§ 15. Примеры типовых чисел (n-мерная сфера)

Пример 1. Двумерная сфера.

Рассмотрим вариационную проблему геодезических линий на единичной сфере

евклидова пространства с декартовыми координатами Закрепленными концами пусть будут точки со сферическим расстоянием

например,

Дуги геодезических, типовые числа которых мы хотим определить, суть дуги больших кругов с длинами:

Прежде всего мы должны установить на сфере элементарную длину . В качестве можно, очевидно, взять произвольное положительное число, меньшее чем ; мы выберем какое-нибудь число, заключенное между

Первый способ. Начнем с дуги длины Так как есть вообще кратчайшая кривая, соединяющая то соответствующая ей точка пространства есть точка минимума функции Следовательно, ее типовые числа суть:

Перейдем к следующей дуге длины Чтобы ввести промежуточные многообразия, разобьем дугу точками на три равные части, каждая из которых имеет длину В качестве (одномерных) промежуточных многообразий мы выберем отрезки дуг больших кругов, ортогонально пересекающих кривую в точках и в качестве гауссовой координаты на декартову координату которую мы используем также как гауссову координату на Рассмотрим на точки с координатами Эти точки определяют некоторый элементарный полигон с тремя сторонами, ведущий из длина которого равна

Поэтому при функция имеет невырожденную стационарную точку с индексом инерции 1, и типовые числа суть:

Обратимся теперь к общему случаю. Пусть дуга длины соединяющая точки Разобьем на дуг длины при помощи точек и используем в качестве промежуточных многообразий ортогональные к отрезки дуг больших кругов, на которых числа примем за гауссовы координаты. Тогда длина геодезической ломаной, определенной точками этих промежуточных многообразий и соединяющей будет:

члены по меньшей мере третьего порядка.

Квадратичные члены образуют здесь невырожденную квадратичную форму с индексом инерции Поэтому типовые числа суть:

Второй способ. Мы укажем еще один метод определения типовых чисел, который мы заимствуем у Морса; он обходится вовсе без вычислений.

Мы рассматриваем сразу геодезическую линию длины Пусть А есть точка, диаметрально противоположная точке А. Выберем постоянных удовлетворяющих неравенствам:

и обозначим через расположенную на нашей сфере окружность со сферическим радиусом и центром А! или А, в зависимости от того,

нечетно или четно. Пусть первая точка, в которой кривая если перемещаться по ней от а к в, встречает окружность Дуги, на которые промежуточные точки разбивают имеют длины:

Так как все эти длины меньше то точки могут быть использованы как промежуточные точки на . В качестве промежуточного многообразия мы воспользуемся достаточно малой окрестностью точки на окружности На рис. показан случай

Рис.

Если выбрать теперь на каждой окружности по одной точке то этим будет определен элементарный полигон с вершинами:

Длины его сторон, взятых по порядку, не превосходят соответствующих выражений (1). Поэтому длина элементарного полигона (2) не превосходит Она равна этому числу только в том случае, если в чем можно убедиться, проходя элементарный полигон в обратном порядке. Следовательно, функция имеет на содержащемся в топологическом произведении

(представляющем собой элемент в -мерном числовом пространстве) изолированный максимум в точке Отсюда следует, по теореме II § 7, что -мерное типовое число в точке равно единице, в то время как все остальные типовые числа равны нулю.

В качестве негомологичного нулю относительного -мерного цикла множества можно взять само как-либо триангулированное топологическое произведение . Сверх того, мы видим,

что каждый относительный цикл допускает дополнение в смысле § 6 (стр. 36). Именно, дополнение заданного -мерного цикла есть непрерывный образ в топологического произведения

окружностей), — замечание, которое позже будет нам полезно. Пример -мерная сфера.

Только что использованный метод может быть без существенных изменений применен к решению вариационной проблемы геодезических линий с закрепленными концами на единичной -мерной сферы.

На месте окружностей оказываются тогда -мерные сферы. Топологическое произведение окрестностных многообразий получает, таким образом, размерность Типовые числа геодезической суть поэтому:

Мы считаем нелишним подтвердить этот результат путем перенесения на -мерный случай также и первого способа примера 1. Пусть

уравнение -мерной сферы -мерного евклидова пространства. Пусть координаты закрепленных концов суть:

так что их сферическое расстояние равно Мы начнем с геодезической линии представляющей собой дугу большого круга длины

Разобьем двумя точками на три дуги, каждая из которых имеет длину и выберем в качестве промежуточных многообразий куски ортогональных к больших гиперсфер (размерности с гауссовыми координатами:

Соединяющий элементарный полигон, определенный точками

имеет длину:

Чтобы вычислить квадратичные члены тейлоровского разложения функции в окрестности нулевой точки, нам вовсе не нужно знать функцию во всех подробностях; достаточно воспользоваться следующими ее свойствами:

Соотношения 2 и 3 очевидны, соотношение 4 следует из того, что при зеркальном отображении евклидова пространства

соединяющий элементарный полигон, определенный промежуточными точками

переходит в соединяющий элементарный полигон, определенный точками

и что при этом зеркальном отображении длины остаются неизменными. Из формул 14 следует, что, за исключением производных

которые могут быть вычислены из 1, все производные второго порядка функции равны нулю. Поэтому тейлоровское разложение функции в окрестности нулевой точки ее аргументов выглядит следующим образом:

члены не ниже третьего порядка.

Вообще, тейлоровское разложение функции в окрестности геодезическои линии длины имеет вид:

При этом предполагается, что промежуточных многообразий выбраны на равных расстояниях друг от друга, и что локальные координаты установлены на них так же, как в случае двух промежуточных многообразий. Так как квадратичная форма, образованная квадратичными членами этого разложения, невырождена, и ее индекс инерции равен то типовые числа суть: