Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАННОГО ПОЛЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ
Материальное уравнение, устанавливая связь между поляризацией и полем, позволяет замкнуть систему уравнений Максвелла и решить задачу о пространственном и временном распределении электромагнитного поля для среды с заданными свойствами и заданными, падающими извне на среду, волнами. Последние определяют граничные условия для описывающего поле внутри среды волнового уравнения, в которое сворачиваются
уравнения Максвелла после исключения из них магнитного поля
Оптические эффекты тесно связаны с характером зависимости
от
Если эта зависимость линейна (см. (1.6)), то фундаментальным свойством электромагнитных волн в таких средах является принцип суперпозиции. Он позволяет любое состояние электромагнитного поля представить в виде совокупности простых решенийсвойства каждого из которых хорошо изучены. Так, в пространственно однородной среде такими решениями являются плоские волны (однородные или неоднородные), а уравпения (1.6) и (1.41) задают так называемую дисперсионную связь между частотами временных со и пространственных к колебаний поля. Эта связь существенна для линейных оптических эффектов в однородных средах (например, дифракционное расплывание пучков света и дисперсионное расплывание волновых пакетов).
Нелинейная зависимость
нарушает принцип суперпозиции, и, вообще говоря, возникает необходимость самостоятельного анализа каждой конкретной задачи. Однако нелинейные эффекты, как правило, весьма малы, по крайней мере в локальном смысле:
Это обстоятельство позволяет сделать некоторые общие для всей нелинейной оптики заключения. Например, если при
решение волнового уравнения имеет вид плоской волны, то при
решение можно представить в виде квазиплоской волны, амплитуда и фаза которой мало меняются на расстояниях порядка длины волны. Еще большие возможности для общего описания нелинейно-оптических эффектов возникают в случае, когда эти эффекты малы не только в локальном, но и в интегральном по всей нелинейной среде смысле. В данном параграфе рассматривается именно такая ситуация.
Сделаем временное фурье-преобразование обеих частей уравнения (1.41):
Здесь линейное по полю слагаемое (1.6), (1.13) выделено из
перенесено в левую часть уравнения и объединено с членом
Рассмотрим здесь только ту часть
, которая генерируется
в отсутствие падающих на среду волн на частотах
Поэтому Ем также можно считать достаточно малым. Основная идея приближения заданного поля состоит в том, чтобы пренебречь влиянием рождающегося в среде поля
на физические факторы,
породившие
Возможны два случая. Первый — когда в создании нелинейной поляризации на частоте со участвует поле той же частоты:
здесь никак нельзя считать заданным. В этом случае заданными, не зависящими от Ем, считаются все остальные факторы, участвующие в создании
в частности сильные поля других частот. Как видно из (1.43) и (1.45), задача фактически сводится к задаче линейной оптики с заданным пространственным распределением комплексного показателя преломления. Оно определяется упомянутыми факторами, пространственное распределение которых предварительно необходимо узнать, например, решая линейную задачу о распространении электромагнитных волн других частот (отличных от
).
Второй случай, не имеющий прямых аналогов в линейной оптике, связан с процессами, когда в создании не участвует
Здесь также сначала необходимо рассчитать физические факторы, генерирующие
Например, для процессов типа генерации гармоник решить в рамках линейной оптики задачу об отражении и преломлении в нелинейном кристалле возбуждающего излучения. Затем с помощью нелинейного материального уравнения необходимо вычислить
наконец, решить фактически линейное уравнение (1.43) с заданным распределенным в объеме источником
Кардинальным физическим вопросом в данном случае является вопрос о сложении волн, излучаемых источниками, находящимися в разных точках среды. Если такое сложение происходит в фазе, то нелинейный эффект накапливается. В противном случае накопление эффекта от разных частей среды отсутствует.
Поскольку в рассматриваемом приближении уравнение (1.43) линейпо по
то принцип суперпозиции в этом приближении снова выполняется и для понимания общей ситуации, так же как и в линейной оптике, достаточно рассмотреть отклик среды на конкретное
принадлежащее к любой полной системе функций (
-радиус-вектор точки в среде). В пространственно однородной среде с плоскими границами удобно в качестве такого распределения выбрать плоскую волну
Принцип суперпозиции в приближении заданного поля выполняется только по отношению к составляющим
но не по отношению к исходным физическим факторам, порождающим нелинейный эффект. Например, при генерации второй гармоники
Рис. 1.1. Волны нелинейной поляризации, рожденные двумя плоскими волнами накачки.
Рис. 1.2. К нелинейно-оптическому аналогу задачи Френеля.
в среде
двумя возбуждающими волнами с одинаковыми частотами и разными к нелинейная поляризация на двойной частоте состоит из трех волн: у первой
второй
третьей
(рис. 1.1). Отклик среды на эти три волны
аддитивен, но отнюдь не аддитивен эффект генерации гармоники по отношению к волнам возбуждающего излучения. При наличии одновременно обеих волн возникает неаддитивный член — гармоника, рожденная волной
Таким образом, процедура решения состоит в следующем. Разлагаем заданное
в пространственный интеграл Фурье, находим решение
для каждой фурье-компонент
(1.46) и затем вычисляем интерференцию всех
В итоге приходим к нелинейному аналогу задачи Френеля
Постановка этой задачи такова. Имеется полубесконечная однородная нелинейная среда II, находящаяся в области пространства
(рис. 1.2). В этой среде распространяется волна нелинейной поляризации (1.46). Падающие из области
электромагнитные волны на частоте со отсутствуют. Требуется найти пространственное распределение
в первой
и второй
средах. Граничные условия на границах сред
и
остаются теми же, что и в линейной оптике:
поскольку на границе сред отсутствуют поверхностные токи с бесконечной плотностью.
Так как нелинейная поляризация определяется только формулой (1.9) и сама по себе не обязана подчиняться какому-либо уравнению типа волнового, то мы не можем заранее ограничиться ни условием поперечности, ни какой бы то ни было связью между со и
и будем считать, что
в (1.46) принимает любые значения,
любые направления по отношению к