4.1. Полагая $x=0$ при $t=0$, находим $C=0$, а из условия $x=a$ при $t=\tau$ находим $B=\frac{a}{\tau}-A \tau$. Используя функцию $x(t)=A t^{2}+\left(\frac{a}{\tau}-A \tau\right) t$, вычисляем действие
\[
S=\int_{0}^{\tau} L(x, \dot{x}) d t=\int_{0}^{\tau}\left(\frac{m}{2} \dot{x}^{2}+F x\right) d t=\frac{m A^{2} \tau^{3}}{6}+\frac{m a^{2}}{2 \tau}-\frac{F A \tau^{3}}{6}+\frac{F a \tau}{2} .
\]

Из условия $\frac{\partial S}{\partial A}=0$, определяющего минимум действия, находим $A=\frac{F}{2 m}$. Ясно, что закон движения
\[
x(t)=\frac{F t^{2}}{2 m}+\left(\frac{a}{\tau}-\frac{F \tau}{2 m}\right) t
\]

в данном случае оказывается точным. Однако приведенное решение задачи позволяет только утверждать, что этот закон является в определенном смысле наилучшим среди всех мыслимых законов предложенного вида.

Чтобы убедиться, что найденный закон движения дает значение $S$ меньшее, чем любой другой закон $x(t)$, т. е. является истинным, нужно проверить, что он удовлетворяет уравнению Лагранжа.
4.2.
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\left\{\begin{array}{ll}
v_{x} t-a & \text { при } 0<t<t_{0}, \\
\sqrt{v_{x}^{2}-2 U / m}(t-\tau)+a & \text { при } t_{0}<t<\tau,
\end{array}\right. \\
y(t)=a t / \tau,
\end{array}
\]

где $v_{x}=(2 a U / m \tau)^{1 / 3}, t_{0}=a / v_{x}$.
4.3. Из соотношения
\[
\widetilde{L}(Q, \dot{Q}, t)=L(q(Q, t), \dot{q}(Q, \dot{Q}, t), t)=L\left(q, \frac{\partial q}{\partial Q} \dot{Q}+\frac{\partial q}{\partial t}, t\right)
\]

находим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{Q}}=\frac{\partial q}{\partial Q} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{d t} \frac{\partial q}{\partial Q} \\
\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{Q}}=\frac{\partial L}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial Q}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{\partial \dot{q}}{\partial Q}
\end{array}
\]

Учитывая, что $\frac{\partial \dot{q}}{\partial Q}=\frac{d}{d t} \frac{\partial q}{\partial Q}$, получаем
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{Q}}-\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial Q}=\frac{\partial q}{\partial Q}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}\right)
\]

Таким образом, справедливость уравнения $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$ приводит к справедливости аналогичного уравнения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{Q}}-\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial Q}=0
\]

В случае нескольких степеней свободы вместо (1) получим
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{Q}_{i}}-\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial Q_{i}}=\sum_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{i}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}\right) .
\]
4.4. $\widetilde{L}\left(Q, \frac{d Q}{d \tau}, \tau\right)=L\left(q, \frac{d q}{d t}, t\right) \frac{d t}{d \tau}$.

Здесь
\[
\begin{array}{c}
q=q(Q, \tau), \quad \frac{d q}{d t}=\frac{d q}{d \tau} \frac{d \tau}{d t} \\
\frac{d q}{d \tau}=\frac{\partial q}{\partial Q} \frac{d Q}{d \tau}+\frac{\partial q}{\partial \tau}, \quad \frac{d t}{d \tau}=\frac{\partial t}{\partial Q} \frac{d Q}{d \tau}+\frac{\partial t}{\partial \tau} .
\end{array}
\]
4.5. $\widetilde{L}=\frac{m}{2} \frac{\dot{x}^{2}}{1+\lambda \dot{x}}-(1+\lambda \dot{x}) U(x), \quad \dot{x}=\frac{d x}{d \tau}$.
4.6. $\widetilde{L}=-\sqrt{1-\left(\frac{d q}{d \tau}\right)^{2}}$.

Предложенная задача поставлена чисто формально. Однако, как данная функция Лагранжа, так и рассматриваемое преобразование («исправленные» введением размерных множителей) имеют простой физический смысл в теории относительности (см. [3], §4,8),
4.7. Для $P_{l}=\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{l}}, E^{\prime}=\sum_{l} P_{l} \dot{Q}_{l}-L$ находим
\[
P_{l}=\sum_{k} \frac{\partial f_{k}}{\partial Q_{l}} p_{k}, \quad E^{\prime}=E-\sum_{k} p_{k} \frac{\partial f_{k}}{\partial t} .
\]

4.8. Используя формулы предыдущей задачи, получаем
а) $p_{r}^{\prime}=m \dot{r}^{\prime}=p_{r}, p_{\varphi}^{\prime}=m r^{\prime 2}\left(\dot{\varphi}^{\prime}+\Omega\right)=p_{\varphi}, E^{\prime}=E-\Omega p_{\varphi}$;
б)
\[
\left\{\begin{array}{l}
p_{x}^{\prime}=p_{x} \cos \Omega t-p_{y} \sin \Omega t, \\
p_{y}^{\prime}=p_{x} \sin \Omega t+p_{y} \cos \Omega t .
\end{array}\right.
\]

