7.1. Функция Лагранжа системы
\[
L(x, \dot{x})=\frac{m}{2} \sum_{n=1}^{N} \dot{x}_{n}^{2}-\frac{k}{2}\left[x_{1}^{2}+\sum_{n=2}^{N}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)^{2}+x_{N}^{2}\right],
\]

где $x_{n}$ – смещение $n$-й частицы из положения равновесия. Введем также координату положения равновесия $n$-й частицы $X_{n}=n a$, где $a$ – равновесная длина одной пружинки. Система уравнений Лагранжа
\[
\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{x}_{1}+k\left(2 x_{1}-x_{2}\right)=0, \\
m \ddot{x}_{n}+k\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)=0, \quad n=2,3, \ldots, N-1, \\
m \ddot{x}_{N}+k\left(2 x_{N}-x_{N-1}\right)=0
\end{array}\right.
\]

эквивалентна системе
\[
m \ddot{x}_{n}+k\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)=0, \quad n=1,2, \ldots, N
\]

при дополнительном условии
\[
x_{0}=x_{N+1} \equiv 0 .
\]

Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колебаниями должны быть стоячие волны. Удобнее, однако, выбрать
\[
x_{n}=A e^{i(\omega t \pm n \varphi)} .
\]

При таком выборе система $N$ уравнений сводится к одному уравнению
\[
\omega^{2}=4 \frac{k}{m} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2},
\]

которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний соседних частиц $\varphi$. Смысл подстановки (5) заключается в выборе для $x_{n}$ решения в виде бегущей волны с волновым вектором $p=\varphi / a$, так как $n \varphi=n a p=$ $=p X_{n}$. Уравнение (6) устанавливает, таким образом, связь между частотой и волновым вектором.

Условиям (4) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущих в обе стороны волн $x_{n}=A e^{i(\omega t-n \varphi)}+B e^{i(\omega t+n \varphi)}$. Условие $x_{0}=0$ дает $A=-B$, или $x_{n}=2 i B \sin (n \varphi) e^{i \omega i}$, т. е. стоячую волну. Из условия на другом конце $x_{N+1}=0$ определяются возможные значения частот («спектр частот»).
Уравнение $\sin (N+1) \varphi=0$ приводит к $N$ независимым решениям
\[
\varphi_{s}=\frac{\pi s}{N+1}, \quad s=1,2, \ldots, N .
\]

В самом деле, $s=0, s=N+1$ дают нулевые решения, а для $s=N+l$ фаза $\varphi_{N+l}=-\varphi_{N-l+2}+2 \pi$, т. е. решения, отвечающие $s=N+l$ выражаются через решения, отвечающие $s=N-l+2$.
Из (6) и (7) находим $N$ различных частот
\[
\omega_{s}=2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{\varphi_{s}}{2}=2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{\pi s}{2(N+1)}, \quad s=1,2, \ldots, N .
\]

На рис. 136 различные частоты укладываются дискретными точками на синусоиду. Вектор нормального колебания, отвечающего $s$-й частоте,
\[
\mathbf{r}_{s}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdots \\
x_{N}
\end{array}\right)=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\left(\begin{array}{c}
\sin \varphi_{s} \\
\sin 2 \varphi_{s} \\
\cdots \\
\sin N \varphi_{x}
\end{array}\right) q_{s}(t),
\]

где
\[
q_{s}(t)=\operatorname{Re}\left(2 i B_{s} e^{i \omega_{s} t}\right)=C_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right)
\]

Рис. 136
– $s$-я нормальная координата, а множитель
\[
\sqrt{\frac{2}{N+1}}=\left[\sum_{n=1}^{N} \sin ^{2} n \varphi_{s}\right]^{-1 / 2}
\]

введен для нормировки: $\left(\mathbf{r}_{s}, \mathbf{r}_{s}^{\prime}\right)=\delta_{s s^{\prime}} q_{s}^{2}$. Общее решение есть суперпозиция всех нормальных колебаний
\[
x_{n}=\sum_{s=1}^{N} \sqrt{\frac{2}{N+1}} q_{s}(t) \sin n \varphi_{s} .
\]

$[7.2 \mathrm{a}$
Матрица перехода от $x_{n}$ к $q_{s}$
\[
U_{n s}=\sqrt{\frac{2}{N+1}} \sin \frac{\pi n s}{N+1}
\]

является ортогональной матрицей, приводящей функцию Лагранжа к диагональному виду, отвечающих набору $N$ различных осцилляторов:
\[
L=\sum_{s=1}^{N} L_{s}\left(q_{s}, \dot{q}_{s}\right), \quad L\left(q_{s}, \dot{q}_{s}\right)=\frac{m}{2}\left(\dot{q}_{s}^{2}-\omega_{s}^{2} q_{s}^{2}\right) .
\]
7.2 a. Уравнения движения для данной системы те же, что и уравнения (3) предыдущей задачи, при дополнительном условии $x_{0}=0, x_{N}=$ $=x_{N+1}$. Поэтому
\[
\begin{aligned}
\varphi_{s} & =\frac{(2 s-1) \pi}{2 N+1}, \quad s=1,2, \ldots, N, \\
\omega_{s} & =2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{(2 s-1) \pi}{2(2 N+1)}, \\
x_{n} & =\sum_{s} \sin n \varphi_{s} \cdot \Lambda_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right) .
\end{aligned}
\]

Частный случай при $N=2$ см. в задаче 6.1 .
7.2 б. В качестве обобщенных координат используем отклонения каждой из частиц от вертикали (ср. с задачей 6.3). В таких переменных задача полностью сводится к задаче 7.2. a) с $k / m=g / l$.
7.3. Уравнения движения совпадают с уравнениями (3) задачи 7.1 при дополнительном условии $x_{0}=x_{N}$ и $x_{N+1}=x_{1}$. Поэтому
\[
\begin{aligned}
\varphi_{s} & =\frac{2 \pi s}{N}, \quad s=0,1, \ldots, N-1, \\
\omega_{s} & =2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{s \pi}{N},
\end{aligned}
\]

