4.1. Частица в поле $U(x)=-F x$ за время $\tau$ перемещается из точки $x=0$ в точку $x=a$. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид $x(t)=A t^{2}+B t+C$, и подбирая параметры $A, B, C$ так, чтобы действие имело наименьшее значение.
4.2. Частица движется в плоскости $x O y$ в поле
\[
U(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & \text { при } x<0, \\
V & \text { при } x>0,
\end{array}\right.
\]
перемещаясь за время $\tau$ из точки ( $-a, 0$ ) в точку ( $a, a$ ). Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x_{1,2}(t)=A_{1,2} t+B_{1,2}, \\
y_{1,2}(t)=C_{1,2} t+D_{1,2} .
\end{array}
\]
Значки 1,2 относятся к левой $(x<0)$ и правой $(x>0)$ полуплоскостям.
4.3. С помощью непосредственного вычисления доказать ковариантность уравнений Лагранжа относительно преобразований координат
\[
q_{i}=q_{i}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{s}, t\right), \quad i=1,2, \ldots, s .
\]
4.4. Каким образом должна преобразовываться функция Лагранжа при переходе к новым координатам и «времени»
\[
q_{i}=q_{i}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{s}, \tau\right), \quad i=1,2, \ldots, s, \quad t=t\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{s}, \tau\right),
\]
чтобы уравнения Лагранжа сохранили свой вид?
4.5. Записать функцию Лагранжа и уравнения движения частицы в поле $U(x)$, введя «местное время» $\tau=t-\lambda x$.
4.6. Как преобразуется функция Лагранжа
\[
L=-\sqrt{1-\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}}
\]
при переходе к координатам $q$ и «времени» $\tau$ :
\[
\begin{array}{l}
x=q \operatorname{ch} \lambda+\tau \operatorname{sh} \lambda, \\
t=q \operatorname{sh} \lambda+\tau \operatorname{ch} \lambda ?
\end{array}
\]
4.7. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов при преобразовании координат
\[
q_{i}=f_{i}\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}, t\right), \quad i=1, \ldots, s .
\]
4.8. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов, сопряженных полярным и декартовым координатам, при переходе к системе отсчета, вращающейся вокруг оси $z$ :
а) $\varphi=\varphi^{\prime}+\Omega t, \quad r=r^{\prime}$
б) $x=x^{\prime} \cos \Omega t-y^{\prime} \sin \Omega t, \quad y=x^{\prime} \sin \Omega t+y^{\prime} \cos \Omega t$.
4.9. Найти законы преобразования энергии и импульсов при переходе к системе отсчета, движущейся со скоростью V. Функцию Лагранжа $L^{\prime}$ в движущейся системе выбрать в виде
a) $L_{1}^{\prime}=L\left(\mathbf{r}^{\prime}+\mathbf{V} t, \dot{\mathbf{r}}^{\prime}+\mathbf{V}, t\right)$, где $L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, t)-$ функция Лагранжа в неподвижной системе;
б) $L_{2}^{\prime}=\frac{m \mathbf{v}^{\prime 2}}{2}-U\left(\mathbf{r}^{\prime}+\mathbf{V} t, t\right)$. Здесь $L_{2}^{\prime}$ отличается от $L_{1}^{\prime}$ на полную производную по времени от функции
\[
\mathbf{V} m \mathbf{r}^{\prime}+\frac{m}{2} \mathbf{V}^{2} t .
\]
4.10. Пусть бесконечно малое преобразование координат и времени имеет вид
\[
\begin{array}{l}
q_{i}^{\prime}=q_{i}+\varepsilon \Psi_{i}(q, t) \\
t^{\prime}=t+\varepsilon X(q, t), \quad \varepsilon \rightarrow 0,
\end{array}
\]
и пусть при этом преобразовании сохраняется вид действия:
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} L\left(q, \frac{d q}{d t}, t\right) d t=\int_{t_{1}^{\prime}}^{t_{2}^{\prime}} L\left(q^{\prime}, \frac{d q^{\prime}}{d t^{\prime}}, t^{\prime}\right) d t^{\prime}
\]
Доказать, что величина
\[
\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\left(\dot{q}_{i} X-\Psi_{i}\right)-L X
\]
является интегралом движения.