Из (1) следует $\mathrm{p}^{\prime}=\mathrm{p}$, а сами эти равенства представляют собой закон преобразования компонент вектора при переходе к системе координат, повернутой на угол $\Omega t$. Подчеркнем, что $\mathbf{p}^{\prime}
eq m \mathbf{v}^{\prime}$ (cp. [1], §39).
4.9. a) $E^{\prime}=E-\mathbf{V p}, \mathbf{p}^{\prime}=\mathbf{p}$;
б) $E^{\prime}=E-\mathbf{V} \mathbf{p}+\frac{m V^{2}}{2}, \quad \mathbf{p}^{\prime}=\mathbf{p}-m \mathbf{V}$.
Два выражения энергии отличаются на постоянную. Обычно используется второе выражение, так как именно оно согласуется с определением энергии в теории относительности.
4.10. Пусть $q_{i}=f_{i}(t)$ описывает движение системы (траектория $A B$ на рис. 113). Так как вид действия не изменяется при переходе к переменным $q_{i}^{\prime}, t^{\prime}$, равенства $q_{i}^{\prime}=f_{i}\left(t^{\prime}\right)$ также описывают действительное движение си-
Рис. 113 стемы. Выраженные в переменных $q_{i}, t$ с точностью до первого порядка по $\varepsilon$, эти равенства имеют вид
\[
q_{i}(t-\delta t)=f_{i}(t)-\delta q_{i},
\]

где
\[
\delta q_{i}=\varepsilon \Psi_{i}(f(t) t), \quad \delta t=\varepsilon X(f(t), t)
\]
(траектория $A^{\prime} B^{\prime}$ на рис. 113).
Малые изменения координат и времени начала и конца движения при переходе от траектории $A B$ к траектории $A^{\prime} B^{\prime}$ приводят к изменению действия:
\[
S_{A^{\prime} B^{\prime}}-S_{A B}=\left[\frac{\partial S}{\partial t}(-\delta t)+\sum_{i} \frac{\partial S}{\partial q_{i}}\left(-\delta q_{i}\right)\right]_{A}^{B} .
\]

Здесь (см. [1], §43)
\[
\frac{\partial S}{\partial t}=L-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}=-E(t), \quad \frac{\partial S}{\partial q_{i}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=p_{i}(t) .
\]

С другой стороны, согласно условию задачи, $S_{A B}=S_{A^{\prime} B^{\prime}}$, так что
\[
\begin{array}{l}
E\left(t_{A}\right) \varepsilon X\left(q_{A}, t_{A}\right)-\sum_{i} p_{i}\left(t_{A}\right) \varepsilon \Psi_{i}\left(q_{A}, t_{A}\right)= \\
= E\left(t_{B}\right) \varepsilon X\left(q_{B}, t_{B}\right)-\sum_{i} p_{i}\left(t_{B}\right) \varepsilon \Psi_{i}\left(q_{B}, t_{B}\right),
\end{array}
\]

или
\[
E X-\sum p_{i} \Psi_{i}=\text { const. }
\]

Доказанная теорема представляет собой, в сущности, единый вывод различных законов сохранения. Важность ее возрастает в связи с тем, что подобная же теорема имеет место и в теории поля (теорема Нётер, см. $[12,13])$.
4.11. $\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\left(\dot{q}_{i} X-\Psi_{i}\right)-L X-f=$ const.
4.12. а) Импульс;
б) момент импульса;
в) энергия;
г) $M_{z}+\frac{h}{2 \pi} p_{z}=$ const, $h-$ шаг винта;
д) $E x-p_{x} t=$ const – интеграл движения центра инерции системы (см. [2], § 14).
4.13. а) Потенциальная энергия $U(\mathbf{r})=-\mathbf{F r}$, а с ней вместе и действие, не изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к $\mathbf{F}$, и при поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интегралами движения являются компоненты импульса, перпендикулярные к $\mathbf{F}$, и компонента момента импульса, параллельная $\mathbf{F}$. Так как функция Лагранжа не зависит от времени, интегралом движения является энергия.

Утверждение, что различные точки в некоторой области «равноправны», означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энергии (а не силы!).
б) Преобразование подобия $\mathbf{r}^{\prime}=\alpha \mathbf{r}$ может сохранять вид действия, если одновременно преобразуется время $t^{\prime}=\beta t$. Вклад в действие кинетической энергии
\[
\int \frac{m v^{\prime 2}}{2} d t^{\prime}=\frac{\alpha^{2}}{\beta} \int \frac{m v^{2}}{2} d t
\]

остается неизменным при $\beta=\alpha^{2}$, а вклад потенциальной энергии
\[
-\int U\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d t^{\prime}=-\alpha^{n} \beta \int U(\mathbf{r}) d t=-\alpha^{n+2} \int U(\mathbf{r}) d t \quad \text { при } n=-2 .
\]

Чтобы воспользоваться теоремой, сформулированной в задаче 4.10, записываем бесконечно малое преобразование подобия, положив $\alpha=1+\varepsilon$, $\varepsilon \rightarrow 0$ :
\[
\mathbf{r}^{\prime}=(1+\varepsilon) \mathbf{r}, \quad t^{\prime}=(1+2 \varepsilon) t,
\]

так что $\Psi=\mathbf{r}, X=2 t$ и интеграл движения
\[
\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}(\mathbf{v} X-\boldsymbol{\Psi})-L X=m \mathbf{v r}-2 E t=C .
\]

Из (1) можно найти $r(t)$, учитывая, что $\mathbf{r v}=\frac{1}{2} \frac{d r^{2}}{d t}$ :
\[
r^{2}=\frac{2 E}{m} t^{2}+C t+C_{1} .
\]

Если $E<0$, то частица падает на центр (при этом $\dot{r} \rightarrow \infty$ ). Если $E>0$, удобнее ввести вместо $C, C_{1}$ другие константы $\tau, B$ и записать (2) в виде
\[
r^{2}=\frac{2 E}{m}(t-\tau)^{2}+B
\]

При $B>0$ зависимость $r(t)$ такая же, как для свободного движения частицы со скоростью $v_{0}=\sqrt{2 E / m}$ и прицельным параметром $\rho=\sqrt{B}$. При $B<0$ частица падает па центр.