причем частоты $\omega_{s}$ и $\omega_{N-s}$ совпадают, а соответствующие им волновые векторы отличаются знаком $\varphi_{s}=2 \pi-\varphi_{N-s}$. Частоте $\omega_{0}=0$ отвечает движение всех частиц по кольцу с постоянной скоростью. В системе возможны колебания вида
\[
x_{n}^{(s)}=\operatorname{Re} A_{s} e^{i\left(\omega_{g} t-n \varphi_{s}\right)},
\]

т. е. бегущие по кольцу волны. Упомянутое выше двукратное вырождение частот соответствует волнам, бегущим в разные стороны. Наложение двух таких волн с равными амплитудами дает стоячую волну
\[
x_{n}^{(s)} \pm x_{n}^{(N-s)}=2\left|A_{s}\right|\left\{\begin{array}{l}
\cos n \varphi_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right), \\
\sin n \varphi_{s} \sin \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right) .
\end{array}\right.
\]

Это и есть нормальные колебания (все точки движутся в фазе или противофазе).
В соответствующих нормальных координатах
\[
\begin{array}{c}
x_{n}=\sum_{s=1}^{R}\left(q_{s 1} \cos n \varphi_{s}+q_{s 2} \sin n \varphi_{s}\right)+q_{0}, \\
R=\frac{N-1}{2}, \quad N-\text { нечетное }
\end{array}
\]

функция Лагранжа приводится к диагональному виду:
\[
L=\frac{N m}{2}\left\{\dot{q}_{0}^{2}+\sum_{s=1}^{R}\left[\dot{q}_{s 1}^{2}+\dot{q}_{s 2}^{2}-\omega_{s}^{2}\left(q_{s 1}^{2}+q_{s 2}^{2}\right)\right]\right\} .
\]
(Если число частиц четное, то формулы (3), (4) следует несколько видоизменить в связи с тем, что частота $\omega_{N / 2}$ невырожденная; формула (1) при $s=N / 2$ сразу же определяет стоячую волну.)
Интересно заметить, что повороты в плоскостях $q_{s 1}, q_{s 2}$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{s 1}=q_{s 1}^{\prime} \cos \beta_{s}-q_{s 2}^{\prime} \sin \beta_{s}, \\
q_{s 2}=q_{s 1}^{\prime} \sin \beta_{s}+q_{s 2}^{\prime} \cos \beta_{s},
\end{array}
\]

сохраняющие вид функции Лагранжа (4), соответствуют смещению узлов стоячих волн:
\[
x_{n}=q_{0}+\sum_{s=1}^{R}\left[q_{s 1}^{\prime} \cos \left(n \varphi_{s}-\beta_{s}\right)+q_{s 2}^{\prime} \sin \left(n \varphi_{s}-\beta_{s}\right)\right] .
\]

Для бегущих волн (1) средний поток энергии по кольцу (см. задачу 6.9) ${ }^{1}$
\[
S_{\text {cp }}=\frac{\omega}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi / \omega} k\left(x_{n-1}-x_{n}\right) \dot{x}_{n} d t=\frac{1}{2} k|A|^{2} \omega \sin \varphi,
\]
${ }^{1}$ Ниже для краткости мы вююду опускаем индекс $s$. Вычисление потока $S_{\text {ср }}$ и энергии $E$ удобно производить в комплексной форме, воспользовавшись формулами из [2], § 48.

а групповая скорость
\[
v_{\text {гр }}=\frac{d \omega}{d p}=\sqrt{\frac{k}{m}} a \cos \frac{\varphi}{2},
\]

где $a$ – равновесная длина одной пружинки, $p=\varphi / a$ – волновой вектор. Энергия
\[
E=\frac{m}{2} \sum_{n=1}^{N} \dot{x}_{n}^{2}+\frac{k}{2} \sum_{n=1}^{N}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)^{2}=2 N|A|^{2} k \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=\frac{1}{2} N m \omega^{2}|A|^{2} .
\]

и потому
\[
\frac{E}{N a} v_{\text {гр }}=S_{\text {cp }} .
\]
7.4. а) Уравнения движения
\[
\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{x}_{2 n-1}+k\left(2 x_{2 n-1}-x_{2 n-2}-x_{2 n}\right)=0, \\
M \ddot{x}_{2 n}+k\left(2 x_{2 n}-x_{2 n-1}-x_{2 n+1}\right)=0,
\end{array}\right.
\]

причем $x_{0}=x_{2 N+1}=0, n=1,2, \ldots, N$.
Ищем решение в виде бегущих волн разной амплитуды
\[
\begin{aligned}
x_{2 n-1} & =A e^{i[\omega t \pm(2 n-1) \varphi]}, \\
x_{2 n} & =B e^{i[\omega t \pm 2 n \varphi]} .
\end{aligned}
\]

Для определения $A$ и $B$ получаем систему однородных уравнений
\[
\begin{aligned}
\left(-m \omega^{2}+2 k\right) A-k\left(e^{-i \varphi}+e^{i \varphi}\right) B & =0, \\
-k\left(e^{-i \varphi}+e^{\imath \varphi}\right) A+\left(-M \omega^{2}+2 k\right) B & =0,
\end{aligned}
\]

имеющих нетривиальные решения, только если детерминант обращается в нуль. Это условие определяет связь частоты с разностью фаз колебаний соседних частиц
\[
\omega_{(\mp)}^{2}=\frac{k}{\mu}\left(1 \mp \sqrt{1-\frac{4 \mu^{2}}{m M} \sin ^{2} \varphi}\right), \quad \mu=\frac{m M}{m+M} .
\]

