§ 14. Типовые числа изолированной геодезической

1. Под стационарной точкой в функциональном пространстве мы понимаем точку, которая соответствует геодезической, ведущей на из под стационарным значением — значение, которое функция принимает в стационарной точке, т.е. длину геодезической, соединяющей А с В. Если для стационарной точки существует в окрестность, в которой есть единственная стационарная точка, то называется изолированной стационарной точкой на и соответствующая геодезическая, которую мы точно так же обозначаем через называется изолированной геодезической между

2. Для изолированных стационарных точек пространства типовые числа допускают дословно такое же определение, как в евклидовых пространствах Рассмотрим в некоторую окрестность (3 точки и обозначим через множество всех точек из (3, в которых -мерное типовое число точки определяется как -мерное число Бетти множества Это определение не зависит от выбора окрестности 0, что доказывается так же, как в § 7. В качестве (3 можно взять, в частности, все тогда

Непосредственно переносятся на наш случай и выводы § 7 (стр. 43) о типовых числах изолированного относительного минимума; это суть числа:

3. Мы укажем теперь метод вычисления типовых чисел изолированной геодезической между Мы вправе предположить, что не есть вырожденная кривая, так как такая кривая давала бы абсолютный минимум (ее длина равна нулю), и ее типовые числа вычислялись бы по формуле предыдущего абзаца. Для нашей цели выберем на кривой между начальной точкой А и конечной точкой В еще точек, так называемых промежуточных точек

которые лежат на в указанной последовательности, и притом так, что каждая из дуг, на которые они разбивают кривую имеет длину, меньшую элементарной длины но не является вырожденной кривой. Через каждую из промежуточных точек мы

проведем гиперплоскость, которая дважды непрерывно дифференцируема в и пересекается кривой в промежуточной точке под отличным от нуля углом. Если

локальные координаты на в точке то пусть параметрическое представление гиперповерхности будет:

функции дважды непрерывно дифференцируемы, и функциональная матрица

имеет ранг Таким образом, суть гауссовы координаты на гиперповерхности с нулевой точкой в

4. Выберем теперь определенное столь малое положительное число чтобы неравенствами

на наших гиперповерхностях вырезались -мерные элементы (топологические образы шаров), которые мы обозначим через

Пусть, далее, настолько мало, что, во-первых, следующие друг за другом «элементы»

не пересекаются, что, во-вторых, точки двух соседних элементов могут быть попарно соединены элементарными отрезками, и что, в-третьих, эти элементарные отрезки не имеют с обоими элементами никаких общих точек, кроме своих концов. мы будем называть при случае также промежуточными многообразиями.

5. Если выбрать в каждом из элементов (6) по одной точке и соединить соседние точки элементарными отрезками, то получится элементарный полигон. Элементарные полигоны, которые получаются таким способом, образуют в некоторое множество содержащее, очевидно, точку .

гомеоформно топологическому произведению

которое представляет собой элемент в -мерном числовом пространстве Зейферт и В. Трельфалль, Топология, 1938, стр. 67). В самом деле, точка этого произведения с координатами

определяет элементарный полигон и тем самым некоторую точку в Это отображение топологического произведения на непрерывно по § и 7). Сверх того оно взаимно-однозначно, так как элементарный отрезок, соединяющий два соседних элемента из (6), не имеет с этими элементами иных общих точек, кроме своих концов. В силу компактности топологического произведения обратное отображение тогда также непрерывно, и, следовательно, является топологическим (по теореме V стр. 39 только что упомянутого курса топологии).

6. Имеет место

Теорема Пусть есть множество точек топологического произведения в которых тогда числа Бетти множества совпадают с числами Бетти множества т. е., по с типовыми числами точки

Этим предложением определение типовых чисел точки сводится, очевидно, к определению типовых чисел изолированной стационарной точки некоторой функции конечного числа переменных (глава II). Действительно, в топологическом произведении функция по § 13, дважды непрерывно дифференцируема по своим переменным и нулевая точка есть изолированная стационарная точка функции на в смысле Но ее типовые числа суть по определению (§ 7) как раз числа Бетти множества

Из теоремы о конечности типовых чисел (§ 10) следует, далее, важная

Теорема II. Все типовые числа изолированной геодезической, соединяющей А с В, конечны, и только конечное число их отлично от нуля.

7. Приступим к доказательству теоремы Она является следствием деформационной теоремы:

Теорема III. Всякая достаточно малая окрестность точки допускает -деформацию в некоторое подмножество множества в процессе которой точки пересечения остаются неподвижными.

Доказательство.

Для промежуточных точек можно выбрать в -мерные окрестности

обладающие следующими свойствами.

Рис. 19

I. Если произвольные точки в этих окрестностях, то расстояние любых двух соседних точек последовательности

больше нуля и меньше потому эти точки могут быть соединены элементарным отрезком и все вместе определяют элементарный полигон.

II. Дуга элементарного полигона между точками которая состоит из двух элементарных отрезков, пересекает промежуточное многообразие в точности в одной точке непрерывно зависит от точек Длина каждой из дуг элементарного полигона

не превосходит элементарной длины

8. После этих приготовлений обратимся к самому доказательству теоремы III. Пусть произвольная точка множества Ей соответствует на элементарный полигон. Пусть

длины его сторон. По эти длины суть непрерывные функции на Так как, сверх того, соседние элементы последовательности (6) не имеют общих точек, то Если произвольная окрестность точки силу компактности множества пересечение замкнуто в Поэтому определенные на функции могут быть продолжены в непрерывные функции на , и притом так, что границьзначений функций на всем останутся теми же, что и на ; в частности, также и на

9. Разобьем лежащую на кусочно-гладкую кривую, отвечающую произвольной точке с из , на части в отношении

точке деления будет соответствовать тогда значение параметра (приведенной длины дуги)

Так как, по самой конструкции, непрерывно зависят от с, то то же справедливо и для по , также и для . А так как то отсюда

следует, что точка обладает в такой содержащейся в окрестностью 0, что лежит в всякий раз, как с принадлежит к Далее, окрестность можно предположить столь малой, что длины дуг кривой с все меньше элементарной длины ибо длина

дуги есть непрерывная функция от с, значение которой при по предположению меньше

10. Для этой окрестности мы построим теперь деформацию теоремы III, и притом в два шага, при которых параметр деформации должен последовательно пройти интервалы обозначает точку, в которую переходит произвольная точка через промежуток времени

Первый шаг. Кусочно-гладкая кривая с, соответствующая точке из деформируется в элементарный полигон с вершинами:

для чего метод § 13 применяется к отдельным дугам, на которые кривая с разбивается промежуточными точками То введенными в

Рис. 20

Второй шаг. Дуга кривой между точками пересекает промежуточное многообразие в одной точке замечание II). Мы применяем теперь одновременно ко всем дугам

(рис. 20) кривой опять-таки деформацию При этом переходит в элементарный полигон

11. Теперь, когда точка определена для каждой точки с из и каждого из интервала мы покажем, что перед нами деформация множества т.е. что непрерывно зависит от Для это следует из абз. 10 § 13 и из того факта, что дуги непрерывно зависят от с (§ 13, абз. 6), и что сумма конечного числа кривых непрерывно зависит от слагаемых Аналогичные заключения имеют место для интервала Следует только заметить, что дуги (12) непрерывно зависят от с, ибо каждая из этих дуг либо сама представляет собой элементарный отрезок, либо составлена из двух или самое большее трех элементарных отрезков, как это показано на рис. 20. Концы этих элементарных отрезков находятся среди точек:

Так как точки а по замечанию и точки непрерывно зависят от с, то то же справедливо и для элементарных отрезков (§ 13, абз. 7) и для сумм, составленных из двух или трех таких отрезков.

12. Построенная нами деформация кривой с в кривую и есть нужная нам деформация теоремы III. Действительно, точка лежит в и если точка с с самого начала лежала в то она не меняется во время деформации, так как в этом случае точки лежат на промежуточных многообразиях и, следовательно, совпадают с точками Этим теорема III доказана.

13. Выведем теперь из нее теорему

Пусть окрестность из теоремы III. Мы будем обозначать относительные -мерные циклы множества через а относительные -мерные циклы множества через Тогда, как и при доказательстве теоремы 1 § 7, нужно показать следующее:

I. Для каждого относительного цикла существует относительный цикл удовлетворяющий соотношению:

Возьмем столь мелкое подразделение цикла чтобы содержащие точку симплексы этого подразделения образовали

лежащий в относительный цикл Применяя к последнему деформацию теоремы III, мы и получим нужный нам относительный цикл II. Из соотношения

следует соотношение

Действительно, в существует такая цепь что

Возьмем столь мелкое подразделение цепи чтобы содержащие точку -мерные симплексы этого подразделения образовали лежащую в цепь Это подразделение приводит также к некоторому подразделению цикла Если удержать только те симплексы из которые содержат точку то получится некоторый относительный цикл удовлетворяющий соотношениям:

и

Если применить теперь к цепи деформацию теоремы III, то она перейдет в некоторую цепь множества в то время как цикл останется неизменным. Следовательно,

и вместе с (13) это дает по абз. 4 § 3:

что и требовалось доказать.

14. Мы выведем из деформационной теоремы еще одно следствие:

Теорема IV. Для всякой изолированной стационарной точки функционального пространства и всякого достаточно малого положительного числа существует -деформация пространства которая вне -окрестности представляет собой тождественную

деформацию, а -окрестность переводит в некоторое подмножество множества

Доказательство.

Пусть снова и имеют то же значение, как и в деформационной теореме. На есть дважды непрерывно дифференцируемая функция с изолированной стационарной точкой Если цилиндрическая окрестность кривой в то можно найти столь малое чтобы -окрестность во-первых, лежала в и, во-вторых, переводилась деформацией теоремы III в некоторое подмножество множества Произведем деформацией указанную в теореме § 9 деформацию цилиндрической окрестности; тогда мы получим -деформацию окрестности в некоторое подмножество множества Эту деформацию мы будем обозначать формулой

в которой есть точка из есть параметр деформации. Чтобы получить деформацию всего существование которой утверждается теоремой IV, достаточно теперь применить деформацию (14) к -окрестности и затем продолжить ее, постепенно сводя к тождественной деформации. Это можно сделать, например, так (§ :

Этим теорема IV доказана.