§ 22. Произвольные граничные многообразия

Чтобы выдвинуть на первый план руководящие идеи, мы при рассмотрении вариационной проблемы ограничивались до сих пор случаем закрепленных концов. Теперь мы хотим показать, каким образом исследование переносится на случай произвольных граничных многообразий.

1. Мы мыслим себе замкнутые граничные многообразия размерностей a и b, расположенные в замкнутом римановом многообразии Точнее, мы различаем как начальное и конечное многообразия. должны удовлетворять следующим условиям:

1) Для размерностей справедливы неравенства:

не имеют общих точек и вложены в топологически, и притом дважды непрерывно дифференцируемым образом. Двухкратная непрерывная дифференцируемость вложения многообразия , например, означает следующее: для каждой точки А на существует окрестность внутри которой определяется а уравнениями:

суть дважды непрерывно дифференцируемые функции локальных координат принадлежащих к точке А, и функциональная матрица

имеет ранг .

Наша вариационная проблема формулируется теперь следующим образом: найти все геодезические, ведущие от и ортогональные к этим многообразиям в своих концевых точках. Такую геодезическую

мы называем стационарной геодезической между Если, в частности, суть точки, то мы возвращаемся к рассмотренной ранее проблеме.

2. Функциональное пространство которое мы привлечем для решения этой задачи, состоит из всех кусочно-гладких кривых, соединяющих с Для нас важны числа Бетти пространства Мы покажем, что они в значительной степени независимы от специальной постановки нашей вариационной проблемы.

I. Покажем сначала, что числа Бетти пространства не меняются при деформации граничных многообразий Точнее: мы рассматриваем гомотопную деформацию многообразия внутри результат которой есть топологическое отображение многообразия на некоторое лежащее в многообразие . Таким образом, если параметр деформации то значениям отвечают топологические отображения многообразия , именно, тождественное отображение на и отображение на . Напротив, всем остальным значениям отвечают отображения многообразия , которые только непрерывны, но, вообще говоря, не взаимно-однозначны. Если, например, есть трехмерная сфера, и расположенный в ней узел, то деформация в окружность есть допустимая деформация. Пусть и деформируется таким же образом в некоторое гомеоморфное ему многообразие Если есть функциональное пространство всех кусочно-гладких кривых, соединяющих с то наше утверждение гласит; имеют одинаковые числа Бетти.

Доказательство.

При деформации многообразия в многообразие точка А из описывает некоторую кривую и с концом А на . Параметр на и есть параметр деформации Отметим на и точки с значениями параметра

и выберем столь большим, чтобы все частичные кривые, на которые эти точки разбивают и, имели диаметры, не превосходящие элементарной длины Так как компактно, то это можно сделать независимо

от выбора А на . Соединив соседние точки деления элементарными отрезками, мы получим некоторый элементарный полигон . Так как точки деления на и непрерывно зависят от А, то непрерывно зависит от А. Точно так же можно и для каждой точки В на построить составленный из хорд полигон ведущий в соответствующую точку В на Если мы отнесем теперь кусочно-гладкой кривой с, ведущей из кривую которая ведет из есть кривая , проходимая в обратном направлении), то это соответствие

которое мы обозначим через будет непрерывным отображением пространства в пространство . В самом деле, есть кусочно-гладкая кривая (этим и объясняется переход от , для которых это, вообще говоря, неверно, к непрерывно зависящая от с. Последнее видно из того, что (§ 13, абз. 5) непрерывно зависит от непрерывно зависят от и тем самым от с.

