Прибавление. Стационарные точки на замкнутых многообразиях

Для более глубоких исследований оказалось необходимым заменить неравенства § 5 более сильными неравенствами, которые при известных предположениях (среди последних находится, в частности, предположение конечности могут быть представлены следующим образом:

Путем сложения двух последующих неравенств мы получаем отсюда:

Мы хотим доказать здесь формулы (1) для случая, когда есть замкнутое -мерное многообразие и дважды непрерывно дифференцируемая функция на нем с конечным числом стационарных точек. Сверх того, должно быть снабжено римановой метрикой с непрерывно дифференцируемыми функциями обозначает -мерное число Бетти пространства сумму -мерных типовых чисел, распространенную на все стационарные точки. Ввиду того что в этом случае последовательность неравенств (1) обрывается, и мы увидим, что в последнем неравенстве имеет место даже знак равенства:

Эти формулы имеют простое наглядное значение; чтобы выяснить его, мы сделаем дальнейшие предположения: мы предположим, что все стационарные точки являются невырожденными и принадлежат все к различным стационарным значениям. Тогда мы можем разбить стационарные точки по их индексам инерции как это сделано в § 8.

Если стационарная точка индекса к, и то в существует негомологичный нулю относительный -мерный цикл Здесь мыслимы два случая: либо цикл гомологичен нулю в либо нет. В первом случае может быть дополнен в области меньших значений до некоторого абсолютного цикла (стр. 36). Следовательно, благодаря присоединению точки -мерное число Бетти области меньших значений увеличивается на единицу: появляется «новый цикл» . В этом случае называется точкой возрастающего типа. Во втором случае абсолютный -мерный цикл который негомологичен нулю в становится благодаря присоединению точки гомологичным нулю. Следовательно, благодаря присоединению точки -мерное число Бетти области меньших значений уменьшается на единицу: есть «новый ограничивающий -мерный цикл». В этом случае называется точкой убывающего типа. На рис. 2 (стр. 12) все стационарные точки суть точки возрастающего типа, за исключением нижней седловой точки, в которой число Бетти размерности нуль уменьшается с 2 до 1. Если перевернуть рис. 2 на 180° и несколько наклонить, так чтобы выступили два максимума: один абсолютный и один относительный, то относительный максимум будет точкой убывающего типа, потому что при прохождении его одномерное число Бетти уменьшается от 3 до 2.

Если заставить теперь а расти от минимума функции до ее максимума, то числа Бетти множества будут меняться только при прохождении а через стационарные значения функции Именно, число Бетти множества возрастает или убывает на единицу в зависимости от того, будет ли соответствующая точка возрастающего типа или убывающего. Следовательно, когда а достигнет максимума, мы будем иметь:

где соответственно есть число стационарных точек индекса к возрастающего, соответственно убывающего, типа. Число всех

стационарных точек индекса равно

При этом

ибо минимум есть, очевидно, стационарная точка возрастающего типа, а точек с индексом инерции не существует.

Вычитая ) из (4), мы получим:

или

Но это и есть формулы (2).

Этот набросок доказательства мы хотим превратить теперь в строгое доказательство. При этом мы допустим как угодно вырожденные стационарные точки, могущие принадлежать и к одинаковым стационарным значениям функции лишь бы этих точек было конечное число.

Пусть нестационарное значение, и — ближайшее меньшее стационарное значение; пусть, далее, (конечное) множество стационарных точек, принадлежащих к значению 7. Заставляя точки множества скользить вниз по ортогональным траекториям функции мы убеждаемся в том, что существует -деформация множества переводящая в некоторое подмножество множества Но отсюда следует, что числа Бетти множества таковы же, как числа Бетти множества

С другой стороны, мы утверждаем, что если а нестационарное значение, меньшее чем 7, и между а и 7 нет никаких стационарных значений, то числа Бетти множества совпадают с числами Бетти

множества Действительно, всякий цикл из множества лежит уже в некотором множестве и потому переходит при деформации где 7 есть первое меньшее стационарное значение, в некоторый гомологичный ему в цикл из Далее всякий цикл из гомологичный нулю в множестве гомологичен нулю уже в некотором множестве Применяя деформацию мы убеждаемся в том, что этот цикл гомологичен нулю уже в откуда и следует наше утверждение. Таким образом, вместо того чтобы сравнить числа Бетти множества с числами Бетти множества достаточно исследовать, как меняются числа Бетти множества когда к нему присоединяется множество

Пусть -мерное типовое число значения 7 в смысле § 4, т.е., по теореме II § 17, сумма -мерных типовых чисел отдельных стационарных точек множества (хотя теорема II была доказана в § 17 для функционального пространства некоторой вариационной проблемы, но она без изменений переносится на наше многообразие По теореме § 10 о конечности типовых чисел, тк конечно. Следовательно, в существует максимальная система тк гомологически независимых относительных -мерных циклов

При этом мы можем предположить, что допускают дополнение в смысле § 6, в то время как ни одна линейная комбинация циклов пктк не допускает дополнения. Если бы такая линейная комбинация допускала дополнение, то мы могли бы заменить ею один из базисных циклов и получили бы еще одни базисный цикл, допускающий дополнение.

