От переводчика

Книга Г. Зейферта и В. Трельфалля «Variationsrechnung im Grossen», русский перевод которой предлагается вниманию читателя, содержит изложение главных результатов теории Морса.

Следует, однако, заметить, что та область математики, которую принято называть вариационным исчислением в целом, далеко не исчерпывается теорией Морса. Теория Морса представляет собой применение к решению проблем вариационного исчисления методов теории гомологии. Как раз наиболее трудные проблемы вариационного исчисления в целом, связанные, например, с оценкой минимального числа геометрически различных геодезических, не могут быть решены средствами этой теории и требуют для своего решения более мощных топологических средств. Последние были найдены советскими математиками Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом, которые с помощью созданной ими замечательной теории доказали, в частности, существование трех геометрически различных замкнутых геодезических на всякой замкнутой поверхности рода нуль. В последнее время Л. А. Люстерник с помощью теории верхних гомологий и их произведений в бесконечномерных пространствах получил аналогичные теоремы существования для многомерных многообразий.

В переводе полностью сохранен текст оригинала, если не считать мелких исправлений, вызванных явными просмотрами авторов. Лишь незначительно изменены обозначения. Литературные ссылки авторов всюду, где это возможно, заменены ссылками на сочинения, имеющиеся на русском языке. Добавлено несколько примечаний, всюду отмеченных как примечания переводчика.

Из предисловия авторов

В предлагаемой монографии мы даем свободное изложение результатов вариационного исчисления в целом, которыми наука обязана Марстону Морсу и начала которых восходят к А. Пуанкаре, введшем топологию в анализ. Указания на относящуюся сюда литературу читатель найдет в двух следующих сочинениях М. Морса:

I. The calculus of variations in the large. Amer. math. soc. colloquium publ. Vol. 18. (New York 1934).

II. Funktional topology and abstract variational theory. Memorial des sciences math. (Paris 1938).

Приведем еще для сравнения

III. С. Caratheodory, Variationsrechnung (Leipzig 1934), где в прибавлении дан краткий отчет о некоторых важных работах.

Дальнейшие литературные указания находятся в примечаниях в конце книги.

В соответствии с целью этой монографии мы оставляем в стороне понятие индексной формы, как и аналитическое истолкование результатов, зато разрабатываем со всей возможной чистотой менее известный топологический метод.

Ради простоты и ясности мы многократно жертвуем возможной общностью. Так, мы ограничиваемся проблемой геодезических линий, вместо того чтобы рассматривать любые положительные и положительно-регулярные вариационные проблемы; только в последнем параграфе мы переходим от закрепленных концов к произвольным граничным многообразиям, и мы предполагаем, что коэффициенты формы, определяющей риманову метрику, трижды непрерывно дифференцируемы, хотя стоило бы небольшого труда вывести уже из их двукратной непрерывной дифференцируемости требуемую двукратную непрерывную дифференцируемость длины геодезической по локальным координатам ее концов. Зато, за немногими исключениями, мы сами применяем предложения в нужной нам форме в тексте или в примечаниях, например, теорему существования элементарных длин.