Дополнительным условиям удовлетворяют только определенные линейные комбинации бегущих волн (2), а именно:
\[
\begin{array}{c}
x_{2 n-1}=A_{s} \sin (2 n-1) \varphi_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right), \\
x_{2 n}=B_{s} \sin 2 n \varphi_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right), \\
\text { у которых } \varphi_{s}=\frac{\pi s}{2 N+1} \text {. Так как } \varphi_{2 N+1-s}=\pi-\varphi_{s} \text {, то различные ча- } \\
\text { стоты при выборе определенного знака в (4) мы получим лишь для } s= \\
=1,2, \ldots, N \text {. На рис. } 137 \text { (для случая } M>m \text { они укладываются дис- } \\
\text { кретными точками на две различные кривые, одну из них ( } \left.\omega_{(-)}\right) \text {принято } \\
\text { называть акустической, другую }\left(\omega_{(+)}\right) \text {оптической. } \\
\text { Общее решение имеет вид } \\
x_{2 n-1}=\sum_{s=1}^{N} \sin (2 n-1) \varphi_{s}\left[A_{(+) s} \cos \left(\omega_{(+) s} t+\alpha_{s}\right)+A_{(-) s} \cos \left(\omega_{(-) s} t+\beta_{s}\right)\right], \\
x_{2 n}=\sum_{s=1}^{N} \sin 2 n \varphi_{s}\left[B_{(+) s} \cos \left(\omega_{(+) s} t+\alpha_{s}\right)+B_{(-) s} \cos \left(\omega_{(-) s} t+\beta_{s}\right)\right],
\end{array}
\]

у которых $\varphi_{s}=\frac{\pi s}{2 N+1}$. Так как $\varphi_{2 N+1-s}=\pi-\varphi_{s}$, то различные частоты при выборе определенного знака в (4) мы получим лишь для $s=$ $=1,2, \ldots, N$. На рис. 137 (для случая $M>m$ ) они укладываются дискретными точками на две различные кривые, одну из них ( $\left.\omega_{(-)}\right)$принято называть акустической, другую ( $\omega_{(+)}$) оптической.
Общее решение имеет вид

где $A_{( \pm) s}$ и $B_{( \pm) s}$ связаны, согласно (3), соотношением
\[
B_{( \pm) s}=\frac{2 k-m \omega_{( \pm) s}^{2}}{2 k \cos \varphi_{s}} A_{( \pm) s} .
\]

Замечательно, что $B_{(-) s}$ и $A_{(-) s}$, отвечающие акустическим частотам, имеют одинаковые знаки, а $B_{(+) s}$ и $A_{(+) s}$ для оптических частот имеют противоположные знаки (т. е. соседние частицы с массами $m$ и $M$ колеблются в противофазе). Распределение амплитуд колебаний для случая $N=8, s=2$ показано на рис. 138 , где на оси ординат отложены номера частиц, а на оси абсцисс – соответствующие им амплитуды ( $a$ – для акустических и $б-$ для оптических колебаний).

Каким образом можно получить из результатов данной задачи предельный случай $m=M$ (см. задачу 7.1)?
б) Нормальные колебания
\[
\begin{aligned}
x_{2 n}^{(s)} & =A_{s} \sin 2 n \varphi_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right), \\
x_{2 n-1}^{(s)} & =A_{s} \frac{K \sin 2 n \varphi_{s}+k \sin (2 n-2) \varphi_{s}}{k+K-m \omega_{s}^{2}} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right),
\end{aligned}
\]

Рис. 138

где
\[
\omega_{s}^{2}=\frac{1}{m}\left[K+k \mp \sqrt{(K-k)^{2}+4 K k \cos ^{2} \varphi_{s}}\right],
\]
a $\varphi_{s}$ определяется из уравнения
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tg}(2 N+1) \varphi_{s}=- & \frac{K-k}{K+k} \operatorname{tg} \varphi_{s}, \quad s=1,2, \ldots, N, \\
& 0<\varphi_{s}<\frac{\pi}{2} .
\end{aligned}
\]

Кривые для оптической и акустической ветвей частот представлены на рис. $139, a$ (при $K>k$ ).
Как совершить переход к предельному случаю $K=k$ ?
в) Величина $\varphi_{s}=\frac{\pi s}{2(N+1)}$; для $s=1,2, \ldots, N$ получаем $2 N$ нормальных колебаний и собственных частот, имеющих тот же вид, что и в

Рис. 139

пункте б) (рис. 139, б). Как найти недостающее и самое интересное нормальное колебание $x_{2 n}=0, x_{2 n-1} K=-x_{2 n+1} k$, частота которого $\omega_{0}^{2}=$ $=\frac{K+k}{m}$ лежит в «запрещенной зоне» между оптической и акустической ветвями?
Рис. 140
Распределение амплитуд этого колебания показано на рис. 140, где на оси абсцисс отложены номера частиц, а на оси ординат – соответствующие им амплитуды колебаний. Частицы, имеющие четные номера, неподвижны, а соседние частицы с нечетными номерами колеблются в противофазе с амплитудами, экспоненциально затухающими при удалении от левого конца цепочки («поверхностный фонон»).

7.5. а) Решение уравнений движения
\[
m \ddot{x}_{n}+k\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)=0, \quad n=1,2, \ldots, N
\]
(дополнительные условия $x_{0}=0, x_{N+1}=a \cos \gamma t$ ) ищем в виде стоячих волн $x_{n}=A \sin n \varphi \cos \gamma t$ так, чтобы сразу удовлетворить первому дополнительному условию. Тогда из второго условия находим константу $A=$ $=a / \sin (N+1) \varphi$, а из уравнении (1) – «волновой вектор» $\varphi$ стоячей волны
\[
\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=\frac{m \gamma^{2}}{4 k} .
\]

При $\gamma^{2}<\frac{4 k}{m}$ установившиеся колебания
\[
x_{n}=a \frac{\sin n \varphi}{\sin (N+1) \varphi} \cos \gamma t
\]

