§ 10. Теорема о конечности типовых чисел

В § 8 мы вычислили типовые числа невырожденных стационарных точек при помощи индекса инерции квадратичной формы в разложении Тейлора. Если отбросить ограничение невырожденности стационарных точек, то этот метод отказывает. Тем не менее следующая важная для приложений теорема оказывается справедливой:

Теорема о конечности типовых чисел. Пусть произвольная функция переменных определенная и дважды непрерывно дифференцируемая в окрестности нулевой точки Если нулевая точка есть изолированная стационарная точка, то все типовые числа конечны; в частности, все типовые числа, начиная с равны нулю.

Доказательство.

Пусть цилиндрическая окрестность точки лежащая в (открытая) сферическая окрестность точки вторая цилиндрическая окрестность точки замыкание которой лежит в Пусть высоты окрестностей 0- и Обозначим через части этих окрестностей, лежащие в области меньших значений Рис. 14 иллюстрирует все это на примере функции Нужно показать, что в имеется только конечное число гомологически независимых -мерных циклов

Пусть такой относительный цикл. Мы вправе предположить, что он лежит даже в так как путем его подразделения и удаления несодержащих симплексов можно перейти к гомологичному ему относительному циклу, лежащему в Проведем из всех точек границы цикла ортогональные траектории до их встречи с гиперповерхностью Вдоль этих ортогональных траекторий можно продеформировать в некоторый цикл лежащий в Присоединяя к цепь, обметенную циклом в процессе этой деформации, мы получим лежащую в цепь с границей лежащей в

Пусть теперь лежащий в конечный -мерный комплекс, содержащий пересечение такой комплекс существует, так как замыкание множества есть компактная часть открытого множества На рисунке состоит из двух отдельных треугольников.

Рис. 14

Очевидно, лежит в Мы покажем, что если

то

Так как в имеется только конечное число гомологически независимых абсолютных -мерных циклов, то этим наша теорема будет доказана.

Итак, пусть Тогда в существует цепь с границей Цепь — есть абсолютный цикл в Он является границей некоторой цепи из 11, которую можно получить, например, проектируя цикл из точки может и не лежать в Но с помощью деформации теоремы § 9 (стр. 49) его можно перевести в некоторую цепь лежащую в При этой деформации сам цикл перейдет в некоторую цепь из Мы имеем так что или т.е. в конце концов

что и требовалось доказать. Так как в всякий цикл размерности не ниже гомологичен нулю, то для Этим теорема доказана.

Задача. Функция

имеет нулевую точку эвклидова пространства своей изолированной стационарной точкой. Вычислить типовые числа нулевой точки и указать гомологически независимые относительные одномерные и двумерные циклы.