§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАННОГО ПОЛЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ

Материальное уравнение, устанавливая связь между поляризацией и полем, позволяет замкнуть систему уравнений Максвелла и решить задачу о пространственном и временном распределении электромагнитного поля для среды с заданными свойствами и заданными, падающими извне на среду, волнами. Последние определяют граничные условия для описывающего поле внутри среды волнового уравнения, в которое сворачиваются

уравнения Максвелла после исключения из них магнитного поля

Оптические эффекты тесно связаны с характером зависимости от Если эта зависимость линейна (см. (1.6)), то фундаментальным свойством электромагнитных волн в таких средах является принцип суперпозиции. Он позволяет любое состояние электромагнитного поля представить в виде совокупности простых решенийсвойства каждого из которых хорошо изучены. Так, в пространственно однородной среде такими решениями являются плоские волны (однородные или неоднородные), а уравпения (1.6) и (1.41) задают так называемую дисперсионную связь между частотами временных со и пространственных к колебаний поля. Эта связь существенна для линейных оптических эффектов в однородных средах (например, дифракционное расплывание пучков света и дисперсионное расплывание волновых пакетов).

Нелинейная зависимость нарушает принцип суперпозиции, и, вообще говоря, возникает необходимость самостоятельного анализа каждой конкретной задачи. Однако нелинейные эффекты, как правило, весьма малы, по крайней мере в локальном смысле:

Это обстоятельство позволяет сделать некоторые общие для всей нелинейной оптики заключения. Например, если при решение волнового уравнения имеет вид плоской волны, то при решение можно представить в виде квазиплоской волны, амплитуда и фаза которой мало меняются на расстояниях порядка длины волны. Еще большие возможности для общего описания нелинейно-оптических эффектов возникают в случае, когда эти эффекты малы не только в локальном, но и в интегральном по всей нелинейной среде смысле. В данном параграфе рассматривается именно такая ситуация.

Сделаем временное фурье-преобразование обеих частей уравнения (1.41):

Здесь линейное по полю слагаемое (1.6), (1.13) выделено из перенесено в левую часть уравнения и объединено с членом

Рассмотрим здесь только ту часть , которая генерируется в отсутствие падающих на среду волн на частотах Поэтому Ем также можно считать достаточно малым. Основная идея приближения заданного поля состоит в том, чтобы пренебречь влиянием рождающегося в среде поля на физические факторы,

породившие Возможны два случая. Первый — когда в создании нелинейной поляризации на частоте со участвует поле той же частоты:

здесь никак нельзя считать заданным. В этом случае заданными, не зависящими от Ем, считаются все остальные факторы, участвующие в создании в частности сильные поля других частот. Как видно из (1.43) и (1.45), задача фактически сводится к задаче линейной оптики с заданным пространственным распределением комплексного показателя преломления. Оно определяется упомянутыми факторами, пространственное распределение которых предварительно необходимо узнать, например, решая линейную задачу о распространении электромагнитных волн других частот (отличных от ).

Второй случай, не имеющий прямых аналогов в линейной оптике, связан с процессами, когда в создании не участвует Здесь также сначала необходимо рассчитать физические факторы, генерирующие Например, для процессов типа генерации гармоник решить в рамках линейной оптики задачу об отражении и преломлении в нелинейном кристалле возбуждающего излучения. Затем с помощью нелинейного материального уравнения необходимо вычислить наконец, решить фактически линейное уравнение (1.43) с заданным распределенным в объеме источником Кардинальным физическим вопросом в данном случае является вопрос о сложении волн, излучаемых источниками, находящимися в разных точках среды. Если такое сложение происходит в фазе, то нелинейный эффект накапливается. В противном случае накопление эффекта от разных частей среды отсутствует.

Поскольку в рассматриваемом приближении уравнение (1.43) линейпо по то принцип суперпозиции в этом приближении снова выполняется и для понимания общей ситуации, так же как и в линейной оптике, достаточно рассмотреть отклик среды на конкретное принадлежащее к любой полной системе функций (-радиус-вектор точки в среде). В пространственно однородной среде с плоскими границами удобно в качестве такого распределения выбрать плоскую волну

Принцип суперпозиции в приближении заданного поля выполняется только по отношению к составляющим но не по отношению к исходным физическим факторам, порождающим нелинейный эффект. Например, при генерации второй гармоники

Рис. 1.1. Волны нелинейной поляризации, рожденные двумя плоскими волнами накачки.

Рис. 1.2. К нелинейно-оптическому аналогу задачи Френеля.

в среде двумя возбуждающими волнами с одинаковыми частотами и разными к нелинейная поляризация на двойной частоте состоит из трех волн: у первой второй третьей (рис. 1.1). Отклик среды на эти три волны аддитивен, но отнюдь не аддитивен эффект генерации гармоники по отношению к волнам возбуждающего излучения. При наличии одновременно обеих волн возникает неаддитивный член — гармоника, рожденная волной

Таким образом, процедура решения состоит в следующем. Разлагаем заданное в пространственный интеграл Фурье, находим решение для каждой фурье-компонент (1.46) и затем вычисляем интерференцию всех

В итоге приходим к нелинейному аналогу задачи Френеля Постановка этой задачи такова. Имеется полубесконечная однородная нелинейная среда II, находящаяся в области пространства (рис. 1.2). В этой среде распространяется волна нелинейной поляризации (1.46). Падающие из области электромагнитные волны на частоте со отсутствуют. Требуется найти пространственное распределение в первой и второй средах. Граничные условия на границах сред и остаются теми же, что и в линейной оптике:

поскольку на границе сред отсутствуют поверхностные токи с бесконечной плотностью.

Так как нелинейная поляризация определяется только формулой (1.9) и сама по себе не обязана подчиняться какому-либо уравнению типа волнового, то мы не можем заранее ограничиться ни условием поперечности, ни какой бы то ни было связью между со и и будем считать, что в (1.46) принимает любые значения, любые направления по отношению к

Поэтому представим в виде суммы трех слагаемых:

где компоненты поперечной (перпендикулярной части, и — продольная (параллельная часть,

перпендикулярна и параллельна границе раздела сред:

перпендикулярна

соответствует случаю -поляризации задачи Френеля в линейной оптике; случаю -поляризации [1, 6—8]; единичные орты и -поляризаций. так же как и в линейной оптике, комплексно, если в задаче имеются неоднородные волны (например, комплексно) [8]. Поскольку принцип суперпозиции остается справедливым в данной задаче, влияние можно рассматривать независимо друг от друга.