12.1. Найти траекторию и закон движения частицы в поле $U(\mathbf{r})$ с помощью уравнения Гамильтона – Якоби:
a) $U(\mathbf{r})=-F x$
б) $U(\mathbf{r})=\frac{m \omega_{1}^{2} x^{2}}{2}+\frac{m \omega_{2}^{2} y^{2}}{2}$.
12.2. Определить траекторию и закон движения частицы, рассеиваемой в поле $U(\mathbf{r})=\mathrm{ar} / r^{3}$. Траекторию выразить через квадратуры, а при $E \rho^{2} \gg a-$ и аналитически. Скорость частиц до рассеяния направлена противоположно вектору а.
12.3. Найти сечение рассеяния на малые углы частиц, скорость которых до рассеяния направлена противоположно оси $z$, в поле $U(\mathbf{r})$ :
a) $U(\mathbf{r})=\frac{a \cos \theta}{r^{2}}$
б) $U(\mathbf{r})=\frac{b \cos ^{2} \theta}{r^{2}}$;
в) $U(\mathbf{r})=\frac{b(\theta)}{r^{2}}$.

12.4. Найти сечение падения частиц в центр поля $U(\mathbf{r})$ :
a) $U(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{a r}}{r^{3}}$
б) $U(\mathbf{r})=\frac{\mathrm{ar}}{r^{3}}+\frac{\lambda}{r}$
в) $U(\mathbf{r})=\frac{\mathrm{ar}}{r^{3}}-\frac{\gamma}{r^{4}}$;
г) $U(\mathbf{r})=\frac{b(\theta)}{r^{2}}$.

Усреднить сечение, предполагая все направления а равновероятными.
12.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса $R$, являющийся центром поля $U(\mathbf{r})=\mathrm{ar} / r^{3}$.
12.6. Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемых и падающих в центр поля $U(\mathbf{r})$. Траекторию выразить через квадратуры, а при $E \rho^{2} \gg a-$ и аналитически.

Для первого поля найти аналитическое выражение траектории частицы падающей в центр при $E \rho^{2} \ll a$. Скорость частиц до рассеяния параллельна оси $z$.
a) $U(\mathbf{r})=\frac{a \cos \theta}{r^{2}}$
б) $U(\mathbf{r})=-\frac{a(1+\sin \theta)}{r^{2}}$.
12.7. Найти траекторию и закон движения частицы, падающей в центр поля $U(\mathbf{r})=\mathrm{ar} / r^{3}$. На бесконечности частица летит вдоль прямой $y=$ $=\rho, x=-z \operatorname{tg} \alpha$, где $\rho-$ прицельный параметр (вектор а параллелен оси $z$, начальные сферические координаты частицы $r=\infty, \theta=\pi-\alpha$, $\varphi=0$ ). Траекторию выразить через квадратуры, а при $\alpha^{2}<\frac{2 E \rho^{2}}{a} \ll 1-$ и аналитически.
12.8. а) Определить траекторию (выразить через квадратуры) финитного движения частицы в поле $U(\mathbf{r})=\frac{a \cos \theta}{r^{2}}-\frac{\alpha}{r}$ при $M_{z}=0$.
б) То же для поля $U(\mathbf{r})=\frac{a \cos \theta}{r^{2}}+\frac{\gamma}{r^{4}}$.
12.9. При каком условии траектория, найденная в предыдущей задаче, окажется замкнутой?
12.10. Описать качественно характер движения частицы и вид траекторий в поле
\[
U(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{a r}}{r^{3}}-\frac{\alpha}{r} .
\]

12.11. При каких значениях момента импульса $M_{z}$ частицы возможно финитное движение в поле $U(\mathrm{r})$ ?
а) $U(\mathbf{r})=\frac{\gamma}{r^{4}}-\frac{b \cos ^{2} \theta}{r^{2}}$; б) $U(\mathbf{r})=\frac{b \cos ^{2} \theta}{r^{2}}-\frac{\alpha}{r}$.
Как выглядит при этом траектория?
12.12. Найти уравнение траектории и закон движения частицы в поле $U(\mathbf{r})$ в параболических координатах:
a) $U(\mathbf{r})=-\frac{\alpha}{r}$; б) $U(\mathbf{r})=-\frac{\alpha}{r}-\mathbf{F r}$.
В случае б) ограничиться рассмотрением финитного движения, траекторию и закон движения выразить в квадратурах.
12.13. Внутри гладкого упругого эллипсоида вращения
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]

движется частица, вылетевшая из начала координат под углом $\alpha$ к оси $z$. Найти области эллипсоида, недоступные для частицы.
12.14. Найти траекторию частицы (выразить через квадратуры) в поле двух кулоновских центров $U(\mathbf{r})=\frac{\alpha}{r_{1}}-\frac{\alpha}{r^{2}}$ (рис. 63), если скорость частицы на бесконечности параллельна оси $\mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{1} z$. Описать движение частицы, «падающей» на «диполь», образованный данными центрами.
Рис. 63
12.15. Короткая магнитная линза образована полем, определяемым векторным потенциалом $A_{\varphi}=\frac{1}{2} r \mathscr{H}_{z}(z)$, $A_{r}=A_{z}=0\left(\mathscr{H}_{z}(z)\right.$ отлично от нуля в области $\left.|z|<a\right)$. Из точки $\left(0,0, z_{0}\right)$ на линзу падает пучок электронов, близких к оси $z$. Найти точку $\left(0,0, z_{1}\right)$, где пучок будет сфокусирован. Предполагается, что $z_{0}, z_{1} \gg a$.

УКАЗАНИЕ. Интеграл уравнения Гамильтона – Якоби искать в виде разложения по степеням $r$
\[
S(r, \varphi, z, t)=-E t+p_{\varphi} \varphi+f(z)+r \psi(z)+\frac{r^{2}}{2} \sigma(z)+\ldots
\]
12.16. Магнитная линза образована полем, определяемым векторным потенциалом $A_{\varphi}=\frac{1}{2} r \mathscr{H}_{z}(z), A_{r}=A_{z}=0$, где $\mathscr{H}_{z}(z)=\frac{\mathscr{H}}{1+\varkappa^{2} z^{2}}$. Из точки $\left(0,0, z_{0}\right)$ на линзу падает пучок электронов, близких к оси $z$. Найти точки, в которых он будет сфокусирован.

УКАЗАНИЕ. Полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби искать в виде разложения по $r$.
12.17. Каким образом можно найти действие как функцию координат и времени, зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби?
12.18. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании уравнений движения с помощью полного интеграла уравнения
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(-\frac{\partial S}{\partial p}, p, t\right)=0
\]

где $H(q, p, t)$ – функция Гамильтона. (Уравнение Гамильтона-Якоби в $p$-представлении.)
12.19. С помощью уравнения Гамильтона – Якоби в $p$-представлении найти траекторию и закон движения частицы в однородном поле.