Примечания

1 (стр. 17). Предлагаемый текст не требует для своего понимания каких-либо особых предварительных сведений. Из топологии употребляется теория гомологий по модулю 2, не связанная с понятием ориентации. Мы излагаем ее в соответствующей нашим целям форме в §§ 13. Читателя, интересы которого выходят за рамки этого скупого изложения, мы отсылаем к следующим книгам:

1) Seifert und Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig, 1934). Теория гомологии по модулю 2 включена там в теорию гомологий с ориентацией (главы III и IV, как и прим. 17). Теория гомологий строится для комплексов, однако все понятия и доказательства изложены так, что они переносятся на любые метрические пространства.

2) O.Veblen, Analysis situs (2nd edit., Amer. Math. Soc. Colloquium publ. 5 Pt. II, (New York, 1931). Легко читаемое, элементарное обоснование теории гомологий по модулю 2, независимое от теории гомологий с ориентацией. Несмотря на быстрое развитие топологии, книга, поскольку это касается строгости, устарела только в деталях.

3) P. Alexandroff und H . Hоpf, Topologie. I Band (Springer, 1935). Обстоятельное, очень содержательное, строгое изложение теории гомологий, подробное рассмотрение топологических и метрических пространств.

Подчеркнем, что мы пользуемся относительными циклами по модулю подмножества. Последние были введены С.Лефшецем, например, в его рассчитанной на большую общность, трудной для чтения книге Topologie (New York, 1930). Мы определяем их в отвечающей нашим потребностям форме в § 3.

По поводу литературы по вариационному исчислению Предисловие.

2 (стр. 20). Чтобы обнаружить, что соответствие есть деформация, мы должны показать, что непрерывно зависит от Это может вызвать сомнение только для Итак, пусть заданная окрестность точки Так как первый шаг (1) есть деформация, то существуют такая окрестность и такое что лежит в всякий раз как принадлежит к Точно так же существуют такая окрестность и такое что точка лежит всякий раз как лежит Ввиду того, что отображение (1) (стр. 20) множества на непрерывно, существует окрестность образ которой целиком лежит Пересечение окрестностей есть снова окрестность точки по отношению к (в метрическом пространстве пересечение двух окрестностей есть также окрестность), и точка для которой лежит в этом пересечении, а в интервале принадлежит к Но это и означает непрерывность ) при

3 (стр. ). Чтобы доказать, что речь идет о деформации, соединим соответствия (4) и (5) стр. в одно:

и покажем, что непрерывно зависит от

Пусть

сходящаяся к последовательность точек множества и

сходящаяся к последовательность чисел единичного интервала. Если лежит в не в то, в силу замкнутости множества почти все точки последовательности (7) также лежат в Но тогда последовательность

сходится к ибо (4) есть деформация. Подобное же рассуждение применено и в том случае, когда лежит в но не в Наконец, если лежит в пересечении то мы можем предположить без ограничения общности, что точки последовательности (7), лежащие в образуют бесконечную подпоследовательность последовательности (7):

Эта подпоследовательность сходится к и так как (4) есть деформация, то последовательность

сходится к Если остальные точки последовательности (7) еще образуют бесконечную последовательность, то последняя целиком лежит в и соответствующая подпоследовательность последовательности (8), а с ней и вся последовательность (8), сходится к что и требовалось доказать.

4 (стр. 22). То, что в тексте названо просто цепью, есть в терминологии курса топологии авторов особая цепь по модулю 2; ср. главу 4 и примечание 17 упомянутого курса топологии.

5 (стр. 24). Там же. стр. 70.

6 (стр. 24). Математический смысл отождествления см. там же,

7 (стр. 24). Доказательство там же, § 19.

8 (стр. 26). Достаточно определить названные в тексте цепи для случая, когда состоит из единственного особого симплекса. Пусть X его прообраз. Рассмотрим «призму» представляющую собой топологическое произведение симплекса на единичный отрезок определенным образом разбитое на симплексы (ср. курс топологии авторов, §29). Если точка симплекса соответствующая точка симплекса и деформация симплекса задана формулой то точке призмы ставится в соответствие точка рт.

(см. скан)

(см. скан)