Глава 1. Числа Бетти и типовые числа

§ 1. Окрестностное пространство и непрерывное отображение

Напомним те топологические средства, которые существенны для вариационного исчисления в целом.

1. Окрестностное пространство есть множество элементов, называемых точками, в котором для каждой точки определены окрестности

Окрестности суть подмножества множества удовлетворяющие следующим двум аксиомам:

a) Каждая окрестность точки содержит точку .

b) Каждое множество, содержащее некоторую окрестность точки также есть окрестность точки

2. Этого определения достаточно, чтобы ввести в понятие непрерывной функции: вещественная функция непрерывна в точке пространства если для каждого положительного числа существует окрестность точки в которой уклоняется от менее чем на Функция непрерывна на всем пространстве если она непрерывна в каждой его точке.

3. Пусть другое окрестностное пространство, и каждой точке из поставлена в соответствие некоторая точка из (обратное не предполагается). Это отображение называется непрерывным в

точке из если для каждой окрестности образа точки существует окрестность точки образ которой лежит в Если отображение непрерывно в каждой точке пространства то оно называется непрерывным отображением

4. В силу изложенного, непрерывная функция может рассматриваться как непрерывное отображение пространства в числовую прямую, представляющую собой особое окрестностное пространство. Это понятие функции мы должны обобщить на другие окрестностные пространства, отличные от числовой прямой, и на случай нескольких независимых переменных точек. Пусть даны окрестностные пространства и пусть система переменных точек в них. Пусть далее каждой такой «системе аргументов», взятой из некоторой совокупности, соответствует определенная точка у окрестностного пространства Мы называем тогда у функцией от

Функция непрерывна для системы аргументов если для каждой окрестности существуют окрестности такого рода, что при любом выборе системы в этих окрестностях, для которой вообще определена, лежит в Если функция непрерывна для каждой системы аргументов, для которой она определена, то мы говорим также, что точка у непрерывно зависит от точек Позже мы будем иметь дело с известными кривыми на многообразии которые явятся «точками» некоторого функционального пространства и значениями функции у, в то время как аргументами будут варьирующиеся на концы кривых.

5. Отображение называется топологическим, если оно взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно. Два окрестностных пространства, которые могут быть топологически отображены друг на друга, называются гомеоморфными.

6. Любое подмножество окрестностного пространства само превращается в окрестностное пространство, если объявить окрестностями точки из по отношению к пересечения всевозможных окрестностей (и, следовательно, все подмножества содержащие такие окрестности).

7. В главе III мы будем иметь дело с особыми окрестностными пространствами — с метрическими пространствами. Множество «точек» называется метрическим пространством, если между каждыми двумя точками определено неотрицательное расстояние удовлетворяющее следующим аксиомам:

a) Аксиома тождества: тогда и только тогда, когда

b) Аксиома симметрии:

c) Аксиома треугольника:

Метрическое пространство становится окрестностным пространством, если принять следующее определение окрестности: множество тогда и только тогда есть окрестность точки когда существует такое положительное число что все точки, удаленные от менее чем на принадлежат этому множеству. В частности, множество точек для которых называется сферической окрестностью точки точнее, ее (открытой) -окрестностью. Мы обозначаем эту окрестность через

Каждое подмножество метрического пространства есть, очевидно, опять метрическое пространство.

8. Простейшими примерами метрических пространств являются -мерное евклидово пространство и его подмножества, например, кривые и поверхности. В под расстоянием двух точек с декартовыми координатами понимают число

В главе III мы должны будем рассматривать также метрические пространства, не гомеоморфные подмножествам эвклидова пространства, например, такие, точками которых являются кривые на многообразиях. Эти пространства значительно отличаются от пространств, привычных нашему наглядному представлению, например, они не компактны в малом, т.е. содержат в сколь угодно малой окрестности точки бесконечные подмножества без предельных точек.

9. Мы хотим теперь определить деформацию некоторого подмножества окрестностного пространства Пусть каждой точке из и каждому числу единичного интервала

отнесена некоторая точка из пусть и пусть точка непрерывно зависит от в смысле Каждой окрестности отвечают, следовательно, такие окрестности что принадлежит к всякий раз, как лежит в естественно в

Пусть множество всех точек отвечающих всем из и всем из и множество точек Тогда мы скажем, что деформируется в на множестве (а также на каждом множестве, содержащем Для каждого соответствием

определяется непрерывное отображение множества которое, как подмножество пространства само есть окрестностное пространство, в При этом называется параметром деформации. Если это требуется, он может пробегать и другие замкнутые интервалы, отличные от интервала

В случае, когда есть метрическое пространство, определению непрерывной зависимости точки от целесообразно придать следующую форму: если последовательность точек из сходящаяся к последовательность значений сходящаяся к , то последовательность всегда сходится к

10. Далее в метрическом пространстве справедлива теорема, что две деформации, выполненные одна за другой, снова дают деформацию. Точнее: если

деформация и

деформация в некоторое множество то, полагая

мы получим деформацию в при которой параметр деформации изменяется от О до

11. Мы воспользуемся также следующим предложением: если замкнутые подмножества метрического пространства и

деформация а

деформация причем для каждой точки пересечения и для всех

то соответствия (4) и (5) определяют некоторую деформацию множества

12. Позже мы будем иметь дело с окрестностными пространствами, на которых определена непрерывная функция Если для некоторого подмножества определена деформация и

для всех точек из при условии, что

то мы говорим об -деформации множества Таким образом, при -деформации значения функции в точке никогда не возрастают при движении этой точки по пути деформации. Если, например, наше окрестностное пространство есть дважды непрерывно дифференцируемое многообразие, и дважды непрерывно дифференцируемая функция на нем, то деформация, при которой точки скользят вниз по ортогональным траекториям (§ 9) функции есть -деформация.