§ 3. РАСЧЕТ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ В СХЕМЕ КАСАТЕЛЬНОГО СИНХРОНИЗМА РАЗЛОЖЕНИЕМ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОЛЕЙ ПО ПЛОСКИМ ВОЛНАМ. БОЛЬШИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Подход функций Грина позволил проследить аналогию между нелинейно-оптическим преобразователем и определенной линейной оптической системой. Тем самым выяснены основные свойства преобразователей. Однако для решения некоторых конкретных вопросов более удобен подход, связанный с разложением по плоским волнам взаимодействующих полей. Все это относится прежде всего к расчету преобразователей с большими коэффициентами преобразования, когда становится несправедливым приближение заданного поля по ИК-сигналу. Для упрощения вычислений рассмотрим случай несфокусированной накачки (плоская волна, распространяющаяся вдоль оси и ограничимся параксиальным приближением что означает сравнительно большие Именно в такой ситуации прежде всего могут реализовываться большие коэффициенты преобразования. Процедура расчета состоит в следующем. Разлагаем электрическое поле ИК-излучення в плоскости объекта в двумерный пространственный интеграл Фурье. Пользуясь дисперсионной связью находим распределение ИК-излучения на входной грапи нелинейной среды. С помощью формул (1.128), (1.130) или (1.132) находим распределение рожденного сигнального излучения частоты на выходной грани нелинейной среды. Дисперсионная связь позволяет затем вычислить распределение излучения суммарной частоты в любой плоскости наблюдения Для моделирования апертурных эффектов будем считать, что на входной границе нелинейной среды паходится диафрагма с распределенной по гауссовскому закону амплитудной прозрачностью

Теорема Бореля о свертке для фурье-преобразований [226] позволяет вычислить фурье-образ инфракрасной волны на входной грани нелинейной среды после диафрагмы. Используя (3.47) и имеем

с помощью (1.126), (1.128) или (1.130), а также и учитывая, что в каждой сигнальной волне, рожденной ИК-волной с данным можно найти пространственный фурье-образ (по х, у) поля суммарной частоты на выходной грани нелинейной среды . С учетом пересчитываем в плоскость и выполняя обратное фурье-преобразование по вычисляем пространственное распределение поля суммарной частоты в плоскости наблюдения

где введенная в [159, 160] функция разброса

Для построения теории прибора достаточно рассмотреть преобразование излучения точечного источника, т. е. сферической волны. Однако в параксиальном приближении распределение поля точечного источника в плоскости аппроксимируется дельта-функцией. В самом деле, в смысле формирования изображения источник ведет себя как точечный, если его размеры много меньше но могут быть еще велики по сравнению с Тогда дифракционная расходимость излучения такого источника еще мала и в плоскости поле заметно отличается от нуля только в самом источнике. Непосредственным вычислением можно

убедиться, что пространственные спектры сферической волны и -образного источника в плоскости входной грани нелинейной среды совпадают в параксиальном приближении. Сказанное означает, что сама функция разброса в параксиальном приближении описывает распределение преобразованного излучения точечного ИК-источника.

В пренебрежении анизотропией и выражение для функции разброса после перехода к полярным координатам по и интегрирования по углу принимает вид

функция Бесселя, определяется выражением (3.506).

Без учета внеинтегрального фазового множителя поле в двух плоскостях наблюдения симметричпых относительно плоскости такой, что

комплексно сопряжено; а при поле чисто действительно, аналогично распределению поля относительно фокуса идеальной линзы. При

(3.526) совпадает с (3.9а) при и с учетом различия на начало координат в этих формулах.

В условиях (3.53) можно выполнить интегрирование в (3.51) и получить аналитическое выражение для функции разброса 1163]:

В плоскости формирования идеального изображения имеем

В случае слабой анизотропии членами порядка можно пренебречь, сохранив члены порядка Из (3.50) следует, что выражение для функции разброса с точностью до фазового множителя совпадает с (3.51), если в последнем сделать замену

Сказанное означает, что слабая анизотропия не меняет формы распределения поля суммарной частоты, но приводит к сносу изображения в направлении х на величину

Подробный анализ распределения поля в фокальной области проведен в работе [21,7], где предложены простые аппроксимации функции разброса, полученные заменой множителя —X в (3.51) на более простые для интегрирования множителя или на Такие аппроксимации позволили провести приближенный анализ распределения поля суммарной частоты вблизи фокуса при произвольных расположениях ИК-источника относительно нелинейного кристалла.

Анализ, проведенный в настоящем параграфе, позволяет сделать следующие выводы [159—163, 180, 191, 217]:

I. В пренебрежении анизотропией кристалла при в условиях что соответствует френелевской зоне апертурной диафрагмы, положение плоскости наблюдения z с минимальной характерной шириной функции разброса определяется формулой

Точка этой плоскости, в которой яркость максимальна, дается равенством (3.23). В двух плоскостях расположенных на равных расстояниях от плоскости поля являются взаимно комплексно сопряженными друг другу, подобно тому, как это имеет место в области фокуса идеальной линзы. В области разрешающая способность дается формулой (2.3), а при размытие изображения связано только с дифракцией на диафрагме (3.47). Продольное размытие изображения также соответствует дифракции на диафрагмах угловой ширины синхронизма формулу при или (3.47) при Поле зрения при этом равно или определяется формулой (2.6) соответственно. В фраунгофоровской зоне диафрагмы (3.47) угловое разрешение определяется дифракцией на ней, а угловое поле зрения — угловой шириной синхронизма (2.1). Число разрешаемых элементов во всех случаях одинаково и совпадает с оценкой (2.4).

2. Слабая анизотропия (позволяющая пренебречь членами в (3.50) и (3.54) с сохранением членов не меняет никаких характеристик преобразователя по сравнению с изотропной нелинейной средой. Как видно из (3.50), учет анизотропии приводит лишь к сносу изображения на величину

3. Введение небольшой положительной расстройки Д/со увеличивает эффективную угловую ширину синхронизма и, как следствие, несколько растет разрешающая способность. Оптимальное значение расстройки При этом разрешающая способность улучшается в два раза.

4. При больших коэффициентах преобразования передаточная функция в представлении нелинейной среды меняется — вместо фактора имеем фактор (см.

Как показал численный анализ выражения (3.54), проведенный в работе [180], это обстоятельство практически не меняет характерного размера размытия, хотя несколько уменьшает амплитуду главного максимума и отношение этой амплитуды к амплитуде второго максимума.

Итак, расчеты разложением по плоским волнам и с использованием подхода функций Грина всех основных характеристик схемы касательного синхронизма с накачкой в виде плоской

волны дают практически совпадающие результаты. Однако подход функций Грина имеет преимущество: он позволяет с самого начала установить аналогию НПИ с линейными оптическими системами и тем самым понять общие свойства таких преобразователей, влияние на формирование изображения различной фокусировки накачки и т. д. Для расчета конкретных характеристик можно воспользоваться хорошо разработанной теорией линейных оптических систем и тем самым резко упростить вычисления. Наконец, в таком варианте построения теории классификация искажений изображения идет в терминах обычной теории оптических приборов, что облегчает использование линейных оптических систем на входе и выходе преобразователя для требуемого в конкретных случаях улучшения изображения. Вместе с тем учет некоторых факторов в рамках разложения по плоским волнам оказывается значительно проще. Если коэффициент преобразования близок к единице, то нарушение приближеиия заданного поля по ИК-сигналу усложняет расчет несущественно (в выражении (3.50) просто меняется конкретный вид передаточной функции нелинейной среды). В то же время в подходе с использованием функций Грина весь расчет нужно начинать сначала и вместо вычисления интеграла (2.27) необходимо решить систему интегральных уравнений типа (2.27) для полей суммарной частоты и ИК-излучения.