1.1. а) По начальным значениям $x(0)$ и $\dot{x}(0)$ определяется энергия частицы $E$. Дальнейшее ее движение находится из закона сохранения энергии
\[
\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+U(x)=E .
\]

При $E \geqslant 0$ частица может двигаться в области $x \geqslant x_{1}$ – движение инфинитно ( $E=E^{\prime}$ на рис. 69). При $E<0$ ( $\left.E=E^{\prime \prime}\right)$ частица движется в области $x_{2} \leqslant x \leqslant x_{3}$, движение финитно. Точки поворота определяются из формулы (1) $U\left(x_{i}\right)=E$ :
\[
\left\{\begin{array}{cc}
x_{1}=\frac{1}{\alpha} \ln \frac{\sqrt{A(A+E)}-A}{E} & \text { при } \quad E>0, \\
x_{1}=-\frac{\ln 2}{\alpha} & \text { при } \quad E=0, \\
x_{2,3}=\frac{1}{\alpha} \ln \frac{A \mp \sqrt{A(A-|E|)}}{|E|} & \text { при } \quad E<0 .
\end{array}\right.
\]

Из (1) получаем
\[
t=\sqrt{\frac{m}{2}} \int_{x(0)}^{x} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)}} .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{ll}
x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln \frac{A-\sqrt{A(A-|E|)} \cos (\alpha t \sqrt{2|E| / m}+C)}{|E|} & \text { при } E<0, \\
x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln \left[\frac{1}{2}+\frac{A \alpha^{2}}{m}(t+C)^{2}\right] & \text { при } \quad E=0, \\
x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln \frac{\sqrt{A(A+E)} \operatorname{ch}(\alpha t \sqrt{2 E / m}+C)-A}{E} & \text { при } \quad E>0 .
\end{array}
\]

Постоянные $C$ определяются начальными значениями $x(0)$, например, в (4) при $\dot{x}(0)>0$
\[
C=\arccos \frac{A-|E| e^{\alpha x(0)}}{\sqrt{A-(A-|E|)}} .
\]

Точки поворота (2) также легко найти из (4)-(6).
Движение при $E<0$, согласно (4), периодическое с периодом $T=$ $=\frac{\pi}{\alpha} \sqrt{\frac{2 m}{|E|}}$. Если $E$ близко к минимальному значению $U(x)$, равному $U_{\min }=U(0)=-A$ (т. е. $\varepsilon=\frac{A-|E|}{A} \ll 1$ ), то период $T \approx T_{0}\left(1-\frac{\varepsilon}{2}\right)$, $T_{0}=\frac{\pi}{\alpha} \sqrt{\frac{2 m}{A}}$ слабо зависит от $E$. В этом случае (4) можно записать в виде
\[
x(t)=-\frac{1}{\alpha} \ln (1-\varepsilon)+\frac{1}{\alpha} \ln \left[1-\sqrt{\varepsilon} \cos \left(\frac{2 \pi}{T} t+C\right)\right] \approx-\frac{\sqrt{\varepsilon}}{\alpha} \cos \left(\frac{2 \pi}{T_{0}} t+C\right) .
\]

Частица при этом совершает гармонические колебания вблизи точки $x=0$ с амплитудой $\sqrt{\varepsilon} / \alpha$, определяемой разностью $E-U_{\min }$, и с частотой, не зависящей от энергии. Такой характер движения при $E$, близком к $U_{\min }$, имеет место почти в любом поле $U(x)$. (Подробнее об этом см. в §5.)

При $E \geqslant 0$ частица, движущаяся справа, доходит до точки поворота $x_{1}$ (см. (2)), поворачивает назад и уходит на бесконечность. При этом скорость ее со временем стремится к $\sqrt{2 E / m}$ сверху.
\[
\begin{array}{l}
\text { б) } x(t)=\frac{1}{\alpha} \operatorname{Arsh}\left[\sqrt{\frac{|E|+U_{0}}{|E|}} \sin (\alpha t \sqrt{2|E| / m}+C)\right] \quad \text { при } \quad E<0 \text {, } \\
x(t)= \pm \frac{1}{\alpha} \operatorname{Arsh}\left[\sqrt{\frac{E+U_{0}}{E}} \operatorname{sh}(\alpha t \sqrt{2 E / m}+C)\right] \quad \text { при } \quad E>0, \\
x(t)= \pm \frac{1}{\alpha} \operatorname{Arsh}\left(\alpha t \sqrt{2 U_{0} / m}+C\right) \quad \text { при } \quad E=0 ;{ }^{1} \\
\end{array}
\]
в) $x(t)=\frac{1}{\alpha} \arcsin \left[\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}} \sin \left(\alpha t \sqrt{\frac{2\left(U_{0}+E\right)}{m}}\right)+C}\right]$.