Поля, для которых выполняются условия этой задачи, приведены, например, в задачах $12.6,12.7$ и в [1], задача 2 к $\S 15$.
в) $E-\mathbf{V p}=\mathrm{const}$;
г) $\mathbf{r p}-2 E t=$ const, где $\mathbf{p}=m \mathbf{v}+\frac{e}{c} \mathbf{A}$, если $\mathbf{A}(\alpha \mathbf{r})=\alpha^{-1} \mathbf{A}(\mathbf{r})$;
д) $E-p_{\varphi} \Omega=$ const.
4.14. $m \mathbf{r}-\mathrm{p} t=$ const (ср. с задачей 4.12 д).
Является ли этот интеграл движения для замкнутой системы восьмым независимым интегралом (кроме $E, \mathbf{M}, \mathrm{p}$ )?

4.15. а) Пусть ось $z$ параллельна $\mathscr{H}$. Сдвиг вдоль оси $z$ и поворот вокруг нее не изменяют вида $\mathbf{A}$, а следовательно, и вида действия. Поэтому интегралами движения являются $p_{z}=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m \dot{z}$ и $M_{z}=x p_{y}-y p_{x}=$ $=m(x \dot{y}-y \dot{x})+\frac{e \mathscr{H}}{2 c}\left(x^{2}+y^{2}\right)$. Кроме того, интегралом движения является энергия $E=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)$.
б) $E=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), p_{y}^{\prime}=m \dot{y}+\frac{e}{c} \mathscr{H} x, p_{z}^{\prime}=m \dot{z}$ (ср. с задачей 10.7).
Соображения симметрии позволяют определять различные интегралы движения в зависимости от выбора векторного потенциала данного поля $\mathscr{H}$. Но все величины: $E, p_{z}=p_{z}^{\prime}, M_{z}, p_{y}^{\prime}$ – являются интегралами движения независимо от выбора $\mathbf{A}$.
4.16. а) $E=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), M_{z}=m(x \dot{y}-y \dot{x})+\frac{e \mathfrak{m}}{c \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ (здесь ось $z$ выбрана параллельной вектору $\mathfrak{m}$ ). Ср. с задачей 2.31 .
б) Из свойств симметрии данного поля можно получить следующие интегралы движения:
\[
p_{z}=m \dot{z}, \quad M_{z} \equiv p_{\varphi}=m r^{2} \dot{\varphi}+\frac{e \mu}{c}, \quad E=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\right) .
\]

Однако движение в этом «поле» есть свободное движение. Действительно, функция Лагранжа
\[
L=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{e \mu}{c} \dot{\varphi}
\]

отличается от функции Лагранжа свободной частицы только на полную производную по времени функции $\frac{e \mu \varphi}{c}$ (разумеется, в этом случае $\mathscr{H}=\operatorname{rot} \mathbf{A}=0$ ).

Заметим, что в случае, когда $\mu$ есть функция времени, $p_{z}$ и $M_{z}$ остаются интегралами движения.
4.17. а) $\ddot{x}+x=0$. Такое же уравнение может быть получено из функции Лагранжа $L_{1}(x, \dot{x})=\dot{x}^{2}-x^{2}$. Как известно, если две функции Лагранжа отличаются на полную производную функции координат и времени, то они приводят к одинаковым уравнениям Лагранжа. Обратное утверждение неверно.
б) $\ddot{x}+\alpha \dot{x}+\omega^{2} x=0$.

4.18. а) Уравнения Лагранжа для частицы в поле $U$ в сферических координатах
\[
\begin{array}{c}
m\left(\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta-r \dot{\theta}^{2}\right)+\frac{\partial U}{\partial r}=0 \\
m\left(r^{2} \ddot{\theta}+2 r \dot{r} \dot{\theta}-r^{2} \dot{\varphi}^{2} \sin \theta \cos \theta\right)+\frac{\partial U}{\partial \theta}=0 \\
m\left(r^{2} \ddot{\varphi} \sin ^{2} \theta+2 r \dot{r} \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta+2 r^{2} \dot{\theta} \dot{\varphi} \sin \theta \cos \theta\right)+\frac{\partial U}{\partial \varphi}=0
\end{array}
\]

легко привести к виду
\[
m(\dot{\mathbf{v}})_{i}=(\mathbf{F})_{i},
\]

