§ 4. ТРЕХВОЛНОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

Приближение медленных амплитуд

При выполнении условия синхронизма нелинейные эффекты могут накапливаться и, следовательно, становиться большими, даже когда поле возбуждающего излучения много меньше внутриатомных полей. Например, см уже при полях что соответствует плотности мощности формула (1.73) с учетом (1.4), (1.24) дает интенсивность второй гармоники на выходе из нелинейного кристалла порядка или больше интенсивности возбуждающего излучения. Это означает, что применение приближения заданного поля связано с заметным нарушением закона сохранения энергии. Ясно, что в таких условиях обратное влияние второй гармоники на возбуждающее излучение не является пренебрежимо малым.

Конкретный механизм обратного влияния состоит в следующем. Поле второй гармоники на частоте вместе с полем возбуждающего излучения на частоте со наводит нелинейную поляризацию на частоте Электромагнитное поле, излученное этой поляризацией, интерферирует с возбуждающими и ослабляет или усиливает его в зависимости от направления общего процесса (перекачка энергии из со в или наоборот). На первый взгляд одновременно с учетом процесса необходимо учитывать процесс В самом деле, нелинейная поляризация на тройной частоте как видно из (1.24), оказывается одного порядка с Однако нетрудно убедиться, что волновые расстройки для процессов всегда одинаковы по величине, а для процесса совсем другое. Поэтому, если условия синхронизма выполнены для процесса они выполнены и для процесса но, как правило, не выполнены для процесса (см. конец предыдущего параграфа). Поэтому процесс сложения частот малых обычно идет гораздо менее эффективно и его влияние на излучение частот и со можно не учитывать.

Таким образом, система уравнений (1.43) для частот и со является замкнутой на определенном уровне точности.

Более общим примером такой замкнутой, благодаря избирательности синхронизма, системы процессов является так называемое трехволновое взаимодействие, которое в квадратичной нелинейной среде связывает между собой волны на трех частотах, удовлетворяющих соотношению (1.76). Используя выражения (1.24), (1.27) и (1.43), проходим к системе пространственных уравнений, описывающих трехволновое взаимодействие:

Прежде, чем анализировать уравнения (1.90), вспомним, что в силу локальной малости нелинейных эффектов поведение полей на расстоянии порядка длины волны сшета весьма мало (примерно, как отличается от того, которое предсказывает линейная теория. Поэтому в полубесконечной среде решение системы естественно искать в виде

считая, что меняется с изменением гораздо медленнее, чем

Приближение медленных амплитуд (хорошо известное в радиотехнике как метод Ван-дер-Поля) состоит в пренебрежении последним слагаемым по сравнению с предпоследним в силу условия

При этом вторым слагаемым по сравнению с первым пренебрегать нельзя, поскольку к в (1.91) обычно выбирают так, что при подстановке (1.91) в уравнения (1.90) первое слагаемое компенсируется или почти компенсируется членом

В итоге система уравнений (1.90) принимает следующий вид:

где

Поскольку А в (1.91) зависит от то в выборе к имеется некоторый произвол. В зависимости от способа решения можно выбирать к так, чтобы или При наличии поглощения к часто выбирают так, чтобы где мнимая часть тензора диэлектрической проницаемости. В дальнейшем мы остановимся именно на таком варианте.

Система уравнений (1.94) существенно проще, чем (1.90), поскольку она первого, а не второго порядка в смысле дифференцирования по Однако система (1.94) не эквивалентна (1.90) даже когда нелинейность мала, так как (1.94) описывает эволюцию волн, распространяющихся в одну (сторону. В общем случае произвольных граничных условий система (1.94) должна быть дополнена аналогичной системой уравнений для амплитуд волн распространяющихся во встречном направлении.

Если не учитывать оптическую анизотропию среды (полагать, что 81,2,3 — скаляры), то эффект накопления имеет место только для поперечных волн. Поэтому можно считать, что и выражение (1.92) упрощается:

Поскольку в приближений заданного поля А зависит только от то естественно и в рассматриваемом случае искать решение уравнений (1.94) с таким же свойством. Тогда (1.94) принимают вид :

Здесь единичные орты поляризованных волн на частотах компонента мнимой части волнового вектора, возникающего при описании поглощения с помощью комплексных волновых векторов.

