8.1. Определить искажение гармонического колебания осциллятора, вызванное наличием ангармонических поправок к потенциальной энергии:
a) $\delta U(x)=\frac{m\beta x^4}{4}$
б) $\delta U(x)=\frac{m\alpha x^3}{3}$.
8.2. Определить искажение гармонического колебания осциллятора, вызванное ангармонической поправкой к кинетической энергии
$$\delta T=\frac{m\gamma x{\dot{x}}^2}{2}.$$
8.3. Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника, точка подвеса которого движется по окружности (рис. 15).
8.4. Найти колебания осциллятора под действием силы $f_1\cos {\omega }_{1}t+$ $+f_2\cos {\omega }_{2}t$ с учетом ангармонической поправки $\delta U(x)=\frac{m\alpha x^3}{3}$.

8.5. Маятник представляет собой грузик массы $m$, подвешенный на пружинке жесткости $k$. Длина ненапряженной пружинки $l_0$. Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника.

Воспользоваться декартовыми координатами отклонения грузика от положения равновесия.
8.6. Найти амплитуду установившихся колебаний ангармонического осциллятора
$$\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^{2}x+\beta x^3=f\cos \omega t$$
а) в области резонанса $|\omega -{\omega }_0|\ll {\omega }_0$;
б) в области резонанса на утроенной частоте вынуждающей силы $|3\omega -{\omega }_0|\ll {\omega }_0$.
8.7. а) Определить амплитуду и фазу установившегося колебания осциллятора при параметрическом резонансе:
$$\begin{array}{c}\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^2(1+h\cos 2\omega t)x+\beta x^3=0\\ (h\ll 1,|\omega -{\omega }_0|\ll {\omega }_0,\beta x^2\ll {\omega }_0^2).\end{array}$$
б) Определить амплитуду третьей гармоники установившегося колебания.
Рис. 53
8.8. Определить колебание осциллятора
$$\ddot{x}+{\omega }_0^2(1+h\cos 2\omega t)x=0(h\ll 1,|\omega -{\omega }_0|\ll {\omega }_0)$$
a) в области неустойчивости относительно параметрического резонанса;
б) вблизи области неустойчивости.

8.9. Частота гармонического осциллятора $\omega (t)$ меняется по закону, изображенному на рис. 53. Найти области неустойчивости относительно параметрического резонанса.
8.10. Определить, как изменяются со временем амплитуды слабо связанных осцилляторов, функция Лагранжа которых
$$L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2-{\omega }^2{x}^2-4{\omega }^2{y}^2+2\alpha x^{2}y).$$
8.11. Найти частоту малых свободных колебаний маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой $\gamma$ $(\gamma \gg \sqrt{g/l})$.
8.12. Определить эффективную потенциальную энергию:
a) частицы массы $m$, находящейся в поле
$$U(\mathbf{r})=\frac{\alpha }{|\mathbf{r}-\mathbf{a}\cos \omega t|}-\frac{\alpha }{|\mathbf{r}+\mathbf{a}\cos \omega t|}(r\gg a);$$
б) осциллятора, находящегося в поле
$$U(\mathbf{r})=2\alpha \frac{\mathrm{arcos}\omega t}{r^3}.$$
8.13. Определить движение быстрой частицы, влетающей в поле $U=$ $=A(x^2-y^2)\sin kz$ под малым углом к оси $z(k^{2}E\gg A)$.
8.14. Определить скорость смещения центра орбиты заряженной частицы в слабо неоднородном магнитном поле ${\mathcal{H}}_x={\mathcal{H}}_y=0,{\mathcal{H}}_z=\mathcal{H}(x)$, причем
$$\epsilon =\frac{{\mathcal{H}}^{\prime }(x)}{\mathcal{H}(x)}r\ll 1,r=\frac{mvc}{e\mathcal{H}(x)},$$

где $r$ — радиус орбиты.
8.15. Задача представляет собой механическую модель фазовых переходов второго рода.

Железный шарик массы $m$ может колебаться вдоль оси $y$ на пружинке, потенциальная энергия которой имеет вид $U(y)=-C{y}^2+B{y}^4.{}^1$ С помощью
${}^1$ Такова, например, потенциальная энергия системы, изображенной на рис. 13 , если шарик может двигаться лишь в направлении оси $y$, перпендикулярной к линии $AB$, и длина нерастянутой пружинки $l_0$ больше $l$. В этом случае при $|y|\ll l$ имеем
$$C=k(l_0-l)/l,B=k{l}_0/4l^3.$$

электромагнита возбуждают колебания шарика по закону $y_0\cos \gamma t$, причем $\gamma$ много больше частоты его собственных колебаний ${}^1$.

Найти частоту малых собственных колебаний шарика в зависимости от параметра $T=y_0^2$.