где компоненты силы есть компоненты $-\operatorname{grad} U$ :
\[
F_{r}=-\frac{\partial U}{\partial r}, \quad F_{\theta}=-\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta}, \quad F_{\varphi}=-\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial U}{\partial \varphi} .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
(\dot{\mathbf{v}})_{r}=\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta-r \dot{\theta}^{2}, \\
(\dot{\mathbf{v}})_{\theta}=r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}-r \dot{\varphi}^{2} \cos \theta \sin \theta, \\
(\dot{\mathbf{v}})_{\varphi}=r \ddot{\varphi} \sin \theta+2 \dot{r} \dot{\varphi} \sin \theta+2 r \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta
\end{array}
\]
б) $(\dot{\mathbf{v}})_{i}=\frac{1}{2 h_{i}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial}{\partial q_{i}}\right) \frac{d s^{2}}{d t^{2}}=h_{i} \ddot{q}_{i}+\sum_{k=1}^{3}\left(2 \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \frac{\partial h_{i}}{\partial q_{k}}-\dot{q}_{k}^{2} \frac{h_{k}}{h_{i}} \frac{\partial h_{k}}{\partial q_{i}}\right)$.
4.19. а) Функция Лагранжа
\[
L=\frac{m}{2} \sum_{i, k=1}^{3} g_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}-U\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right),
\]

где
\[
g_{i k}=\sum_{l=1}^{3} \frac{\partial x_{l}}{\partial q_{i}} \frac{\partial x_{l}}{\partial q_{k}} \quad\left(x_{1} \equiv x, x_{2} \equiv y, x_{3} \equiv z\right),
\]

приводит к уравнениям
\[
m \sum_{k=1}^{3} g_{s k} \ddot{q}_{k}+m \sum_{k, l=1}^{3} \Gamma_{s, k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}=-\frac{\partial U}{\partial q_{s}} \quad(s=1,2,3),
\]

где
\[
\Gamma_{s, k l}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{s k}}{\partial q_{l}}+\frac{\partial g_{l s}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial g_{k l}}{\partial q_{s}}\right) .
\]

б) Введя обозначение $q_{4}(x, t)=t$, можем сохранить все выкладки и формулы предыдущего пункта, лишь заменив $\sum_{1}^{3}$ на $\sum_{1}^{4}$.

Какой смысл имеют в уравнениях (1) члены, содержащие $\Gamma_{1, k 4}(k=1$, $2,3,4$ ), если $q_{l}$ – декартовы координаты во вращающейся системе отсчета (см. задачу 4.8)?
4.20. Так как предложенная функция Лагранжа только слагаемым $L_{1}=-\frac{e g}{c} \dot{\varphi} \cos \theta$ отличается от функции Лагранжа свободной частицы, то компоненты силы в сферической системе координат (см. задачу 4.18 a) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
F_{r}=0 \\
F_{\theta}=\frac{1}{r} \frac{\partial L_{1}}{\partial \theta}=\frac{e g \dot{\varphi} \sin \theta}{c r} \\
F_{\varphi}=-\frac{1}{r \sin \theta} \frac{d}{d t} \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{e g \dot{\theta}}{c r}
\end{array}
\]

и действительно совпадают с компонентами силы Лоренца
\[
\frac{e}{c}[\mathbf{v} \mathscr{H}]=\frac{e g}{c r^{3}}[\mathbf{v r}] .
\]

Поскольку $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ интегралом движения является энергия $E=\frac{m v^{2}}{2}$.
Разберемся, каким образом возникает интеграл движения
\[
\mathbf{J}=m[\mathbf{r v}]-\frac{e g}{c} \frac{\mathbf{r}}{r} .
\]

Функция Лагранжа не изменяется при поворотах вокруг оси $z$, поэтому интегралом движения является
\[
p_{\varphi}=m r^{2} \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta-\frac{e g}{c} \cos \theta=J_{z} .
\]

Другие же повороты системы приводят к изменению функции Лагранжа на полную производную функции координат по времени, которая может быть отброшена ${ }^{1}$. Поэтому интегралом движения является и проекция $J_{z^{\prime}}$ на любую другую ось, а значит, и вектор $\mathbf{J}$.
${ }^{1}$ Например, при повороте вокруг оси $x$ на малый угол $\delta \alpha$ к $L$ добавляется $\delta L=$ $=\delta \alpha \frac{e g}{c} \frac{d}{d t}(\operatorname{ctg} \theta \cos \varphi)$.

Действие, соответствующее данной функции Лагранжа, не изменяется при преобразовании подобия. Поэтому интегралом движения является
\[
p_{r} r-2 E t=m \dot{r} r-2 E t
\]
(ср. с задачей 4.13б).
4.21. Уравнения движения
\[
-\mathscr{L} \dot{I}=\varphi_{A}-\varphi_{B}, \quad \frac{q_{2}}{C}=\varphi_{B}-\varphi_{A} .
\]

Будем считать, что источник напряжения представляет собой конденсатор очень большой емкости $C_{0}$, а заряд его в момент, когда $q_{1}=0$, есть $Q$. Энергия системы, включающей источник и индуктивность, $E_{0}=\frac{\left(Q+q_{1}\right)^{2}}{2 C_{0}}+$ $+\frac{\mathscr{L}}{2} \dot{q}_{1}^{2}$. Смещая начало отсчета энергии и рассматривая предел $C_{0} \rightarrow \infty$, a $Q / C_{0}=U$, получаем
\[
E=E_{0}-\frac{Q^{2}}{2 C_{0}}=U q_{1}+\frac{\mathscr{L} \dot{q}_{1}^{2}}{2} .
\]

Именно к такому значению энергии приводит предложенная функция Лагранжа.

Подобно этому энергия частицы $m$ в однородном поле силы $-F(t)$ есть $\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+F x$.

