}_{a 0} \dot{\mathbf{u}}_{a}\right]+2 \boldsymbol{\Omega}\left(\mathbf{r}_{a 0} \mathbf{u}_{a}\right)\right\}=0,
\]

или $\dot{q}_{4}-2 \Omega q_{1}=0$, что соответствует выбору $C=0$. Постоянную $D$, определяющую начальный поворот молекулы относительно вращающейся системы отсчета, также удобно положить равной нулю.

Как выглядят колебания, если во вращающейся системе отклонения в начальный момент имеют вид, изображенный на рис. 133 , а начальные скорости равны нулю?