4.11. Обобщить теорему предыдущей задачи на случай, когда вид действия при преобразовании координат и времени меняется следующим образом:
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} L\left(q, \frac{d q}{d t}, t\right) d t=\int_{t_{1}^{\prime}}^{t_{2}^{\prime}}\left\{L\left(q^{\prime}, \frac{d q^{\prime}}{d t^{\prime}}, t^{\prime}\right)+\varepsilon \frac{d f\left(q^{\prime}, t^{\prime}\right)}{d t^{\prime}}\right\} d t^{\prime} .
\]
4.12. Найти интегралы движения, если вид действия не меняется при: a) пространственном сдвиге, б) повороте, в) сдвиге начала отсчета времени, г) винтовом сдвиге, д) преобразовании задачи 4.6.
4.13. Найти интегралы движения для частицы, движущейся:
a) в однородном поле $U(\mathbf{r})=-\mathbf{F r}$;
б) в поле $U(\mathbf{r})$, где $U(\mathbf{r})$ – однородная функция:
\[
U(\alpha \mathbf{r})=\alpha^{n} U(\mathbf{r})
\]
(уточнить, при каком $n$ преобразование подобия не меняет вид действия);
в) в поле бегущей волны $U(\mathbf{r}, t)=U(\mathbf{r}-\mathbf{V} t)$, где $\mathbf{V}$ – постоянный вектор;
г) в магнитном поле, заданном векторным потенциалом $\mathbf{A}(\mathbf{r})$, где $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ – однородная функция.
д) в электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси $z$.
4.14. Найти интеграл движения, отвечающий преобразованию Галилея.
УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 4.11.
4.15. Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле $\mathscr{H}$, если векторный потенциал задан в виде:
a) $\mathbf{A}=\frac{1}{2}[\mathscr{H} \mathbf{r}]$
б) $A_{x}=A_{z}=0, A_{y}=x \mathscr{H}$.
4.16. Найти интегралы движения для частицы в поле:
а) магнитного диполя $\mathbf{A}=[\mathfrak{m} \mathbf{r}] / r^{3}, \mathfrak{m}=$ const;
б) $A_{\varphi}=\mu / r, A_{r}=A_{z}=0$.
4.17. Составить уравнения движения системы, функция Лагранжа которой:
а) $L(x, \dot{x})=e^{-x^{2}-\dot{x}^{2}}+2 \dot{x} e^{-x^{2}} \int_{0}^{\dot{x}} e^{-y^{2}} d y$;
б) $L(x, \dot{x}, t)=\frac{1}{2} e^{\alpha t}\left(\dot{x}^{2}-\omega^{2} x^{2}\right)$.
4.18. а) Записать компоненты вектора ускорения частицы в сферической системе координат.
б) Найти составляющие ускорения в ортогональной системе координат $q_{i}$, если элемент длины задан соотношением
\[
d s^{2}=h_{1}^{2} d q_{1}^{2}+h_{2}^{2} d q_{2}^{2}+h_{3}^{2} d q_{3}^{2},
\]
где $h_{i}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ – коэффициенты Ламэ.
4.19. Записать уравнения движения частицы в произвольных координатах $q_{i}$, связанных с декартовыми координатами $x_{i}$ соотношениями:
а) $x_{i}=x_{i}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right), \quad i=1,2,3$;
б) $x_{i}=x_{i}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, t\right), \quad i=1,2,3$.
4.20. Показать, что функция Лагранжа [31]
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)-\frac{e g}{c} \dot{\varphi} \cos \theta
\]
описывает движение заряженной частицы в магнитном поле $\mathscr{H}=g \mathbf{r} / r^{3}$ (см. задачу 2.30). Найти интегралы движения.
