§ 20. Геодезические с закрепленными концами на n-мерной сфере

1. Чтобы установить существование бесконечного множества геодезических, соединяющих две данные точки замкнутого многообразия, достаточно доказать, как это показывает основная теорема, что функциональное пространство обладает бесконечной связностью. Какой-либо общий метод определения чисел Бетти пространства неизвестен. В следующем параграфе мы докажем важное предложение, в силу которого числа Бетти не зависят от выбора концов а также римановой метрики на они являются топологическими инвариантами многообразия в частности, допустимо совпадение концов

2. Пользуясь этой теоремой, мы хотим уже теперь определить числа Бетти для случая, когда есть -мерная сфера Для этого мы воспользуемся той естественной метрикой, которой обладает единичная -мерная сфера -мерного евклидова пространства, а концы выберем на сферическом расстоянии друг от друга. Тогда будут выполнены оба условия теоремы II § 19, а именно:

I. Существует только конечное число геодезических ограниченной длины, соединяющих действительно, все геодезические, соединяющие А с В, содержатся в последовательности (§ 15, пример 2), а длина геодезической равна .

II. Все относительные циклы из допускают дополнение. В самом деле, в § 15 мы определили типовые числа геодезической принадлежащей к стационарному значению Это были числа

Поэтому все относительные циклы всех размерностей, отличных от гомологичны нулю, в то время как для размерности существует в точности один гомологически независимый цикл

Последний допускает дополнение, которое было указано нами в § 15. Таким образом, имеет место

Теорема Числа Бетти функционального пространства -мерной сферы при закрепленных концах суть:

По основной теореме § 19 отсюда следует

Теорема II. На всяком римановом многообразии (с трижды непрерывно дифференцируемыми функциями гомеоморфном -мерной сфере существует бесконечное множество геодезических линий, соединяющих две данные точки (которые могут и совпадать).

Геодезическую линию, возвращающуюся в свою начальную точку, называют иногда геодезической петлей. Теорема II показывает, в частности, что в каждой точке существует бесконечное множество геодезических петель.

Рис. 23

3. Укажем еще на одно применение наших общих теорем. Перетянем двумерную сферу поясом (конечно, трижды непрерывно дифференцируемым образом), так чтобы получилась поверхность вращения с меридианной кривой, изображенная на рис. 23. Пояс есть замкнутая геодезическая, вдоль которой гауссова кривизна отрицательна. Можно сейчас же указать бесконечное множество геодезических, соединяющих две его точки именно, обе части пояса между и те кривые, которые получаются из них присоединением всего пояса, обойденного один или несколько раз. Все эти геодезические дают относительные минимумы по сравнению с соседними кусочно-гладкими кривыми, что наглядно очевидно и аналитически является следствием отрицательности гауссовой кривизны вдоль пояса, благодаря которой на поясе не может быть сопряженных точек. Поэтому рассмотренным геодезическим отвечают относительные минимумы функции на и их типовые числа суть (§ 14, стр. 71).

Но отсюда следует, что существует еще бесконечное множество геодезических, соединяющих которые не проходят по поясу. В самом деле, если бы существовало только конечное число таких геодезических, то существовало бы только конечное число отличных от нуля сумм типовых чисел, что противоречит неравенствам

4. При определении чисел Бетти функционального пространства для случая -мерной сферы мы пользовались следующими фактами:

I. На (при подходящем выборе метрики и концов существует только конечное число геодезических ограниченной длины.

II. Типовые числа этих геодезических известны.

III. Все относительные циклы из допускают дополнение.

Во многих случаях, например, в случае вариационной проблемы с общими граничными условиями, оба первые пункта не представляют никаких трудностей. Третий пункт является, вообще говоря, более трудным, так как дополнимость относительных циклов есть свойство пространства в целом.

Несмотря на это, иногда удается доказать дополнимость относительных циклов путем простого подсчета размерностей. Мы рассмотрим этот метод на примере -мерной сферы, хотя для этого случая мы уже указали непосредственную конструкцию дополнения . В качестве метрики мы снова используем естественную метрику единичной -мерной сферы -мерного евклидова пространства. Пусть, как и прежде, концы находятся на сферическом расстоянии друг от друга. Существует в точности одна геодезическая длины По §15 все типовые числа точки равны нулю, за исключением числа которое равно единице. В соответствии с этим, существует в точности один гомологически независимый относительный цикл принадлежащий к значению Граница этого цикла есть абсолютный цикл размерности лежащий в области меньших значений этой области меньших значений он, по крайней мере для гомологичен нулю. В самом деле, по теореме § 16 (стр. 88) он может быть продеформирован до ближаишего меньшего стационарного значения Здесь он

должен быть гомологичен некоторому циклу из области меньших значений иначе он негомологичным нулю относительным циклом размерности в то время как стационарное значение не имеет негомологичных нулю относительных циклов этой размерности. Последнее видно из того, что все типовые числа этого стационарного значения, кроме равны нулю, так что единственные негомологичные нулю относительные циклы имеют размерность между тем, для

После того как цикл переведен в область меньших значений он тем более может быть переведен в область меньших значений ближайшего меньшего стационарного значения и т.д., — до минимального значения где он превратится в точку (геодезическая Этим снова доказано, что цикл гомологичен нулю в области меньших значений т.е. что для всякого I относительный цикл допускает дополнение.