имеют большую амплитуду, если знаменатель $\sin (N+1) \varphi$ близок к нулю. Но именно это условие и определяет спектр собственных частот $\omega_{s}$ (см. задачу 7.1), т. е. при этом мы имеем случай, близкий к резонансу, $\gamma \approx \omega_{s}$. При $\gamma \ll \omega_{1}=2 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \frac{\pi}{2(N+1)}$ колебания (2) соответствуют медленному растяжению и сжатию всех пружинок как целого;
\[
x_{n}=a \frac{n}{N+1} \cos \gamma t \text {. }
\]

Если $\gamma^{2}>\frac{4 k}{m}$, то, сделав в (2) замену $\varphi=\pi-i \psi$, получаем
\[
x_{n}=(-1)^{N+1+n} a \frac{\operatorname{sh} n \psi}{\operatorname{sh}(N+1) \psi} \cos \gamma t,
\]

где $\operatorname{ch}^{2} \frac{\psi}{2}=\frac{m \gamma^{2}}{4 k}$. Амплитуды колебаний частиц убывают (при $n \psi \gg 1-$ экспоненциально) к левому концу цепочки. Естественность этого результата особенно очевидна для $\gamma^{2} \gg \frac{4 k}{m}$, когда частота вынуждающей силы лежит гораздо выше спектра нормальных частот. В этом случае крайняя правая частица колеблется с малой амплитудой в противофазе с вынуждающей силой, а ( $N-1$ )-я частица в первом приближении покоится. Затем можно
движение ( $N-1$ )-й частицы рассматривать как вынужденное колебание, вызванное вынуждающей силой большой частоты со стороны $N$-й частицы, и т. д.

Отметим, что в явлениях полного внутреннего отражения имеет место аналогичное затухание волны (например, при отражении коротких радиоволн от ионосферы).
Какой вид имеет установившееся колебание при $\gamma^{2}=\frac{4 k}{m}$ ?
б) $x_{n}=a \frac{\cos (N-n+1 / 2) \varphi}{\cos (N+1 / 2) \varphi} \cos \wedge t$,
\[
\begin{array}{c}
\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=\frac{m \gamma^{2}}{4 k} \quad \text { при } \quad \gamma^{2}<\frac{4 k}{m}, \\
x_{n}=(-1)^{n} a \frac{\operatorname{sh}(N-n+1 / 2) \psi}{\operatorname{sh}(N+1 / 2) \psi} \cos \gamma t, \\
\operatorname{ch}^{2} \frac{\psi}{2}=\frac{m \gamma^{2}}{4 k} \quad \text { при } \quad \gamma^{2}>\frac{4 k}{m} .
\end{array}
\]
7.6. Если частота вынуждающей силы лежит в области акустических собственных частот $0<\gamma^{2}<\frac{2 k}{M}$ или в области оптических собственных частот $\frac{2 k}{m}<\gamma^{2}<\frac{2 k}{\mu}$ (см. задачу $7.4 \mathrm{a}$ ), то установившиеся колебания
\[
\begin{aligned}
x_{2 n-1} & =a \frac{\sin (2 n-1) \varphi}{\sin (2 n+1) \varphi} \cos \gamma t, \\
x_{2 n} & = \pm \sqrt{\frac{2 k-m \gamma^{2}}{2 k-M \gamma^{2}}} a \frac{\sin 2 n \varphi}{\sin (2 N+1) \varphi} \cos \gamma t,
\end{aligned}
\]

где $\cos ^{2} \varphi=\frac{\left(2 k-M \gamma^{2}\right)\left(2 k-m \gamma^{2}\right)}{4 k^{2}}$, а верхний (нижний) знак отвечает частоте $\gamma$, лежащей в области акустических (оптических) собственных частот.

Для частот $\frac{2 k}{M}<\gamma^{2}<\frac{2 k}{m}$, лежащих в «запрещенной зоне»,
\[
\begin{aligned}
x_{2 n-1} & =(-1)^{N+n} a \frac{\operatorname{ch}(2 n-1) \psi}{\operatorname{ch}(2 N+1) \psi} \cos \gamma t, \\
x_{2 n} & =(-1)^{N+n} a \sqrt{\frac{2 k-m \gamma^{2}}{M \gamma^{2}-2 k}} \frac{\operatorname{sh} 2 n \psi}{\operatorname{ch}(2 N+1) \psi} \cos \gamma t, \\
\operatorname{sh}^{2} \psi & =\frac{\left(2 k-m \gamma^{2}\right)\left(M \gamma^{2}-2 k\right)}{4 k^{2}},
\end{aligned}
\]

и для частот $\gamma^{2}>\frac{2 k}{\mu}$, лежащих выше границы оптической ветви,
\[
\begin{aligned}
x_{2 n-1} & =a \frac{\operatorname{sh}(2 n-1) \chi}{\operatorname{sh}(2 N+1) \chi} \cos \gamma t, \\
x_{2 n} & =-a \sqrt{\frac{2 k-m \gamma^{2}}{2 k-M \gamma^{2}}} \frac{\operatorname{sh} 2 n \chi}{\operatorname{sh}(2 N+1) \chi} \cos \gamma t, \\
\operatorname{ch}^{2} \chi & =\frac{\left(M \gamma^{2}-2 k\right)\left(m \gamma^{2}-2 k\right)}{4 k^{2}},
\end{aligned}
\]

колебания затухают к левому концу цепочки.
7.7. а) Решение уравнений движения
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}_{n}+k\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)=0, \quad n=1,2, \ldots, N-1, \\
m_{N} \ddot{x}_{N}+k\left(2 x_{N}-x_{N-1}\right)=0
\end{array}
\]
(дополнительное условие $x_{0}=0$ ) ищем в виде стоячих волн:
\[
\begin{array}{l}
x_{n}=A \sin n \varphi \cos (\omega t+\alpha), \quad n=1,2, \ldots, N-1, \\
x_{N}=B \cos (\omega t+\alpha) .
\end{array}
\]

Из (1) находим связь
\[
\frac{4 k}{m} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=\omega^{2} .
\]

