1.1. а) По начальным значениям $x(0)$ и $\dot{x}(0)$ определяется энергия частицы $E$. Дальнейшее ее движение находится из закона сохранения энергии
$$\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+U(x)=E.$$

При $E⩾0$ частица может двигаться в области $x⩾x_1$ — движение инфинитно ( $E=E^{\prime }$ на рис. 69). При $E<0$ ( $E=E^{\prime \prime })$ частица движется в области $x_2⩽x⩽x_3$, движение финитно. Точки поворота определяются из формулы (1) $U\left(x_i\right)=E$ :
$$\{\begin{array}{cc}{x}_1=\frac{1}{\alpha }\ln \frac{\sqrt{A(A+E)}-A}{E}& \text{ при }E>0,\\ x_1=-\frac{\ln 2}{\alpha }& \text{ при }E=0,\\ x_{2,3}=\frac{1}{\alpha }\ln \frac{A\mp \sqrt{A(A-|E|)}}{|E|}& \text{ при }E<0.\end{array}$$

Из (1) получаем
$$t=\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_{x(0)}^x\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}.$$

Отсюда
$$\begin{array}{ll}x(t)=\frac{1}{\alpha }\ln \frac{A-\sqrt{A(A-|E|)}\cos (\alpha t\sqrt{2|E|/m}+C)}{|E|}& \text{ при }E<0,\\ x(t)=\frac{1}{\alpha }\ln [\frac{1}{2}+\frac{A{\alpha }^2}{m}(t+C{)}^2]& \text{ при }E=0,\\ x(t)=\frac{1}{\alpha }\ln \frac{\sqrt{A(A+E)}\mathrm{ch}(\alpha t\sqrt{2E/m}+C)-A}{E}& \text{ при }E>0.\end{array}$$

Постоянные $C$ определяются начальными значениями $x(0)$, например, в (4) при $\dot{x}(0)>0$
$$C=\arccos \frac{A-|E|e^{\alpha x(0)}}{\sqrt{A-(A-|E|)}}.$$

Точки поворота (2) также легко найти из (4)-(6).
Движение при $E<0$, согласно (4), периодическое с периодом $T=$ $=\frac{\pi }{\alpha }\sqrt{\frac{2m}{|E|}}$. Если $E$ близко к минимальному значению $U(x)$, равному $U_{min}=U(0)=-A$ (т. е. $\epsilon =\frac{A-|E|}{A}\ll 1$ ), то период $T\approx T_0(1-\frac{\epsilon }{2})$, $T_0=\frac{\pi }{\alpha }\sqrt{\frac{2m}{A}}$ слабо зависит от $E$. В этом случае (4) можно записать в виде
$$x(t)=-\frac{1}{\alpha }\ln (1-\epsilon )+\frac{1}{\alpha }\ln [1-\sqrt{\epsilon }\cos (\frac{2\pi }{T}t+C)]\approx -\frac{\sqrt{\epsilon }}{\alpha }\cos (\frac{2\pi }{T_0}t+C).$$

Частица при этом совершает гармонические колебания вблизи точки $x=0$ с амплитудой $\sqrt{\epsilon }/\alpha$, определяемой разностью $E-U_{min}$, и с частотой, не зависящей от энергии. Такой характер движения при $E$, близком к $U_{min}$, имеет место почти в любом поле $U(x)$. (Подробнее об этом см. в §5.)

При $E⩾0$ частица, движущаяся справа, доходит до точки поворота $x_1$ (см. (2)), поворачивает назад и уходит на бесконечность. При этом скорость ее со временем стремится к $\sqrt{2E/m}$ сверху.
$$\begin{array}{l}\text{ б) }x(t)=\frac{1}{\alpha }\mathrm{Arsh}[\sqrt{\frac{|E|+U_0}{|E|}}\sin (\alpha t\sqrt{2|E|/m}+C)]\text{ при }E<0\text{, }\\ x(t)=\pm \frac{1}{\alpha }\mathrm{Arsh}[\sqrt{\frac{E+U_0}{E}}\mathrm{sh}(\alpha t\sqrt{2E/m}+C)]\text{ при }E>0,\\ x(t)=\pm \frac{1}{\alpha }\mathrm{Arsh}(\alpha t\sqrt{2U_0/m}+C)\text{ при }E=0;{}^1\end{array}$$
в) $x(t)=\frac{1}{\alpha }\arcsin \left[\sqrt{\frac{E}{E+U_0}\sin \left(\alpha t\sqrt{\frac{2(U_0+E)}{m}}\right)+C}\right]$.

