Приложение 1. ПОДХОД В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРИНЦИПЕ ГЮЙГЕНСА—ФРЕНЕЛЯ—КИРХГОФА

Распределение поля, преломленного (отраженного) на границе 2 раздела двух прозрачных сред, волновые числа которых соответственно описываются интегралом Френеля — Кирхгофа:

где единичный вектор, нормальный к элементу поверхности амплитуда точечного источника, волна от которого преломляется на поверхности 2 или отражается от нее. Знак в показателе экспоненты определяется тем, находится ли точка наблюдения в пространстве действительных или мнимых изображений. Для преломления пространство мнимых изображений расположено по ту же сторону от поверхности 2, что и источник падающего излучения, а пространство действительных изображений — по другую. Для отражения все соотношения обратные.

Ясно, что интенсивность преломленного или отраженного излучения будет максимальна в тех точках наблюдения для которых фаза

постоянна как функция координат точки на преломляющей поверхности 2 или меняется незначительно.

Выберем теперь систему координат так, чтобы начало находилось в центре поверхности 2, а ось была перпендикулярна ей. Если углы зрения из источника и точки наблюдения на поверхность 2 и углы между осью z и направлениями на источник и точку наблюдения малы

то фазу можно разложить по отношениям поперечных координат к продольным воспользовавшись соответствующим разложением В:

Знак перед скобкой зависит от знака поскольку в разложение входит модуль

где члены порядка по малым параметрам

Совокупность точек наблюдения, для которых определится уравнением

Оно описывает преломление или отражение луча, проходящего через начало координат и имеет решения даже если последние два условия не выполнены. Если же эти условия удовлетворены, запишется в виде

С учетом описанных выше расположений пространств действительных и мнимых изображений формулы можно записать в виде одного выражения:

считая, что для преломления а для отражения С точностью уравнение поверхности имеет вид

где соответствующие радиусы кривизны поверхности 2.

В отличие от уравнение имеет решения только при если два последних условия не выполнены, что соответствует отсутствию преломляющей поверхности (в случае, когда а поверхность 2 является плоской, это соответствует отражению в плоском зеркале). При выполнении всех условий выражение запишется в виде

При получении выражения использованы рассуждения, аналогичные тем, которые позволили перейти от Знак определен так же, к

Из выражения видно, что при

не зависит от

Таким образом, в точке наблюдения удовлетворяющей уравнениям излучение фокусируется в направлении Распределение поля вблизи этого фокуса описывается выражением

где продольная координата точки наблюдения в которой происходит фокусировка в направлении В силу симметрии относительно замены х на у, а у на х распределение поля вблизи второго фокуса определяемого формулой, аналогичной с заменой х на у описывается формулой тоже с заменой Если поверхность является поверхностью вращения то положение обоих фокусов совпадает и интеграл по 2 в формуле превращается в интеграл Дебая [12]. Для вычисления аберраций необходимо в разложении фазы учесть члены более высокого, чем второй, порядка. Если ограничиться случаев, когда является поверхностью вращения

то легко убедиться, что При этом, вообще говоря, не существует такой точки наблюдения, для которой фаза была бы постоянна на всей поверхности 2. Если, однако, разделить поверхность на столь малые области, чтобы фазу в каждой из них можно было считать линейной функцией координат внутри области, то для каждой области можно найти точку наблюдения, относительно которой фаза внутри области постоянна. Совокупность таких точек в плоскости где формируется параксиальное изображение, дает аберрационное изображение источника. Отклонение от положения параксиального изображения нарушает уравнение В результате возникает дополнительное условие: должно быть выбрано таким образом, чтобы отличие от нуля

в точности скомпенсировало бы для данной области, т. е.

Решая уравнение методом последовательных приближений, можно в положить

где

Здесь определяется выражением

Если оси выбраны так, что то

где углы между и осью у.

Выражения совпадают с формулами, полученными с помощью эйконала Зайделя [12, 129].

В качестве примера расчета распределения поля в явном виде можно рассмотреть задачу о преломлении излучения точечного источника на плоской границе раздела двух сред с гауссовой диафрагмой (3.49). В параксиальном приближении напряженность поля в точке наблюдения после преломления дается

формулой, следующей из

После выполнения интегрирования по преломляющей поверхности имеем:

Анализ приводит к следующим выводам:

— В данной плоскости наблюдения яркость максимальна в точке

— Характерный размер яркого пятна

минимален в плоскости наблюдения

Здесь

При имеем

Во фраунгоферовской зоне

Формулы имеют простой смысл. Если на плоскую преломляющую поверхность с гауссовой диафрагмой падает плоская волна, то после преломления, очевидно, формируется гауссов пучок с фокусом на диафрагме.

С точки зрения формирования изображения представляет интерес не плоскость наблюдения, где минимально, а плоскость наблюдения, по отношению к которой минимально

Отсюда немедленно следуют хорошо известные формулы для параметров изображения, формируемого плоской преломляющей поверхностью с диафрагмой