Введем вместо А переменные умножим обе части (1.96) на комплексно сопряженные уравнения — на и сложим правые и левые части всех равенств (5 — произвольные константы значения которых выбраны ниже). В итоге приходим к соотношению

компонента вектора Умова — Пойнтинга. Ограничившись случаем

и выбирая

видим, что правая часть (1.97а) обращается в нуль. Это значит, что при имеется серия интегралов движения уравнений (1.96). Из (1.97), (1.98) следует, что при эти интегралы также имеют место, но не для величин 61,2,31,2,32, а для Поэтому все последующие формулы для интегралов движения остаются в силе и при ненулевых, но одинаковых для всех трех волн, линейных поглощениях. Необходимо лишь заменить в них А на

Нетрудно видеть, что линейно независимыми являются два интеграла движения. Приведем следствия (1.97) при 71,2,3 0, которые переходят в эти интегралы движения при обращении в нуль 71,2,3:

Выражение (1.99в) получено вычитанием (1.996) из (1.99а); выражение - сложением (1.99а) и (1.996) с предварительным умножением (1.99а) на и (1.996) на с учетом (1.76).

Если в среде отсутствует диссипация, связанная с нелинейными процессами, то из (1.38), (1.96в) следует, что

В этом случае ( принимает вид

В отсутствие и линейного поглощения соотношения (1.99) удобно записать в следующей форме:

Равенство ( выражает закон сохранения полной энергии трех волн в нелинейной среде в отсутствие диссипации и усиления. Выражения есть частные случаи так называемых соотношений Мэнли-Роу [1—6, 18]. В классической теории они носят формальный характер. Их физический смысл понятен при описании света на квантовом языке. Выражения ( отражают тот факт, что кванты частот рождаются и исчезают только одновременно с рождением или исчезновением одного кванта Общий вывод соотношений Мэнли — Роу, основанный на квантовом подходе, можно найти в книге [1] (см. также [18-28]).

Наличие только линейного поглощения, не нарушающего (1.100), не меняет физического смысла соотношений Мэнли — Роу даже при . В этом случае (1.99) уже не приводят к интегралам движения, что снижает их практическую ценность. Однако все соображения о трансформации фотонов в трехволновом взаимодействии, как видно из (1.99), остаются в силе. Поглощение приводит лишь к дополнительному исчезновению фотонов каждой из волн в соответствии со своими (см. 1.101)).

Уравнения (1.96) в общем случае допускают только численные решения [2, 18]. Аналитические результаты можно получить в следующих частных случаях.

1. В отсутствие линейной диссипации уравнения (1.96) имеют еще один интеграл движения. Получить его и понять физический смысл можно, заметив [27], что система (1.96) принадлежит к так называемым уравнениям гамильтоновского типа. Это означает, что существует функция позволяющая записать (1.96) в виде

Легко убедиться, что для (1.96) II определяется выражением

Здесь для удобства записи вместо переменных А, введены переменные так, чтобы коэффициенты перед нелинейными членами в правых частях (1.104) обращались по модулю в единицы:

Из равенства (1.103) следует, что

Если то действителен (см. (1.104)) и

Нетрудно видеть, что

является интегралом движения, т. е.

Наличие интеграла движения с учетом (1.102) позволяет в конечном счете выразить точное решение системы уравнений (1.96) через эллиптические функции [18].

2. Две из трех (взаимодействующих волн во всей нелинейной среде велики по сравнению с третьей волной. Тогда две сильные волны описываются законами линейной оптики. Поведение третьей (слабой) можно рассчитать с помощью приближения заданного поля; заданная нелинейная поляризация дается одной из формул (1.24). Этот случай рассмотрен в предыдущем параграфе.

3. Одна из трех взаимодействующих волн является сильной и рассчитывается по законам линейной оптики. Поведение двух других определяется двумя соответствующими уравнениями

(1.96). Здесь могут быть два случая: а) заданной является волна на одной из частот (параметрическое сложение частот); б) задано распределение поля на частоте (параметрическое усиление).

