9.6. Оценка параметров сигнала на фоне «белого» шума

Используем метод максимального правдоподобия. Пусть где "белый" гауссов шум. В этом случае (см. гл. 3)

Все параметры сигнала делятся на энергетические, для которых при и неэнергетические, для которых при

Рассмотрим энергетический параметр - амплитуду а точнее амплитудный множитель в соотношении

При

или

Оценка несмещенная и наиболее эффективная. Потенциальная точность оценки амплитуды

или относительная дисперсия при реальных шумах в области положительных частот

К неэнергетическим параметрам относятся, например, фаза, частота, время запаздывания. Оценка неэнергетических параметров осуществляется по формуле

Если, как прежде, обозначить корреляционный интеграл то условием оценки будет что соответствует структуре измерителя, показанной на рис. 9.1.

Пример I. Для определения потенциальной точности оценки фазы воспользуемся соотношением (9.14) и найдем

Тогда для оценки фазы сигнала имеем соотношение

Поскольку при

потенциальная точность

Для этого случая схема рис. 9.1 принимает вид, представленный на рис. 9.8.

Рис. 9.8. Измеритель фазы приходящего радиоимпульса

Здесь в многоканальный коррелятор опорный сигнал подается с линии задержки с отводами, обеспечивающими сдвиг фазы на величину -Потенциальная точность оценки фазы приходящего радиоимпульса может быть вычислена по найденному значению

Пример 2. Рассмотрим измеритель для оценки времени запаздывания сигнала со случайной начальной фазой и амплитудой

где Пусть

при

В соответствии с результатами гл. 3

где квадратурные корреляционные интегралы имеют вид

Максимально правдоподобная оценка, получаемая из соотношения

приводит к структуре измерителя, показанной на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Корреляционный (а) и фильтровой (б) измерители времени запаздывания

Известно, что выходное напряжение схемы оптимальной обработки сигнала с точностью до постоянного множителя совпадает с корреляционной функцией зондирующего сигнала Следовательно,

Воспользуемся известным соотношением

тогда

Запишем выражение для среднеквадратической (эквивалентной) ширины спектра сигнала:

тогда

Обозначая, как всегда, получаем

Пример 3. При расчете потенциальной точности измерителя смещения частоты сигнала со случайной фазой и флюктуирующей амплитудой (см. гл. 3)

составим отношение правдоподобия

где модуль корреляционного интеграла.

Оценка максимального правдоподобия определяется из уравнения приводит к схеме измерителя (рис. 9.10), состоящей из каналов, содержащих оптимальные фильтры, детекторы и схему выбора максимума. Аналогично расчету потенциальной точности измерителя времени запаздывания производится расчет потенциальной точности измерителя смещения частоты:

среднеквадратическая (эквивалентная) длительность сигнала:

Пример 4. Рассмотрим измеритель угловой координаты при обзоре в горизонтальной плоскости и пеленгации по методу максимума. При плавном обзоре пространства (а - угол поворота антенны; угловая скорость обзора) огибающая пачки на выходе приемника . Таким образом,

Пеленгационная характеристика может быть представлена в виде

где ширина пеленгационной характеристики на уровне 0,46. При этом

Рис. 9.10. Схема измерителя частоты

Следовательно, поскольку получаем

Так как где диаметр антенны,

Очевидно, что повышение точности оценки возможно за счет увеличения или за счет , но не может быть больше чем и целесообразно использовать сигналы с максимальным Например, спектр сигнала с балансной модуляцией несущего колебания

гармоническим колебанием состоит из двух компонент, расположенных по его краям (рис. 9.11, а). При этом энергия одной составляющей а общая суммарная энергия сигнала Тогда эффективная ширина спектра этого сигнала

Такой сигнал будет реализовывать наилучшую точность оценки, поскольку получаем наибольшее

При использовании ЛЧМ-сигнала со сплошным равномерным спектром (рис. 9.11, б) в той же полосе частот, причем форма огибающей спектра может быть аппроксимирована прямоугольником, получаем т.е. точность оценки при использовании ЛЧМ-сигнала в раз хуже по сравнению с балансно-модулированным сигналом.

Рис. 9.11. Спектры сигналов оптимального для точных измерений и оптимального для разрешения целей (б)