3.4. Синтез оптимальных обнаружителей

Обнаружение одиночного радиоимпульса с полностью известными параметрами на фоне «белого» шума. «Белый» шум складывается с сигналом аддитивно: при этом

- мощность шума на входе приемника.

В пределах полосы пропускания приемника где коэффициент шума приемника Для прикидочных расчетов можно ориентироваться на следующие значения коэффициентов шума.

Пусть наблюдение входной реализации ведется дискретно через интервалы времени в моменты времени Поскольку отсчеты в моменты независимы: . В этом случае «белый» шум имеет нормальный закон распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей имеет вид

В силу независимости отсчетов совместная ПРВ

При отсчеты входной выборки поэтому и тогда

С учетом независимости отсчетов

Подставляя в выражение для получаем

Можно сравнивать А с порогом решения можно также сравнивать монотонную функцию от А с такой же функцией порога. Например, часто используют сравнение Учитывая, что

и обозначая получаем алгоритм оптимального обнаружения икук

Если перейти к непрерывному времени, то нужно устремить интервал дискретизации к нулю при этом

Обозначим и заметим, что это корреляционный интеграл, энергия сигнала. Объединяя получаем алгоритм обнаружения:

Структурная схема корреляционного обнаружителя (КО) показана на рис. 3.8, а.

Рис. 3.8. Структуры корреляционного (КО) (а) и фильтрового (ФО) (б) обнаружителей

Этой структуре эквивалентна структура фильтрового обнаружителя

Импульсная характеристика фильтра, максимизирующего отношение мощности сигнала к мощности шума является зеркальным отображением входного сигнала поэтому выходной сигнал имеет форму

Соотношение для коэффициента передачи согласованного фильтра получаем по формуле

при этом формируется максимальное отношение сигнала к шуму: (при реальных шумах в диапазоне частот Поскольку выходной сигнал обнаружителей, описываемый корреляционным интегралом, зависит от времени запаздывания и расстройки по частоте корреляционный обнаружитель оказывается многоканальным по дальности и скорости. Фильтровой обнаружитель многоканален только по скорости.

В КО на выходе инерционного фильтра будет нарастающее напряжение в момент равное в то время как в ФО на выходе возникает радиоимпульс, по форме совпадающий с корреляционной функцией входного сигнала. Для устранения колебаний внутри огибающей радиоимпульса на выходе ставят детектор огибающей (рис. 3.9, а-г).

Для определения величины вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги надо знать плотности распределения вероятностей величины на входе порогового устройства при Если то на входе - только шум поэтому Операция интегрирования является линейной, детерминированная величина. Следовательно будет иметь то же распределение вероятностей, что и т.е. нормальное распределение с параметрами

Таким образом,

При меняется лишь среднее значение из-за того, что детерминированная величина:

Следовательно,

Рис. 3.9. Форма сигналов в корреляционном (а), фильтровом (б) и фильтровом с детектором огибающей (в) обнаружителях

Отсюда можно вычислить искомые вероятности

где интеграл вероятности.

Аналогично вычисляется вероятность правильного обнаружения:

где

Обнаружение квазидетерминированного радиоимпульса. «Белый» шум аддитивно складывается с квазидетерминированным сигналом, у которого начальная фаза неизвестна:

Здесь неизвестная начальная фаза, распределенная равномерно в пределах от до с плотностью распределения вероятностей При этом отношение правдоподобия имеет вид

Представим сигнал в виде двух ортогональных составляющих

где квадратурные корреляционные интегралы.

Можно показать, что где следовательно,

Усредняя по неизвестной начальной фазе получаем

Поскольку а модифицированная функция Бесселя монотонная функция х, можно перейти к следующему алгоритму обнаружения:

что соответствует структуре показанной на рис. 3.10,а.

Те же операции можно осуществить с помощью если продетектировать колебания на выходе с импульсной переходной характеристикой и выделить огибающую (см. рис. 3.10, б).

Так как шум и смесь сигнала с шумом распределены на выходе детектора огибающей (ДО) по законам Рэлея и обобщенного Рэлея (Райса), вероятности

где нормированный порог.

Рис. 3.10. Корреляционный (а) и фильтровой (б) обнаружители радиоимпульса с неизвестной начальной фазой

Обнаружение флуктуирующего радиоимпульса. «Белый» шум складывается с радиоимпульсом, имеющим неизвестную начальную фазу и флуктуирующую амплитуду: Плотности распределения вероятностей амплитуды и фазы задаются соотношениями закон распределения Рэлея.

Усредняя А по получаем

где энергия сигнала при

Средняя энергия сигнала . С учетом этого вычисляем отношение правдоподобия:

Воспользуемся интегралом

и получим окончательное соотношение

Таким образом, решающее правило может строиться на основании сравнения с порогом:

Структура обнаружителя показана на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Корреляционный (а) и фильтровой (б) обнаружители радиоимпульса с неизвестной начальной фазой и флуктуирующей амплитудой

Определим вероятности ошибок

а для вычисления нужно знать плотность вероятности

тогда

и поэтому

Сравнение различных моделей сигналов можно осуществлять только при равенстве их энергий, т.е. при Поэтому, исключая получаем

Обнаружение флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным (случайным) временем прихода ... и с расстройкой по частоте В этом случае сигнал имеет вид

где случайные величины с известными априорными распределениями вероятностей.

Тогда нужно найти Поскольку известно введем в новые случайные параметры и усредним по этим параметрам. При этом будем считать, что они изменяют свои значения дискретно, т.е. с вероятностями

Определить можно как и ранее:

поэтому

Таким образом, синтезированный обнаружитель состоит из каналов по времени запаздывания (дальности) и каналов по частоте (скорости). В действительности и время запаздывания, и смещение частоты - непрерывные величины, поэтому многоканальный обнаружитель является квазиоптимальным. Только по мере увеличения числа каналов (в пределе до бесконечности) он будет приближаться к оптимальному. Многоканальность по дальности необходима при использовании в этом случае для каждого канала формируется свой опорный сигнал, сдвинутый по сравнению с соседними каналами на величину элемента разрешения по времени . В ФО из-за инвариантности согласованного фильтра ко времени прихода сигнала многоканальность по дальности не нужна, а многоканальность по скорости обеспечивается набором (гребенкой) фильтров, расстроенных друг относительно друга на величину элемента разрешения по частоте (скорости)

Обнаружение пачки когерентных радиоимпульсов. Реализации аддитивной смеси «белого» шума с когерентными радиоимпульсами пачки в каждом периоде повторения имеют ту особенность, что шум в них не коррелирован, так как время корреляции шума меньше периода повторения

Плотности распределения вероятностей

поэтому

Соответственно

В согласии со случаем обнаружения для модели сигнала с полностью известными параметрами получаем

следовательно,

откуда

Структуры обнаружителей пачек показаны на рис. 3.12.

Здесь оптимальный фильтр для одиночного импульса; оптимальный фильтр для пачки из импульсов (состоит из и накопитель импульсов; ПУ

Рис. 3.12. Схемы обнаружителей памкн когерентных радиоимпульсов: а - структура КО пачки; б - структур ФО: в - структура КФО

пороговое устройство; СД - селектор дальности; ГСИ - генератор стробирующих импульсов; ФСОП - фильтр, согласованный с огибающей пачки.

На рис. 3.13 показан процесс накопления когерентных радиоимпульсов в обнаружителе (рис.3.12,в).

Здесь пачка из трех радиоимпульсов на входе; пачка импульсов на выходе согласованного (оптимального) фильтра, задержанная на один период и два периода повторения выходной сигнал накопителя радиоимпульсов; сигнал после детектора.

Рис. 3.13. Сигналы в характерных точках обнаружителя пачки когерентных радиоимпульсов

Рис. 3.14. Структуры накопителей радиоимпульсов: а - равновесный; неравновесный; в - рециркулятор

На рис. 3.14 представлены структурные схемы накопителей радиоимпульсов пачки.

В соответствии со случаем обнаружения сигнала со случайной начальной фазой

Учитывая, что получаем

где

Таким образом,

что приводит к алгоритму обнаружения:

Соответствующие этому алгоритму структуры обнаружителей показаны на рис. 3.15.

Сигнал с неизвестной начальной фазой и флуктуирующей амплитудой. В соответствии со случаем обнаружения сигнала с флуктуирующей амплитудой, аналогично предыдущему имеем

Рис. 3.15. Корреляционный (а) и фильтровой (б) обнаружители пачек когерентных радиоимпульсов с неизвестной начальной фазой

Учитывая, как и ранее, что усредняем по после чего получаем искомое выражение: и окончательно

Структура КО и ФО обнаружителей сигнала этой модели показана на рис. 3.16, а, б.

