§ 16. Деформационные теоремы.

Чтобы иметь возможность применить к функциональному пространству нашей вариационной задачи теорию главы I, необходимо, прежде всего, убедиться в справедливости аксиом I (стр. 33) и II (стр. 36). Для этого, как и вообще для дальнейшего, нам нужны некоторые предложения о деформациях; их мы теперь и докажем.

1. -деформация Для каждого нестационарного значения а функции мы построим -деформацию множества в некоторое

подмножество множества Мы разобьем конструкцию на два шага, во время которых параметр деформации последовательно пройдет интервалы При этом сначала мы укажем для каждого шага точку в которую перейдет точка через промежуток времени не удостоверяясь в непрерывной зависимости точки от и уже потом докажем, что имеем дело действительно с деформацией.

Первый шаг: Пусть с какая-нибудь ведущая из кусочно-гладкая кривая, отвечающая некоторой точке подмножества пространства также обозначаемой через с.

Параметром на кривой с пусть будет, как всегда, приведенная длина дуги Отметим на с точек, отвечающих значениям параметра

и обозначим их по порядку

Они делят с на частей одинаковой длины:

Выберем столь большим, чтобы отношение было не больше элементарной длины Первый шаг состоит в том, что мы одновременно деформируем все дуг (2) в их хорды (§ 13, абз. 10). При этом параметр деформации изменяется от до 1. При с переходит в элементарный полигон с вершинами

Второй шаг: Пользуясь серединами сторон элементарного полигона , разложим его на дуг

Длины дуг, имеющих, вообще говоря, изломы

Рис. 22

очевидно, не превосходят Поэтому дуг (4) мы можем опять-таки, и притом одновременно, продеформировать в их хорды, причем параметр мы заставим теперь изменяться от 1 до 2. Тогда перейдет в новый элементарный полигон его вершины суть

2. Этим указан путь, который описывает точка с пространства при деформации Теперь мы должны показать, что речь идет действительно о деформации, т.е. что непрерывно зависит от во всем интервале Первый шаг деформации дается формулой:

Здесь

есть дуга кривой с между значениями параметра по абз. 6 § 13 она непрерывно зависит от с. Далее,

есть кривая, в которую она переходит через промежуток времени Эта кривая непрерывно зависит от дуги кривой с между значениями параметра - и а следовательно, и от самой кривои с; в то же время она непрерывно зависит от (§13, абз. 10). Наконец, сумма (5) непрерывно зависит от своих слагаемых (§ 13, абз. 5), а следовательно, и от что и требовалось доказать. При рассмотрении второго а деформации следует заметить, что дуги (4) кривой непрерывно зависят от с. Действительно, вершины (§ 13, абз. 4) и середины сторон (§ 13, абз. 7,111) непрерывно зависят от с, откуда следует, что и элементарные отрезки а потому и их суммы, также непрерывно зависят от с. Поэтому для деформации в кривую имеют силу заключения аналогичные тем, какие мы сделали при рассмотрении первого шага. Этим непрерывная зависимость кривой от для доказана.

3. При деформации происходит укорочение кривой, величина которого равна Укорочение есть непрерывная функция от с, так как непрерывно зависит от и есть непрерывная функция. Укорочение равно нулю в том и только в том случае, если с есть стационарная точка. В самом деле, при первом шаге положительное укорочение испытывают все те кривые, которые не состоят сами из элементарных отрезков равной длины, а при втором шаге — все состоящие из элементарных отрезков равной длины кривые которые не являются сами неломаными геодезическими.

4. Пусть И какое-нибудь открытое подмножество множества содержащее все стационарные точки из например, множество Тогда на множестве укорочение имеет положительную нижнюю грань. Действительно, если бы эта нижняя грань была равна нулю, то в множестве существовала бы последовательность кривых укорочения которых стремились бы к нулю. Пусть последовательность отвечающих им по (составленных из хорд) элементарных полигонов. Мы вправе предположить, переходя, если это нужно, к подпоследовательности, что эта последовательность сходится к некоторому предельному полигону Ибо сначала можно выбрать такую подпоследовательность, чтобы сходились первые вершины, из нее такую, чтобы сходились вторые вершины, и т. д. А если сходятся вершины, то, в силу непрерывной

зависимости элементарных отрезков от их концов сходятся и элементарные отрезки, соединяющие соседние вершины; вместе же с элементарными отрезками, в силу непрерывной зависимости суммы кривых от слагаемых сходится и последовательность самих элементарных полигонов. Далее, длины кривых сходятся к длине предельного полигона так как, по предположению, все укорочение, а следовательно, и подавно его часть являющаяся результатом первого шага, стремится к нулю:

Поэтому разность, составленная из длины частичной дуги кривой с между двумя соседними точками деления и длины соответствующей хорды, также должна стремиться к нулю. Но отсюда следует (§ что сама эта частичная дуга стремится к соответствующей стороне предельного полигона а отсюда, далее, в силу непрерывной зависимости суммы кривых от слагаемых, что сама последовательность кривых сходится к Укорочение кривой заведомо равно нулю, ибо укорочение непрерывно на Поэтому есть стационарная точка на Как предел последовательности она принадлежит замкнутому (относительно множеству Но это противоречит предположению, что все стационарные точки множества лежат в

5. Мы сделаем теперь еще одно предположение, именно, что множество содержит только конечное число стационарных точек, т.е. что существует только конечное число геодезических, соединяющих А с В, которые короче а. Обозначим множество этих стационарных точек через Мы предположили, что а есть нестационарное значение; пусть 7 ближайшее меньшее стационарное значение. Пусть, далее, столь малое положительное число, что открытая -окрестность представляющая собой объединение сферических -окрестностей отдельных стационарных точек, принадлежит к При этих условиях мы докажем, что достаточно высокая степень деформации скажем, переводит множество в некоторое подмножество множества . В самом деле, так как при деформации стационарные точки не перемещаются, то для каждой точки из можно найти столь малую, лежащую в сферическую окрестность, чтобы по окончании деформации ее образ лежал в Пусть и объединение

всех этих окрестностей. Укорочения, испытываемые точками множества и, имеют, по предыдущему абзацу, положительную нижнюю грань Поэтому существует степень деформации скажем, которая переводит множество в некоторое подмножество множества Это тривиально, если . В противном случае это следует из существования у укорочения положительной нижней грани на множестве Деформация и есть та степень деформации которая обладает желаемым свойством. Действительно, всякая точка множества образ которой лежит в и, переводится деформацией в некоторую точку из Если же лежит в и, то при новом применении деформации точка испытывает укорочение, по меньшей мере равное следовательно, переходит в некоторую точку из что и требовалось доказать.

6. Пусть теперь стационарные точки значения 7. Мы можем выбрать столь малое положительное число чтобы, во-первых, -окрестности точек попарно не имели общих точек, и, во-вторых, для каждого существовала -деформация пространства которая вне окрестности является тождественной, а окрестность переводит в некоторое подмножество множества Что это возможно, следует из теоремы IV §14 (стр. 78). Если продеформировать сначала множество в некоторое подмножество множества затем применить одну за другой деформации то множество перейдет в конце концов в некоторое подмножество множества Этим доказана

Теорема. Пусть а нестационарное значение функции на и 7 ближайшее меньшее стационарное значение. Если множество содержит только конечное число стационарных точек, то оно может быть переведено некоторой -деформацией в подмножество множества, состоящего из области меньших значений и стационарных точек значения .