Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 15. Примеры типовых чисел (n-мерная сфера)Пример 1. Двумерная сфера. Рассмотрим вариационную проблему геодезических линий на единичной сфере
евклидова пространства с декартовыми координатами
например,
Дуги геодезических, типовые числа которых мы хотим определить, суть дуги больших кругов с длинами:
Прежде всего мы должны установить на сфере элементарную длину Первый способ. Начнем с дуги
Перейдем к следующей дуге
Поэтому при
Обратимся теперь к общему случаю. Пусть
Квадратичные члены образуют здесь невырожденную квадратичную форму с индексом инерции
Второй способ. Мы укажем еще один метод определения типовых чисел, который мы заимствуем у Морса; он обходится вовсе без вычислений. Мы рассматриваем сразу геодезическую линию
и обозначим через нечетно
Так как все эти длины меньше
Рис. Если выбрать теперь на каждой окружности
Длины его сторон, взятых по порядку, не превосходят соответствующих выражений (1). Поэтому длина элементарного полигона (2) не превосходит
(представляющем собой элемент в В качестве негомологичного нулю относительного что каждый относительный цикл допускает дополнение в смысле § 6 (стр. 36). Именно, дополнение заданного
Только что использованный метод может быть без существенных изменений применен к решению вариационной проблемы геодезических линий с закрепленными концами на единичной На месте окружностей
Мы считаем нелишним подтвердить этот результат путем перенесения на
уравнение
так что их сферическое расстояние равно Разобьем
Соединяющий
имеет длину:
Чтобы вычислить квадратичные члены тейлоровского разложения функции
Соотношения 2 и 3 очевидны, соотношение 4 следует из того, что при зеркальном отображении евклидова пространства
соединяющий
переходит в соединяющий
и что при этом зеркальном отображении длины остаются неизменными. Из формул 14 следует, что, за исключением производных
которые могут быть вычислены из 1, все производные второго порядка функции
Вообще, тейлоровское разложение функции
При этом предполагается, что
|
1 |
Оглавление
|