15.3. Оценка параметров траектории

Пусть измеряемый параметр - дальность случайный процесс, и является аддитивной смесью полезного сигнала и помехи Полезный сигнал - процесс изменения во времени независимой координаты цели - дальности представляется в виде полинома, степень которого определяется принятой моделью траектории:

Здесь коэффициенты полинома имеют смысл производных координаты (например дальности, скорости, ускорения и т.д.). Они называются параметрами траектории цели. Совокупность параметров записанная в виде столбца, образует -мерный вектор параметров траектории

Помеха, под которой понимают ошибки измерения координаты, представляет собой нормальный случайный процесс с известной корреляционной функцией и математическим ожиданием, равным нулю. Процесс измерения состоит в получении выборки значений полинома в моменты

Совокупность значений образует -мерный вектор-столбец выборочных значений:

Измерение или оценка осуществляется в процессе фильтрации или сглаживания.

Существует ряд методов сглаживания параметров траектории. Наиболее простой метод - оценка параметров траектории по фиксированной выборке измеряемых координат, при этом для хранения обрабатываемых результатов нужен значительный объем памяти, а выдача результатов фильтрации происходит с задержкой. Более совершенен метод рекуррентного последовательного сглаживания параметров траектории, полученный на основе теории оптимальной фильтрации.

Наконец, широко применяется метод скользящего сглаживания параметров траектории, в котором память фильтров ограничивается за счет замораживания коэффициентов сглаживания, а просмотр траектории производится в скользящем окне.

На рис. 15.2 показана структура так называемого -фильтра для скользящего сглаживания параметров траектории, близкой к траектории прямолинейного равномерного движения.

Рис. 15.2. Структура -фильтра

Входными сигналами сглаживающего фильтра являются последовательности отсчетов и начальные значения параметров которые вводятся в фильтр в момент до начала сопровождения. На выходе фильтра получается сглаженное значение координаты сглаженное значение скорости изменения координаты и экстраполированное значение координаты отнесенное к моменту На сумматоре получают разность между наблюдаемым и экстраполированным значениями координаты. Затем суммируют экстраполированное значение координаты и взвешанное значение сигнала ошибки в сумматоре В начальный момент сумматор использует исходное значение координаты. Оценка скорости изменения координаты производится на сумматоре Для этого из памяти фильтра берется значение скорости в предыдущий момент и сигнал ошибки с весом Для начала процесса сопровождения необходим ввод значения скорости. Сумматор по предыдущим значениям координаты и ее скорости вычисляет экстраполированное значение координаты. Синтез оптимального фильтра сглаживания (оценки) проводится с использованием функции правдоподобия В нашем случае эта функция для n-мерной выборки коррелированных нормально распределенных случайных величин в матричном представлении имеет вид

Удобнее иметь дело с натуральным логарифмом функции правдоподобия:

Для нахождения оценок продифференцируем (15.11) по

Полагая приравниваем производную нулю:

Поскольку является вектор-строкой, производную представим в виде матрицы:

Векторное уравнение правдоподобия имеет вид

Если обозначить то решением этого уравнения будет соотношение

Алгоритм обработки получается при конкретизации статистики помех Точность измерения параметров траектории зависит от корреляционной матрицы вектора

Поскольку вектор пофешностей измерений) и то

Обычно матрица симметрична относительно диагонали и, следовательно,

Если использовать многомерный фильтр Калмана, то его алгоритм и структура находят путем конкретизации оптимального соотношения рекуррентной фильтрации. Без вывода приведем результаты такого синтеза.

Пусть -мерный вектор состояния задан линейным векторным разностным уравнением

где переходная матрица состояния размера матрица размера -мерный вектор гауссовских величин, для которого матрица размера - символ Кронекера; задает начальное состояние.

Уравнение (15.15) характеризует движение матрица задает динамику движения, а матрица определяет преобразования возмущений, воздействующих на Наблюдаемый векторный процесс имеет вид

где матрица размера -мерный вектор погрешностей измерений (шум).

Процесс последовательного формирования оценки вектора состояния описывается соотношением

Например, если нужно оценить параметры прямолинейной траектории, то при равномерных и равноточных измерениях и мерности задачи, равной двум, получим

Совместное решение алгоритмов (15.16) и (15.17) позволяет найти соотношение

Алгоритму (15.18) соответствует структура фильтра Калмана (см. рис. 9.16). Работа такого фильтра рассмотрена в гл. 9.

Фильтр Калмана является линейным рекуррентным фильтром, что позволяет последовательно сглаживать параметры траекторий. Однако при реализации таких фильтров по мере вычисления коэффициентов их величина уменьшается и стремится к нулю, поэтому они перестают зависеть от входных данных, что делает невозможным обнаружение маневров цели.

Кроме того, при больших к коэффициенты соизмеримы с величиной вычислительных ошибок из-за многократного обращения матриц. В результате фильтры становятся неустойчивыми.

Имеются приемы, препятствующие неустойчивости фильтра, например регуляризация, которая сводится к добавлению в фильтр шумов.