§ 3. Относительные циклы

1. Помимо определенных в предыдущем параграфе абсолютных циклов мы будем пользоваться в дальнейшем введенными в топологию Лефшецем относительными циклами. Рассмотрим все цепи, лежащие в некотором определенном подмножестве пространства Цепь из равна нулю по модулю где некоторое подмножество множества если она целиком лежит в Более общим образом, две цепи равны если они отличаются только особыми -мерными симплексами, целиком лежащими в

Далее, мы говорим, что цепь из замкнута или есть цикл если

Циклы называются относительными циклами. Не изменяя относительного цикла, можно выбросить из него все симплексы, целиком лежащие в или, что то же, не имеющие точек в

Если, например, есть эвклидова плоскость, та же плоскость после удаления из нее точки то двумерный симплекс (треугольник) с центром есть двумерный цикл

2. Цикл называется гомологичным нулю если он гомологичен в некоторой цепи из Равенство

эквивалентно, следовательно, соотношению

В соответствии с этим приведенный в качестве примера двумерный цикл не гомологичен нулю Однако одномерный цикл, состоящий из отрезка с серединой гомологичен нулю так как он гомологичен сумме двух сторон треугольника, имеющего этот отрезок своей третьей стороной (рис. 6).

Рис. 6

3. Относительные циклы называется гомологически независимыми если из соотношения

где есть или 1, следует, что Максимальное число гомологически независимых -мерных циклов из называется -мерным числом Бетти множества Заметим еще, что, как и в случае абсолютных циклов, при подразделении относительного цикла получается гомологичный ему цикл . В самом деле, в силу изложенного в предыдущем параграфе, в множестве, покрытом циклом можно найти такую цепь а в множестве, покрытом циклом такую цепь что

А так как лежит в как и то

что и требовалось доказать.

5. Далее, при деформации относительного цикла получается гомологичный ему в цикл если только в процессе деформации остается в а в Если суть соединяющие цепи, которые обметаются при деформации циклами то

Но так как лежит в а то

или