К такой же функции Лагранжа можно прийти от функции Лагранжа электромагнитного поля и взаимодействия поля с зарядами (см. [3], $\S \S 27,28)$ :
\[
L=\frac{1}{8 \pi} \int\left(\mathscr{E}^{2}-\mathscr{H}^{2}\right) d V+\frac{1}{c} \int \mathbf{A} \mathbf{j} d V-\int \varphi \rho d V
\]
(в гауссовой системе единиц).
Вообще говоря, электромагнитное поле есть система с бесконечным числом степеней свободы. Но поля в конденсаторе и в соленоиде определяются зарядом $q_{2}$ и током $\dot{q}_{1}$. Используя уравнения
\[
c \operatorname{rot} \mathscr{H}=4 \pi \mathbf{j}, \quad \operatorname{div} \mathscr{E}=4 \pi \rho
\]

(и учитывая, что поля сосредоточены в ограниченном объеме), получаем
\[
\begin{array}{l}
\int \varphi \rho d V=\frac{1}{4 \pi} \int \varphi \operatorname{div} \mathscr{E} d V= \\
=\frac{1}{4 \pi} \int \operatorname{div}(\varphi \mathscr{E}) d V-\frac{1}{4 \pi} \int \mathscr{E} \operatorname{grad} \varphi d V=\frac{1}{4 \pi} \int \mathscr{E}^{2} d V
\end{array}
\]

и аналогично
\[
\frac{1}{c} \int \mathbf{A} \mathbf{j} d V=\frac{1}{4 \pi} \int \mathscr{H}^{2} d V
\]

так что
\[
L=\frac{1}{8 \pi} \int\left(\mathscr{H}^{2}-\mathscr{E}^{2}\right) d V .
\]

Поэтому функция Лагранжа может быть выражена через энергии электрического поля в конденсаторе $\frac{1}{8 \pi} \int \mathscr{E}^{2} d V=\frac{q_{2}^{2}}{2 C}$ и магнитного – в индуктивности $\frac{1}{8 \pi} \int \mathscr{H}^{2} d V=\frac{1}{2} \mathscr{L} \dot{q}_{1}^{2}$ (см. [3], §2.32).

При наличии внешнего поля $\mathscr{H}_{e}$, создаваемого токами $\mathrm{j}_{e}$, следует заменить в (1) $\mathscr{H}, \mathbf{A}, \mathbf{j}$ на $\mathscr{H}+\mathscr{H}_{e}, \mathbf{A}+\mathbf{A}_{e}, \mathbf{j}+\mathbf{j}_{e}$. Добавка к функции Лагранжа (1) с учетом уравнения $c \operatorname{rot} \mathscr{H}_{e}-4 \pi \mathbf{j}_{e}$ легко приводится к виду
\[
\frac{1}{8 \pi} \int \mathscr{H}_{e}^{2} d V+\frac{1}{c} \int \mathbf{A}_{e} \mathbf{j} d V .
\]

Отбрасывая слагаемые, зависящие лишь от внешнего поля, и учитывая, что для тонкого провода $\mathbf{j} d V=\dot{q}_{1} d \mathbf{l}$, где $d \mathbf{l}$ – элемент длины провода, получаем
\[
\frac{1}{c} \int \mathbf{A}_{e} \mathbf{j} d V=\frac{\dot{q}_{1}}{c} \int \mathbf{A}_{e} d \mathbf{l}=\frac{\dot{q}_{1}}{c} \int \operatorname{rot} \mathbf{A}_{e} d \mathbf{S}=\frac{\dot{q}_{1}}{c} \int \mathscr{H}_{e} d \mathbf{S} .
\]

При наличии внешнего электрического поля $\mathscr{E}_{e}$ (или сторонних полей) получаем
\[
-\int \varphi_{e} \rho d V=-\sum_{a} q_{a} \varphi_{a e}
\]
( $q_{a}$ и $\varphi_{a e}-$ заряд и потенциал во внешнем поле $a$-го проводника).
Варьирование $q_{1,2}$ представляет собой, таким образом, произвольное варьирование зарядов и токов, сопровождаемое соответствующим ему варьированием потенциалов. Легко видеть, что при таком варьировании должен быть справедлив принцип наименьшего действия.

4.22. a) $L=\frac{\mathscr{L} \dot{q}_{1}^{2}}{2}-\frac{q_{2}^{2}}{2 C}+U\left(q_{2}-q_{1}\right)$;
б) $L=\frac{\mathscr{L} \dot{q}^{2}}{2}-\frac{q^{2}}{2 C}$;
в) $L=\frac{1}{2} \mathscr{L}_{1} \dot{q}_{1}^{2}+\frac{1}{2} \mathscr{L}_{2} \dot{q}_{2}^{2}-\frac{q_{1}^{2}}{2 C_{1}}-\frac{q_{2}^{2}}{2 C_{2}}-\frac{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}}{2 C}$.
4.23. a) $L=\frac{m l^{2} \dot{\varphi}^{2}}{2}+\frac{\mathscr{L} \dot{q}^{2}}{2}+m g l \cos \varphi-\frac{q^{2}}{2 C(\varphi)}$;
б) $L=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{\mathscr{L}(x) \dot{q}^{2}}{2}-\frac{k x^{2}}{2}+m g x-\frac{q^{2}}{2 C}$.
4.24. Пусть $\varphi$ – угол поворота рамки вокруг оси $A B$, отсчитываемый от направления магнитного поля, $\dot{q}$ – ток в рамке (для него положительным считается направление от $A$ к $D$ ). Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{1}{2} m a^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} \mathscr{L} \dot{q}^{2}+\mathscr{H} a^{2} \dot{q} \sin \varphi .
\]