Почему в некоторых формулах приведенных ответов знаки двойные?
1.2. $x(t)=\frac{x_{0}}{1 \pm t x_{0} \sqrt{2 A / m}}, x_{0}=x(0)$. Знак в знаменателе противоположен знаку $\dot{x}(0)$. Пусть для определенности $x(0)>0$. При $\dot{x}(0)>0$ частица уходит на бесконечность за время $\sqrt{m / 2 A x_{0}^{2}}$. Разумеется, реально речь может идти только о большом, но конечном расстоянии, до которого простирается заданное поле $U(x)$.
При $\dot{x}(0)<0$ частица асимптотически приближается к точке $x=0$.
1.3. Вблизи точки остановки $U(x)=$ $=E-(x-a) F$, где $F=-U^{\prime}(a)$, т. е. можно считать, что движение частицы происходит под действием постоянной силы $F$. Считая, что $x(0)=a$, получаем
\[
x(t)=a+\frac{F t^{2}}{2 m} .
\]

Рис. 70
Точность этой формулы убывает при удалении от точки $x=a$.

Маленький отрезок пути $s$ вдали от точки остановки частица проходит за время $\tau \propto s$. Если же отрезок пути примыкает к точке остановки, то для его прохождения необходимо время $\tau=\sqrt{2 m s /|F|}$, т. е. $\tau \propto \sqrt{s}$.
${ }^{1} \operatorname{Arsh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$.

Если $U^{\prime}(a)=0$ (рис. 70), то разложение $U(x)$ необходимо продолжить до следующего члена:
\[
U(x)=E+\frac{1}{2} U^{\prime \prime}(a)(x-a)^{2} .
\]

В этом случае $x(t)=a+s e^{ \pm \lambda t}$, где $s=x(0)-a, \lambda^{2}=-\frac{U^{\prime \prime}(a)}{m}$, а знак в показателе определяется направлением скорости в начальный момент. Для прохождения участка пути до точки остановки частице необходимо бесконечно большое время.
1.4. Если $U^{\prime \prime}(a)
eq 0$, то $T \propto \ln \varepsilon$, где $\varepsilon=U_{m}-E$. Если $U^{\prime \prime}(a)=$ $=\ldots=U^{(n-1)}(a)=0, U^{(n)}(a)
eq 0$, то $T \propto \varepsilon^{-\frac{n-2}{2 n}}$.
1.5. а) При малом $\varepsilon=E-U_{m}$ частица движется медленнее всего вблизи точки $x=a$. Поэтому и весь период движения $T$ можно оценить по времени $T_{1}$ прохождения (туда и обратно) малой окрестности этой точки $a-\delta<x<a+\delta$ :
\[
T_{1}=\sqrt{2 m} \int_{a-\delta}^{a+\delta} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)}} \approx T .
\]

В окрестности $x=a$ представим $U(x)$ в виде $U(x)=U_{m}-\frac{1}{2} k(x-a)^{2}$, где $k=-U^{\prime \prime}(a)$. При достаточно малом $\varepsilon$ можно выбрать $\delta$ таким, чтобы скорость $v$ на границах интервата была много больше минимальной (при $x=a$ )
\[
\frac{m v^{2}}{2} \sim \frac{k \delta^{2}}{2} \gg \varepsilon
\]

и в то же время чтобы было $\delta \ll L=x_{2}-x_{1}$, т. е.
\[
\sqrt{\frac{\varepsilon}{k}} \ll \delta \ll L=x_{2}-x_{1} .
\]

Тогда
\[
T_{1}=2 \sqrt{\frac{m}{k}} \ln \frac{2 k \delta^{2}}{\varepsilon} .
\]

Время $T_{2}$ движения частицы на участках $x_{1}<x<a-\delta$ и $a+\delta<x<x_{2}$ удовлетворяет условию
\[
T_{2} \lesssim \frac{L}{v} \sim \sqrt{\frac{m}{k}} \frac{L}{\delta} .
\]