Из уравнении (1) и (2), с учетом (3) и (4), получаем систему
\[
\begin{array}{c}
A \sin N \varphi-B=0 . \\
-A \sin (N-1) \varphi+\left(-\frac{2 m_{N}}{m} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}+2\right) B=0 .
\end{array}
\]

Отсюда $B=A \sin N \varphi$, а параметр $\varphi$ определяется как решение трансцендентного уравнения
\[
\sin N \varphi\left(\frac{4 m_{N}}{m} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}-2+\cos \varphi\right)=\cos N \varphi \sin \varphi .
\]

При $m_{N} \gg m$, кроме очевидных нормальных колебаний, когда частица $m_{N}$ почти неподвижна $\left(\sin N \varphi_{s} \ll 1\right)$,
\[
\begin{array}{c}
x_{n}^{(s)}=A_{s} \sin n \varphi_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right), \quad n=1,2, \ldots, N, \\
\operatorname{tg} N \varphi_{s} \approx \frac{m}{2 m_{N}} \operatorname{ctg} \frac{\varphi_{s}}{2}, \quad s=1,2, \ldots, N-1,
\end{array}
\]

имеется нормальное колебание, при котором амплитуды частиц линейно убывают к левому концу цепочки,
\[
x_{n}^{(N)}=B \frac{n}{N} \cos \left(\omega_{N} t+\alpha_{N}\right), \quad \omega_{N}^{2}=\frac{k}{m_{N}}\left(1+\frac{1}{N}\right) .
\]

Частица $m_{N}$ при этом колеблется между пружинками жесткости $k$ (справа) и жесткости $k / N$ (слева). Тот факт, что уравнение (5) имеет подобное решение, устанавливается следующим рассуждением. Предполагая $\varphi$ малым и сохраняя лишь главные члены, получим из (5) $\varphi^{2}=\frac{m}{m_{N}}\left(1+\frac{1}{N}\right)$ в полном согласии со сделанным предположением.

При $m_{N} \ll m$ имеются обычные колебания, характерные для системы из ( $N-1$ )-й частицы с пружинкой жесткостью $k / 2$ на правом конце (параметр $\varphi_{s}$ и частоты $\omega_{s}$ определяются из уравнения $\operatorname{tg} N \varphi=-\frac{\sin \varphi}{2-\cos \varphi}$ ). Кроме них, существует нормальное колебание, при котором амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки
\[
\begin{array}{c}
x_{n}^{(N)}=(-1)^{N+n} B \frac{\operatorname{sh} n \psi}{\operatorname{sh} N \psi} \cos \left(\omega_{N} t+\alpha_{N}\right), \\
\operatorname{ch}^{2} \frac{\psi}{2}=\frac{m}{2 m_{N}} \gg 1, \quad \omega_{N}^{2}=\frac{2 k}{m_{N}} .
\end{array}
\]

Формально значение параметра $\psi$ можно получить из уравнения (5), сделав замену $\varphi=\pi-i \psi$ и предполагая $\psi$ большим. Это нормальное колебание можно рассматривать в первом приближении как простое колебание частицы малой массы при покоящихся остальных частицах, а затем рассмотреть движение остальных частиц как вынужденные колебания под действием высокочастотной силы $k x_{N}=k B \cos \left(\omega_{N} t+\alpha_{N}\right)$, приложенной к правому концу цепочки из $N-1$ одинаковых частиц (см. задачу $7.5 \mathrm{a}$ ).
б) При $k_{N+1} \ll k$ решение совпадает с решением задачи 7.2. При $k_{N+1} \gg k$ имеются нормальные колебания, при которых $N$-я частица почти неподвижна:
\[
\begin{array}{c}
x_{n}^{(s)}=A_{s} \sin n \varphi_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right), \quad \omega_{s}^{2}=\frac{4 k}{m} \sin ^{2} \frac{\varphi_{s}}{2}, \\
\varphi_{s} \approx \frac{s \pi}{N}, \quad s=1,2, \ldots, N-1 .
\end{array}
\]

Параметр $\varphi_{s}$ определяется из уравнения
\[
\left(2 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}-\frac{k_{N+1}}{k}\right) \sin N \varphi=\cos N \varphi \sin \varphi,
\]

которое в рассматриваемом приближении имеет вид
\[
\operatorname{tg} N \varphi=-\frac{k}{k_{N+1}} \sin \varphi .
\]

Уравнение (6) допускает еще одно решение, которое можно получить, положив $\varphi=\pi-i \psi$ и предполагая $\psi$ большим. В этом случае имеем
\[
\begin{array}{c}
x_{n}^{(N)}=(-1)^{N+1} B_{N} \frac{\operatorname{sh} n \psi}{\operatorname{sh} N \psi} \cos \left(\omega_{N} t+\alpha_{N}\right), \\
\operatorname{ch}^{2} \frac{\psi}{2}=\frac{k_{N+1}}{4 k}, \quad \omega_{N}^{2}=\frac{k_{N+1}}{m},
\end{array}
\]
т. е. амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки.

Каким образом можно получить это последнее колебание, используя результаты задачи 7.5 ?
7.8. Пусть $\varphi_{n}$ – угол отклонения $n$-го маятника от вертикали.
a) $s$-е нормальное колебание
\[
\varphi_{n}=A_{s} \cos \left(n-\frac{1}{2}\right) \psi_{s} \cdot \cos \left(\omega_{s} t+\alpha_{s}\right),
\]

где спектр частот (рис. 141) начинается со значения $\omega_{0}=\sqrt{g / l}$ :
\[
\begin{array}{l}
\omega_{s}^{2}=\frac{g}{l}+\frac{4 k}{m} \sin ^{2} \frac{\psi_{s}}{2} \\
\psi_{s}=\frac{\pi s}{N}, \quad s=0,1,2, \ldots, N-1 .
\end{array}
\]

б) В области собственных частот системы $\omega_{0}<\gamma<\sqrt{\omega_{0}^{2}+4 k / m}$ вынужденные колебания
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{n}=\frac{F \cos \left[\left(n-\frac{1}{2}\right) \psi\right]}{2 k l \sin N \psi \sin \frac{\psi}{2}} \sin \gamma t \\
\gamma^{2}=\frac{g}{l}+\frac{4 k}{m} \sin ^{2} \frac{\psi}{2}, \quad 0<\psi<\pi .
\end{array}
\]

При $\gamma \rightarrow \omega_{s}$ возникают резонансы, так как
Рис. 141
$\sin N \psi \rightarrow \sin N \psi_{s} \rightarrow 0$.

