Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 12. Риманово многообразие1. Под кривой на
Начальная точка Две кривые с отрезками-прообразами
рассматриваются как равные, если эти отрезки допускают топологическое отображение друг на друга, при котором начальные, а также конечные точки переходят друг в друга, и соответственные точки имеют один и тот же образ в 2. Если параметр
то кривая с называется гладкой. Кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой. Вырожденные кривые мы также причисляем к кусочно-гладким кривым. На каждой кусочно-гладкой кривой, которая не является вырожденной, можно использовать в качестве параметра заданную формулой
длину дуги. Если кривая не покрывается одной локальной системой координат, то ее следует разложить на конечное число частей, каждая из которых покрывается одной системой координат, и взять сумму интегралов, распространенных на отдельные части. Если
длина всей кривой, то под приведенной длиной дуги мы понимаем параметр Для кусочно-гладких кривых мы всегда будем пользоваться в качестве параметра приведенной длиной дуги: большей частью мы будем обозначать ее через 3. Под расстоянием
двух точек Этим мероопределением в множестве точек многообразия Легко усмотреть, что метрические окрестности совпадают с топологическими окрестностями. Выберем для заданной точки
для всех
где а данное заранее положительное число, меньшее чем
Тем самым все точки
принадлежат к (3). Но (4) определяется метрическая окрестность, содержащаяся в заранее данной топологической окрестности. Пусть, наоборот, задана метрическая окрестность точки
К ней заведомо принадлежат все точки
ибо, если соединить
Но это означает, что в метрической окрестности (5) лежит топологическая окрестность (6). А так как, в соответствии с определением, вместе с каждой окрестностью точки Отсюда, далее, следует, что
|
1 |
Оглавление
|