§ 13. Функциональное пространство

1. Не следует думать, что только что метризованное многообразие есть то пространство, которое будет в дальнейшем играть роль окрестного пространства главы эта роль будет принадлежать пространствам, «точки» которых суть кривые на Мы конструируем сначала пространство точками которого являются все без исключения кусочно-гладкие кривые на Множество этих кривых превращается в метрическое пространство (стр. 19) благодаря следующему определению:

Расстояние двух кусочно-гладких кривых на есть максимум расстояний соответственных точек кривых увеличенный на абсолютную величину разности их длин. Так как в метрическом пространстве расстояние двух точек есть непрерывная функция обеих точек, то такой максимум существует. Мы употребляем знак для обозначения расстояния в любом метрическом пространстве, в частности, в как и в

2. При этом определении аксиомы тождества и симметрии, очевидно, выполнены. Аксиома треугольника

получается следующим образом: возьмем на а и с две соответственные точки с наибольшим возможным расстоянием. Пусть В соответственная точка на 6; если а и с суть вырожденные кривые, то В есть любая точка на Тогда, обозначая длину кривой а через мы будем иметь:

Следовательно, благодаря нашему мероопределению действительно стало метрическим пространством.

Рис. 15. Расходящаяся последовательность

Пример. есть плоскость замкнутая бесконечно-удаленной точкой в сферу. Рассмотрим последовательность кривых

(рис. 15). При к амплитуды и длины волн этих синусоид стремятся к нулю, и кривые подходят все ближе и ближе к отрезку оси Тем не менее, последовательность кривых не сходится к этому отрезку в смысле нашего мероопределения, так как эти кривые имеют одну и ту же длину, которая больше и потому не может стремиться к длине отрезка; более того, эта последовательность вообще не имеет в VI предельных точек.

3. Мы установим теперь ряд вспомогательных предложений относительно пространства VI, которыми позже должны будем воспользоваться. Речь всегда будет идти, если даже это и не будет специально оговорено, о кусочно-гладких кривых, на которых мы будем пользоваться вкачестве параметра приведенной длиной дуги. Каждой кривой а отвечает определенная длина есть функция, определенная на

Длина кусочно-гладкой кривой а есть непрерывная функция от а. Именно, если две кривые удалены друг от друга менее чем на то их длины и подавно отличаются друг от друга менее чем на

Функция не была бы непрерывной функцией кривой а (но только непрерывной снизу), если бы мы не включили в определение расстояния двух кривых абсолютную величину разности их длин. Так, последовательность кривых из приведенного выше примера была бы тогда сходящейся, но последовательность длин этих кривых не сходилась бы к длине предельной кривой.

4. Пусть точка на кривой с, отвечающая значению параметра; тогда непрерывно зависит от Таким образом, с есть здесь точка из точка интервала числовой прямой, и точка на (ср. определение непрерывных функций в §

Доказательство.

Пусть со данная кривая, данное значение параметра, и Для заданного положительного числа можно найти такое положительное число что все точки кривой для которых

удалены от Со менее чем на Пусть с любая кривая, для которой

Так как в справедлива аксиома треугольника, то

что и требовалось доказать.

5. Если две кусочно-гладкие кривые, и конечная точка кривой а совпадает с начальной точкой кривой то при последовательном прохождении получается новая кусочно-гладкая кривая а сумма кривых Если а (соответственно есть вырожденная кривая, то а (соответственно а).

непрерывно зависит от

Доказательство.

Рассмотрим наряду саиб две соседние кривые (конечная точка кривой а должна совпадать с начальной точкой кривой и положим Пусть

Мы должны найти оценку для Если с состоит из одной точки, то, очевидно, Если с не состоит из одной точки, то частям кривой с отвечают определенные части кривой с Пусть конечные точки кривых Ввиду того, что длина дуги кривой с между равна

Рис. 16

Отсюда следует, что соответственные точки кривых как и соответственные точки кривых и удалены друг от друга менее чем на Действительно, длина дуги между соответственными точками кривых самое большее равна длине дуги между ибо кривые связаны линейным соответствием. Но в таком случае то же соотношение справедливо и для расстояний между соответственными точками. А так как, по предположению, соответственные точки кривых удалены друг от друга менее чем на то соответственные точки кривых и соответственные точки кривых и т.е. соответственные точки кривых с и с, удалены друг от друга менее, чем на Длины кривых с и с отличаются также менее чем на так что окончательно

Но эта величина стремится к нулю вместе с

6. Пусть с снова кусочно-гладкая кривая с параметром (приведенная длина дуги). Возьмем два числа , удовлетворяющие неравенствам

При прохождении параметра через интервал получается некоторая кривая, отрезок кривой с, которая является опять-таки кусочно-гладкой и будет обозначаться через .

непрерывно зависит от

Рис. 17

Доказательство.

