Глава 9. Измерение параметров сигнала

В радиолокации определение координат и элементов движения объектов в пространстве осуществляется путем измерения параметров принимаемых радиосигналов, отраженных или излученных объектом. Поскольку такое измерение длится ограниченное время и происходит на фоне шумов и помех, задача измерения параметров сигнала является статистической. Оптимальное решение этой задачи ищут методами теории статистических решений - так называемой теории оценивания параметров. Несмотря на сходство терминов "измерение" и "оценивание", первый чаще употребляется при синтезе и анализе технического построения измерителей, а второй - при математическом синтезе и анализе алгоритмов и структур устройств оценивания параметров сигнала.

Для решения задачи оптимального оценивания параметров сигналов возможны два основных подхода:

1) параметр считается случайной величиной с априорной плотностью распределения вероятностей при этом можно использовать байесов подход;

2) параметр считается неслучайной величиной, плотность распределения вероятностей наблюдений которой рассматривается как функция неслучайного параметра так называемая функция правдоподобия при этом можно использовать метод максимального правдоподобия для получения оптимальных оценок.

9.1. Байесовы оценки

При нахождении процедур измерения или оценивания параметров сигналов используем математический аппарат и обозначения, принятые в гл. 3. Пусть истинное значение параметра, которое считаем случайной величиной. Его оценку или измеренное значение обозначим . Введем функцию потерь где при этом для получения наилучшей оценки нужно минимизировать средний риск, характеризующий погрешности измерения:

или апостериорный риск

где решающая функция; пространство параметров - пространство реализаций у.

Минимальный риск получаем при использовании правила оценки

Пусть функция потерь квадратичная и равна тогда

Поскольку первый член зависит, а второй не зависит от 5, то при условии Следовательно,

Дисперсия отклонения байесовой оценки от истинного значения

Используем теорему Байеса и найдем связь

Алгоритмы (9.3) и (9.4) легко трансформируются в соотношения

Эти алгоритмы используют при синтезе структур измерителей. Байесовы оценки являются математическим ожиданием оцениваемой величины и оптимальны по критерию минимума среднего квадрата ошибки.

Пусть функция потерь равна где - дельта-функция, тогда

Чтобы необходимо Оценка Байеса при оптимальна по критерию максимума апостериорной вероятности и является максимальной апостериорной оценкой, которую можно найти из условий

или