Почему в некоторых формулах приведенных ответов знаки двойные?
1.2. $x(t)=\frac{x_0}{1\pm t{x}_0\sqrt{2A/m}},x_0=x(0)$. Знак в знаменателе противоположен знаку $\dot{x}(0)$. Пусть для определенности $x(0)>0$. При $\dot{x}(0)>0$ частица уходит на бесконечность за время $\sqrt{m/2A{x}_0^2}$. Разумеется, реально речь может идти только о большом, но конечном расстоянии, до которого простирается заданное поле $U(x)$.
При $\dot{x}(0)<0$ частица асимптотически приближается к точке $x=0$.
1.3. Вблизи точки остановки $U(x)=$ $=E-(x-a)F$, где $F=-U^{\prime }(a)$, т. е. можно считать, что движение частицы происходит под действием постоянной силы $F$. Считая, что $x(0)=a$, получаем
$$x(t)=a+\frac{F{t}^2}{2m}.$$

Рис. 70
Точность этой формулы убывает при удалении от точки $x=a$.

Маленький отрезок пути $s$ вдали от точки остановки частица проходит за время $\tau \propto s$. Если же отрезок пути примыкает к точке остановки, то для его прохождения необходимо время $\tau =\sqrt{2ms/|F|}$, т. е. $\tau \propto \sqrt{s}$.
${}^1\mathrm{Arsh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

Если $U^{\prime }(a)=0$ (рис. 70), то разложение $U(x)$ необходимо продолжить до следующего члена:
$$U(x)=E+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(a)(x-a{)}^2.$$

В этом случае $x(t)=a+s{e}^{\pm \lambda t}$, где $s=x(0)-a,{\lambda }^2=-\frac{U^{\prime \prime }(a)}{m}$, а знак в показателе определяется направлением скорости в начальный момент. Для прохождения участка пути до точки остановки частице необходимо бесконечно большое время.
1.4. Если $U^{\prime \prime }(a)eq0$, то $T\propto \ln \epsilon$, где $\epsilon =U_m-E$. Если $U^{\prime \prime }(a)=$ $=\dots =U^{(n-1)}(a)=0,U^{(n)}(a)eq0$, то $T\propto {\epsilon }^{-\frac{n-2}{2n}}$.
1.5. а) При малом $\epsilon =E-U_m$ частица движется медленнее всего вблизи точки $x=a$. Поэтому и весь период движения $T$ можно оценить по времени $T_1$ прохождения (туда и обратно) малой окрестности этой точки $a-\delta <x<a+\delta$ :
$$T_1=\sqrt{2m}{\int }_{a-\delta }^{a+\delta }\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}\approx T.$$

В окрестности $x=a$ представим $U(x)$ в виде $U(x)=U_m-\frac{1}{2}k(x-a{)}^2$, где $k=-U^{\prime \prime }(a)$. При достаточно малом $\epsilon$ можно выбрать $\delta$ таким, чтобы скорость $v$ на границах интервата была много больше минимальной (при $x=a$ )
$$\frac{m{v}^2}{2}\sim \frac{k{\delta }^2}{2}\gg \epsilon$$

и в то же время чтобы было $\delta \ll L=x_2-x_1$, т. е.
$$\sqrt{\frac{\epsilon }{k}}\ll \delta \ll L=x_2-x_1.$$