4.21. Проверить, что функции Лагранжа
\[
L_{1}=\frac{\mathscr{L} \dot{q}_{1}^{2}}{2}-U q_{1}, \quad L_{2}=-\frac{q_{2}^{2}}{2 C}+U q_{2}
\]
приводят к правильным «уравнениям движения» для $q_{1}$ и $q_{2}$ и правильным значениям энергии. Здесь $\dot{q}_{1}=I$ – ток, идущий по индуктивности $\mathscr{L}$ в направлении от $A$ к $B$ (рис. $6, a$ ), $q_{2}$ – заряд на верхней пластине конденсатора (рис. 6,б), а $U$ – напряжение между точками $A$ и $B\left(U=\varphi_{B}-\varphi_{A}\right)$.
4.22. Используя аддитивность функции Лагранжа и результат предыдущей задачи, составить функции Лагранжа и уравнения Лагранжа для цепей, изображенных на рис. 7 ( $а$, б и 6 ).
Рис. 6
4.23. Найти функции Лагранжа следующих систем:
a) цепь с переменным конденсатором, подвижные пластины которого соединены с маятником $m$ (рис. $8, a$ ). Зависимость емкости от угла поворота $C(\varphi)$ известна, массой пластин конденсатора пренебречь;
б) сердечник на пружинке жесткости $k$, втягиваемый внутрь соленоида, индуктивность которого есть заданная функция смещения сердечника $\mathscr{L}(x)$ (рис. 8,б).
Рис. 8
Рис. 9
4.24. Квадратная идеально проводящая рамка может вращаться вокруг закрепленной стороны $A B=a$ (рис. 9). Рамка находится в постоянном однородном магнитном поле $\mathscr{H}$, перпендикулярном к оси $A B$. Индуктивность рамки $\mathscr{L}$, масса стороны $C D$ равна $m$, массами других сторон можно пренебречь.
Описать качественно характер движения рамки.
4.25. Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, получить уравнения движения частицы в поле тяжести, если она может двигаться по заданной кривой:
a) параболе, лежащей в вертикальной плоскости;
б) окружности радиуса $r=l$, расположенной в вертикальной плоскости.
Выразить силы реакции связи.
4.26. Частица движется в поле тяжести вдоль прямой, равномерно вращающейся в вертикальной плоскости. Составить уравнения движения частицы и найти момент силы реакции.
4.27. Влияние связей и трения на движение системы можно описать, вводя в уравнения движения обобщенные силы реакции связей и трения:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=R_{i}
\]
a) Как изменяется со временем энергия системы?
б) Как должны преобразовываться силы $R_{i}$ при переходе к новым обобщенным координатам
\[
q_{i}=q_{i}\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}, t\right),
\]
чтобы уравнения движения сохраняли вид (1)?
4.28. Пусть уравнения связей имеют вид
\[
\dot{q}_{\beta}=\sum_{n=r+1}^{s} b_{\beta n} \dot{q}_{n}, \quad \beta=1, \ldots, r,
\]
причем функция Лагранжа $L\left(q_{r+1}, \ldots, q_{s}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{s}, t\right)$ и коэффициенты $b_{\beta n}$ не зависят от координат $q_{\beta}$.
Показать, что уравнения движения могут быть представлены в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{q}_{n}}-\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial q_{n}}+\sum_{\beta=1}^{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}} \sum_{m=r+1}^{s}\left(\frac{\partial b_{\beta_{m}}}{\partial q_{n}}-\frac{\partial b_{\beta_{n}}}{\partial q_{m}}\right) \dot{q}_{m}=0,
\]
где $\widetilde{L}\left(q_{r+1}, \ldots, q_{s}, \dot{q}_{r+1}, \ldots, \dot{q}_{s}, t\right)$ – функция, получаемая исключением скоростей $\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{r}$ из $L$ с помощью уравнений связей.
