Главная > Вариационное исчисление в целом
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 17. Типовые числа критических значений и стационарных точек

В то время как в главе I мы имели дело с типовыми числами критических значений функции в окрестностном пространстве в главе III речь шла до сих пор только о типовых числах стационарных точек функционального пространства Связь между теми и другими мы и хотим теперь выяснить. Как всегда в этой главе, обозначает функциональное пространство нашей вариационной задачи.

Теорема Критическое значение функции на всегда стационарно; обратное, вообще говоря, неверно.

Доказательство.

Если а есть нестационарное значение функции то применением деформации каждый принадлежащий к а относительный цикл может быть переведен в гомологичный ему относительный цикл, лежащий в области меньших значений Следовательно, все типовые числа значения а равны нулю, и это значение не является критическим. Напротив, стационарное значение может и не быть критическим; например, оно не является критическим, если существует только конечное число принадлежащих значению а стационарных точек, все типовые числа которых равны нулю.

Мы предположим теперь, что в области меньших значений любого значения функции имеется только конечное число стационарных точек, и рассмотрим определенное стационарное значение 7, к которому принадлежат стационарные точки и только они. Типовые числа значения 7 были определены в § 4 как числа Бетти множества а типовые числа стационарной точки как числа Бетти множества Оказывается, что имеет место

Теорема II. Если в области меньших значений любого значения функции имеется только конечное число стационарных точек, то -мерное типовое число принадлежащее стационарному значению 7; равно сумме -мерных типовых чисел отдельных стационарных точек значения

Доказательство этой теоремы опирается на следующее предложение:

Теорема III. Типовые числа множества совпадают с типовыми числами множества

Доказательство теоремы III.

Выберем а большим чем 7, но столь мало отличающимся от 7, чтобы множество не содержало стационарных точек, и применим к множеству -деформацию теоремы § 16 (стр. 90). Тогда перейдет в подмножество множества в свое собственное подмножество, а точки останутся неподвижными.

С помощью этой деформации легко доказать (ср. § следующие два факта:

Всякий относительный цикл из гомологичен в некоторому относительному циклу из

Если некоторый относительный цикл из гомологичен нулю в то он гомологичен нулю уже в

Из этих двух фактов и следует теорема III по тем же соображениям, какими мы пользовались при доказательстве теоремы I § 7.

Доказательство теоремы II.

В силу теоремы III нужно только показать, что -мерное число Бетти множества равно сумме -мерных чисел Бетти множеств для Это в свою очередь следует из двух фактов:

I. Каждый относительный цикл из гомологичен в некоторой сумме вида есть цикл из Чтобы вызвать это распадение на отдельные относительные циклы, нужно только подразделить достаточно мелко и затем удалить все симплексы, целиком лежащие в .

II. Если некоторый цикл из и , то

Действительно, по предположению существует такая цепь из , что

Пусть столь мелкое подразделение цепи что ни один симплекс из не содержит двух различных точек Подразделяя в мы вместе с тем подразделили каждую цепь в некоторую цепь , причем

и

Пусть теперь цепь, состоящая из всех -мерных симплексов цепи содержащих точки Тогда цепь лежит в т.е.

и потому

Вместе со (2) это дает:

Здесь в отдельных скобках стоят по порядку цепи из

Так как их сумма лежит в то и сами эти цепи лежат в Следовательно,

или

что вместе с (1) дает:

Этим II доказано.

По определению типовых чисел стационарной точки, в существует в точности гомологически независимых относительных -мерных, «базисных циклов». В силу II эти относительные -мер-ные циклы все вместе образуют систему гомологически независимых -мерных циклов в . Следовательно,

С другой стороны, по I, всякий относительный цикл из гомологичен в некоторой сумме причем гомологичен в некоторой линейной комбинации принадлежащих к упомянутых базисных циклов. Поэтому в не может существовать и более чем гомологически независимых относительных -мерных циклов, и мы имеем:

что и требовалось доказать.

1
Оглавление
email@scask.ru