В области малых частот $\gamma<\omega_{0}$ все маятники колеблются в одной фазе
\[
\varphi_{n}=\frac{F \operatorname{ch}\left(n-\frac{1}{2}\right) \chi}{2 k l \sin N \chi \operatorname{sh} \frac{\chi}{2}} \sin \gamma t ; \quad \gamma^{2}=\frac{g}{l}-\frac{4 k}{m} \operatorname{sh}^{2} \frac{\chi}{2}>0 .
\]

Если при этом жесткость пружин мала
\[
\frac{k}{m\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)}=\varepsilon \ll 1,
\]

то амплитуды колебаний быстро убывают к левому концу
\[
\varphi_{n}=\varphi_{N} \varepsilon^{N-n} .
\]

В области высоких частот $\gamma>\sqrt{\omega_{0}^{2}+4 k / m}$ соседние маятники колеблются в противофазе
\[
\varphi_{n}=\frac{(-1)^{N-n} F \operatorname{sh}\left(n-\frac{1}{2}\right) \chi}{2 k l \operatorname{sh} N \chi \operatorname{ch} \frac{\chi}{2}} \sin \gamma t, \quad \gamma^{2}=\frac{g}{l}+\frac{4 k}{m} \operatorname{ch}^{2} \frac{\chi}{2} .
\]

При очень высокой частоте $m \gamma^{2} / k \gg 1$ амплитуды колебаний также быстро убывают к левому концу
\[
\varphi_{n}=\left(-\frac{k}{m \gamma^{2}}\right)^{N-n} \varphi_{N} .
\]

в) Ясно, что при $b-a=0$ все маятники (в линейном приближении) колеблются независимо друг от друга с частотой $\omega_{0}=\sqrt{g / l}$.

С ростом параметра $b-a$ пружинки сначала ослабляют возвращающую в положение равновесия силу тяжести, а затем начинают «расталкивать» соседние маятники, так что малые колебания маятников вблизи вертикали становятся неустойчивыми.
Функция Лагранжа системы
\[
L=\frac{1}{2} m l^{2} \sum_{n=1}^{2 N} \dot{\varphi}_{n}^{2}-U, \quad U=\sum_{n=1}^{2 N}\left(-m g l \cos \varphi_{n}+\frac{k r_{n}^{2}}{2}\right),
\]

где удлинение $n$-й пружинки (принимаем $l\left|\Delta_{n}\right| \ll a$ )
\[
\begin{aligned}
r_{n} & =\sqrt{a^{2}+4 l^{2} \sin ^{2} \frac{\Delta_{n}}{2}}-b \approx a-b+\frac{l^{2}}{2 a} \Delta_{n}^{2}-\frac{l^{2}\left(a^{2}+3 l^{2}\right)}{24 a^{3}} \Delta_{n}^{4}, \\
\Delta_{n} & =\varphi_{n}-\varphi_{n+1} .
\end{aligned}
\]

С точностью до членов $\varphi_{n}^{4}$ включительно
\[
\begin{aligned}
U & =\frac{1}{2} m g l \sum_{n}\left(\varphi_{n}^{2}-\alpha \Delta_{n}^{2}-\frac{1}{12} \varphi_{n}^{4}+\beta \Delta_{n}^{4}\right)+\text { const }, \\
\alpha & =\frac{(b-a) k l}{a m g}, \quad \beta=\frac{1}{12} \alpha+\frac{k b l^{3}}{4 m g a^{3}} .
\end{aligned}
\]

Уравнения движения в линейном по $\varphi_{n}$ приближении
\[
\ddot{\varphi}_{n}+\frac{g}{l}\left[\varphi_{n}-\alpha\left(2 \varphi_{n}-\varphi_{n+1}-\varphi_{n-1}\right)\right]=0
\]

имеют решения в виде бегущих волн
\[
\varphi_{n}=A e^{i(\omega t \pm n \psi)}
\]

с частотами (см. рис. 142)
Рис. 142
\[
\begin{array}{c}
\omega_{s}^{2}=\frac{g}{l}\left(1-4 \alpha \sin ^{2} \frac{\psi_{s}}{2}\right), \\
\psi_{s}=\frac{\pi s}{N}, \quad s=0,1, \ldots, N
\end{array}
\]

причем частоты $\omega_{0}$ и $\omega_{N}$ невырождены, а остальные частоты двукратно вырождены.
Отсюда видно, что при
\[
4 \alpha-1>0, \text { или } b-a>\frac{m g a}{4 k l},
\]

колебания неустойчивы – некоторые $\omega_{s}^{2}$ становятся отрицательными. Раньше всех обращается в нуль частота $\omega_{N}$. Ей соответствует $\psi_{N}=\pi$, т. е. нормальное колебание типа «гармошки», при котором соседние частицы колеблются в противофазе: $\varphi_{n}=-\varphi_{n-1}$. Естественно поэтому и новое положение равновесия $\varphi_{n 0}$ искать в виде «гармошки»:
\[
\varphi_{10}=-\varphi_{20}=\varphi_{30}=-\varphi_{40}=\ldots=-\varphi_{2 N 0}=\varphi .
\]