Абсолютные циклы:

являются гомологически независимыми в и путем присоединения некоторого конечного числа -мерных циклов

мы можем дополнить их совокупность до -мерного базиса гомологии (т. е. максимальной системы гомологически независимых -мерных циклов) множества Таким образом, -мерное число Бетти этого множества равно

Мы покажем, что -мерное число Бетти множества равно

и что циклы

где есть абсолютный цикл, полученный в результате дополнения цикла образуют -мерный базис гомологии этого множества. В самом деле

1. Циклы (11) гомологически независимы в Действительно, из соотношения

следует, что

и так как

Отсюда, в силу независимости относительных циклов мы получаем:

Таким образом, от (12) остается только:

или

где некоторая цепь, лежащая в Как относительный цикл эта цепь гомологична некоторой линейной комбинации циклов

откуда следует, в силу (14), что

Но благодаря тому что цикл допускает дополнение, мы имеем:

так что

Так как циклы по построению гомологически независимы в от циклов то отсюда следует:

(13) и (15) вместе означают, что циклы (11) независимы.

II. Циклы (11) образуют полную систему, т. е. всякий -мер-ный цикл из гомологичен в некоторой линейной комбинации циклов (11).

Действительно, как относительный цикл удовлетворяет соотношению вида:

или

Так как слева стоит относительный цикл, допускающий дополнение, то и правая часть должна допускать дополнение, откуда следует, что Поэтому

т.е. цикл — гомологичен в некоторому абсолютному циклу из

Но последний гомологичен в некоторой линейной комбинации циклов (7) и (8) и, следовательно, гомологичен в некоторой линейной комбинации циклов (8), ибо в циклы (7) гомологичны нулю. Этим доказана полнота системы (11).

Сравнивая (9) и (10), мы видим, что при присоединении множества -мерное число Бетти множества увеличивается на

Сумма этих выражений, распространенна на все стационарные значения 7, должна дать -мерное число Бетти многообразия

С другой стороны, сумма -мерных типовых чисел, распространенная на все стационарные точки, равна

Если принять еще во внимание, что то отсюда, как и выше, получатся формулы Морса.

Формулы Морса (2) дают оценки для типовых чисел, но не оценки для чисел стационарных точек, безусловно имеющихся на данном замкнутом многообразии Только если мы ограничимся невырожденными стационарными точками, будет одновременно числом стационарных точек с индексом инерции k. Например, в силу неравенств на замкнутой ориентируемой поверхности рода всегда имеется по крайней мере один минимум, один максимум и седловых точек, если все стационарные точки невырождены. Но легко указать на поверхности функцию которая, кроме минимума и максимума, обладает еще только одной стационарной точкой. Последняя должна тогда иметь типовые числа:

и, следовательно, представлять собой вырожденную седловую точку, из которой выходят впадин. Именно, поверхность рода можно накрыть -угольником, противоположные стороны которого попарно отождествлены. Тогда вершин этого многоугольника станут по эквивалентными, так что на поверхности возникает клеточная система с вершинами, ребрами и участками поверхности. Одну вершину мы сделаем точкой минимума, другую — точкой максимума, центр многоугольника — седловой точкой, и функцию определим подходящим образом инвариантно по отношению к циклической группе (порядка вращений нашего -угольника (который должен мыслиться при этом как метрически правильный) вокруг его центра.

Возникает вопрос, на всяком ли замкнутом -мерном многообразии можно построить функцию, имеющую только три стационарные точки, именно, один минимум, один максимум и одну, вообще говоря, вырожденную, стационарную точку. Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным. Уже в трехмерном проективном пространстве всякая функция имеет но крайней мере четыре стационарные точки.

Подобные оценки минимальных чисел удается получить с помощью понятия категории многообразия. Замкнутое многообразие имеет категорию с, если оно может быть покрыто с, но не менее, чем с,

замкнутыми множествами, каждое из которых деформируемо в одну точку. Имеет место

Теорема. Число стационарных точек на замкнутом многообразии по меньшей мере равно категории

Доказательство.

Мы вправе предположить, что функция имеет только конечное число стационарных точек Выберем для точек попарно непересекающиеся замкнутые цилиндрические окрестности (стр. 55) и построим для каждого замкнутое множество следующим образом: из каждой точки «крыши» цилиндрической окрестности она состоит из точек окрестности с наибольшими значениями функции мы проводим ортогональную траекторию в направлении возрастающих значений функции до точки, в которой эта траектория встречает одну из прочих окрестностей Вместе с самой окрестностью эти куски ортогональных траекторий образуют замкнутое множество которое может быть продеформировано в точку: сначала нужно стянуть ортогональные траектории в их начальные точки на верхнем основании цилиндрической окрестности а затем продеформировать в точку Так как всякая ортогональная траектория, проходимая в направлении убывающих значений функции встречает верхнее основание одной из цилиндрических окрестностей то каждая точка пространства принадлежит по крайней мере к одному из замкнутых множеств Поэтому категория пространства не может быть больше что и требовалось доказать.

Не имеется общего метода для вычисления категории данного многообразия. Однако некоторые оценки могут быть указаны. Категория

проективного пространства равна четырем, категория топологического произведения окружностей равна

Задача . Ориентируемая поверхность рода вложена дважды непрерывно дифференцируемым образом в евклидово пространство Показать, что минимальное число (вообще говоря, вырожденных) седловых точек функции (высота точки над плоскостью равно не 1, а 2. Соответствующая задача для многообразий размерности выше 2 не решена.