§ 2. Абсолютные циклы и числа Бетти пространства «омега»

Мы переходим теперь к определению понятий, которые позволяют топологически различать окрестностные пространства. Так как общие окрестностные пространства не умеют изучать непосредственно, то обычный топологический метод состоит в том, что в них отображают хорошо известные геометрические образы и исследуют появляющиеся при этом возможности.

1. Мы начинаем с прямолинейного -мерного симплекса это выпуклая оболочка к линейно независимых точек эвклидова пространства Непрерывный образ такого симплекса в окрестностном пространства называется особым -мерным симплексом, его (прямолинейным) прообразом. Верхние индексы означают размерность.

Два особых -мерных симплекса называются равными, если их прообразы допускают аффинное отображение друг на друга, при котором каждые две соответственные точки имеют один и тот же образ в

2. Особый симплекс называется вырожденным, если его прообраз допускает меняющее ориентацию (нечетная перестановка вершин) аффинное отображение на себя, при котором каждые две соответственные точки имеют один и тот же образ в Вырожденный симплекс получится, например, если путем отождествления двух вершин аффинно отобразить прямолинейный симплекс — прообраз на некоторый прямолинейный -мерный симплекс, и затем этот последний непрерывно отобразить в

3. Конечное множество различных особых -мерных симплексов

называется особой -мерной цепью и обозначается

ориентация симплексов, как и их порядок, не играет при этом никакой роли.

4. Условимся, что, не меняя цепи, можно выбросить из нее вырожденные симплексы; -мерная цепь, которая вовсе не содержит -мерных симплексов, называется -мерной нулевой цепью.

5. Сумма двух -мерных цепей состоит из всех особых -мерных симплексов, которые встречаются в точности в одной из этих цепей. В сумме не будет, таким образом, симплексов, встречающихся в обоих слагаемых, -мерная цепь может поэтому рассматриваться как линейная комбинация особых -мерных симплексов, коэффициенты которых суть классы вычетов по модулю 2. Поэтому нет различия между суммой и разностью двух -мерных цепей, и удвоение любой -мерной цепи приводит к -мерной нулевой цепи.

6. При отображении прообраза на -мерные грани симплекса переходят в особые, может быть вырожденные, -мер-ные симплексы, сумма которых есть определенная, обозначаемая через особая -мерная цепь. Под границей цепи понимается сумма границ ее -мерных симплексов:

Определения суммы и границы даны таким образом, что граница суммы равна сумме границ. Эти определения естественны, ибо если, например, два двумерных симплекса (треугольника) приложены друг к другу вдоль одной стороны, то в получающемся таким образом четырехугольнике эта сторона встречается дважды; но она не принадлежит к границе четырехугольника.

7. Цепь граница которой есть -мерная нулевая цепь:

называется замкнутой или -мерным циклом.

Нульмерные цепи мы рассматриваем как замкнутые по определению. Каждая из них состоит из конечного числа нульмерных симплексов или точек пространства

8. Граница цепи всегда замкнута, так как замкнута граница каждого отдельного симплекса. Однако обратное не всегда справедливо. Если -мерный цикл есть граница некоторой -мерной цепи

из то называется ограничивающим или гомологичным нулю. В формулах:

Знак следует читать «гомологично».

Если цепь натянутая на (следовательно, также и лежит в некотором подмножестве пространства то мы пишем

Более общим образом, две цепи которые не обязательно должны быть циклами, но могут иметь и не нулевую границу, называются гомологичными друг другу, если их сумма (или, что по модулю 2 то же самое, их разность) гомологична нулю. Гомологичные цепи имеют одинаковые границы.

9. циклов лежащие в подмножестве пространства называются гомологически независимыми в если из соотношения

где есть или 1, следует, что

Под -мерным числом Бетти пространства мы понимаем максимальное число гомологически независимых -мерных циклов в может быть и бесконечным.

Простейшие примеры

Пример 1. Отдельная точка пространства представляет собой нульмерный симплекс и также нульмерный цикл. Так как одна точка не может быть границей одномерной цепи, то она никогда не гомологична нулю, и нульмерное число Бетти пространства всегда 1, если только не пусто.

Более общим образом, две точки из только тогда гомологичны, если они могут быть соединены кривой (особым одномерным симплексом). Будем понимать под связным изолированным подмножеством множество точек, которые могут быть соединены кривыми с некоторой определенной точкой. Тогда равно числу связных изолированных подмножеств, на которые распадается

Пример 2. О есть окружность. Здесь так как связно; так как существует один единственный гомологически независимый одномерный цикл, именно, вся окружность, разбитая на одномерные симплексы. Дважды взятая окружность представляет собой одномерную нулевую цепь, следовательно, гомологична нулю. Трижды взятая окружность гомологична поэтому окружности, взятой один раз. Все числа Бетти более высоких размерностей равны нулю, так как окружность одномерна.

Рис. 3

Пример 3. Тор получается при отождествлении противоположных сторон прямоугольника. Четыре вершины прямоугольника отождествляются при этом в одну точку, которая является негомологичным нулю нульмерным циклом 3° тора; все остальные нульмерные циклы ему гомологичны (каждые две точки вместе служат границей непрерывного образа отрезка). Две пары сторон (рис. 3) дают два негомологичных нулю и негомологичных друг другу одномерных цикла (меридиан и параллель тора, расположенного в пространстве как поверхность вращения окружности). В то же время всякий другой одномерный цикл гомологичен линейной комбинации Наконец, весь каким-либо образом триангулированный тор есть негомологичный нулю двумерный цикл. Поэтому числа Бетти суть

10. В дальнейшем нам часто придется деформировать цепи и циклы в О. Пусть -мерная цепь, и Мы деформируем (т.е. покрытое цепью множество) в некоторую цепь с границей Тогда существуют «соединяющие цепи» удовлетворяющие соотношениям:

причем лежат в множествах, обметенных соответственно цепями в процессе деформации. На рис. состоит из

одного одномерного симплекса, и, следовательно, из двух точек. Если, в частности, есть цикл, и следовательно, то и Но тогда цикл переходит при деформации в другой цикл, ему гомологичный.

11. Иногда бывает нужно, пользуясь барицентрическим подразделением цепи, перейти к новой цепи с более мелкими симплексами. Барицентрическое (однократное) подразделение прямолинейного -мерного симплекса определяется при помощи полной индукции. Барицентрическое подразделение нульмерного симплекса есть сам этот нульмерный симплекс.

Рис. 4. Деформация цепи

Рис. 5. Двукратное барицентрическое подразделение двумерного симплекса

Если барицентрическое подразделение -мерного симплекса уже определено, то для того, чтобы получить барицентрическое подразделение -мерного симплекса, нужно спроектировать его барицентрически подразделенные -мерные грани из его центра. При этом распадается на -мерных симплексов. На рис. 5. показано двукратное барицентрическое подразделение двумерного симплекса Чтобы получить барицентрическое подразделение особого -мерного симплекса нужно барицентрически подразделить его прообраз не меняя при этом отображения.

Барицентрическое подразделения симплекса есть, таким образом, -мерная цепь, состоящая из симплексов. Наконец, барицентрическое подразделение произвольной -мерной цепи получается при барицентрическом подразделении всех ее -мерных симплексов.

Если барицентрическое подразделение цепи (однократное или многократное) обозначить через и положить то будет иметь место формула:

Далее, существуют две соединяющие цепи и лежащие в множествах, покрытых цепями со следующими свойствами:

Если, в частности, есть цикл, так что то и следовательно, причем последнее соотношение имеет место в множестве, покрытом цепью при барицентрическом подразделении цикла получается цикл, гомологичный исходному.