Значение $\varphi$ найдем из условия равновесия $\frac{\partial U}{\partial \varphi_{n}}=0$ или
\[
\varphi_{n}-\alpha\left(2 \varphi_{n}-\varphi_{n+1}-\varphi_{n-1}\right)-\frac{1}{6} \varphi_{n}^{3}+2 \beta\left(\varphi_{n}-\varphi_{n+1}\right)^{3}+2 \beta\left(\varphi_{n}-\varphi_{n-1}\right)^{3}=0,
\]

что дает
\[
\varphi= \pm \sqrt{\frac{6(4 \alpha-1)}{192 \beta-1}} .
\]

Рассмотрим теперь малые колебания вблизи нового положения равновесия (4). Введем малые смещения
\[
x_{n}=\varphi_{n}-\varphi_{n 0},
\]

тогда с точностью до $x_{n}^{2}$ включительно потенциальная энергия (1) равна
\[
U=\frac{1}{2} m g l \sum_{n}\left[\left(1-\frac{1}{2} \varphi^{2}\right) x_{n}^{2}-\left(\alpha-24 \beta \varphi^{2}\right)\left(x_{n}-x_{n+1}\right)^{2}\right]+\text { const. }
\]

Сравнивая (1) и (6), легко увидеть, что $x_{n}$ имеет решение такого же вида, как и $\varphi_{n}$ (2) с частотами
\[
\omega_{s}^{2}=\frac{g}{l}\left[1-\frac{1}{2} \varphi^{2}-4\left(\alpha-24 \beta \varphi^{2}\right) \sin ^{2} \frac{\psi_{s}}{2}\right] .
\]

Однако теперь для малых $\varphi^{2}<\frac{\alpha}{24 \beta}<\frac{1}{2}$ все $\omega_{s}^{2}$ положительны (см. (3)):
\[
\omega_{s}^{2}>\frac{g}{l}\left[1-\frac{\varphi^{2}}{2}-4\left(\alpha-24 \beta \varphi^{2}\right)\right]=\frac{2 g}{l}(4 \alpha-1)>0,
\]
т. е. малые колебания вблизи нового положения равновесия (4) устойчивы.

Таким образом, с ростом параметра $\alpha$ первоначальная конфигурация вертикальных маятников сменяется «гармошкой». Такое изменение симметрии подобно изменению симметрии термодинамических систем при фазовых переходах второго рода. Аналогом $\alpha$ при этом является внешний параметр типа температуры, магнитного поля и т. д. (см., например, [23]).

Конечно, уравнение (5) может иметь и другие ненулевые решения, кроме найденного (4). Например, ему удовлетворяет значение $\varphi_{n}=\sqrt{6}$, которое, однако, не является физическим, так как отвечает большим углам отклонения, а само разложение (1) справедливо лишь при малых $\varphi$.
7.9. а) Ток в $n$-й катушке обозначим $\dot{q}_{n}$. Функция Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N}\left[\mathscr{L} \dot{q}_{n}^{2}-\frac{1}{C}\left(q_{n}-q_{n+1}\right)^{2}\right]+\frac{1}{2} \mathscr{L}_{0} \dot{q}_{N+1}^{2}+U q_{1} \cos \gamma t
\]
(ток через цепочку $Z$ обозначен $\dot{q}_{N+1}$ ). Сопротивление $R$ можно ввести в уравнения движения с помощью диссипативной функции
\[
F=\frac{1}{2} R \dot{q}_{N+1}^{2} .
\]

Уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L} \ddot{q}_{1}+\frac{1}{C}\left(q_{1}-q_{2}\right)=U \cos \gamma t, \\
\mathscr{L} \ddot{q}_{n}+\frac{1}{C}\left(2 q_{n}-q_{n-1}-q_{n+1}\right)=0, \quad n=2,3, \ldots, N, \\
\mathscr{L}_{0} \ddot{q}_{N+1}+\frac{1}{C}\left(q_{N+1}-q_{N}\right)=R \dot{q}_{N+1} .
\end{array}
\]

Решение ищем в виде
\[
q_{n}=\operatorname{Re}\left(A e^{i \gamma t-i n \varphi}\right),
\]

причем можем считать, не ограничивая общности, что $-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Из (2), (3) получаем
\[
\begin{array}{c}
\gamma^{2}=\frac{4}{\mathscr{L} C} \sin ^{2}(\varphi / 2), \\
-\gamma^{2} \mathscr{L}_{0}+\frac{1}{C}\left(1-e^{-i \varphi}\right)=i \gamma R .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
R=\frac{\sin \varphi}{\gamma} C, \quad \mathscr{L}_{0}=\frac{1-\cos \varphi}{C} \gamma^{2}=\frac{\mathscr{L}}{2} .
\]

Поскольку $R>0$, должно быть $\varphi>0$ – волна бежит в сторону $\mathscr{L} R$ цепочки. Амплитуда может быть определена из уравнения (1).

При $\gamma^{2}>\mathscr{L} C / 4$ распространение бегущих волн по искусственной линии невозможно (ср. с задачей $7.5 \mathrm{a}$ ).
б) Уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{1} \ddot{q}_{2 n-1}+\frac{1}{C}\left(2 q_{2 n-1}-q_{2 n-2}-q_{2 n}\right)=0, \quad n=2,3, \ldots, N, \\
\mathscr{L}_{2} \ddot{q}_{2 n}+\frac{1}{C}\left(2 q_{2 n}-q_{2 n-1}-q_{2 n+1}\right)=0, \quad n=1,2, \ldots, N,
\end{array}
\]

с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (1) в задаче 7.4. Кроме того,
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{1} \ddot{q}_{n}+\frac{1}{C}\left(q_{1}-q_{2}\right)=U \cos \gamma t \\
\mathscr{L}_{0} \ddot{q}_{2 N+1}+\frac{1}{C}\left(q_{2 N+1}-q_{2 N}\right)=-R \dot{q}_{2 N+1} .
\end{array}
\]

Решение ищем в виде
\[
\begin{aligned}
q_{2 n-1} & =A e^{i \gamma t-i(2 n-1) \varphi}, \\
q_{2 n} & =B e^{i \gamma t-i 2 n \varphi} .
\end{aligned}
\]