Интегралы движения – энергия
\[
E=\frac{1}{2} m a^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} \mathscr{L} \dot{q}^{2}
\]

и имшульс, сопряженный циклической координате $q$ и имеющий смысл нолного магнитного потока через рамку,
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\mathscr{L} \dot{q}+\mathscr{H} a^{2} \sin \varphi=\Phi_{0} .
\]

Поэтому ток в рамке однозначно определяется ее положением
\[
\dot{q}=\left(\Phi_{0}-\mathscr{H} a^{2} \sin \varphi\right) / \mathscr{L} .
\]

Подставляя это значение $\dot{q}$ в (1), получаем
\[
E=\frac{1}{2} m a^{2} \dot{\varphi}^{2}+U_{\text {эфф }}(\varphi), \quad U_{\text {эфф }}(\varphi)=\left(\Phi_{0}-\mathscr{H} a^{2} \sin \varphi\right)^{2} / 2 \mathscr{L} .
\]

Таким образом, задача о движении системы сводится к одномерной.
Рассмотрим подробнее случай $0<\Phi_{0}<\mathscr{H} a^{2}$. График $U_{\text {эфф }}(\varphi)$ для этого случая приведен на рис. 114. Видно, что при $E>U_{\max }=\left(\Phi_{0}+\right.$ $\left.+\mathscr{H} a^{2}\right)^{2} / 2 \mathscr{L}$ движение рамки представляет собой вращение, причем $\dot{\varphi}$ является периодической функцией времени с периодом
\[
T=\sqrt{2 m} a \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d \varphi}{\sqrt{E-U_{\text {эфф }}(\varphi)}} .
\]

Рис. 114
При $U_{\max }>E>\left(\Phi_{0}-\mathscr{H} a^{2}\right)^{2} / 2 \mathscr{L}=U_{m}$ рамка совершает периодические колебания в интервале углов $\varphi_{1}<\varphi<\pi-\varphi_{1}$, где $\varphi_{1}=\arcsin \frac{\Phi_{0}-\sqrt{2 \mathscr{L} E}}{\mathscr{H} a^{2}}$, причем при $E \rightarrow U_{\max }$ период движения возрастает до бесконечности (см. задачу 1.5). При $0<E<U_{m}$ возможны колебания либо в интервале $\varphi_{1}<\varphi<\varphi_{2}$, либо в интервале $\pi-\varphi_{2}<\varphi<\pi-\varphi_{1}$, где
\[
\varphi_{2}=\arcsin \frac{\Phi_{0}+\sqrt{2 \mathscr{L E}}}{\mathscr{H} a^{2}} .
\]

Как изменится по сравнению с описанным характер движения рамки, если она обладает малым сопротивлением?
4.25. а) Уравнения движения системы можно получить из функции Лагранжа с добавкой, учитывающей связь (см. [4], § 2.4)
\[
L^{*}=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-m g y+\lambda\left(z-a x^{2}\right),
\]

где $\lambda$ – зависящий от времени множитель Лагранжа. Уравнения движения
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{x}=-2 \lambda a x, \\
m \ddot{z}-m g=\lambda
\end{array}
\]

вместе с уравнением связи $z=a x^{2}$ полностью определяют движение частицы. В правой стороне уравнений (1), (2) стоят компоненты силы реакции по соответствующим осям $R_{x}=-2 \lambda a x$ и $R_{z}=\lambda$. Воспользовавшись уравнением связи, легко выразить их через координату и скорость частицы:
\[
R_{x}=-2 a x R_{z}, \quad R_{z}=\frac{\left(2 a \dot{x}^{2}-m g\right) m}{m+4 a^{2} x^{2}} .
\]

б)
\[
\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{r}-m g \cos \varphi-m r \dot{\varphi}^{2}=\lambda, \\
m r^{2} \ddot{\varphi}+2 m r \dot{\varphi} \dot{\varphi}+m g r \sin \varphi=0, \\
r=l .
\end{array}\right.
\]

Сила реакции направлена вдоль $\mathbf{r}$ и равна
\[
\lambda=-m g \cos \varphi-m l \dot{\varphi}^{2} .
\]
4.26 .
\[
L^{*}=\frac{m}{2}\left(r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{r}^{2}\right)+m g r \cos \varphi+\lambda(\varphi-\Omega t) ;
\]
$\lambda=2 m r \dot{r} \Omega+m g r \sin \Omega t-$ обобщенная сила, отвечающего координате $\varphi$ (момент силы).
4.27.
a) $E=-\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_{i=1}^{s} \dot{q}_{i} R_{i}$.
б) Закон преобразования левых частей уравнений движения приведен в задаче 4.3:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{Q}_{i}}-\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial Q_{i}}=\sum_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{i}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}\right) .
\]

Таким же должен быть и закон преобразования правых частей:
\[
\widetilde{R}_{i}=\sum_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial Q_{i}} R_{k} .
\]

Если в закон преобразования координат не входит явно время, то скорости преобразуются по закону
\[
\dot{q}_{i}=\sum_{k} \frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}} \dot{Q}_{k}
\]

обратному (1).
Иначе говоря, компоненты силы $R_{k}$ образуют ковариантный вектор, в то время как компоненты скорости – контравариантный вектор в $s$-мерном пространстве (см. [2], §83).

Таким образом, зная силы реакции связей и трения в декартовых координатах, можно определить силы $R_{i}$ в любых обобщенных координатах. В частности, если силы трения выражаются через диссипативную функцию $R_{i}=-\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{i}}$, то преобразование $F$ сводится к замене переменных.

