§ 12. Риманово многообразие

1. Под кривой на мы понимаем непрерывный образ замкнутого отрезка-прообраза числовой прямой:

Начальная точка и конечная точка 72 отрезка-прообраза переходят при этом в начальную и конечную точки кривой; обе обозначаются также как концы кривой.

Две кривые с отрезками-прообразами

рассматриваются как равные, если эти отрезки допускают топологическое отображение друг на друга, при котором начальные, а также конечные точки переходят друг в друга, и соответственные точки имеют один и тот же образ в Тогда параметр есть монотонно возрастающая функция параметра и наоборот, так что мы имеем дело с направленными кривыми. Если весь отрезок-прообраз отображается в одну единственную точку многообразия то получается так называемая вырожденная кривая.

2. Если параметр кривой с может быть выбран таким образом, что в каждой точке кривой локальные координаты суть непрерывно дифференцируемые функции причем

то кривая с называется гладкой. Кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой. Вырожденные кривые мы также причисляем к кусочно-гладким кривым. На каждой кусочно-гладкой кривой, которая не является вырожденной, можно использовать в качестве параметра заданную формулой

длину дуги. Если кривая не покрывается одной локальной системой координат, то ее следует разложить на конечное число частей, каждая из которых покрывается одной системой координат, и взять сумму интегралов, распространенных на отдельные части.

Если

длина всей кривой, то под приведенной длиной дуги мы понимаем параметр Приведенная длина дуги пропорциональна, следовательно, действительной длине дуги и растет при движении вдоль кривой от до 1.

Для кусочно-гладких кривых мы всегда будем пользоваться в качестве параметра приведенной длиной дуги: большей частью мы будем обозначать ее через Тогда имеет смысл говорить о соответственных точках двух кусочно-гладких кривых a и b; это точки, которым отвечают одинаковые значения приведенной длины дуги. В том исключительном случае, когда а есть вырожденная кривая, ее единственной точке соответствует каждая точка кривой

3. Под расстоянием

двух точек на мы понимаем нижнюю грань длин всех кусочно-гладких кривых, соединяющих При этом нас не интересует, достигается ли, — что действительно имеет место — эта нижняя грань.

Этим мероопределением в множестве точек многообразия независимо от уже имеющихся «топологических» окрестностей, вводятся новые окрестности; именно, множество точек в том и только в том случае есть окрестность точки если существует столь малое что все точки расстояние которых от меньше (5, принадлежат этому множеству. Временно мы будем называть эти окрестности метрическими окрестностями.

Легко усмотреть, что метрические окрестности совпадают с топологическими окрестностями. Выберем для заданной точки локальную систему координат, в которой имеет координаты и выделим в этой системе координат -шар т.е. множество всех точек, для которых При этом мы, конечно, предполагаем столь малым, что -шар целиком лежит в области, в которой действительна наша локальная система координат. Так как квадратичная форма положительно определенна, то существуют такие положительные числа и что

для всех из -шара и всех векторов Рассмотрим все точки для которых

где а данное заранее положительное число, меньшее чем Они образуют некоторую топологическую окрестность. В силу (2) для не принадлежащей к ней точки

Тем самым все точки для которых

принадлежат к (3). Но (4) определяется метрическая окрестность, содержащаяся в заранее данной топологической окрестности. Пусть, наоборот, задана метрическая окрестность точки состоящая из всех точек для которых

К ней заведомо принадлежат все точки -шара с координатами для которых

ибо, если соединить прямолинейным в координатной системе отрезком, то его длина не будет превышать

Но это означает, что в метрической окрестности (5) лежит топологическая окрестность (6). А так как, в соответствии с определением, вместе с каждой окрестностью точки окрестностью является и всякое содержащее эту окрестность множество, то всякая метрическая окрестность одновременно является топологической окрестностью, и наоборот.

Отсюда, далее, следует, что тогда и только тогда, если Так как, сверх того, аксиома симметрии и аксиома треугольника очевидно, выполнены, то, резюмируя, мы можем сказать: нашим мероопределением многообразие метризовано, т. е. превращено в метрическое пространство.