С уменьшением $\varepsilon$ величина $T_{1}$ возрастает, поэтому при достаточно малых $\varepsilon$ оказывается $T_{2} \ll T_{1}$ и для оценки периода движения можно воспользоваться формулой (1). Эта формула обладает асимптотической точностью. Ее относительная ошибка стремится к нулю, как $1 / \ln \varepsilon$, при $\varepsilon \rightarrow 0$. Но с той же логарифмической точностью можно заменить в (1) $\delta$ на $L$ и опустить множитель 2 под знаком логарифма:
\[
\begin{array}{c}
T=2 \sqrt{\frac{m}{k}} \ln \frac{k L^{2}}{\varepsilon} . \\
\text { Если } U^{\prime \prime}(a)=0, U^{(4)}=-K
eq 0 \text {, то } \\
T=4\left(\frac{6 m^{2}}{\varepsilon K}\right)^{1 / 4} \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{1+x^{4}}}=11,6\left(\frac{m^{2}}{\varepsilon K}\right)^{1 / 4},
\end{array}
\]

причем относительная ошибка стремится к нулю, как $\varepsilon^{1 / 4}$, при $\varepsilon \rightarrow 0$.
б) Если наблюдать за движением частицы в течение времени, большого по сравнению с периодом $T$, то вероятность обнаружить частицу на участке от $x$ до $x+d x$
\[
w(x) d x=2 \frac{d t}{T}=\frac{\sqrt{2 m} d x}{T \sqrt{E-U(x)}},
\]

Рис. 71
где $2 d t$ – время нахождения частицы на участке $d x$ за период. Зависимость плотности вероятности $w$ от $x$ представлена на рис. 71 .

Рассматриваемой вероятности $w(x) d x$ соответствует заштрихованная площадь (вся площадь под кривой равна единице). При достаточно малых $\varepsilon$ основной вклад в площадь под кривой дает площадь под центральным максимумом, равная $T_{1} / T$. Хотя $w(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow x_{1,2}$ вклад участков вблизи точек остановки относительно мал.
в)
\[
\widetilde{w}(p) d p=\frac{1}{T} \sum_{k}\left|\frac{d t_{k}}{d p}\right| d p=\frac{1}{T} \sum_{k} \frac{d p}{\left|\frac{d U\left(x_{k}\right)}{d x}\right|},
\]

где $x_{k}=x_{k}(p)$ – различные корни уравнения $\frac{p^{2}}{2 m}+U(x)=E$.

График $\widetilde{w}(p)$ изображен на рис. $72, p_{1}=\sqrt{2 m\left(E-U_{m}\right)}$,
\[
p_{2}=\sqrt{2 m[E-U(c)]}, \quad p_{3}=\sqrt{2 m[E-U(b)]} .
\]
г) Линии $E(x, p)=$ const (фазовые траектории частицы) приведены на рис. 73 , где кривые пронумерованы в порядке возрастания энергии. При $U(c) \leqslant E<U_{m}$ фазовая траектория 2 двусвязна. Стрелки указывают направление движения точки, изображающей состояние частицы.
1.6. За начало отсчета потенциатьной энергии принимаем нижнюю точку. При $E=2 m g l$ имеем
\[
\varphi(t)=-\pi+4 \operatorname{arctg}\left(e^{ \pm t \sqrt{g / l}} \operatorname{tg} \frac{\varphi(0)+\pi}{4}\right)
\]

Рис. 73
( $\varphi$ – угол отклонения маятника от нижнего положения). Знак в показателе совпадает со знаком $\dot{\varphi}(0)$. Маятник асимптотически приближается к верхнему положению.

При $0<E-2 m g l \ll 2 m g l$ маятник вращается, медленно «переваливая» через верхнее положение. Период обращения можно оценить, используя результат (2) предыдущей задачи:
\[
T=\sqrt{\frac{l}{g}} \ln \frac{\varepsilon_{0}}{E-2 m g l} ; \quad \varepsilon_{0}=4 \pi^{2} m g l .
\]

