3.2. Критерии оптимального обнаружения

Критерий Байеса. Пусть соответствует наличию сигнала в его отсутствию. Множество решений вырождается в два:

При простом бинарном обнаружении и функция потерь переходит в квадратную матрицу

Можно положить (потерь нет), и

Задача обнаружения эквивалентна проверке гипотезы о том, что при альтернативной гипотезе о том, что По результатам наблюдения нужно выбрать одно из двух решений: или

Класс решений состоит из правил разбиения области на две подобласти: Отыскание байесова решения сводится к выбору подобластей таким образом, чтобы средний риск был минимален:

В случае простого обнаружения средний риск

где условный риск при условный риск при априорная вероятность присутствия сигнала в априорная вероятность отсутствия сигнала в вероятность правильного обнаружения; вероятность ложной тревоги. Тогда средний риск

Поскольку постоянная положительная величина, минимум будет получен при

или

Величина называется отношением правдоподобия, а является порогом решения.

Таким образом, алгоритм обнаружения состоит в следующем: если то принимается решение справедлива гипотеза принадлежит области а если то принимается решение справедлива гипотеза принадлежит области как это показано на рис. 3.3, при этом область разделена границей на две области

Рис. 3.3. Области гипотез

Недостаток этого критерия - необходимость знать априорные сведения о величинах Один из выходов при неизвестных принятие гипотезы их равенства: тогда

и алгоритм обнаружения имеет вид

Критерий максимума апостериорной вероятности и максимума правдоподобия. Известно, что согласно теореме Байеса формулы условных плотностей распределения вероятностей состояний имеют вид

Очевидно, что та ситуация правдоподобней, вероятность которой больше. Если то правдоподобней и нужно принять решение Если то правдоподобней и таким образом, если

то принимается решение справедлива гипотеза принадлежит области

то принимается решение справедлива гипотеза Но, у принадлежит области т.е., как и в критерии Байеса,

Это соответствует случаю, когда причем средний риск а алгоритм обнаружения остается прежним:

Если априорные сведения отсутствуют, то их считают равновероятными и тогда Это так называемый критерий правдоподобия, или критерий идеального наблюдателя (Зигерта).

Критерий Неймана - Пирсона. При критерии Неймана - Пирсона фиксируется вероятность ложной тревоги время обнаружения и максимизируется вероятность правильного обнаружения т.е. ищется такое правило решений которое обеспечивает при заданном среди всех прочих решений максимальное Порог решения выбирается из соотношения

Доказывается, что для максимизации необходимо использовать правило принятия решений

Ввиду того, что критерий Неймана - Пирсона не требует знания априорных вероятностей ситуаций в радиолокации он является основным.

Минимаксный критерий. Если априорное распределение неизвестно, то байесово решение использовать нельзя, так как не удается найти 7. При минимаксном критерии в классе решающих правил 8 ищут максимальные значения условных рисков при вариации , т.е. находят Затем выбирают правило решений 8, обеспечивающее наименьшее значение риска среди полученных максимальных:

Здесь минимальный риск, причем

Вальдом получена связь между минимаксным и байесовым решениями: минимаксное решение является байесовым относительно наименее благоприятного априорного распределения параметров максимизирующих байесов риск:

Функция не зависит от значений . Таким образом, если байесов риск для некоторого не зависит от 9, то наиболее

неблагоприятно распределение а байесово решение 5 - минимаксное. Это позволяет облегчить отыскание минимаксных значений и наименее благоприятных априорных распределений, которые часто оказываются равномерными.

Критерий последовательной проверки гипотез Вальда. В рассмотренных критериях ограничивалось (фиксировалось) время принятия решений Тнабл или объем выборки Однако можно заранее объем выборки не фиксировать. При критерии Вальда область делится на три подобласти нижним и верхним порогами, как показано на рис. 3.3,6:

если в этом случае справедлива гипотеза принадлежит области Г0;

- в этом случае справедлива гипотеза принадлежит области Г| ;

если в этом случае принимается решение продолжить наблюдение.

Здесь

Таким образом критерий Вальда двухпороговый:

Пороги определяются вероятностями

Длительность наблюдений - величина случайная. Критерий Вальда является оптимальным в смысле минимизации среднего времени наблюдения (обнаружения) по большему ансамблю экспериментов.

Сведение сложной гипотезы к простой. Если кроме параметров имеются другие: в пространстве для случая в пространстве Для случая с распределениями при известных то можно сформировать отношение правдоподобия, не зависящее от параметров

Структура обнаружителя. В соответствии с полученными алгоритмами обнаружения можно представить их структуру при различных критериях оптимальности:

- однопороговые критерии с фиксированным временем

- двухпороговый критерий с переменным временем (рис.

Рис. 3.4. Структурные схемы однопороговых (а) и двухпороговых (б) обнаружителей

Устройство преобразует распределение в распределение Пороговые устройства называемые реле или компараторами, осуществляют сравнение с порогом Графическая интерпретация различных критериев приведена в таблице.

(см. скан)

Задача обнаружения решается в каждом элементе разрешения. Способ просмотра элементов разрешения определяется выбранным методом обзора пространства. Количество элементов разрешения зависит от величины области обзора или пространства обнаружения. Вероятность ложной тревоги и вероятность пропуска цели обычно задаются на все пространство обнаружения. Вероятность правильного необнаружения во всем пространстве равна произведению вероятностей правильного необнаружения во всех элементах:

Если то

При можно считать или Таким образом, если задано то

Пример. Задано число элементов разрешения по дальности число элементов разрешения по азимуту число элементов разрешения по углу места Общее число элементов разрешения

Что касается то вероятность правильного обнаружения равна а эта последняя равна произведению вероятности пропуска цели в одном элементе на вероятность правильного необнаружения во всех остальных элементах:

т. е.

Таким образом,