§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД В ДИФРАКЦИОННОЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ. РАСЧЕТ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ В СХЕМЕ КАСАТЕЛЬНОГО СИНХРОНИЗМА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ИСТОЧНИКОВ

Для расчета параметрического преобразователя изображения в схеме касательного синхронизма воспользуемся методом функции Грина в форме (2.35). Из этого выражения следует, что нелинейный преобразователь вносит в изображение

искажения трех типов. Во-первых, геометрические аберрации каждой преломляющей поверхности. Во-вторых, искажение из-за дифракции на этой поверхности. И наконец, размытие изображения, имеющее характер неустранимой дефокусировки и связанное с тем, что изображение строится большим числом преломляющих поверхностей, каждая из которых формирует его в своем месте. В предыдущем параграфе показано, что в случае удаленных от кристалла источников (3.5) интерференция излучения от разных поверхностей приводит к тому, что неустранимая дефокусировка приобретает характер дифракции на эффективной диафрагме (3.7). Попытаемся обобщить этот результат на ситуацию с произвольным расположением источников. Суть используемого ниже приближения состоит в пренебрежении дифракцией для каждой преломляющей поверхности в отдельности. Тогда излучение суммарной частоты представляет собой совокупность интерферирующих лучей. Процедура нахождения размытия состоит в следующем.

Зная форму преломляющих поверхностей и коэффициенты преломления, можно написать уравнение лучей, приходящих в данную точку наблюдения от разных поверхностей. После этого вычисляется фаза каждого из этих лучей.

Размеры кристалла определяют соответствующий разброс фаз. Будем считать, что если фаза лучей, приходящих в данную точку наблюдения, колеблется в пределах то яркость в такой точке велика и сама точка находится в пределах светлого пятна. Если колебания фазы превышают то интенсивность излучения близка к нулю и соответствующая точка находится за пределами светлого пятна.

Параксиальное приближение в схеме касательного синхронизма

Рассмотрим вначале случай, когда для преломления на каждой поверхности справедливо параксиальное приближение

где поперечные, продольные координаты инфракрасного объекта, источника накачки, точки наблюдения и элемента кристалла соответственно. В разложении по отношению поперечных координат к продольным всюду ограничимся первым членом. Тогда координаты пересечения луча, который преломился на фазовой поверхности, проходящей через точку нелинейного кристалла, с плоскостью наблюдения удовлетворяют уравнению

В параксиальном приближении и при фаза (3.2) приобретает вид

Фаза лучей, приходящих в точку наблюдения от разных преломляющих поверхностей, дается выражением

Найдем точку наблюдения такую, чтобы все проходящие через нее лучи имели одинаковую фазу. Положим

При

выражение (3.16а) не зависит от т. е. в точку все лучи приходят в фазе и яркость в ней максимальна. Фазы лучей, приходящих в точку пересечения с поперечной координатой описываются формулой (рис. 3.2):

Из (3.18) следует, что если начало координат находится в центре кристалла, то размытие изображения минимально в плоскости наблюдения такой, что (рис. 3.2), определяется выражением (3.9а), для а имеем

и формула для совпадает с (3.96).

В плоскости размер размытия изображения можно записать как

Рис. 3.2. График зависимости от фазы лучей, преломленных на поверхности в нелинейной среде и приходящих в точку наблюдения

В плоскости наблюдения далекой от при выражение для размера яркой области приобретает вид

Из (3.21) видно, что излучение суммарцой частоты представляет собой конус с вершиной в точке причем размер яркого пятна в плоскости совпадает с диаметром эффективной диафрагмы (3.12). Размытие изображения (3.20) в точности соответствует дифракции на этой диафрагме.

Продольное размытие изображения вычисляемое из условия дается при равенством

Видим, что и продольное размытие соответствует дифракции на диафрагме (3.12).

Таким образом, по отношению к фиксированному ИК-объекту нелинейный кристалл ведет себя как сферическая преломляющая поверхность с показателем преломления расположенная в середине кристалла, с диафрагмой диаметром с? (3.12) и при произвольном расположении источников взаимодействующих волн.

При выражения (3.17), (3.9а), (3.19), (3.20), (3.22) принимают вид:

Формулы (3.23) — (3.26) совпадают с результатами, полученными более громоздкими вычислениями в работах [159—163] с помощью разложения взаимодействующих полей по плоским волнам.