1.7. Угол отклонения маятника отсчитываем от нижнего положения. Энергия $E=\frac{1}{2} m l^{2} \dot{\varphi}^{2}+m g l(1-\cos \varphi)$. Пусть в момент $t_{0}$ угол $\varphi\left(t_{0}\right)=0$ и для определенности $\dot{\varphi}\left(t_{0}\right)>0$. Введя $k=\sqrt{E / 2 m g l}$, имеем
\[
t=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\varphi} \frac{d \varphi}{\sqrt{k^{2}-\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}}}+t_{0} .
\]

При $k<1$ маятник колеблется в пределах $-\varphi_{m} \leqslant \varphi \leqslant \varphi_{m}$ и $k=$ $=\sin \frac{\varphi_{m}}{2}$. Подстановкой $\sin \xi=\frac{1}{k} \sin \frac{\varphi}{2}$ интеграл (1) приводится к виду ${ }^{1}$ $t=\sqrt{\frac{l}{g}} F(\xi, k)+t_{0}$. Отсюда
\[
\varphi=2 \arcsin [k \sin (u, k)], \quad u=\left(t-t_{0}\right) \sqrt{\frac{g}{l}} .
\]

Период колебаний
\[
T=4 \sqrt{\frac{l}{g}} K\left(\sin \frac{\varphi_{m}}{2}\right) .
\]

В предельных случаях (ср. с задачей 1.4)
\[
\begin{array}{rlrl}
T & =2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{\varphi_{m}^{2}}{16}\right) & & \text { при } \varphi_{m} \ll 1, \\
T & =4 \sqrt{\frac{l}{g}} \ln \frac{8}{\pi-\varphi_{m}} & \text { при } \pi-\varphi_{m} \ll 1 .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Функция $F(\xi, k)=\int_{0}^{\xi} \frac{d \xi}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \xi}}$-так называемый неполный эллиптический интеграл первого рода. Если $u=F(\xi, k)$, то $\xi$ выражается через одну из эллиптических функций Якоби – эллиптический синус: $\sin \xi=\sin (u, k)$. Полным эллиптическим интегралом первого рода называется функция $K(k)=F\left(\frac{\pi}{2}, k\right)$. Приведем также формулы для двух предельных случаев:
\[
\begin{array}{ll}
K(k)=\frac{\pi}{2}\left(1+\frac{k^{2}}{4}\right) & \text { при } k \ll 1, \\
K(k)=\frac{1}{2} \ln \frac{16}{1-k^{2}} \quad \text { при } 1-k \ll 1 .
\end{array}
\]

Таблицы и формулы этих функций можно найти, например, в [10].

При $k>1$ маятник не колеблется, а вращается. Из (1) получаем
\[
t=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{l}{g}} F\left(\frac{\varphi}{2}, \frac{1}{k}\right)+t_{0}, \quad \varphi=2 \operatorname{Arcsin} \operatorname{sn}\left(u, \frac{1}{k}\right), \quad u=k\left(t-t_{0}\right) \sqrt{\frac{g}{l}} .
\]

Период обращения
\[
T=\frac{2}{k} \sqrt{\frac{l}{g}} K\left(\frac{1}{k}\right) .
\]

В частности, при $E-2 m g l \ll 2 m g l$ получаем
\[
T=\sqrt{\frac{l}{g}} \ln \frac{\varepsilon_{0}}{E-2 m g l},
\]

где $\varepsilon_{0}=32 \mathrm{mgl}$. Этот результат отличается от довольно грубой оценки, сделанной в предыдущей задаче, значением постоянной $\varepsilon_{0}$, т. е. на число, не зависящее от $E-2 \mathrm{mgl}$.
1.8. Закон движения в поле $U(x)+\delta U(x)$ определяется равенством
\[
t=\sqrt{\frac{m}{2}} \int_{a}^{x} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}}
\]
( $x=a$ при $t=0$ ). Разлагая подынтегральное выражение в (1) по степеням $\delta U(x)$, получаем
\[
t=t_{0}(x)+\delta t(x),
\]

где
\[
\begin{aligned}
t_{0}(x) & =\sqrt{\frac{m}{2}} \int_{a}^{x} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)}}, \\
\delta t(x) & =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{a}^{x} \frac{\delta U(x) d x}{[E-U(x)]^{3 / 2}} .
\end{aligned}
\]

Пусть закон движения в отсутствие поправки $\delta U(x)$, определяемый из уравнения $t=t_{0}(x)$, есть $x=x_{0}(t)$. Тогда из (2) находим
\[
x=x_{0}(t-\delta t(x)) \text {, }
\]

причем в малой поправке $\delta t(x)$ можно положить $x=x_{0}(t)$, а также провести разложение (5) по $\delta t$. Окончательно
\[
x=x_{0}(t)-x_{0}^{\prime}(t) \delta t\left(x_{0}(t)\right) .
\]

Вблизи точки остановки $x=x_{1}$ разложение (2) становится неприменимым, так как поправка $\delta t(x) \rightarrow \infty$ при $x_{1}$.

