8.1. Определить искажение гармонического колебания осциллятора, вызванное наличием ангармонических поправок к потенциальной энергии:
a) $\delta U(x)=\frac{m \beta x^{4}}{4}$
б) $\delta U(x)=\frac{m \alpha x^{3}}{3}$.
8.2. Определить искажение гармонического колебания осциллятора, вызванное ангармонической поправкой к кинетической энергии
\[
\delta T=\frac{m \gamma x \dot{x}^{2}}{2} .
\]
8.3. Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника, точка подвеса которого движется по окружности (рис. 15).
8.4. Найти колебания осциллятора под действием силы $f_{1} \cos \omega_{1} t+$ $+f_{2} \cos \omega_{2} t$ с учетом ангармонической поправки $\delta U(x)=\frac{m \alpha x^{3}}{3}$.

8.5. Маятник представляет собой грузик массы $m$, подвешенный на пружинке жесткости $k$. Длина ненапряженной пружинки $l_{0}$. Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника.

Воспользоваться декартовыми координатами отклонения грузика от положения равновесия.
8.6. Найти амплитуду установившихся колебаний ангармонического осциллятора
\[
\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x+\beta x^{3}=f \cos \omega t
\]
а) в области резонанса $\left|\omega-\omega_{0}\right| \ll \omega_{0}$;
б) в области резонанса на утроенной частоте вынуждающей силы $\left|3 \omega-\omega_{0}\right| \ll \omega_{0}$.
8.7. а) Определить амплитуду и фазу установившегося колебания осциллятора при параметрическом резонансе:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2}(1+h \cos 2 \omega t) x+\beta x^{3}=0 \\
\left(h \ll 1, \quad\left|\omega-\omega_{0}\right| \ll \omega_{0}, \quad \beta x^{2} \ll \omega_{0}^{2}\right) .
\end{array}
\]
б) Определить амплитуду третьей гармоники установившегося колебания.
Рис. 53
8.8. Определить колебание осциллятора
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2}(1+h \cos 2 \omega t) x=0 \quad\left(h \ll 1, \quad\left|\omega-\omega_{0}\right| \ll \omega_{0}\right)
\]
a) в области неустойчивости относительно параметрического резонанса;
б) вблизи области неустойчивости.

8.9. Частота гармонического осциллятора $\omega(t)$ меняется по закону, изображенному на рис. 53. Найти области неустойчивости относительно параметрического резонанса.
8.10. Определить, как изменяются со временем амплитуды слабо связанных осцилляторов, функция Лагранжа которых
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}-\omega^{2} x^{2}-4 \omega^{2} y^{2}+2 \alpha x^{2} y\right) .
\]
8.11. Найти частоту малых свободных колебаний маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой $\gamma$ $(\gamma \gg \sqrt{g / l})$.
8.12. Определить эффективную потенциальную энергию:
a) частицы массы $m$, находящейся в поле
\[
U(\mathbf{r})=\frac{\alpha}{|\mathbf{r}-\mathbf{a} \cos \omega t|}-\frac{\alpha}{|\mathbf{r}+\mathbf{a} \cos \omega t|} \quad(r \gg a) ;
\]
б) осциллятора, находящегося в поле
\[
U(\mathbf{r})=2 \alpha \frac{\operatorname{arcos} \omega t}{r^{3}} .
\]
8.13. Определить движение быстрой частицы, влетающей в поле $U=$ $=A\left(x^{2}-y^{2}\right) \sin k z$ под малым углом к оси $z\left(k^{2} E \gg A\right)$.
8.14. Определить скорость смещения центра орбиты заряженной частицы в слабо неоднородном магнитном поле $\mathscr{H}_{x}=\mathscr{H}_{y}=0, \mathscr{H}_{z}=\mathscr{H}(x)$, причем
\[
\varepsilon=\frac{\mathscr{H}^{\prime}(x)}{\mathscr{H}(x)} r \ll 1, \quad r=\frac{m v c}{e \mathscr{H}(x)},
\]

где $r$ – радиус орбиты.
8.15. Задача представляет собой механическую модель фазовых переходов второго рода.

Железный шарик массы $m$ может колебаться вдоль оси $y$ на пружинке, потенциальная энергия которой имеет вид $U(y)=-C y^{2}+B y^{4} .{ }^{1}$ С помощью
${ }^{1}$ Такова, например, потенциальная энергия системы, изображенной на рис. 13 , если шарик может двигаться лишь в направлении оси $y$, перпендикулярной к линии $A B$, и длина нерастянутой пружинки $l_{0}$ больше $l$. В этом случае при $|y| \ll l$ имеем
\[
C=k\left(l_{0}-l\right) / l, \quad B=k l_{0} / 4 l^{3} .
\]

электромагнита возбуждают колебания шарика по закону $y_{0} \cos \gamma t$, причем $\gamma$ много больше частоты его собственных колебаний ${ }^{1}$.

Найти частоту малых собственных колебаний шарика в зависимости от параметра $T=y_{0}^{2}$.