Чтобы определить поле зрения, запишем уравнение для лучей, приходящих в точку и прошедших до преломления через точку Очевидно, что пересечение этого луча, с плоскостью дает положение центра эффективной диафрагмы:

В правой части равенства (3.27) величина может изменяться в области где поперечные размеры кристалла в направлении х к у соответственно. Для простоты выражений положим При этом область изменения как видно из выражения (3.27), дается формулой

Из (3.20) и (3.28) следует, что число разрешаемых элементов определяется выражением

Число разрешаемых элементов не зависит ни от положения инфракрасного объекта, ни от степени фокусировки накачки (см. (3.29)).

Из (3.14) следует, что при все преломляющие поверхности формируют изображение в одной точке с координатами

В этом случае эффективная дефокусировка исчезает. В приближении геометрической оптики изображение идеально. Следовательно, размытие определяется только дифракцией на каждой из преломляющих поверхностей

Выражение (3.16а) принимает вид

Из (3.32) видно, что синфазными будут только лучи, приходящие в точку Интерференция излучения разных преломляющих поверхностей здесь ограничивает поле зрения. Из (3.32) следует, что если то

Число разрешаемых элементов (см. (3.31) и остается прежним (3.29),

Геометрические аберрации

Рассмотрим ситуацию, когда превалируют геометрические аберрации каждой из преломляющих поверхностей. Поскольку неустранимая дефокусировка в этом случае мала по сравнению с аберрационным размытием, то координаты пересечения луча, идущего из точки нелинейного кристалла, с плоскостью определяются в основном и практически не зависят от (рис. 3.3). Если выполнены условия (3.5), в которых фаза -линейная функция то нетрудно убедиться, что формула (3.6), а при и формула (3.12) справедливы по-прежнему. Тогда размер размытия, связанного со сферической аберрацией, определяется выражением

Сопоставляя формулы (3.20), (3.34), приходим к выводу, что аберрационное размытие превосходит неустранимую дефокусировку (дифракцию на эффективной диафрагме (3.12)), когда

В предельных случаях неравенство (3.35) принимает вид

Неравенства (3.36) показывают, что аберрации существенны, когда оба источника находятея достаточно далеко от кристалла

Рис. 3.3. Ход лучей в схеме касательного синхронизма в случае, когда геометрические аберрации велики по сравнению с эффективным дифракционным размытием.

или когда расстояние между ними мало, что объясняется неограниченным возрастанием в этих случаях размера эффективной диафрагмы.

В таких условиях аберрации превосходят дифракцию на апертуре кристалла, если последняя больше которое в случае (накачка — плоская волна) определяется выражением

Таким образом, геометрические аберрации могут быть существенны даже для преобразователей с накачкой в виде плоской волны. В случае фокусированной накачки аберрации максимальны при Их величина по сравнению с дифракционным размытием определяется тем же параметром что и в линейной оптике.

Рассмотрим условия, когда фазу (3.2) можно считать линейной функцией Для этого оценим член второго порядка в разложении

Воспользовавшись формулами (3.7), (3.9а), нетрудно показать, что меньше если

Таким образом, указанным приближением можно пользоваться практически всегда, когда оба источника находятся вне кристалла (3.5).

Перечислим, в заключение, основные свойства преобразователя изображения в схеме касательного синхронизма. Из

формул (3.9), (3.12), (3.20) следует, что в смысйе разрешающей способности нелинейный преобразователь эквивалентен оптической системе, состоящей из сферической преломляющей поверхности с радиусом и показателем преломления расположенной в центре кристалла и двух диафрагм. Одна из диафрагм по величине совпадает с апертурой кристалла и ограничивает преломляющую поверхность, другая находится в плоскости Ее диаметр дается выражением

Линейное разрешение определяется той диафрагмой, которая при данном положении ИК-источника сильнее, ограничивает апертуру преобразования. В отсутствие геометрических аберраций выражения для разрешения и поля зрения запишутся. следующим образом:

При выполнении неравенств, обратных (3.43):

вместо (3.41) и (3.42) имеем

Число разрешаемых элементов как видно из приведенных формул, во всех случаях одинаково и определяется выражением (3.29). Поэтому для увеличения числа разрешаемых элементов при фиксированных размерах нелинейного кристалла необходимо использовать преобразователи с другими соотношениями между фазовыми скоростями взаимодействующих волн, например преобразователи в схеме критичного векторного синхронизма.