Тогда
$$T_1=2\sqrt{\frac{m}{k}}\ln \frac{2k{\delta }^2}{\epsilon }.$$

Время $T_2$ движения частицы на участках $x_1<x<a-\delta$ и $a+\delta <x<x_2$ удовлетворяет условию
$$T_2\lesssim \frac{L}{v}\sim \sqrt{\frac{m}{k}}\frac{L}{\delta }.$$

С уменьшением $\epsilon$ величина $T_1$ возрастает, поэтому при достаточно малых $\epsilon$ оказывается $T_2\ll T_1$ и для оценки периода движения можно воспользоваться формулой (1). Эта формула обладает асимптотической точностью. Ее относительная ошибка стремится к нулю, как $1/\ln \epsilon$, при $\epsilon \to 0$. Но с той же логарифмической точностью можно заменить в (1) $\delta$ на $L$ и опустить множитель 2 под знаком логарифма:
$$\begin{array}{c}T=2\sqrt{\frac{m}{k}}\ln \frac{k{L}^2}{\epsilon }.\\ \text{ Если }{U}^{\prime \prime }(a)=0,U^{(4)}=-Keq0\text{, то }\\ T=4{\left(\frac{6m^2}{\epsilon K}\right)}^{1/4}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{\sqrt{1+x^4}}=11,6{\left(\frac{m^2}{\epsilon K}\right)}^{1/4},\end{array}$$

причем относительная ошибка стремится к нулю, как ${\epsilon }^{1/4}$, при $\epsilon \to 0$.
б) Если наблюдать за движением частицы в течение времени, большого по сравнению с периодом $T$, то вероятность обнаружить частицу на участке от $x$ до $x+dx$
$$w(x)dx=2\frac{dt}{T}=\frac{\sqrt{2m}dx}{T\sqrt{E-U(x)}},$$

Рис. 71
где $2dt$ — время нахождения частицы на участке $dx$ за период. Зависимость плотности вероятности $w$ от $x$ представлена на рис. 71 .

Рассматриваемой вероятности $w(x)dx$ соответствует заштрихованная площадь (вся площадь под кривой равна единице). При достаточно малых $\epsilon$ основной вклад в площадь под кривой дает площадь под центральным максимумом, равная $T_1/T$. Хотя $w(x)\to \mathrm{\infty }$ при $x\to x_{1,2}$ вклад участков вблизи точек остановки относительно мал.
в)
$$\tilde{w}(p)dp=\frac{1}{T}\sum _k\left|\frac{d{t}_k}{dp}\right|dp=\frac{1}{T}\sum _k\frac{dp}{\left|\frac{dU\left(x_k\right)}{dx}\right|},$$

где $x_k=x_k(p)$ — различные корни уравнения $\frac{p^2}{2m}+U(x)=E$.

График $\tilde{w}(p)$ изображен на рис. $72,p_1=\sqrt{2m(E-U_m)}$,
$$p_2=\sqrt{2m[E-U(c)]},p_3=\sqrt{2m[E-U(b)]}.$$
г) Линии $E(x,p)=$ const (фазовые траектории частицы) приведены на рис. 73 , где кривые пронумерованы в порядке возрастания энергии. При $U(c)⩽E<U_m$ фазовая траектория 2 двусвязна. Стрелки указывают направление движения точки, изображающей состояние частицы.
1.6. За начало отсчета потенциатьной энергии принимаем нижнюю точку. При $E=2mgl$ имеем
$$\phi (t)=-\pi +4\mathrm{arctg}\left(e^{\pm t\sqrt{g/l}}\mathrm{tg}\frac{\phi (0)+\pi }{4}\right)$$

Рис. 73
( $\phi$ — угол отклонения маятника от нижнего положения). Знак в показателе совпадает со знаком $\dot{\phi }(0)$. Маятник асимптотически приближается к верхнему положению.