4.29. Струну можно представить как предельный случай системы $N$ частиц (рис. 10), соединенных упругой нитью, при $N \rightarrow \infty, a \rightarrow 0$, $N a=$ const. Функция Лагранжа дискретной системы имеет вид
\[
L\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{N}, t\right)=\sum_{n=1}^{N+1} L_{n}\left(q_{n}, q_{n}-q_{n-1}, \dot{q}_{n}, t\right),
\]
где $q_{n}$ – отклонение $n$-й частицы от положения равновесия.
a) Получить уравнение движения непрерывной системы как предельный случай уравнений Лагранжа дискретной системы.
б) Получить выражение энергии непрерывной системы как предел выражения энергии дискретной системы.
УКАЗАНИЕ. Ввести координату точки струны $x$, а также величины, получаемые при предельном переходе $a \rightarrow 0, n=x / a \rightarrow \infty$ :
\[
\begin{array}{c}
q(x, t)=\lim q_{n}(t), \quad \frac{\partial q}{\partial x}=\lim \frac{q_{n}(t)-q_{n-1}(t)}{a}, \\
\mathscr{L}\left(x, q, \frac{\partial q}{\partial x}, \frac{\partial q}{\partial t}, t\right)=\lim \frac{L_{n}\left(q_{n}, q_{n}-q_{n-1}, \dot{q}_{n}, t\right)}{a} .
\end{array}
\]
4.30. Заряженная частица движется в потенциальном поле $U(\mathbf{r})$ и в постоянном магнитном поле $\mathscr{H}$, причем $U(\mathbf{r})$ и $\mathscr{H}(\mathbf{r})$ являются однородными функциями координат степени $k$ и $n$ соответственно, т.е. $U(\alpha \mathbf{r})=$ $=\alpha^{k} U(\mathbf{r}), \mathscr{H}(\alpha \mathbf{r})=\alpha^{n} \mathscr{H}(\mathbf{r})$. Вывести для данной системы принцип подобия, уточнив, при каком значении $n$ он имеет место.
4.31. Обобщить теорему вириала для системы заряженных частиц в однородном магнитном поле $\mathscr{H}$. Потенциальная энергия системы $U$ является однородной функцией координат $U\left(\alpha \mathbf{r}_{1}, \ldots, \alpha \mathbf{r}_{s}\right)=\alpha^{k} U\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{s}\right)$, а движение системы происходит в ограниченной области пространства и с ограниченными скоростями.
4.32. Три одинаковых частицы движутся по одной прямой и попарно взаимодействуют друг с другом по закону $U_{i k}=U\left(x_{i}-x_{k}\right)$, где $x_{i}$ – координата $i$-й частицы. Проверить, что кроме очевидных интегралов движения
\[
\begin{array}{l}
P=m\left(\dot{x}_{1}+\dot{x}_{2}+\dot{x}_{3}\right), \\
E=\frac{m}{2}\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{x}_{3}^{2}\right)+U_{12}+U_{23}+U_{31}
\end{array}
\]
существует дополнительный интеграл движения [28]
\[
A=m \dot{x}_{1} \dot{x}_{2} \dot{x}_{3}-\dot{x}_{1} U_{23}-\dot{x}_{2} U_{31}-\dot{x}_{3} U_{21}
\]
в случае, если функция $U(x)$ имеет вид:
a) $U(x)=\frac{g^{2}}{x^{2}}$,
б) $U(x)=\frac{g^{2} a^{2}}{\operatorname{sh}^{2} a x}$.
4.33. Рассмотреть столкновение трех частиц, описанных в предыдущей задаче. Пусть $x_{1}>x_{2}>x_{3}$ и при $t \rightarrow-\infty$ расстояния между частицами бесконечно велики, а их скорости $v_{i}=\dot{x}_{i}(t=-\infty$ ) таковы, что $v_{3}>v_{2}>v_{1}$. Найти $v_{i}^{\prime}=\dot{x}_{i}(t=+\infty)$.