С другой стороны, каждой кусочно-гладкой кривой с, ведущей из некоторой точки А на в некоторую точку В на мы отнесем кривую Определенное этим соответствие

которое мы обозначим через есть непрерывное отображение пространства в пространство Применяя сначала отображение а затем отображение мы получим непрерывное преобразование пространства в самое себя. Так же, как в случае закрепленных концов можно доказать, что преобразование допускает деформацию в тождественное преобразование пространства в тождественное преобразование пространства и затем вывести отсюда совпадение чисел Бетти пространств Что изменение римановой метрики на при фиксированных граничных многообразиях не оказывает влияния на числа Бетти функционального пространства доказывается так же, как в случае закрепленных концов (§ 21, II). Доказательство дословно то же, нужно только заменить концы граничными многообразиями

3. Под стационарной точкой в функциональном пространстве мы понимаем теперь точку, соответствующую стационарной геодезической на между Если стационарная точка обладает

в окрестностью, в которой она является единственной стационарной точкой, то называется изолированной стационарной точкой пространства и соответствующая геодезическая на которую мы также обозначаем через изолированной стационарной геодезической между Для изолированных стационарных геодезических типовые числа определяются дословно так же, как в § 14.

4. Также и метод вычисления типовых чисел изолированной стационарной геодезической лишь несущественно отличается от метода их вычисления в случае закрепленных концов (§ -промежуточным многообразиям § теперь присоединяются еще -мерный начальный элемент и -мерный конечный элемент И. Это относительные -окрестности начальной точки А кривой в и конечной точки В кривой Ограниченное многообразие состоит из тех точек пространства которым в соответствуют -сторонние элементарные полигоны с вершинами на многообразиях

гомеоморфно топологическому произведению:

Деформационная теорема III § 14 сохраняется дословно; точкам из отвечают кусочно-гладкие кривые, ведущие от к (но не обязательно из

Также и доказательство деформационной теоремы III остается в существенном тем же. Деформация § 14 выполняется снова в два шага. Первый шаг состоит в переходе заданной кусочно-гладкой кривой с начальной точкой на и конечной точкой на к -стороннему элементарному полигону с теми же концами, остальные вершины которого лежат «вблизи» промежуточных точек но, вообще говоря, не на промежуточных многообразиях Элементарный полигон пересекает промежуточные многообразия в некоторых точках и второй шаг состоит в деформации полигона в элементарный полигон с вершинами

Коль скоро доказана деформационная теорема III, могут быть дословно повторены все выводы и 14 § 14.

5. Значительных дополнительных рассмотрений в случае произвольных граничных многообразий требует доказательство

справедливости аксиом I и II, так как мы должны принять во внимание ортогональность стационарных геодезических к граничным многообразиям.

Под -окрестностью

лежащего граничного многообразия мы понимаем совокупность точек многообразия расстояние которых от меньше -окрестность называется нормальной, если для каждой ее точки существует в точности одна геодезическая где лежит на , которая короче и в точке ортогональна к . Мы называем перпендикуляром, опущенным из на (если лежит на , то длина перпендикуляра равна нулю). Расстояние от меньше расстояния точки от любой другой точки многообразия . Так как мы предположили, что вложено в дважды непрерывно дифференцируемым образом, то при достаточно малом всякая -окрестность многообразия нормальна.

Как и в случае закрепленных концов, мы построим теперь для каждого нестационарного значения а функции -деформацию множества в некоторое подмножество множества Однако теперь мы разобьем конструкцию уже не на два, а на три шага, во время которых параметр деформации будет по очереди пробегать интервалы от до 1, от 1 до 2 и от 2 до 3. Первые два шага совпадают с двумя первыми шагами § 16. Лишь число частичных интервалов мы выберем теперь столь большим, чтобы не только было не больше элементарной длины но чтобы, сверх того, -окрестности многообразий были нормальны. Концы То и которые суть теперь произвольные точки многообразий остаются во время первых двух шагов неподвижными, и только геодезические, ведущие от к не уменьшают своей длины. Третий шаг нужен нам для того, чтобы укоротить и эти последние, поскольку они не являются стационарными (т. е. ортогональными к в точках

6. Третий шаг состоит в том, что мы заменяем первый отрезок и последний отрезок перпендикулярами опущенными из соответственно на Эти перпендикуляры существуют, ибо, в силу неравенства

лежит в нормальной -окрестности многообразия и точно так же лежит в нормальной -окрестности многообразия Так из получается элементарный полигон с вершинами:

Теперь мы должны перевести в при помощи деформации. При этом, как уже было упомянуто, параметр деформации будет изменяться от 2 до 3. В силу двухкратной непрерывной дифференцируемости вложения в риманова метрика многообразия индуцирует в многообразии также определенную риманову метрику с непрерывно дифференцируемыми функциями Пусть (открытое) множество всех точек из , удаленных от меньше чем на Так как длина элементарного отрезка не превосходит то принадлежит к Но тогда к принадлежит и основание перпендикуляра На расстояние во всяком случае для есть дважды непрерывно дифференцируемая функция

локальных координат точки из и локальных координат точки из Действительно, длина элементарного отрезка есть дважды непрерывно дифференцируема функция его концов и многообразие вложено в дважды непрерывно дифференцируемым образом. При фиксированном функция имеет минимум в точке и кроме заведомо не имеет стационарных точек в Так как на определена риманова метрика, то при фиксированном функции соответствует по отношению к этой метрике в каждой точке по крайней мере в каждой, отличной от определенный вектор-градиент. Эти векторы-градиенты огибаются ортогональными траекториями, которые ведут в Мы заставим точку То перемещаться по ее ортогональной траектории к точке и притом с постоянной скоростью

Если есть точка, в которую переходит точка через промежуток времени аналогичным образом определенная

точка многообразия в которую переходит через промежуток времени точка то кривая в которую переходит кривая с к моменту есть элементарный полигон с вершинами:

Этим указан путь, описываемый точкой с пространства при деформации Нам остается еще показать, что и третий шаг представляет собой деформацию, т.е. что непрерывно зависит от в интервале Это следует из того, что вершины которые остаются при третьем шаге неподвижными, непрерывно зависят от с, и начальная точка и конечная точка непрерывно зависят от

7. Этим -деформация построена. Вместе с ней дословно переносятся на случай граничных многообразий и все выводы, полученные с ее помощью для случая закрепленных концов. В частности, справедлива основная теорема §19: Если функциональное пространство нашей вариационной проблемы (стр. 107) имеет бесконечную связность, то существует бесконечное множество стационарных геодезических, ведущих от начального многообразия к конечному многообразию

8. Общий метод определения чисел Бетти функционального пространства разработан для случая многообразий еще менее, чем для случая закрепленных концов. Однако можно утверждать, что если граничные многообразия могут быть продеформированы на в некоторые точки то числа Бетти пространства не меньше соответствующих чисел Бетти функционального пространства всех кусочно-гладких кривых, ведущих из в .

Доказательство.

При деформации многообразия в точку А каждая точка А многообразия описывает некоторую кривую и, которую мы, как в этого параграфа, заменяем элементарным полигоном и. Соответствующим образом вводятся кривая и элементарный полигон ведущий из произвольной точки В многообразия в В. Элементарные полигоны вполне определяются выбором точек и независимого от числа точек деления.

Фиксируем на некоторую точку и на некоторую точку Во и рассмотрим соответствующие элементарные полигоны первый

из которых ведет из в А, а второй из в В. Определим следующим образом отображение пространства в пространство кусочно-гладкой кривой с, ведущей из в В отнесем ведущую из в кусочно-гладкую кривую Это отображение

которое мы обозначим через очевидно, непрерывно. Точно так же мы построим отображение пространства в пространство : для кусочно-гладкой кривой с, ведущей из некоторой точки А на в некоторую точку В на мы положим:

Это непрерывное отображение, которое мы обозначим через Если произвести теперь сначала отображение а затем отображение то получится непрерывное преобразование пространства

которое, как в § 21, I, может быть продеформировано в тождественное преобразование этого пространства. Отсюда опять-таки, как в , и следует справедливость нашего утверждения.

9. Если есть -мерная сфера то всегда могут быть стянуты в точку. Так как для случая закрепленных концов на мы уже доказали, что функциональное пространство имеет бесконечную связность, то, применяя основную теорему (§ 19), мы получаем следующее предложение:

Пусть в -мерную сферу, которая снабжена трижды непрерывно дифференцируемой римановой метрикой, топологически и дважды непрерывно дифференцируемым образом вложены замкнутые многообразия без общих точек. В таком случае всегда существует бесконечное множество геодезических, соединяющих многообразия и ортогональных к ним в своих концевых точках.