Рис. 3.16. Обнаружители пачек когерентных флуктуирующих радиоимпульсов

Обнаружение пачки некогерентных радиоимпульсов. Поскольку накопить радиоимпульсы невозможно, поэтому нужно копить видеоимпульсы, выделив их огибающую после детектора. При этом шум складывается с пачкой видеоимпульсов, и справедливо соотношение

Рассмотрим некогерентные импульсы пачки как сигнал с неизвестной начальной фазой:

Используем преобразование

Обозначим тогда

Структура обнаружителя представлена на рис. 3.16, а прохождение сигнала через нее иллюстрируется эпюрами напряжений (рис. 3.17), где пачка из трех радиоимпульсов на входе обнаружителя; радиоимпульсы на выходе согласованного фильтра; видеоимпульсы на выходе детектора; пачка импульсов, задержанная на период и на два периода; результат накопления.

Рис. 3.17. Графики процесса накопления пачки некогерентных радиоимпульсов

Рис. 3.18. Обнаружитель пачки некогереитных радиоимпульсов

Рис. 3.19. Быстрые (а) и медленные (б) флуктуации амплитуды импульсов пачки

Для отождествления оператора с конкретным устройством рассмотрим поведение при больших и малых значениях аргумента При линейная функция, при квадратичная функция. Поэтому можно считать, что нелинейный элемент ведет себя как обычный амплитудный детектор и включать в схему рис. 3.18 вместо блока амплитудный детектор или детектор огибающей.

Можно показать, что при нефлуктуирующей амплитуде импульсов

где отношение мощности сигнала к мощности шума в одном импульсе.

При флуктуации амплитуды импульсов пачки различают два. случая: быстрые (независимые) флуктуации, когда амплитуды успевают изменяться от импульса к импульсу, и медленные (дружные) флуктуации, когда амплитуды импульсов меняются от пачки к пачке (рис. 3.19, а,б). Если флуктуации быстрые и описываются законом Релея, то получаем алгоритм обнаружения:

что соответствует схеме обнаружителя, показанной на рис. 3.20.

Для медленных флуктуаций алгоритм усложняется:

Подставив в это соотношение и взяв интеграл, находим схему обнаружителя, показанную на рис. 3.18.

Рис. 3.20. Обнаружитель пачки быстро флуктуирующих импульсов

Рис. 3.21. Характеристики обнаружения флуктуирующих импульсов

На рис. 3.21 приведены характеристики обнаружения для этих случаев с Для одинаковых большая вероятность при обнаружении обеспечивается в случае быстрых флуктуаций. Следовательно, целесообразно убыстрить (декоррелировать) флуктуации отраженных сигналов, делая их независимыми от импульса к импульсу. Декорреляцию осуществляют путем изменения частоты зондирующих импульсов на величину за период повторения, причем Здесь наибольший размер цели

Обнаружение детерминированного сигнала на фоне коррелированной аддитивной гауссовой помехи. Будем считать, что случайный гауссов процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией рассматривается в интервале При дискретном времени где известна корреляционная матрица помехи симметричная с ненулевым

определителем, и обратная ей корреляционная матрица Причем алгоритм обращения корреляционной матрицы

где так называемый символ Кронекера, который равен 1 при или при

Пусть последовательность выборочных значений образует вектор Совместные плотности распределения вероятностей выборочных значений можно представить в виде

Найдем отношение правдоподобия

и перейдем к его логарифму для сравнения с порогом решения

Объединяя слагаемые этого выражения, не зависящие от в пороговое напряжение мпор, получаем алгоритм

Если обозначить отождествляя с весовыми коэффициентами фильтра, то алгоритм обнаружения становится более понятным:

Перейдем к непрерывному времени: тогда плотности распределения вероятностей переходят в гауссовы функционалы:

Для эти функционалы выглядят следующим образом:

Уравнение обращения корреляционной матрицы становится интегральным:

при этом отношение правдоподобия имеет вид

Введем весовой коэффициент фильтра обработки и получим алгоритм обнаружения

Перейдем в частотную область, для чего применим преобразование Фурье к левой и правой частям уравнения фильтра обработки:

С использованием интеграла свертки получаем

Полагая по теореме о спектре свертки имеем

где

Таким образом, Вычисляя интеграл Фурье от уравнения обращения корреляционной матрицы, находим

где

Решая уравнения (3.18) и (3.19) совместно и исключая приходим к уравнению коэффициента передачи оптимального фильтра (устройства):

На рис. 3.22, а показана структурная схема такого обнаружителя. Он состоит из последовательно включенных «обеляющего» фильтра с коэффициентом передачи и фильтра, оптимального для обнаружения сигнала на фоне «обеленной» помехи с коэффициентом передачи На рис. показано прохождение спектральных составляющих через "обеляющий" фильтр.

