§ 2. ПОДХОД ФУНКЦИИ ГРИНА В НЕЛИНЕИНОИ ОПТИКЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Интегральные принципы описания распространения электромагнитных волн широко применяются в теории оптических приборов [7, 8]. В линейной оптике основой такого описания является принцип Гюйгенса — Френеля, позволяющий с единой точки зрения построить геометрическую (см. Приложение 1) и дифракционную [7, 8] теории прибора. Имеющиеся в литературе расчеты нелинейно-оптических преобразователей основаны, как правило, на непосредственном решении укороченных волновых уравнений [1-6] с использованием различных упрощающих предположений [159—160]. Подход функций Грина, аналогичный подходу Гюйгенса — Френеля, может эффективно применяться в теории параметрического преобразования изображения из ИК-области в видимую [175—177, 219, 223, 224].

Пространственное распределение поля суммарной частоты можно найти, решая уравнения Максвелла, содержащие при заданном пространственном распределении полей накачки и инфракрасного излучения (приближение заданного поля, см. гл. 1). В оптике при рассмотрении процесса распространения волн принято вместо решения уравнения Максвелла пользоваться скалярной теорией распространения волн, охватывающей все основные закономерности [7]. В этой теории поле суммарной частоты описывается уравнением

где волновое число, длина волны, показатель преломления на частоте нелинейная константа, пропорциональная свертке тензора с единичными векторами поляризации взаимодействующих волн, включающая в себя поправочные коэффициенты Лоренца.

Для произвольной замкнутой гладкой поверхности 2 внутри кристалла решение уравнения (2.25) можно представить в виде

где V — объем, ограниченный поверхностью 2. Формула (2.26) содержит два члена. Первый определяется значением поля и его нормальными производными на поверхности 2. Второй описывает вклад объемных источников, находящихся внутри поверхности 2. Пренебрежем отражением и преломлением волн суммарной частоты на гранях кристалла. Данные эффекты с учетом указанных выше приближений можно рассмотреть уже после решения нелинейной задачи. При этом грани кристалла рассматриваются как линейные оптические системы, находящиеся на входе и выходе преобразователя, каждая из которых представляет собой преломляющую поверхность (как правило, плоскую), по форме совпадающую с соответствующей частью границы нелинейного кристалла. Дополнительно будем считать, что внешние поля на суммарной частоте отсутствуют. В указанных предположениях в правой части формулы (2.26) остается только второе слагаемое. Действительно, непосредственным вычислением можно убедиться, что для поля

первый интеграл справа в формуле (2.26) тождественно равен нулю.

Формула (2.27) представляет собой модифицированный принцип Гюйгенса — Френеля в нелинейной оптике. Физический смысл интеграла (2.27) довольно прост. Поле излучения является суммой полей когерентных источников, распределенных в объеме, в то время как в линейной оптике эти источники всегда расположены на поверхности [7, 8].

Для понимания того, как работает формула (2.27), проанализируем с ее помощью взаимодействие плоских волн накачки и ИК-излучения:

Вычислим распределение суммарного излучения в дальней зоне. Тогда

Как видно из (2.27) и (2.29), условие применимости (2.30) можно записать следующим образом:

где наибольший размер нелинейной среды. Интеграл (2.30) вычисляется непосредственно:

При выражение (2.32) с точностью до амплитудного множителя совпадает с главной при А частью формулы (1.70), полученной из непосредственного анализа волнового уравнения полубесконечной задачи. Наличие амплитудного множителя связано, очевидно, с разницей в постановках задачи — формула (1.70) дает амплитуду плоской волны суммарного излучения в области, где поперечные размеры кристалла можно считать бесконечными, а -угловое распределение в области, где справедливо условие (2.31), и отсюда множитель Если рассмотреть дифракцию волны, определяемой формулой (1.70) на прямоугольном отверстии размерами иными словами, если подставить поле (1.70) в интеграл Френеля — Крихгофа (см. без второго слагаемого в правой части, то в дальней зоне (дифракция Фраунгофера) после интегрирования получится выражение, совпадающее с (2.32). Таким образом, если пренебречь поверхностными эффектами, т. е. членами или то формула (2.32) правильно описывает точное решение волнового уравнения. С другой стороны, с ее помощью сравнительно просто удалось решить задачу о пространственном распределении суммарного излучения, генерируемого средой с конечными поперечными размерами. Непосредственный анализ волнового уравнения в такой задаче достаточно сложен. Приведенный пример позволяет думать, что использование подхода функций Грина вместо непосредственного нахождения решений волнового уравнения эффективно, когда нужно найти приближенное решение задачи с достаточно сложной пространственной конфигурацией.

В случае преобразования сигнала конфигурации полей в значительной степени произвольны и определяются конкретными оптическими схемами, в которых используется преобразователь. При переводе изображения достаточно знать преобразованное поле от точечного источника ИК-излучения. В этом случае

Здесь волновое число, длина волны, показатель преломления ИК-излучения радиус-вектор, характеризующий положение ИК-источника. Распределение поля накачки определяет тип преобразователя [14, 204]. Представим поле накачки в виде

где — медленно меняющаяся по сравнению с фазой функция. Выберем следующий порядок интегрирования в формуле (2.27): сначала интегрируем по поверхностям постоянной фазы накачки а затем суммируем излучение от всех фазовых поверхностей. В результате получаем

Здесь параметр, характеризующий интенсивность инфракрасной волны и нелинейность кристалла; координата пересечения поверхности постоянной фазы с осью Интеграл по в формуле (2.35) по форме совпадает с интегралом Френеля—Кирхгофа для преломляющей поверхности с показателем преломления Таким образом, нелинейный кристалл ведет себя как система непрерывно расположенных вдоль оси z и когерентно излучающих поверхностей с апертурными диафрагмами с амплитудными прозрачпостями [175, 176, 223].

Следует подчеркнуть, что когерентность источников, принадлежащих к различным поверхностям, весьма существенна. Даже когда для каждой из преломляющих поверхностей применимо приближение геометрической оптики, суммарное поле зачастую имеет дифракционный характер.

Расчет конкретных схем преобразования изображения основан на приближенном вычислении интеграла Грина (2.27), что позволяет выделить часть нелинейного кристалла, дающую основной вклад в излучение на суммарной частоте, и пренебречь влиянием остальной части. Излучатели, интерферирующие точно в фазе, определяют лучи, соответствующие геометрической оптике. Оставшиеся излучатели описывают эффекты, аналогичные дифракционным. Таким образом, удается построить отдельно геометрическую оптику нелинейно-оптических преобразователей (гл. 2, 4), а затем дать дифракционную теорию разрешающей способности (гл. 3, 4).