Замечательно, однако, что формула (6) оказывается справедливой вплоть до точки остановки, если
\[
\left|\delta U^{\prime}(x)\right| \ll|F|, \quad F=-U^{\prime}\left(x_{1}\right) .
\]

Этот факт связан с тем, что хотя с приближением к точке остановки $\delta t$ возрастает, зависимость $x(t)$ вблизи экстремума оказывается слабой.
Очевидно, что вблизи $x_{1}$ невозмущенное движение имеет вид
\[
x_{0}(t)=x_{1}+\frac{F}{2 m}\left(t-t_{1}\right)^{2} .
\]

Добавление $\delta U$ смещает точку остановки на $\delta x_{1}$, согласно уравнению
\[
U\left(x_{1}+\delta x_{1}\right)+\delta U\left(x_{1}+\delta x_{1}\right)=E .
\]

Отсюда $\delta x_{1}=\frac{\delta U\left(x_{1}\right)}{F}$. С учетом возмущения $\delta U$ аналогично (8) имеем
\[
x(t)=x_{1}+\delta x_{1}+\frac{F}{2 m}\left(t-t_{1}-\delta t_{1}\right)^{2}
\]
(в силу (7) поправкой к $F$ пренебрегаем). Убедимся, что расчет по формуле (6) приводит к (9).

Область интегрирования в (4) разобьем на две части: от $a$ до $b$ и от $b$ до $x$, где $b$ лежит вблизи $x_{1}$. Во второй области можно положить $\delta U=$ $=\delta U\left(x_{1}\right)$ и $U(x)=E-\left(x-x_{1}\right) F$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\delta t=\frac{\sqrt{m} \delta U\left(x_{1}\right)}{\sqrt{2 F^{3}\left(x-x_{1}\right)}}+\delta t_{0}, \\
\delta t_{0}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{b}^{a} \frac{\delta U(x) d x}{(E-U)^{3 / 2}}-\frac{\sqrt{m} \delta U\left(x_{1}\right)}{\sqrt{F^{3}\left(b-x_{1}\right)}} .
\end{array}
\]

Подставляя (10) и (8) в (6) и пренебрегая $\delta t_{0}^{2}$, получим (9) с $\delta t_{1}=\delta t_{0}$.

1.9. а) Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Невозмущенное движение
\[
x_{0}(t)=a \sin \omega t, \quad E=\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2} .
\]

При этом $|\delta U / U| \lesssim \varepsilon=\frac{\alpha a}{\omega^{2}} \ll 1$. Поправка
\[
\begin{aligned}
\delta t(x) & =\frac{\alpha}{3 \omega^{3}}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}-2 a\right), \\
\delta t\left(x_{0}(t)\right) & =\frac{\varepsilon}{3 \omega}\left(\cos \omega t+\frac{1}{\cos \omega t}-2\right)
\end{aligned}
\]

и, согласно формуле (6) предыдущей задачи,
\[
x(t)=a \sin \omega t-\frac{\varepsilon a}{3}\left(\cos ^{2} \omega t+1-2 \cos \omega t\right) .
\]

С точностью до членов первого порядка по $\varepsilon$ включительно
\[
x(t)=a \sin \left(\omega t+\frac{2}{3} \varepsilon\right)-\frac{\varepsilon}{2} a-\frac{\varepsilon}{6} a \cos 2 \omega t
\]
(ср. с задачей 8.1 б).
б) Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем
\[
x(t)=a \sin \omega t+a \varepsilon\left(\frac{3}{2} \omega t \cos \omega t-\frac{7}{8} \sin \omega t-\frac{1}{8} \sin 3 \omega t\right), \quad \varepsilon=\frac{\beta a^{2}}{4 \omega^{2}} \ll 1 . \text { (1) }
\]