4. Некоторые частные случаи процесса, когда волны на частотах идентичны по всем параметрам, т. е. совпадают частоты, волновые вектора поляризации (генерация второй гармоники)

5. Линейные диссипации на всех взаимодействующих волнах одинаковы: Укороченные уравнения (1.96) в этом случае сводятся к уравнениям, без линейной диссипации следующим Заменой переменных из (1.96) исключаются слагаемые Затем обе части уравнений делятся на и вместо независимой переменной z вводится переменная вычисляются способом, описанным в первом пункте. выражается через решение полученных уравнений с равенствами:

Отдельно рассмотрим варианты п. 3. Проанализируем стадию сильного развития волнового нелинейного процесса, когда рожденное поло в результате эффекта накопления велико по сравнению с Поэтому «отражепной» волной (1.66) можно пренебречь и использовать приближенные граничные условия. Будем считать, что поле на входной грани нелинейного кристалла равно полю преломленных по законам линейной оптики волн на каждой частоте, падающих извне на среду.

Заметим, что как выражения (1.99) — (1.102), так и форма (1.103) записи уравнений взаимодействия волн и, как следствие, интеграл движения при остаются справедливыми и для процессов типа сложения частот на нелинейности высших порядков Уравнения взаимодействия можно записать в форме

где

Вместо (1.99) имеем

Выражения для принимают вид

Система интегралов движения (1.111), (1.112) позволяет довести решение уравнений (1.110) до записи в квадратурах.

Параметрическое усиление

Рассмотрим случай, когда сильным является поле на частоте В этом процессе кванты сильного поля распадаются на пары квантов Пренебрегая влиянием нелинейного процесса на сильное поле, можно написать для него формулу

Уравнения (1.96а, б) сводятся к уравнению второго порядка только для или только для

Найдем решение уравнений (1.114.) при заданных значениях на входной грани нелинейной среды. Для этого необходимо при решении (1.114а) выразить через с помощью уравнения (1.96а), а при решении (1.1146) проделать аналогичную операцию, используя (1.966). Чтобы избежать слишком громоздких выражений, рассмотрим решение (1.114) при

Рассмотрим вначале случай слабой нелинейности:

В этих условиях (1.115) принимает вид

Ясно, что (1.117a, б) соответствует приближению заданного поля и совпадает с (1.70), если пренебречь первым слагаемым в (1.70), считая его малым по сравнению со вторым. В этом нетрудно убедиться, учитывая, что в рассматриваемом случае

для процессов соответственно.

В обратном (1.116) предельном случае сильной нелинейности определяется выражением

В условиях сильной нелинейности коэффициенты затухания волн становятся одинаковыми и равными среднему коэффициенту поглощения Поэтому (1.119) приводят к соотношениям Мэнли — Роу таким же, как при

Для дальнейшего удобно привести выражения для в отсутствие линейной диссипации, т. е. при Тогда из (1.115) имеем

Приведем также выражение для интенсивности излучения, рожденного в нелинейной среде в услових, когда оно отсутствует на входной границе среды:

Для z-компопент плотностей потоков фотонов

Итак, при параметрическом распаде излучения частоты в синхронизме имеет место совместное экспоненциальное усиление излучения на частотах При увеличении А к усиление сменяется на синусоидальную зависимость от Указанное усиление — одно из проявлений эффекта бозе-конденсации фотонов [19]. Оно является аналогом вынужденного излучения в системе, где роль возбуждённого состояния играет фотон частоты в нелинейной среде. Вероятность распада этого состояния пропорциональна интенсивности излучения на частотах и . При классические уравнения (1.104) дают При учете в квантовом описании нулевых колебаний электромагнитного поля на частотах не равны нулю, даже если падающее на среду излучение на частотах и юг отсутствует. Это явление называется спонтанной параметрической люминесценцией [20] и находится в том же отношении к параметрическому усилению, что и спонтанное излучение на резонансном переходе к вынужденному [21].