Не ограничивая общности, считаем $-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Из (6)
\[
\begin{array}{c}
\left(1-\gamma^{2} / \gamma_{1}^{2}\right) A-\cos \varphi \cdot B=0, \\
\cos \varphi \cdot A-\left(1-\gamma^{2} / \gamma_{2}^{2}\right) B=0, \\
\gamma_{1,2}^{2}=\frac{2}{\mathscr{L}_{1,2} C},
\end{array}
\]

откуда
\[
\cos ^{2} \varphi=\left(1-\gamma^{2} / \gamma_{1}^{2}\right)\left(1-\gamma^{2} / \gamma_{2}^{2}\right) .
\]

Пусть, например, $\gamma_{1}<\gamma_{2}$. Условия $0 \leqslant \cos ^{2} \varphi \leqslant 1$ выполняются при $0 \leqslant \gamma \leqslant \gamma_{1}$ (область «акустических» волн, ср. с задачей 7.4) и при $\gamma_{2} \leqslant \gamma \leqslant \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}$ (область «оптических» волн). Вне этой области распространение бегущих волн невозможно (ср. с задачей 7.6).

Из формулы (8)
\[
R+i \gamma \mathscr{L}_{0}=\frac{i}{\gamma C}-\frac{i}{\gamma C} \frac{B}{A} e^{i \varphi}=\frac{i}{\gamma C}\left(1-\frac{B}{A} \cos \gamma\right)+\frac{B}{A} \frac{\sin \varphi}{\gamma C} .
\]

Здесь должно быть $\frac{B}{A} \sin \varphi>0$. В области $\gamma \leqslant \gamma_{1}$ амплитуды $A$ и $B$ имеют одинаковые знаки, так что $\varphi>0$. В области $\gamma_{2} \leqslant \gamma \leqslant \sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}$, наоборот, $B / A<0$ и $\varphi<0$. Подставив в (11) значения $B / A, \cos \varphi$ и $\sin \varphi$, получаем окончательно
\[
R=\sqrt{\frac{\mathscr{L}_{1}+\mathscr{L}_{2}}{2 C}\left(1-\frac{\mathscr{L}_{1} \mathscr{L}_{2} C}{\mathscr{L}_{1}+\mathscr{L}_{2}} \cdot \frac{\gamma^{2}}{2}\right) \frac{2-\mathscr{L}_{1} C \gamma^{2}}{2-\mathscr{L}_{2} C \gamma^{2}}}, \mathscr{L}_{0}=\frac{\mathscr{L}_{1}}{2} .
\]

Отрицательное значение $\varphi$ в области «оптических» колебаний означает, что фазовая скорость бегущей по линии волны направлена от $Z$-цепочки к источнику напряжения. Групповая же скорость, определяющая поток энергии (ср. с задачей 7.3), естественно, имеет противоположное направление (см., например, рис. 137 , где $v_{\text {гр }} \sim \frac{d \omega_{(+)}}{d s}<0$ ).
7.10. Уравнения колебаний дискретной системы (см. формулу (3) задачи 7.1) преобразуем к виду
\[
\ddot{x}_{n}-k a \frac{a}{m}\left(\frac{x_{n+1}-x_{n}}{a}-\frac{x_{n}-x_{n-1}}{a}\right) \frac{1}{a}=0 .
\]

Величина $\frac{m}{a}=\frac{N m}{N a}$ в пределе имеет смысл линейной плотности стержня $\rho$. Относительное удлинение отрезка $a$, т. е. величина $\frac{x_{n}-x_{n-1}}{a}$, пропорционально дсйствующсй на нсго силс $F=k a \frac{x_{n}-x_{n-1}}{a}$, поэтому в прсдслс $k a$ имеет смысл модуля упругости стержня $\varkappa$. Таким образом, уравнение (1) в пределе переходит в волновое уравнение
\[
\frac{\partial^{2} x(\xi, t)}{\partial t^{2}}-v^{2} \frac{\partial^{2} x(\xi, t)}{\partial \xi^{2}}=0,
\]

где $v=\sqrt{\varkappa / \rho}$ имеет смысл фазовой скорости волны.

Вместо системы $N$ обыкновенных дифференциальных уравнений мы получили одно уравнение в частных производных (ср. с задачей 4.29).

Отметим, что для данного вывода необходимо важное предположение о том, что функция $x_{n}(t)$ стремится к определенному пределу $x(\xi, t)$, являющемуся достаточно гладкой функцией.
7.11. При малых а можно приближенно представить смещения в виде $x_{n}=x(\xi, t), x_{n \pm 1}=x(\xi \pm a, t)=x(\xi, t) \pm a \frac{\partial x(\xi, t)}{\partial \xi}+\frac{a^{2}}{2} \frac{\partial^{2} x(\xi, t)}{\partial \xi^{2}} \pm$ $\pm \frac{a^{3}}{6} \frac{\partial^{3} x(\xi, t)}{\partial \xi^{3}}+\ldots$ При этом уравнение (2) задачи 7.10 переходит в уравнение
\[
\frac{\partial^{2} x}{\partial t^{2}}-\frac{\varkappa}{\rho} \frac{\partial^{2} x}{\partial \xi^{2}}-\frac{\varkappa a^{2}}{12 \rho} \frac{\partial^{4} x}{\partial \xi^{4}}=0 .
\]

В то время, как каждое из уравнений (1) задачи 7.10 содержит смещения трех соседних точек (дальнодействие), уравнение (1) содержит лишь смещение $x$ в данной точке $\xi$ (близкодействие). Член $-\frac{\varkappa a^{2}}{12 \rho} \frac{\partial^{4} x}{\partial \xi^{4}}$ в уравнении (1) соответствует приближенному учету дальнодействия.

Подробнее об учете пространственной дисперсии и исследовании уравнения (1) см. [19], гл. 4, §4.