Этот результат имеет относительную точность $\sim \varepsilon^{2}$ в течение одного периода, а через $\varepsilon^{-1}$ периодов формула (1) становится полностью неприменима. Учитывая периодический характер движения, можно распространить результат (1) на бо́льший промежуток времени. С точностью до членов порядка $\varepsilon$ включительно формула (1) преобразуется к явно периодическому виду
\[
x(t)=a\left(1-\frac{7}{8} \varepsilon\right) \sin \left[\omega\left(1+\frac{3}{2} \varepsilon\right) t\right]-a \frac{\varepsilon}{8} \sin \left[3 \omega\left(1+\frac{3}{2} \varepsilon\right) t\right] .
\]

Не учтенные нами в (1) поправки приводят к изменению частоты порядка $\varepsilon^{2} \omega$, так что (2) сохраняет относительную точность $\sim \varepsilon$ в течение $\varepsilon^{-1}$ периодов (ср. с задачей $8.1 \mathrm{a}$ ).

1.10. Искомое изменение периода
\[
\delta T=\sqrt{2 m}\left[\int_{x_{1}+\delta x_{1}}^{x_{2}+\delta x_{2}} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{\sqrt{E-U(x)}}\right] .
\]

Разлагать подынтегральное выражение (1) по $\delta U(x)$ нельзя: условие применимости теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру нарушено, так как полученный при дифференцировании интеграл расходится. Разложение подынтегрального выражения по $\delta U(x)$ до линейного члена включительно можно провести, если представить $\delta T$ в виде
\[
\delta T=2 \sqrt{2 m} \frac{\partial}{\partial E}\left[\int_{x_{1}+\delta x_{1}}^{x_{2}+\delta x_{2}} \sqrt{E-U(x)-\delta U(x)} d x-\int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{E-U(x)} d x\right] .
\]

Отсюда
\[
\delta T=-\sqrt{2 m} \frac{\partial}{\partial E} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\delta U(x) d x}{\sqrt{E-U(x)}}=-\frac{\partial}{\partial E}(T\langle\delta U\rangle,
\]

где
\[
\langle\delta U\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \delta U[x(t)] d t
\]
– среднее по времени значение $\delta U$.

Время движения вблизи точек остановки составляет малый вклад в период (разумеется, если $U^{\prime}\left(x_{1,2}\right)
eq 0$ ); по этому поводу см. задачу 1.3. Именно поэтому формула (3) может давать хорошее приближение.

В некоторых случаях даже малая добавка $\delta U(x)$ может существенно изменить характер движения частицы (см. например, задачу 1.11 б, в).

Действуя аналогично, можно получить следующие члены разложения $\delta T$ по $\delta U$ :
\[
T=\sqrt{2 m} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n !} \frac{\partial^{n}}{\partial E^{n}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{[\delta U(x)]^{n} d x}{\sqrt{E-U(x)}} .
\]

Формальное выражение (5) может оказаться асимптотическим или даже сходящимся рядом.
1.11. а) Поправка к периоду $2 \pi / \omega$, полученная по формуле (5) предыдущей задачи, равна $-3 \pi \beta E / 2 m \omega^{5}$ и мала при достаточно малых $E$.

б) Графики потенциальной энергии $U(x)$ и $U(x)+\delta U(x)$ изображены на рис. 74. Видно, что при $E>U_{m}=$ $=m \omega^{6} / 6 \alpha^{2}$ добавка делает движение инфинитным. При значениях $E$, близких к $U_{m}$, период колебаний неограниченно возрастает (как $\left|\ln \left(U_{m}-E\right)\right|$; см. задачу 1.4 ); поэтому нельзя рассчитывать, что в этом случае он определяется небольшим числом членов ряда (5) задачи 1.10. Если же $E \ll U_{m}$, то поправка к периоду $\delta T=$ $=5 \pi E / 18 \omega U_{m}$.
в) $\delta T=\frac{3 \pi A V \sqrt{m}}{2 \alpha|E|^{5 / 2} \sqrt{2}}$ формула применима, если $|E| \gg\left|U_{m}\right| \approx \sqrt{8 A V}$ $(E<0)$.
1.12.
\[
\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{v_{0}}-\frac{1}{v}\right) d x=\frac{1}{\alpha v_{0}} \ln \frac{E}{E-U_{0}},
\]

где $v=\sqrt{\frac{2}{m}|E-U(x)|}, v_{0}=\sqrt{\frac{2 E}{m}}$ (ср. с решением задачи 1.1 б).