Рассмотренный эффект служит физической основой для параметрических усилителей света [2—6, 22, 23]. Если ввести обратную связь — поместить пелинейную среду в резонатор, то появляется возможность создания параметрического генератора света ПГС [22—26]. Как и в любом генераторе, здесь необходимо выполнение пороговых условий, чтобы усиление превосходило плюс потери в резонаторе на зеркалах, отражение и рассеяние на гранях оптических элементов и

ПГС позволяет преобразовывать мощное излучение накачки фиксированной частоты в излучение меньших частот. Пропорции, в которых делится на зависят от условий синхронизма. Следовательно, их можно менять, варьируя например поворотом или изменением температуры кристалла (см. [23]), а также с помощью электрооптического эффекта при приложении статического электрического поля [26]. Это дает возможность плавно перестраивать частоту ПГС. Экспериментально реализованы все три указанных способа перестройки частоты и в результате область перестройки достигает порядка нескольких тысяч обратных сантиметров. Параметрические генераторы света все более широко используются для получения когерентного перестраиваемого излучения в инфракрасном диапазоне как в импульсном, так и в непрерывном режимах [23-25].

Возможность использования параметрического усиления (вычитания частот) для преобразования частоты излучения, несущего информацию, обсуждается во 2-й главе.

Параметрическое сложение частот

Этот вариант трехволнового взаимодействия реализуется, когда сильной является волна на одной из частот (для определенности будем считать Тогда описывается формулой

Амплитуды удовлетворяют уравнению

Аналогично тому, как это сделано в предыдущем разделе, можно выразить решения (1.125) через входные значения амплитуд [6]:

В случае слабой нелинейности

выражения (1.126) принимают вид

При сравнении (1.128) с формулой приближения заданного поля (1.70) нужно иметь в виду, что в рассматриваемом случае

для процессов соответственно.

В обратном по отношению к формуле (1.127) предельном случае сильной нелинейности формулы (1.126) трансформируются в следующие выражения:

Как и для параметрического усиления в режиме сильной нелинейности, здесь затухание каждой из волн определяется

средним поглощением Соотношение Мэнли - Роу принимает вид

В отсутствие линейной диссипации даются формулами:

В случае, когда одна из волн 1,3 на входной границе среды отсутствует, вместо (1.122), (1.123) имеем

В отличие от параметрического усиления здесь даже при сильных нелинейностях нет режима экспоненциального нарастания слабых волн В пренебрежении поглощением, когда суммарное число фотонов на частотах остается постоянным. По мере распространения в глубь нелинейной среды энергия периодически перекачивается из назад. Величины нелинейностей и накачки (параметр влияют лишь на частоту этих колебаний. Такое отличие эффектов параметрического усиления и сложения частот легко объяснить на квантовом языке. В самом деле, получение кванта частоты требует исчезновения кванта и наоборот, независимо от числа

квантов накачки Интенсивность накачки влияет лишь на вероятность преобразования и тем самым задает пространственную частоту противофазных периодических колебаний и при неизменной 100 %-ной амплитуде этих колебаний. В то же время при параметрическом усилении рождение кванта частоты сопровождается одновременным рождением кванта частоты Поэтому процесс лавинообразно развивается вплоть до истощения сильной волны (накачки).

Отсюда следует, что при когда формулы (1.117) дают переход к квантовому описанию и учет нулевых колебаний на частотах не приводят к появлению амплитуды в отличие от случая, рассмотренного в предыдущем разделе 1.

Процесс параметрического сложения (Parametric Up-C(inversion) частот лежит в основе приборов двух типов. Приборы первого типа — источиики когерентного излучения на частоте возникающего при взаимодействии когерентных волн на частотах Приборы второго типа — это преобразователи оптической информации (спектральной, пространственной из диапазона частот в диапазон частот (например, из инфракрасной области в видимую). Преобразование происходит благодаря взаимодействию сигнального излучеиия (когерентного или некогерентного) на частоте с мощной когерентной накачкой юг- Для оценки возможностей этих приборов помимо их характеристик, следующих из формул (1.134), существенны два обстоятельства. Первое — отсутствие режима усиления. Этот факт принципиально ограничивает сверху коэффициент преобразования из единицей (по числу фотонов) и величиной (по мощности излучения). Второе обстоятельство связано с невозможностью спонтанного процесса генерации излучения на частоте поэтому в самом процессе преобразования отсутствует источник шумов. В реальных приборах имеются шумы, связанные с другими факторами, например тепловым излучением, или каскадными процессами типа, упомянутого выше. В результате и в реальных приборах уровень шумов при сложении частот хотя и ненулевой, но, как правило, значительно ниже, чем в процессе параметрического усиления (вычитания) частот.