4.28. Указанные в условии уравнения получаем, исключая $\lambda_{\beta}$ из уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\beta}}=\lambda_{\beta}, \quad \beta=1, \ldots, r \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}-\frac{\partial L}{\partial q_{n}}=-\sum_{\beta=1}^{r} \lambda_{\beta} b_{\beta n}, \quad n=r+1, \ldots, s,
\end{array}
\]

и учитывая, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{q}_{n}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}+\sum_{\beta=1}^{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}} b_{\beta n} \\
\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial L}{\partial q_{n}}+\sum_{\beta=1}^{r} \sum_{m=r+1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}} \frac{\partial b_{\beta m}}{\partial q_{n}} \dot{q}_{m} .
\end{array}
\]

Таким образом, уравнения движения системы с неголономными связями отнюдь не совпадают с уравнениями Лагранжа, хотя уравнения связи и позволяют исключить из функции Лагранжа некоторые координаты и скорости.
4.29. а) Учитывая, что $q_{n}$ входит в $L_{n}$ и $L_{n+1}$, получаем уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L_{n}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial L_{n}}{\partial q_{n}}+\frac{\partial L_{n}}{\partial\left(\Delta q_{n}\right)}-\frac{\partial L_{n+1}}{\partial\left(\Delta q_{n+1}\right)} \quad\left(\Delta q_{n}=q_{n}-q_{n-1}\right) .
\]

При $a \rightarrow 0$
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{a} \frac{\partial L_{n}}{\partial \dot{q}_{n}} \rightarrow \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial q / \partial t)}, \quad \frac{1}{a} \frac{\partial L_{n}}{\partial q_{n}} \rightarrow \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q}, \\
\frac{1}{a}\left[\frac{\partial L_{n}}{\partial\left(\Delta q_{n}\right)}-\frac{\partial L_{n+1}}{\partial\left(\Delta q_{n+1}\right)}\right] \rightarrow-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial q / \partial x)},
\end{array}
\]

так что уравнения (1) переходят в уравнение
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial q / \partial t)}+\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial q / \partial x)}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q} .
\]

Здесь производные $\partial / \partial t$ и $\partial / \partial x$ относятся к функции $q(x, t)$ и ее производным.

Система $N$ обыкновенных дифференциальных уравнений (1) переходит в одно уравнение в частных производных (2). Для непрерывной системы переменная $x$ играет роль «номера» точки.

Мы не будем останавливаться на физических следствиях уравнения (2), так как изучение систем с бесконечным числом степеней свободы является предметом не механики, а теории поля (см. [4], гл. 11; [2], §32).
б) $E=\int\left\{\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial q / \partial t)} \frac{\partial q}{\partial t}-\mathscr{L}\right\} d x$.
4.30. Функция Лагранжа $L=\frac{m v^{2}}{2}-U(r)+\frac{e}{c} \mathbf{A}(\mathbf{r}) \mathbf{v}$, где $\mathbf{A}(\mathbf{r})-$ векторный потенциал магнитного поля, $\mathscr{H}=\operatorname{rot} \mathbf{A}$ (разумеется, $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ всегда можно выбрать в виде однородной функции координат степени $n+1$ ). Если при преобразовании подобия $\mathbf{r} \rightarrow \alpha \mathbf{r}, t \rightarrow \alpha^{1-\frac{k}{2}} t$, векторный потенциал преобразуется так же, как и скорость, т. е. если $n=\frac{k}{2}$, то $L \rightarrow \alpha^{k} L$. Поэтому уравнения движения остаются неизменными при таком преобразовании и выполняется принцип механического подобия (см. [1], § 10).

Из приведенного вывода ясно, что принцип механического подобия справедлив также для магнитного поля, постоянного и в пространстве, если только при преобразовании подобия его величина изменяется в $\alpha^{\frac{k}{2}-1}$ раз (см., например, задачи 2.30-2.33, 6.36).
4.31. Кинетическая энергия системы $T=\sum_{a} \frac{m_{a} v_{a}^{2}}{2}$, поэтому
\[
2 T=\sum \frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}_{a}} \mathbf{v}_{a}=\frac{d}{d t}\left(\sum m_{a} \mathbf{v}_{a} \mathbf{r}_{a}\right)-\sum \mathbf{r}_{a} m_{a} \dot{\mathbf{v}}_{a} .
\]

При усреднении за большой промежуток времени слагаемое $\frac{d}{d t} \sum m_{a} \mathbf{v}_{a} \mathbf{r}_{a}$, представляющее собой полную производную по времени от ограниченной функции, обратится в нуль (см. [1], § 10). Подставляя во второе слагаемое $m_{a} \dot{\mathbf{v}}_{a}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_{a}}+\frac{e_{a}}{c}\left[\mathbf{v}_{a} \mathscr{H}\right]$ и усредняя по времени, получаем
\[
\left\langle 2 T+\mathscr{H} \sum \frac{e_{a}}{c}\left[\mathbf{r}_{a} \mathbf{v}_{a}\right]\right\rangle=k\langle U\rangle .
\]

Здесь скобки 〈> означают усреднение по времени. В частности, если магнитное поле $\mathscr{H}$ однородно, то $\frac{e_{a}}{m_{a}}=\frac{e}{m}$, то
\[
2\langle T\rangle+\frac{e}{m c} \mathscr{H}\langle\mathbf{M}\rangle=k\langle U\rangle,
\]

