§ 19. Основная теорема

Убедившись в том, что аксиомы I и II имеют место, мы можем перенести на функциональное пространство те соотношении между типовыми числами и числами Бетти, которые были выведены в главе

Теорема Если на римановом многообразии существует только конечное число геодезических ограниченной длины, соединяющих две данные точки то

при этом есть -мерное число Бетти принадлежащего вариационной проблеме функционального пространства сумма -мерных типовых чисел всех геодезических на соединяющих А с В, или, что по § 17 то же самое, сумма -мерных типовых чисел всех критических значений функций на

Это предположение есть не что иное, как следствие теоремы II § 5 (стр. 34), которая не требует иных предположении, кроме справедливости аксиомы

В результате применения теоремы § 6 (стр. 37) получается другое предложение, которое в дальнейшем послужит нам для оценки чисел Бетти пространства

Теорема II. Для того, чтобы в теореме I имел место знак равенства:

достаточно выполнение двух условий:

I. Существует только конечное число геодезических ограниченной длины, соединяющих А с В (что уже предположено в теореме .

II. Все относительные циклы из допускают дополнение.

Условимся говорить, что обладает бесконечной связностью, если сумма чисел Бетти всех размерностей бесконечна:

В этой сумме допускаются и бесконечные слагаемые.

Основной результат всех предпринятых нами до сих пор исследований может быть высказан теперь следующим образом:

Теорема III (Основная теорема). Если функциональное пространство вариационной проблемы имеет бесконечную связность, то существует бесконечное множество геодезических, соединяющих А с В.

Доказательство.

Если бы множество геодезических, соединяющих А с В, было конечно, то была бы применима теорема По теореме II § 14 (стр. 74) каждая геодезическая, ведущая из увеличивает сумму

только на конечное число. Следовательно, эта сумма, а вместе с ней, по теореме I, и сумма была бы конечна, что противоречит предположению бесконечной связности пространства