При $0<E-2mgl\ll 2mgl$ маятник вращается, медленно «переваливая» через верхнее положение. Период обращения можно оценить, используя результат (2) предыдущей задачи:
$$T=\sqrt{\frac{l}{g}}\ln \frac{{\epsilon }_0}{E-2mgl};{\epsilon }_0=4{\pi }^{2}mgl.$$

1.7. Угол отклонения маятника отсчитываем от нижнего положения. Энергия $E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\phi }}^2+mgl(1-\cos \phi )$. Пусть в момент $t_0$ угол $\phi \left(t_0\right)=0$ и для определенности $\dot{\phi }\left(t_0\right)>0$. Введя $k=\sqrt{E/2mgl}$, имеем
$$t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^{\phi }\frac{d\phi }{\sqrt{k^2-{\sin }^2\frac{\phi }{2}}}+t_0.$$

При $k<1$ маятник колеблется в пределах $-{\phi }_m⩽\phi ⩽{\phi }_m$ и $k=$ $=\sin \frac{{\phi }_m}{2}$. Подстановкой $\sin \xi =\frac{1}{k}\sin \frac{\phi }{2}$ интеграл (1) приводится к виду ${}^1$ $t=\sqrt{\frac{l}{g}}F(\xi ,k)+t_0$. Отсюда
$$\phi =2\arcsin [k\sin (u,k)],u=(t-t_0)\sqrt{\frac{g}{l}}.$$

Период колебаний
$$T=4\sqrt{\frac{l}{g}}K(\sin \frac{{\phi }_m}{2}).$$

В предельных случаях (ср. с задачей 1.4)
$$\begin{array}{rlrl}T& =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}(1+\frac{{\phi }_m^2}{16})& & \text{ при }{\phi }_m\ll 1,\\ T& =4\sqrt{\frac{l}{g}}\ln \frac{8}{\pi -{\phi }_m}& \text{ при }\pi -{\phi }_m\ll 1.\end{array}$$
${}^1$ Функция $F(\xi ,k)={\int }_0^{\xi }\frac{d\xi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\xi }}$-так называемый неполный эллиптический интеграл первого рода. Если $u=F(\xi ,k)$, то $\xi$ выражается через одну из эллиптических функций Якоби — эллиптический синус: $\sin \xi =\sin (u,k)$. Полным эллиптическим интегралом первого рода называется функция $K(k)=F(\frac{\pi }{2},k)$. Приведем также формулы для двух предельных случаев:
$$\begin{array}{ll}K(k)=\frac{\pi }{2}(1+\frac{k^2}{4})& \text{ при }k\ll 1,\\ K(k)=\frac{1}{2}\ln \frac{16}{1-k^2}\text{ при }1-k\ll 1.\end{array}$$

Таблицы и формулы этих функций можно найти, например, в [10].

При $k>1$ маятник не колеблется, а вращается. Из (1) получаем
$$t=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{l}{g}}F(\frac{\phi }{2},\frac{1}{k})+t_0,\phi =2\mathrm{Arcsin}\mathrm{sn}(u,\frac{1}{k}),u=k(t-t_0)\sqrt{\frac{g}{l}}.$$

Период обращения
$$T=\frac{2}{k}\sqrt{\frac{l}{g}}K\left(\frac{1}{k}\right).$$

В частности, при $E-2mgl\ll 2mgl$ получаем
$$T=\sqrt{\frac{l}{g}}\ln \frac{{\epsilon }_0}{E-2mgl},$$

где ${\epsilon }_0=32\mathrm{mgl}$. Этот результат отличается от довольно грубой оценки, сделанной в предыдущей задаче, значением постоянной ${\epsilon }_0$, т. е. на число, не зависящее от $E-2\mathrm{mgl}$.
1.8. Закон движения в поле $U(x)+\delta U(x)$ определяется равенством
$$t=\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_a^x\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}}$$
( $x=a$ при $t=0$ ). Разлагая подынтегральное выражение в (1) по степеням $\delta U(x)$, получаем
$$t=t_0(x)+\delta t(x),$$

где
$$\begin{array}{rl}{t}_0(x)& =\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_a^x\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}},\\ \delta t(x)& =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_a^x\frac{\delta U(x)dx}{[E-U(x){]}^{3/2}}.\end{array}$$

Пусть закон движения в отсутствие поправки $\delta U(x)$, определяемый из уравнения $t=t_0(x)$, есть $x=x_0(t)$. Тогда из (2) находим
$$x=x_0(t-\delta t(x))\text{, }$$

причем в малой поправке $\delta t(x)$ можно положить $x=x_0(t)$, а также провести разложение (5) по $\delta t$. Окончательно
$$x=x_0(t)-x_0^{\prime }(t)\delta t(x_0(t)).$$

Вблизи точки остановки $x=x_1$ разложение (2) становится неприменимым, так как поправка $\delta t(x)\to \mathrm{\infty }$ при $x_1$.

