§ 17. Типовые числа критических значений и стационарных точек

В то время как в главе I мы имели дело с типовыми числами критических значений функции в окрестностном пространстве в главе III речь шла до сих пор только о типовых числах стационарных точек функционального пространства Связь между теми и другими мы и хотим теперь выяснить. Как всегда в этой главе, обозначает функциональное пространство нашей вариационной задачи.

Теорема Критическое значение функции на всегда стационарно; обратное, вообще говоря, неверно.

Доказательство.

Если а есть нестационарное значение функции то применением деформации каждый принадлежащий к а относительный цикл может быть переведен в гомологичный ему относительный цикл, лежащий в области меньших значений Следовательно, все типовые числа значения а равны нулю, и это значение не является критическим. Напротив, стационарное значение может и не быть критическим; например, оно не является критическим, если существует только конечное число принадлежащих значению а стационарных точек, все типовые числа которых равны нулю.

Мы предположим теперь, что в области меньших значений любого значения функции имеется только конечное число стационарных точек, и рассмотрим определенное стационарное значение 7, к которому принадлежат стационарные точки и только они. Типовые числа значения 7 были определены в § 4 как числа Бетти множества а типовые числа стационарной точки как числа Бетти множества Оказывается, что имеет место

Теорема II. Если в области меньших значений любого значения функции имеется только конечное число стационарных точек, то -мерное типовое число принадлежащее стационарному значению 7; равно сумме -мерных типовых чисел отдельных стационарных точек значения

Доказательство этой теоремы опирается на следующее предложение:

Теорема III. Типовые числа множества совпадают с типовыми числами множества

Доказательство теоремы III.

Выберем а большим чем 7, но столь мало отличающимся от 7, чтобы множество не содержало стационарных точек, и применим к множеству -деформацию теоремы § 16 (стр. 90). Тогда перейдет в подмножество множества в свое собственное подмножество, а точки останутся неподвижными.

С помощью этой деформации легко доказать (ср. § следующие два факта:

Всякий относительный цикл из гомологичен в некоторому относительному циклу из

Если некоторый относительный цикл из гомологичен нулю в то он гомологичен нулю уже в

Из этих двух фактов и следует теорема III по тем же соображениям, какими мы пользовались при доказательстве теоремы I § 7.

Доказательство теоремы II.

В силу теоремы III нужно только показать, что -мерное число Бетти множества равно сумме -мерных чисел Бетти множеств для Это в свою очередь следует из двух фактов:

I. Каждый относительный цикл из гомологичен в некоторой сумме вида есть цикл из Чтобы вызвать это распадение на отдельные относительные циклы, нужно только подразделить достаточно мелко и затем удалить все симплексы, целиком лежащие в .

II. Если некоторый цикл из и , то

Действительно, по предположению существует такая цепь из , что

Пусть столь мелкое подразделение цепи что ни один симплекс из не содержит двух различных точек Подразделяя в мы вместе с тем подразделили каждую цепь в некоторую цепь , причем

и

Пусть теперь цепь, состоящая из всех -мерных симплексов цепи содержащих точки Тогда цепь лежит в т.е.

и потому

Вместе со (2) это дает:

Здесь в отдельных скобках стоят по порядку цепи из

Так как их сумма лежит в то и сами эти цепи лежат в Следовательно,

или

что вместе с (1) дает:

Этим II доказано.

По определению типовых чисел стационарной точки, в существует в точности гомологически независимых относительных -мерных, «базисных циклов». В силу II эти относительные -мер-ные циклы все вместе образуют систему гомологически независимых -мерных циклов в . Следовательно,

С другой стороны, по I, всякий относительный цикл из гомологичен в некоторой сумме причем гомологичен в некоторой линейной комбинации принадлежащих к упомянутых базисных циклов. Поэтому в не может существовать и более чем гомологически независимых относительных -мерных циклов, и мы имеем:

что и требовалось доказать.