где $\mathbf{M}=\sum m_{a}\left[\mathbf{r}_{a} \mathbf{v}_{a}\right]$ – момент импульса системы.
4.32. а) Запишем $\frac{d A}{d t}$ в виде двух слагаемых
\[
\begin{array}{r}
\frac{d A}{d t}=\left[m\left(\ddot{x}_{1} \dot{x}_{2} \dot{x}_{3}+\dot{x}_{1} \ddot{x}_{2} \dot{x}_{3}+\dot{x}_{1} \dot{x}_{2} \ddot{x}_{3}\right)-\dot{x}_{1} \dot{U}_{23}-\dot{x}_{2} \dot{U}_{13}-\dot{x}_{3} \dot{U}_{12}\right]- \\
-\left(\ddot{x}_{1} U_{23}+\ddot{x}_{2} U_{13}+\ddot{x}_{3} U_{12}\right) .
\end{array}
\]

Используя уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}_{1}=F_{12}+F_{13}, \quad m \ddot{x}_{2}=F_{21}+F_{23}, \quad m \ddot{x}_{3}=F_{31}+F_{32}, \\
F_{i k}=-F_{k i}=-\frac{\partial U_{i k}}{\partial x_{i}}=\frac{2 g^{2}}{\left(x_{i}-x_{k}\right)^{3}}
\end{array}
\]

и введя относительные расстояния
\[
x_{1}-x_{2}=x, \quad x_{2}-x_{3}=y, \quad x_{1}-x_{3}=z,
\]

запишем второе слагаемое из (1) в виде
\[
-\frac{2 g^{2}}{m}\left[\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{z^{3}}\right) \frac{1}{y^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\right) \frac{1}{z^{2}}-\left(\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\right) \frac{1}{x^{2}}\right] .
\]

Собирая слагаемые с одинаковыми степенями $z$, перепишем (4)
\[
\frac{2 g^{2}(x-y)}{m}\left(\frac{1}{x^{3} y^{3}}-\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{z^{2} x^{3} y^{3}}-\frac{x+y}{z^{3} x^{2} y^{2}}\right) .
\]

Подставляя сюда $z=x+y$, легко убедиться, что это выражение обращается в нуль.

Первое слагаемое из (1) обращается в нуль для произвольных сил. Чтобы показать это, достаточно использовать уравнения движения в форме (2) и подставить
\[
\dot{U}_{i k}=\frac{\partial U_{i k}}{\partial\left(x_{i}-x_{k}\right)}\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{k}\right)=-\left(\dot{x}_{i}-\dot{x}_{k}\right) F_{i k} .
\]

Укажем, наконец, что в данном поле преобразование подобия не меняет вида действия, и потому кроме трех указанных есть еще и четвертый интеграл движения (см. задачу 4.13 б)
\[
m\left(x_{1} \dot{x}_{1}+x_{2} \dot{x}_{2}+x_{3} \dot{x}_{3}\right)-2 E t .
\]
4.33. При сближении любой пары частиц энергия их взаимодействия неограниченно возрастает, поэтому частицы не могут пройти «одна сквозь другую» и порядок их расположения на прямой сохраняется.

При столкновении двух частиц равной массы, но с произвольной энергией взаимодействия (обеспечивающей лишь непроницаемость частиц) эти частицы просто обмениваются скоростями. (Это следует из законов сохранения энергии и импульса.) Если столкновения трех частиц происходят поочередно, так что во время сближения двух частиц третья находится далеко от них, то будет происходить просто обмен скоростями, причем соударения закончатся, когда впереди будет находиться самая быстрая, а позади – самая медленная из частиц, т. е. в этом случае
\[
v_{1}^{\prime}=v_{3}, \quad v_{2}^{\prime}=v_{2}, \quad v_{3}^{\prime}=v_{1} .
\]

В общем же случае, когда сближаются все три частицы одновременно, величины скоростей отнюдь не будут сохраняться.

Тем удивительнее, что для указанных в предыдущей задаче сил сохраняется ответ (1). Это можно показать, используя все три интеграла движения: $P, E, A$. Учитывая, что при $t \rightarrow \pm \infty$ функции $U_{i k} \rightarrow 0$, и сравнивая $P, E, A$ при $t \rightarrow+\infty$ и при $t \rightarrow-\infty$, получим три уравнения:
\[
\begin{array}{c}
v_{1}^{\prime}+v_{2}^{\prime}+v_{3}^{\prime}=v_{1}+v_{2}+v_{3}, \\
\left(v_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(v_{2}^{\prime}\right)^{2}+\left(v_{3}^{\prime}\right)^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}, \\
v_{1}^{\prime} v_{2}^{\prime} v_{3}^{\prime}=v_{1} v_{2} v_{3} .
\end{array}
\]

Решая эту систему относительно $v_{i}^{\prime}$, мы по получим, вообще говоря, шесть различных решений. Однако все эти решения можно угадать.

Легко проверить, что решение (1) удовлетворяет системе (2). Далее, так как уравнения (2), очевидно, симметричны относительно всех шести возможных перестановок частиц, то ясно, что остальные корни системы (2) могут быть получены простыми перестановками из (1).

После этого нетрудно убедиться, что только ответ (1) может осуществиться при $t \rightarrow+\infty$, ибо любой другой вариант предполагает (в силу указанных неравенств $v_{3}>v_{2}>v_{1}$ ) возможность дальнейших столкновении частиц.