Замечательно, однако, что формула (6) оказывается справедливой вплоть до точки остановки, если
$$|\delta U^{\prime }(x)|\ll |F|,F=-U^{\prime }\left(x_1\right).$$

Этот факт связан с тем, что хотя с приближением к точке остановки $\delta t$ возрастает, зависимость $x(t)$ вблизи экстремума оказывается слабой.
Очевидно, что вблизи $x_1$ невозмущенное движение имеет вид
$$x_0(t)=x_1+\frac{F}{2m}{(t-t_1)}^2.$$

Добавление $\delta U$ смещает точку остановки на $\delta x_1$, согласно уравнению
$$U(x_1+\delta x_1)+\delta U(x_1+\delta x_1)=E.$$

Отсюда $\delta x_1=\frac{\delta U\left(x_1\right)}{F}$. С учетом возмущения $\delta U$ аналогично (8) имеем
$$x(t)=x_1+\delta x_1+\frac{F}{2m}{(t-t_1-\delta t_1)}^2$$
(в силу (7) поправкой к $F$ пренебрегаем). Убедимся, что расчет по формуле (6) приводит к (9).

Область интегрирования в (4) разобьем на две части: от $a$ до $b$ и от $b$ до $x$, где $b$ лежит вблизи $x_1$. Во второй области можно положить $\delta U=$ $=\delta U\left(x_1\right)$ и $U(x)=E-(x-x_1)F$. Тогда
$$\begin{array}{c}\delta t=\frac{\sqrt{m}\delta U\left(x_1\right)}{\sqrt{2F^3(x-x_1)}}+\delta t_0,\\ \delta t_0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{2}}{\int }_b^a\frac{\delta U(x)dx}{(E-U{)}^{3/2}}-\frac{\sqrt{m}\delta U\left(x_1\right)}{\sqrt{F^3(b-x_1)}}.\end{array}$$

Подставляя (10) и (8) в (6) и пренебрегая $\delta t_0^2$, получим (9) с $\delta t_1=\delta t_0$.

1.9. а) Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Невозмущенное движение
$$x_0(t)=a\sin \omega t,E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{a}^2.$$

При этом $|\delta U/U|\lesssim \epsilon =\frac{\alpha a}{{\omega }^2}\ll 1$. Поправка
$$\begin{array}{rl}\delta t(x)& =\frac{\alpha }{3{\omega }^3}(\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-2a),\\ \delta t(x_0(t))& =\frac{\epsilon }{3\omega }(\cos \omega t+\frac{1}{\cos \omega t}-2)\end{array}$$

и, согласно формуле (6) предыдущей задачи,
$$x(t)=a\sin \omega t-\frac{\epsilon a}{3}({\cos }^2\omega t+1-2\cos \omega t).$$

С точностью до членов первого порядка по $\epsilon$ включительно
$$x(t)=a\sin (\omega t+\frac{2}{3}\epsilon )-\frac{\epsilon }{2}a-\frac{\epsilon }{6}a\cos 2\omega t$$
(ср. с задачей 8.1 б).
б) Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем
$$x(t)=a\sin \omega t+a\epsilon (\frac{3}{2}\omega t\cos \omega t-\frac{7}{8}\sin \omega t-\frac{1}{8}\sin 3\omega t),\epsilon =\frac{\beta a^2}{4{\omega }^2}\ll 1.\text{ (1) }$$