Рассмотрим соседнюю кривую с и на ней отрезок

Мы должны оценить расстояние между кривыми Для этого мы сравним обе кривые с кривой Прежде всего, из неравенства следует неравенство

так как соответственные точки кривых суть одновременно соответственные точки , и так как

Далее, длина дуги между соответственными точками кривых меньше или самое большее равна большей из длин двух дуг: между , и между , и, следовательно, не превышает

Такое же неравенство справедливо поэтому и для расстояний соответственных точек кривых Наконец, абсолютная величина разности длин этих кривых равна поэтому

Из (1) и (2) следует, что

величина, которая стремится к нулю вместе с

7. Особое значение среди гладких кривых риманова многообразия имеют геодезические. Мы заимствуем из вариационного исчисления следующие факты.

Существует положительное число со следующими свойствами:

I. Всякая геодезическая, длина которой не превышает , короче всех других кусочно-гладких кривых, соединяющих ее концы.

II. Всякие две точки многообразия расстояние которых не превышает могут быть соединены геодезической длины в силу I существует в точности одна такая геодезическая.

III. Пусть и с дуга геодезической, упомянутая в II. Если приведенная длина дуги на с, и точка кривой с, отвечающая значению то локальные координаты точки С суть дважды непрерывно дифференцируемые функции локальных координат точек и параметра Длина кривой с есть непрерывная, а для даже дважды непрерывно дифференцируемая, функция локальных координат концов

Мы выберем теперь для нашего риманова многообразия раз навсегда определенное число обладающее свойствами I IV, и назовем его элементарной длиной. Всякую геодезическую, длина которой не превосходит мы будем называть элементарным отрезком; в силу I он однозначно определяется своими концами. Из III и IV следует, что

V. Элементарный отрезок непрерывно зависит от своих концов.

Под элементарным полигоном мы понимаем последовательность конечного числа элементарных отрезков, при условии, что конечная точка каждого из них (кроме последнего) совпадает с начальной точкой следующего. При этом допускаются и элементарные отрезки длины 0. Может случиться, что два различных элементарных полигона определяют одну и ту же точку в например, из одной и той же геодезической можно получить сколько угодно элементарных полигонов, разбивая ее различными способами на элементарные отрезки. Элементарные отрезки, из которых слагается элементарный полигон, называются его сторонами, концы сторон — его вершинами.

8. Под хордой

кусочно-гладкой кривой а, длина которой не превышает мы понимаем элементарный отрезок, соединяющий начальную точку кривой а, с ее конечной точкой. Так как концы кривой а непрерывно зависят от а, и так как (по V) элементарный отрезок непрерывно зависит от своих концов, то

Хорда непрерывно зависит от кусочно-гладкой кривой а. Хорда и кривая рассматриваются при этом как точки пространства

9. Пусть

бесконечная последовательность кусочно-гладких кривых, каждая из которых имеет длину, не превышающую Пусть последовательность соответствующих хорд

является сходящейся, и пусть

Предположим, далее, что последовательность длин кривых а также является сходящейся, и что при этом

тогда сходится и последовательность кривых (3), и

Доказательство.

Пусть начальные точки кривых будут их конечные точки — а есть однозначно определенный точками элементарный отрезок. Если т. е. а есть вырожденная кривая, то утверждение очевидно. Если то мы должны показать, что для всякого существует такое натуральное число что для всех соответственные точки кривых удалены друг от друга менее чем на Если бы это было неверно, то для сколь угодно большого можно было бы выбрать на а точку отстоящую от соответственной точки на а не менее чем на Можно считать, перейдя в случае необходимости к подпоследовательности, что последовательность сходится к некоторой точке а последовательность к некоторой точке лежит на элементарном отрезке Но и лежит на а, ибо в противном случае что противоречит (5). Пусть, например, лежит на отрезке кривой а. Пусть, далее, значение параметра в точке на а и, следовательно, в то же время значение параметра в точке на и значение параметра в точке на а. Так как то Длина дуги кривой а равна

Переходя к пределу и пользуясь (5), мы найдем:

Такое же противоречие получается и в том случае, если лежит на отрезке кривой а.

10. Под -деформацией множества кусочно-гладких кривых на мы понимаем -деформацию соответствующего множества точек пространства (ср. При этом функция есть, конечно, как всегда, длина кривой.

Рис. 18

Позже мы будем постоянно строить такие -деформации следующим образом: пусть с — кусочно-гладкая кривая на длина которой не превышает элементарной длины Заменим дугу кривой с между точками с значениями параметра соединяющим эти точки элементарным отрезком, в то время как отрезок кривой с между точками с значениями параметра оставим без изменения. Тогда из кривой с получатся кривая На изображена жирной линией. При мы получаем самое кривую с, при хорду Когда растет от до 1, кривая с испытывает -деформацию в хорду Что это действительно деформация, т. е. что кривая непрерывно зависит от следует из формулы:

и 8). Эта деформация есть -деформация, т.е. при при ибо хорда есть в то же время хорда кривой и потому она заведомо не длиннее, чем дуга кривой в которую она вписана.

11. Вернемся теперь к вариационной проблеме §11: найти на все геодезические между Для того чтобы иметь возможность применить методы главы II, мы вводим функциональное пространство всех кусочно-гладких кривых, ведущих из причем расстояние между двумя такими кривыми, как и в есть максимум расстояний соответственных точек плюс абсолютная величина разности длин, есть, таким образом, часть пространства всех вообще кусочно-гладких кривых и тем самым метрическое пространство. Длина кривой есть непрерывная функция на