Обнаружение произвольного сигнала на фоне произвольной помехи с независимыми значениями. Входная реализация Плотность распределения вероятности помехи с независимыми значениями обозначим где номер периода повторения.

Рис. 3.22. Структура обнаружителя радиосигналов на фоне коррелированной помехи (а) и спектральная картина обеления помехи (б)

Отношение правдоподобия имеет вид

а

Разложим в ряд по степеням

тогда

Объединив в (3.22) часть сомножителей в функцию получим

Алгоритм показывает, что обнаружитель - многоканальное устройство с бесконечным числом каналов (рис. 3.22,а) в каждом из которых стоит блок нелинейной обработки БНО), осуществляющий нелинейное преобразование Число каналов стараются уменьшить, что можно сделать с некоторыми потерями, если отношение сигнала к

Рис. 3.23. Обнаружитель произвольного сигнала на фоне произвольной помехи, с независимыми значениями

помехе невелико. Для этого в (3.23) уменьшают число членов ряда. Так, в пределе при

где обнаружитель становится одноканальным (рис. 3.23,6). При и обнаружитель является асимптотически оптимальным. В частном случае, если помеха гауссовская:

то обнаружитель становится оптимальным с коррелятором или оптимальным фильтром на входе, поскольку линейная операция (рис. 3.23,в). Если рассматривать более сложный случай, когда помеха коррелированная, то структура обработки усложнится и на вход нужно добавить «обеляющий» фильтр (рис. 3.23,г).

Цифровое обнаружение. Цифровые обнаружители обрабатывают информацию, полученную с помощью аналого-цифрового преобразователя обычно с выхода детектора, в дискретизированную во времени и кодированную по уровню. Таким образом, преобразуется в сигналы 8, (рис. 3.24,а). В простейшем случае при бинарном квантовании сигналов

тогда

На выходе АЦП заданы условные плотности распределения вероятностей Вычислим вероятность появления единицы на -й позиции при наличии только шума:

Рис. 3.24. Иллюстрация работы цифрового обнаружителя: а - схема; б - квантование; в - вероятности превышения порога шумом и сигналом с шумом

Такая же вероятность при наличии сигнала:

где вероятности появления нуля на позиции.

Условные вероятности принятия случайной величиной 5 любого из двух возможных значений (0,1), показанных на рис. 3.24, б,

При статистически независимых наблюдениях

поэтому или

где весовой коэффициент:

Этот алгоритм соответствует структуре весового накопителя (интегратора). Если шум стационарный: а пачка импульсов имеет

прямоугольную огибающую Реш, то В этом случае алгоритм упрощается:

например, пусть распределение реализаций после детектора

тогда вероятности для одной реализации и

Если задана вероятность то порог квантования можно найти из соотношения

При и статистика пачки имеет биноминальное распределение:

где биномиальный коэффициент; наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

Понятно, что одинаковые вероятности можно получить при различных сочетаниях т.е. при разных сочетаниях порогов Рассмотренный метод обнаружения с накоплением бинарно-квантованных импульсов по любым к реализациям из соответствует так называемому обнаружителю Типа «к из

Обычно выбирают порог из соотношения Проигрыш аналоговому обнаружителю не превышает Пример схемы бинарного обнаружителя (обнаружитель в «скользящем» окне) показан на рис. 3.25.

Графики сигналов в различных точках схемы приведены на рис. 3.26,б. В режиме обзора пространства на вход поступают видеоимпульсы пачки, промодулированные по амплитуде вследствие движения диаграммы направленности антенны на рис.3.26,а). Селектор дальности (Сел пропускает на квантователь импульсы цели только с определенного элемента разрешения по дальности. Квантователь работает по алгоритму: если то на выходе появляется стандартный импульс а если то на рис. 3.26,а).

Таким образом, на регистр сдвига и реверсивный счетчик подается последовательность единиц и нулей в периодах повторения, где число импульсов в пачке на рис. 3.26,а). Регистр сдвига имеет число ячеек, равное и управляется тактовыми импульсами . С выхода стандартные импульсы попадают на вход и на суммирующий вход На вычитающий вход импульсы подаются с выхода Код числа накопленной пачки стандартных импульсов сравнивается в пороговом устройстве с порогом после чего выносится решение об обнаружении цели.

Рис. 3.25. Бинарный обнаружитель, работающий в «скользящем окне»

Рис. 3.26. Схема квантователя (а) и графики сигналов (б) в точках и 3 устройства рис. 3.26