§ 4. ПАРАКСИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Рассмотрим взаимодействие двух бесконечно узких астигматических пучков [225] в нелинейной среде. Предположим, что центральные лучи пучков пересекаются под углом а. В собственной системе координат пучка, когда ось z совпадает с центральным лучом, а оси х и у направлены по осям симметрии, уравнения астигматического пучка имеют вид

здесь текущие координаты в собственной системе; координаты пересечения данного луча с плоскостью координаты обоих фокусов. Вычисления удобно проводить в системе координат, начало которой лежит в точке пересечения центральных лучей, ось z направлена вдоль центрального луча суммарной частоты, ось х лежит в плоскости, включающей центральные лучи взаимодействующих пучков, ось у перпендикулярна указанной плоскости. Переход в эту систему координат для ИК-пучка состоит в повороте вокруг оси на угол — и затем в повороте вокруг оси у на угол у; для пучка накачки — в повороте вокруг оси угол — и затем повороте

вокруг оси у на угол углы между осями соответствующих собственных систем координат пучков и плоскостью включающей центральные лучи. После вычислений получим уравнение поверхности синхронизма с точностью до членов первого порядка по

где индекс означает, что данная точка лежит на поверхности синхронизма:

Уравнения (2.44) — (2.46) показывают, что поверхность синхронизма в рассматриваемом случае — плоскость, проходящая через начало координат.

Направляющие косинусы луча суммарной частоты, идущего из точки поверхности синхронизма, т. е. рожденного ИК-лучом с параметрами определяются выражениями (справедливыми также с точностью

Используя приведенный в [225] критерий, можно убедиться, что формулы (2.44) — (2.49) описывают так называемую нормальную конгруэнцию лучей [7, 225]. Математически нормальная конфигурация — это такое семейство лучей, когда

Равенство (2.50) свидетельствует о том, что существует совокупность поверхностей (волновых фронтов), нормали к которым в каждой точке совпадают с направлением лучей Отсюда следует возможность построения линейной оптической системы, преобразующей инфракрасный астигматический пучок (2.42), (2.43) в пучок, определяемый формулами (2.44) — (2.49). Этот факт

означает, что по крахней мере в приближении геометрической оптики параметрический преобразователь можно рассматривать как линейную оптическую систему (вообще говоря, зависящую от положения ИК-источника) и, в частности, устранять геометрические аберрации корректирующей оптикой.

Приведем, наконец, формулы связи параметров узкого астигматического пучка преобразованного излучения с параметрами ИК-пучка и пучка накачки. В силу громоздкости выражений в общем случае ограничимся ситуацией, когда Из выражений (2.44) — (2.49) в данном случае следует:

Эти соотношения можно рассматривать как аналог формулы тонкой линзы.