Этот результат имеет относительную точность $\sim {\epsilon }^2$ в течение одного периода, а через ${\epsilon }^{-1}$ периодов формула (1) становится полностью неприменима. Учитывая периодический характер движения, можно распространить результат (1) на бо́льший промежуток времени. С точностью до членов порядка $\epsilon$ включительно формула (1) преобразуется к явно периодическому виду
$$x(t)=a(1-\frac{7}{8}\epsilon )\sin \left[\omega (1+\frac{3}{2}\epsilon )t\right]-a\frac{\epsilon }{8}\sin \left[3\omega (1+\frac{3}{2}\epsilon )t\right].$$

Не учтенные нами в (1) поправки приводят к изменению частоты порядка ${\epsilon }^2\omega$, так что (2) сохраняет относительную точность $\sim \epsilon$ в течение ${\epsilon }^{-1}$ периодов (ср. с задачей $8.1\mathrm{a}$ ).

1.10. Искомое изменение периода
$$\delta T=\sqrt{2m}[{\int }_{x_1+\delta x_1}^{x_2+\delta x_2}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}}-{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}].$$

Разлагать подынтегральное выражение (1) по $\delta U(x)$ нельзя: условие применимости теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру нарушено, так как полученный при дифференцировании интеграл расходится. Разложение подынтегрального выражения по $\delta U(x)$ до линейного члена включительно можно провести, если представить $\delta T$ в виде
$$\delta T=2\sqrt{2m}\frac{\partial }{\partial E}[{\int }_{x_1+\delta x_1}^{x_2+\delta x_2}\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}dx-{\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{E-U(x)}dx].$$

Отсюда
$$\delta T=-\sqrt{2m}\frac{\partial }{\partial E}{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\delta U(x)dx}{\sqrt{E-U(x)}}=-\frac{\partial }{\partial E}(T⟨\delta U⟩,$$

где
$$⟨\delta U⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^T\delta U[x(t)]dt$$
— среднее по времени значение $\delta U$.

Время движения вблизи точек остановки составляет малый вклад в период (разумеется, если $U^{\prime }\left(x_{1,2}\right)eq0$ ); по этому поводу см. задачу 1.3. Именно поэтому формула (3) может давать хорошее приближение.

В некоторых случаях даже малая добавка $\delta U(x)$ может существенно изменить характер движения частицы (см. например, задачу 1.11 б, в).

Действуя аналогично, можно получить следующие члены разложения $\delta T$ по $\delta U$ :
$$T=\sqrt{2m}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\frac{{\partial }^n}{\partial E^n}{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{[\delta U(x){]}^{n}dx}{\sqrt{E-U(x)}}.$$

Формальное выражение (5) может оказаться асимптотическим или даже сходящимся рядом.
1.11. а) Поправка к периоду $2\pi /\omega$, полученная по формуле (5) предыдущей задачи, равна $-3\pi \beta E/2m{\omega }^5$ и мала при достаточно малых $E$.

б) Графики потенциальной энергии $U(x)$ и $U(x)+\delta U(x)$ изображены на рис. 74. Видно, что при $E>U_m=$ $=m{\omega }^6/6{\alpha }^2$ добавка делает движение инфинитным. При значениях $E$, близких к $U_m$, период колебаний неограниченно возрастает (как $|\ln (U_m-E)|$; см. задачу 1.4 ); поэтому нельзя рассчитывать, что в этом случае он определяется небольшим числом членов ряда (5) задачи 1.10. Если же $E\ll U_m$, то поправка к периоду $\delta T=$ $=5\pi E/18\omega U_m$.
в) $\delta T=\frac{3\pi AV\sqrt{m}}{2\alpha |E{|}^{5/2}\sqrt{2}}$ формула применима, если $|E|\gg \left|U_m\right|\approx \sqrt{8AV}$ $(E<0)$.
1.12.
$$\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v})dx=\frac{1}{\alpha v_0}\ln \frac{E}{E-U_0},$$

где $v=\sqrt{\frac{2}{m}|E-U(x)|},v_0=\sqrt{\frac{2E}{m}}$ (ср. с решением задачи 1.1 б).